18.不等式恒（能）成立问题-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

18.不等式的恒（能）成立问题

1.（2023·全国甲卷21题）已知函数f（x）＝ax－，x∈（0，）.

（1）当a＝8时，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）＜sin 2x，求a的取值范围.

解：（1）当a＝8时，f（x）＝8x－（x∈（0，））， 

f'（x）＝8－＝8＋－.

令＝t，则t∈（1，＋∞），

令h（t）＝－3t2＋2t＋8＝－（3t＋4）（t－2），

当t∈（1，2）时，h（t）＞0；当t∈（2，＋∞）时，h（t）＜0.

故当x∈（0，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（，） 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.

∴f（x）在区间（0，）上单调递增，在区间（，）上单调递减.

（2）令g（x）＝f（x）－sin 2x＝ax－－sin 2x，

则g'（x）＝a－－2cos 2x＝a－－4cos2x＋2＝a－（＋4cos2x－2），

令u＝cos2x，则u∈（0，1），令k（u）＝＋4u－2，

则k'（u）＝＋4＝.

当u∈（0，1）时，k'（u）＜0，∴k（u）在（0，1）上单调递减，

∵k（1）＝3，∴当u∈（0，1）时，k（u）＞3，∴k（u）的值域为（3，＋∞）.

①当a≤3时，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，

又g（0）＝0，∴当x∈（0，）时，g（x）＜0，即f（x）＜sin 2x.

②当a＞3时，∃x0∈（0，）使得g'（x0）＝0，

∴g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，

∴g（x0）＞g（0）＝0，∴f（x）＜sin 2x不成立.

综上所述，a的取值范围为（－∞，3].

2.（2024·新高考Ⅰ卷18题）已知函数f（x）＝ln＋ax＋b（x－1）3.