16.导数与函数的零点-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

16.导数与函数的零点

1.（2022·全国乙卷20题）已知函数f（x）＝ax－－（a＋1）ln x.

（1）当a＝0时，求f（x）的最大值；

（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围.

解：（1）当a＝0时，f（x）＝－－ln x（x＞0），所以f'（x）＝－＝.

若x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）单调递增；

若x∈（1，＋∞），f'（x）＜0，f（x）单调递减；

所以f（x）max＝f（1）＝－1.

（2）由f（x）＝ax－－（a＋1）ln x（x＞0），得f'（x）＝a＋－＝（x＞0）.

当a＝0时，由（1）可知，f（x）不存在零点；

当a＜0时，f'（x）＝，

若x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）单调递增，

若x∈（1，＋∞），f'（x）＜0，f（x）单调递减，

所以f（x）max＝f（1）＝a－1＜0，所以f（x）不存在零点；

当a＞0时，f'（x）＝，若a＝1，f'（x）≥0，

f（x）在（0，＋∞）上单调递增，因为f（1）＝a－1＝0，所以函数f（x）恰有一个零点.

若a＞1，f（x）在，（1，＋∞）上单调递增，在上单调递减，因为f（1）＝a－1＞0，所以f＞f（1）＞0，当x→0＋时，f（x）→－∞，由零点存在定理可知f（x）在上必有一个零点，所以a＞1满足条件.

若0＜a＜1，f（x）在（0，1），上单调递增，在上单调递减，因为f（1）＝a－1＜0，所以f＜f（1）＜0，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，由零点存在定理可知f（x）在上必有一个零点，即0＜a＜1满足条件.

综上，若f（x）恰有一个零点，a的取值范围为（0，＋∞）.

2.（2021·新高考Ⅱ卷22题）已知函数f（x）＝（x－1）·ex－ax2＋b.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：f（x）有一个零点.

①＜a≤，b＞2a；

②0＜a＜，b≤2a.

注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解：（1）f'（x）＝xe x－2ax＝x（ex－2a），

（ⅰ）当a≤0时，令f'（x）＝0⇒x＝0，

且当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.

（ⅱ）当0＜a＜时，令f'（x）＝0⇒x1＝0，x2＝ln 2a＜0，

且当x＜ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当ln 2a＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.

（ⅲ）当a＝时，f'（x）＝x（ex－1）≥0，f（x）在R上单调递增.

（ⅳ）当a＞时，令f'（x）＝0⇒x1＝0，x2＝ln 2a＞0，

且当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜ln 2a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.

（2）证明：若选①，由（1）知f（x）在（－∞，0）上单调递增，（0，ln 2a）上单调递减，（ln 2a，＋∞）上单调递增.

注意到f＝＜0，f（0）＝b－1＞2a－1＞0.

∴f（x）在上有一个零点；

f（ln 2a）＝（ln 2a－1）·2a－a·ln22a＋b＞2aln 2a－2a－aln22a＋2a＝aln 2a（2－ln 2a），

由＜a≤得0＜ln 2a≤2，∴aln 2a（2－ln 2a）≥0，

∴f（ln 2a）＞0，当x≥0时，f（x）≥f（ln 2a）＞0，此时f（x）无零点.

综上，f（x）在R上仅有一个零点.

若选②，则由（1）知f（x）在（－∞，ln 2a）上单调递增，在（ln 2a，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增.

f（ln 2a）＝（ln 2a－1）2a－aln22a－2a＋b≤2aln 2a－2a－aln22a＋2a＝aln 2a（2－ln 2a）.

∵0＜a＜，∴ln 2a＜0，∴aln 2a（2－ln 2a）＜0.

∴f（ln 2a）＜0，∴当x≤0时，f（x）≤f（ln 2a）＜0，此时f（x）无零点.

当x＞0时，f（x）单调递增，注意到f（0）＝b－1≤2a－1＜0.