14.基本初等函数、函数与方程-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 汇编2019-2024年全国卷及新高考卷中基本初等函数与函数方程真题7题，涵盖视力测量、航天工程等真实情境，注重数学应用与核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6题|对数运算（题1）、函数比较大小（题2）、函数零点（题4）|结合视力表五分记录法（题1）、嫦娥四号鹊桥中继星轨道（题3）等真实情境，考查数学抽象与逻辑推理| |多选|1题|数学建模（题6）|以噪声污染声压级为背景（题6），体现数据分析与模型应用，贴合高考命题趋势|

14.基本初等函数、函数与方程 1.（2021·全国甲卷4题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（≈1.259）（　　） A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 解析：C　4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝1＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 2.（2021·新高考Ⅱ卷7题）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（　　） A.c＜b＜a　 B.b＜a＜c C.a＜c＜b　 D.a＜b＜c 解析：选C　∵a＝log52＜log42＝，b＝log83＞log93＝，故b＞c＞a.故选C. 3.（2019·全国Ⅱ卷4题）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝（R＋r）.设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为（　　） A.R B.R C.R D.R 解析：D　由α＝得r＝αR，代入＋＝（R＋r），整理得＝.又∵ ≈3α3，∴ 3α3≈，∴ α≈ ，∴ r＝αR≈ R.故选D. 4.（2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g（x）＝cos x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点.则a＝（　　） A.－1 B. C.1 D.2 解析：D　法一　令f（x）＝g（x），即a（x＋1）2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x，令F（x）＝ax2＋a－1，G（x）＝cos x，原题等价于当x∈（－1，1）时，曲线y＝F（x）与y＝G（x）恰有一个交点，注意到F（x），G（x）均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F（0）＝G（0），即a－1＝1，解得a＝2.故选D. 法二　令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－cos x，x∈（－1，1），原题意等价于h（x）有且仅有一个零点，因为h（－x）＝a（－x）2＋a－1－cos（－x）＝ax2＋a－1－cos x＝h（x），则h（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知h（x）的零点只能为0，即h（0）＝a－2＝0，解得a＝2，故选D. 5.（2020·全国Ⅰ卷12题）若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则（　　） A.a＞2b B.a＜2b C.a＞b2 D.a＜b2 解析：B　法一　令f（x）＝2x＋log2x，因为y＝2x在（0，＋∞）上单调递增，y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，所以f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上是增函数.又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故选B. 法二（取特值法）　由2a＋log2a＝4b＋2log4b＝4b＋log2b，取b＝1，得2a＋log2a＝4，令f（x）＝2x＋log2x－4，则f（x）在（0，＋∞）上是增函数，且f（1）＜0，f（2）＞0，所以f（1）f（2）＜0，f（x）＝2x＋log2x－4在（0，＋∞）上存在唯一的零点，所以1＜a＜2，故a＞2b＝2，a＜b2都不成立，排除A、D；取b＝2，得2a＋log2a＝17，令g（x）＝2x＋log2x－17，则g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（3）＜0，g（4）＞0，所以g（3）g（4）＜0，g（x）＝2x＋log2x－17在（0，＋∞）上存在唯一的零点，所以3＜a＜4，故a＞b2＝4不成立，排除C.故选B. 6.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷10题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　　） A.p1≥p2 B.p2＞10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 解析：ACD　由Lp＝20×lg，得p＝p0×1.由题表中的数据可知p0×103≤p1≤p0×1，p0×1≤p2≤p0×103，p3＝p0×102＝100p0，故A、C正确；因为10p3＝10×100p0＝p0×103≥p2，故B错误；因为p0×1≤100p2≤p0×105，所以p1≤100p2，故D正确.故选A、C、D. 7.（2024·全国甲卷15题）已知a＞1且－＝－，则a＝　　　　. 答案：64 解析：根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2（a＞1），则t＞0，故3t－＝－，得t＝（t＝－1舍去），所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $