15.利用导数研究函数的性质-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

15.利用导数研究函数的性质

1.（2024·全国甲卷6题）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）

A. B.

C. D.

解析：A　f'（x）＝，所以f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－，0），所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A.

2.（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　）

A.e2 B.e

C.e－1 D.e－2

解析：C　法一　由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C.

法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，

∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C.

3.（2021·新高考Ⅰ卷7题）若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（　　）

A.eb＜a B.ea＜b

C.0＜a＜eb D.0＜b＜ea

解析：D　法一（通解）　设切点（x0，y0），y0＞0，则切线方程为y－b＝（x－a），由得（1－x0＋a）＝b，则由题意知关于x0的方程（1－x0＋a）＝b有两个不

同的解.设f（x）＝ex（1－x＋a），则f'（x）＝ex（1－x＋a）－ex＝－ex（x－a），由f'（x）＝0得x＝a，所以当x＜a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（a）＝ea（1－a＋a）＝ea，当x＜a时，a－x＞0，所以f（x）＞0，当x→－∞时，f（x）→0，当x→＋∞时，f（x）→－∞，函数f（x）＝ex（1－x＋a）的大致图象如图所示，

因为f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，所以0＜b＜ea.故选D.

法二（优解）　过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则点（a，b）在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0＜b＜ea.故选D.

4.（2022·新高考Ⅰ卷7题）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则（　　）

A.a＜b＜c B.c＜b＜a

C.c＜a＜b D.a＜c＜b

解析：C　法一　设u（x）＝xex（0＜x≤0.1），v（x）＝（0＜x≤0.1），w（x）＝－ln（1－x）（0＜x≤0.1），则当0＜x≤0.1时，u（x）＞0，v（x）＞0，w（x）＞0.①设f（x）＝ln[u（x）]－ln[v（x）]＝ln x＋x－[ln x－ln（1－x）]＝x＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则f'（x）＝1－＝＜0在（0，0.1]上恒成立，所以f（x）在（0，0.1]上单调递减，所以f（0.1）＜0＋ln（1－0）＝0，即ln[u（0.1）]－ln[v（0.1）]＜0，所以ln[u（0.1）]＜ln[v（0.1）]，又函数y＝ln x在（0，＋∞）上单调递增，所以u（0.1）＜v（0.1），即0.1e0.1＜，所以a＜b.②设g（x）＝u（x）－w（x）＝xex＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则g'（x）＝（x＋1）ex－＝（0＜x≤0.1），设h（x）＝（1－x2）ex－1（0＜x≤0.1），则h'（x）＝（1－2x－x2）ex＞0在（0，0.1]上恒成立，所以h（x）在（0，0.1]上单调递增，所以h（x）＞（1－02）×e0－1＝0，即g'（x）＞0在（0，0.1]上恒成立，所以g（x）在（0，0.1]上单调递增，所以g（0.1）＞0×e0＋ln（1－0）＝0，即g（0.1）＝u（0.1）－w（0.1）＞0，所以0.1e0.1＞－ln 0.9，即a＞c.综上，c＜a＜b，故选C.

法二　由已知，a－c＝0.1e0.1＋ln（1－0.1）.记f（x）＝xex＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则f'（x）＝（x＋1）ex＋＝，记g（x）＝（x2－1）ex＋1，则g'（x）＝（x2＋2x－1）ex，因为0＜x≤0.1，所以x2＋2x－1＜0，ex＞0，即g'（x）＝（x2＋2x－1）ex＜0，所以g（x）在（0，0.1]上

单调递减，g（x）＜g（0）＝0，又x－1＜0，所以f'（x）＞0，即f（x）在（0，0.1]上单调递增，则f（x）＞f（0）＝0，即a－c＞0，a＞c.又＝0.9e0.1＜1，又b＞0，所以c＜a＜b.

5.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　）

A.bc＞0 B.ab＞0

C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0

解析：BCD　因为函数f（x）＝aln x＋＋（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选B、C、D.

6.〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷10题）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2－3）ex＋2，则（　　）

A.f（0）＝0

B.当x＜0时，f（x）＝－（x2－3）e－x－2

C.f（x）≥2当且仅当x≥

D.x＝－1是f（x）的极大值点

解析：ABD　A.根据奇函数的定义有f（0）＝0，故A正确；B.当x＜0时，－x＞0，所以f（－x）＝（x2－3）e－x＋2，因为f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝－（x2－3）e－x－2，故B正确；C.当x＞0时，f'（x）＝（x2＋2x－3）ex＝（x－1）（x＋3）ex，所以函数f（x）在（0，1）上单凋递减，在（1，＋∞）上单调递增，又f（）＝2，当x→0＋时，f（x）→－1，所以由f（x）≥2得x≥；当x＜0时，f（－1）＝2（e－1）＞2，满足f（x）≥2，但－1∉[，＋∞），故C错误；D.根据C解析知x＝1是函数f（x）的极小值点，根据奇函数图象关于原点对称，知x＝－1是函数f（x）的极大值点，故D正确.

7.（多选）（2024·新高考Ⅰ卷10题）设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（　　）

A.x＝3是f（x）的极小值点

B.当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）

C.当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0

D.当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x）