专题突破练25 导数与不等式恒(能)成立问题（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

专题突破练25　导数与不等式恒(能)成立问题

1.(15分)(2025山东滨州二模)已知函数f(x)=+aln x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若a>0时,f(x)≥a2-(a+1)ln a恒成立,求实数a的值.

 

 

 

 

 

 

2.(15分)(2025湖北武汉三模)已知函数f(x)=ex-ax,a∈R.

(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;

(2)当x≥0时,f(x)≥x,求实数a的取值范围.

 

 

 

 

 

 

3.(17分)(2024新高考Ⅰ,18)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3.

(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;

(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;

(3)若f(x)>-2,当且仅当1<x<2,求b的取值范围.

 

 

 

 

 

4.(17分)(2025江苏南京模拟)已知函数y=f(x)和y=g(x)的定义域均为R,若对任意实数x,都存在常数n,使f'(x)≥ng'(x)成立,则称函数y=f(x)是函数y=g(x)的“n函数”.

(1)证明:函数f(x)=3x+1是函数g(x)=cos x的“3函数”;

(2)若函数f(x)=-x4-4x3-12x2-20x是函数g(x)=ex的“n函数”,求n的取值范围;

(3)若函数p(x)=ex+me-x,函数y=q(x)为偶函数,函数y=p(x)是函数y=q(x)的“1函数”,求证:“m=1”的充要条件是“存在常数c,使得p(x)-q(x)=c恒成立”.

答案：

1.解 (1)由题意,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-,

当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在(0,+∞)内单调递减,

当a>0时,由f'(x)>0解得x>,由f'(x)<0解得0<x<,

所以f(x)在内单调递增,在内单调递减.

综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)内单调递减,

当a>0时,f(x)在内单调递增,在内单调递减.

(2)由(1)知当a>0时,f(x)在内单调递增,在内单调递减,

所以函数f(x)的最小值为f=a-aln a,所以a-aln a≥a2-(a+1)ln a恒成立,

整理得a2-ln a-a≤0,

令h(x)=x2-ln x-x,

则h'(x)=2x--1=,

由h'(x)>0解得x>1,

由h'(x)<0解得0<x<1,

所以h(x)在(1,+∞)内单调递增,在(0,1)内单调递减,

所以h(x)≥h(1)=12-ln 1-1=0,

又h(a)≤0,所以h(a)=0,所以a=1.

2.解 (1)已知f(x)=ex-ax,当a=1时,f(x)=ex-x,对f(x)求导,可得f'(x)=ex-1.

令f'(x)=0,即ex-1=0,解得x=0.

当x<0时,ex<1,所以f'(x)=ex-1<0,则f(x)在(-∞,0)内单调递减.

当x>0时,ex>1,所以f'(x)=ex-1>0,则f(x)在(0,+∞)内单调递增.

综上,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).

(2)当x≥0时,f(x)≥x,即ex-ax≥x,移项可得ex-(a+1)x≥0.

当x=0时,e0-(a+1)×0=1≥0,此时a可以取任意实数.

当x>0时,ex-(a+1)x≥0可化为a+1,