18.不等式恒（能）成立问题-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 精选2023全国甲卷、2024新高考Ⅰ卷函数综合解答题，聚焦导数应用、不等式恒成立等核心考点，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|2道|导数单调性讨论（2023甲卷）、不等式恒成立求参数（2023甲卷）、函数中心对称证明（2024新高考Ⅰ卷）|结合三角函数与导数（2023甲卷）、融入三次函数对称性（2024新高考Ⅰ卷），体现高考命题综合性与创新性|

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 18.不等式的恒（能）成立问题 1.(2023·全国甲卷21题)已知函数f(x)=a心-器，x∈(0，晋). (1)当a=8时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)<sin2x,求a的取值范围. 解：(1)当a=8时，f(x)=8x-器(x∈(0，受))， f(x）=8-a坠=8十一： cosex 令=t,则te(1,+o), 令h(t)=-32+2t+8=-(3t+4)(t-2), 当t∈(1,2)时，h(t)>0;当t∈(2，+∞)时，h(t)<0. 故当x∈(0，)时，(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈(，)时，f(x)<0,f(x)单调递减. f(x)在区间(0，)上单调递增，在区间（母，变）上单调递减. (2)令g6x)=f(x)-sin2=ax-器-sim2x, 则g()=a-+3ms-20os2x=a-8g+3s-46os2x+2=4(20t3+46os2r-2）, Cosx Cos Cos 令u=c0s2x,则u∈(0,1)，令k(u)=2+4u-2, 则K(）=2学2十4=如3色】 u3 当u∈(0,1)时，k'(u)<0,..k()在(0,1)上单调递减， ,k(1)=3,∴.当u∈(0,1)时，k(u)>3,k(u)的值域为(3，十∞). ①当a≤3时，g'(x)<0,∴g(x)在(0，变)上单调递减， 又g(0)=0,∴.当x∈(0，)时，g(x)<0,即f(x)<sin2x. ②当a>3时，3xo∈(0，号)使得g'(o)=0, ∴g(x)在(0,0）上单调递增，在(xo,受)上单调递减， g(xo)>g(0)=0,∴f(x)<sin2x不成立. 综上所述，a的取值范围为（一∞，3]. 2.(2024·新高考I卷18题)已知函数f(x)=ln产+ax十b(x-1)3, (1)若b=0,且f(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形： (3)若f(x)>一2当且仅当1<x<2,求b的取值范围. 1/2 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)b=0时，f(x)=ln产+ax,其中x∈(0,2)， 则f(x)=xtx+a,x∈(0,2)， …x(2-x)≤(2s)2=1,当且仅当x=1时等号成立， 故f(x)mim=2十a,而(x)≥0成立，故a+2≥0，即a≥-2， ∴.a的最小值为一2. (2)证明：法-x∈(0,2)，f(2-x)+f(x)=n婆+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ax +b(x-1)3=2a, ∴f(x)关于(1，a)中心对称。 法二将f()向左平移-个单位长度→f(x十1)=ln费+a(x十1)+bx关于(0，a)中心对称， ∴f(x)关于(1，a)中心对称。 (3)f(x)>-2当且仅当1<x<2, ∴.f(1)=-2→a=-2, f(x)=ln产-2x+b(x-1)3>-2对1<x<2恒成立， -+安-2+6x-1)=2+36-1):=x-1）2[a+0], 令g()=x+36, ·必有g(1)=2十3b≥0→b≥-号（必要性）， 否则b<-号，存在x∈(1,6)使f(x)<0,f(x)在(1,6)上单调递减，f(x)<f(1)= -2, 当2-时，对∈1,2》，f)≥会-2-号6-1)=h6m),为6)--2-1D 2=2(-1)2[x2-1]>0,对Vx∈(1,2)恒成立，∴h()>h(1)=-2符合条件，综上 b的取值范围为[-号，十∞). 2/2