专题02 函数及其性质（7年汇编）（天津专用）2020-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合天津2020-2026年高考真题及模拟题，聚焦函数单调性、图象、指对数运算、比较大小、零点问题五大核心考点，体现命题规律与难度梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选/填空|真题20+模拟20道|函数奇偶性判定、指对数比较大小、零点求参|图象题从解析式识图转向图像反推解析式，零点问题融合分段/绝对值函数，与天津高考命题趋势高度契合|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02函数及其性质 7年真题1年模拟 七年真题分类园 考点01函数单调性和奇偶性的应用 题号 答案 B C 考点02函数图象问题 题号 1 2 3 4 5 答案 C D D A A @ 考点03指对数运算 题号 1 2 答案 C @ 考点04指对数比较大小 题号 2 3 4 5 6 答案 A D D D D D 考点05函数的方程与零点问题 题号 1 2 3 答案 B A D 4.（5,- 112 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.（o,0U(0,10UL,+o) 6.a≥10 年模拟练测园 题号 1 3 5 6 7 8 9 10 答案 D c C D A B B B C B 题号 11 12 13 14 15 答案 A C Y C 16.[-3-可 17.(-0,-2)U(2,+0) 18.（-00,0) }到 20.（-∞，-1U(-1,0) 212 专题02 函数及其性质 7年真题1年模拟 考点分类 天津考情（2020-2026） 命题规律 考点01函数单调性和奇偶性的应用 2024天津：函数奇偶性定义判断 2024天津：结合指数、立方函数判断充要条件 该考点仅2024年单独出两道单选题，整体考查频次偏低，多融合在图像、零点综合题中。命题侧重基础概念，严格依据定义域、与关系判断奇偶，搭配充分必要条件简单推导，题型基础无复杂综合。难度低，属于概念送分小题，复习重点夯实奇偶判定步骤、区分充要关系逻辑，单题分值稳定5分。 考点02函数图象问题 2026天津：根据图像特征反向匹配函数解析式 2025天津：结合偶函数图像筛选解析式 2023天津：依据图像对称性选择函数 2022天津：已知解析式识别大致图像 2020天津：已知解析式识别大致图像 该考点为连续多年必考单选，解题固定使用奇偶性+特殊正负值排除法。命题存在明显变化，早年只给解析式识图，近年改为看图反推解析式，融合分式、幂、指数复合函数，综合性小幅提升。侧重直观想象素养，难度中等，是必拿分基础题型，复习重点熟练排除筛选思路。 考点03指对数运算 2022天津：指对数混合化简求值 2021天津：对数等式计算求值 仅2021、2022年单独命题，整体考查频次少，大多作为比大小、零点题运算工具嵌入题干。题型全部为基础公式套用，无多层复杂变形，全卷难度低，计算无陷阱，一般放置选择题前几道。复习只需熟记指数、对数互化、换底基础公式，侧重计算熟练度即可。 考点04指对数比较大小 2026天津：结合复合函数单调性比较指对数值 2024天津：指对数比较大小 2023天津：指对数比较大小 2022天津：指对数比较大小 2021天津：指对数比较大小 2020天津：指对数比较大小 本模块每年必考单选题，固定以0、1作为中间值分层，结合指对数单调性解题。命题逐年升级，早年数值简单易区分，今年混合多层复合指数、对数，常与函数单调性融合设问，区分度逐步提高。属于高频稳定基础得分点，复习重点训练分层对比、分段判断数值范围的方法。 考点05函数的方程与零点问题 2025天津：零点存在定理判断零点区间 2024天津：绝对值函数仅有一个零点求参数范围 2023天津：绝对值函数仅有一个零点求参数范围 2022天津：含min新定义函数零点个数求参 2021天津：分段复合函数6个零点求参数范围 2020天津：分段绝对值函数4个零点求参数范围 本模块全卷难度最高，单选、填空压轴均会出现。基础题型仅考查零点区间判定，压轴融合分段、绝对值、新定义函数，依靠数形结合、分类讨论求参数范围。命题变化清晰，从简单区间判断转向限定零点个数求解参数，综合性极强，是拉开分数的核心难点，复习重点强化图像交点转化思路。 考点01 函数单调性和奇偶性的应用 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点02 函数图象问题 1．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 4．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 考点03 指对数运算 1．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 2．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 考点04 指对数比较大小 1．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 5．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点05 函数的方程与零点问题 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 5．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 6．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 1．（2026·天津西青·三模）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津西青·三模）已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·天津·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·天津宝坻·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·天津滨海新区·三模）已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026·天津和平·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D． 10．（2026·天津·模拟预测）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 11．（2026·天津东丽·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2026·天津·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 16．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 17．（2026·天津河东·三模）若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是____________． 18．（2026·天津·模拟预测）设，函数，若恰有两个不同零点，则的取值范围为__________． 19．（2026·天津和平·三模）若，，使得关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为__________． 20．（2026·天津南开·二模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是_____． 试卷第1页，共3页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数及其性质 7年真题1年模拟 考点分类 天津考情（2020-2026） 命题规律 考点01函数单调性和奇偶性的应用 2024天津：函数奇偶性定义判断 2024天津：结合指数、立方函数判断充要条件 该考点仅2024年单独出两道单选题，整体考查频次偏低，多融合在图像、零点综合题中。命题侧重基础概念，严格依据定义域、与关系判断奇偶，搭配充分必要条件简单推导，题型基础无复杂综合。难度低，属于概念送分小题，复习重点夯实奇偶判定步骤、区分充要关系逻辑，单题分值稳定5分。 考点02函数图象问题 2026天津：根据图像特征反向匹配函数解析式 2025天津：结合偶函数图像筛选解析式 2023天津：依据图像对称性选择函数 2022天津：已知解析式识别大致图像 2020天津：已知解析式识别大致图像 该考点为连续多年必考单选，解题固定使用奇偶性+特殊正负值排除法。命题存在明显变化，早年只给解析式识图，近年改为看图反推解析式，融合分式、幂、指数复合函数，综合性小幅提升。侧重直观想象素养，难度中等，是必拿分基础题型，复习重点熟练排除筛选思路。 考点03指对数运算 2022天津：指对数混合化简求值 2021天津：对数等式计算求值 仅2021、2022年单独命题，整体考查频次少，大多作为比大小、零点题运算工具嵌入题干。题型全部为基础公式套用，无多层复杂变形，全卷难度低，计算无陷阱，一般放置选择题前几道。复习只需熟记指数、对数互化、换底基础公式，侧重计算熟练度即可。 考点04指对数比较大小 2026天津：结合复合函数单调性比较指对数值 2024天津：指对数比较大小 2023天津：指对数比较大小 2022天津：指对数比较大小 2021天津：指对数比较大小 2020天津：指对数比较大小 本模块每年必考单选题，固定以0、1作为中间值分层，结合指对数单调性解题。命题逐年升级，早年数值简单易区分，今年混合多层复合指数、对数，常与函数单调性融合设问，区分度逐步提高。属于高频稳定基础得分点，复习重点训练分层对比、分段判断数值范围的方法。 考点05函数的方程与零点问题 2025天津：零点存在定理判断零点区间 2024天津：绝对值函数仅有一个零点求参数范围 2023天津：绝对值函数仅有一个零点求参数范围 2022天津：含min新定义函数零点个数求参 2021天津：分段复合函数6个零点求参数范围 2020天津：分段绝对值函数4个零点求参数范围 本模块全卷难度最高，单选、填空压轴均会出现。基础题型仅考查零点区间判定，压轴融合分段、绝对值、新定义函数，依靠数形结合、分类讨论求参数范围。命题变化清晰，从简单区间判断转向限定零点个数求解参数，综合性极强，是拉开分数的核心难点，复习重点强化图像交点转化思路。 考点01 函数单调性和奇偶性的应用 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 考点02 函数图象问题 1．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 2．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 4．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 5．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 考点03 指对数运算 1．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】原式 ， 故选：C 2．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】，， . 故选：C. 考点04 指对数比较大小 1．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 4．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故. 故选：D. 5．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 6．（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 考点05 函数的方程与零点问题 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最多有2个根，所以至少有4个根， 由可得， 由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 3．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点， 只需方程恰有3个实根即可， 令，即与的图象有个不同交点. 而， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 4．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 5．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出． 6．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 1．（2026·天津西青·三模）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 所以的大小关系为. 2．（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， ，， 所以，故. 3．（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 4．（2026·天津西青·三模）已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,因此 是奇函数，图像关于原点对称， 排除选项 C（偶函数图像，关于 轴对称）； 当 时，分子 ，分母 ， 因此 ，选项 B 中 时函数值为负，矛盾，排除 B； 取 ，计算 的值接近 8，说明 附近函数值仍接近 8， 选项 A 中 的函数值和8相差比较大，排除 A； 因此，只有选项 D 符合所有特征. 5．（2026·天津·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误. 当时，，所以BC选项错误. 综上所述，A选项正确. 6．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于，满足，函数是R上的增函数， 又，， 因此 ，即， 对于，满足 ，因为，，故， 对于，满足 ，函数 是上的增函数， 又 ， ， 因此 ，即， 综上，大小关系为. 7．（2026·天津宝坻·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，无意义，所以推不出， 当时，，所以， 即能推出， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 8．（2026·天津滨海新区·三模）已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件. 9．（2026·天津和平·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，所以，所以. 10．（2026·天津·模拟预测）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故， ， ，即， ． 11．（2026·天津东丽·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，此时、无意义，故充分性不成立； 若，由函数在定义域内单调递增，故，即必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 12．（2026·天津·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则； 当时，不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 13．（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 14．（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 则， 所以. 15．（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 16．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【答案】 【详解】由可得， 即， 对于是关于的一次函数，因为，，所以， 对于，恒成立，等价于恒成立， 即， 对于，当时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知，则此时函数在上单调递减， 所以时，得，解得，即取值范围为； 对于，可知时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知对称轴，则此时函数在上单调递增， 所以时，得，解得，即取值范围为； 综上所述，取值范围为. 17．（2026·天津河东·三模）若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】当时，，所以． 当时，，所以． 下面分情况讨论． ①当时: 在区间上，，其对称轴为． 因为，所以在上单调递增． 又，且当时，，所以这一段恰有一个零点． 在区间上，，其对称轴为． 因为，且，，，所以这一段恰有两个零点． 故当时，函数恰有三个零点． ②当时： 在上，，只有一个零点；在上，恰有一个零点． 故此时共有两个零点，不合题意． ③当时： 在区间上，，又该二次函数开口向下，所以这一段没有零点；在区间上，， 且在上单调递增，所以这一段恰有一个零点． 故此时共有一个零点，不合题意． ④当时： ，只有一个零点，不合题意． ⑤当时： 在区间上，． 因为其对称轴满足，所以在上单调递增． 又当时，，且，所以这一段恰有一个零点． 在区间上，的判别式为，所以这一段没有零点． 故此时共有一个零点，不合题意． ⑥当时： 在上恰有一个零点；在上，，恰有一个零点． 故此时共有两个零点，不合题意． ⑦当时： 在区间上，在上单调递增， 且当时，，，所以这一段恰有一个零点． 在区间上，，其对称轴为，且． 又，，且当时，，所以这一段恰有两个零点． 故当时，函数恰有三个零点． 综上，实数的取值范围为． 18．（2026·天津·模拟预测）设，函数，若恰有两个不同零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】令，得， 所以或 情况1： 化简得：（，时此方程无解）； 情况2： 化简得：，两边乘得二次方程：， 判别式，恒有两个不同实根， 由韦达定理，两根之积，故两根一正一负， 有效零点需满足，我们分别分析、、三种情况： (1) ， 情况1的根 ，不满足，无效； 情况2的负根，无效；正根，显然， 故，有效，结论：仅 1 个有效零点，不符合题意； (2) 情况 1 无解； 情况 2 方程变为，正根（负根舍去），仅 1 个有效零点，不符合题意； (3) 情况 1 的解，满足，有效； 情况 2 的正根，必然满足，有效；负根，可证：， 右边，平方得，恒成立，故负根，无效； 验证两个有效零点是否重合：假设，化简得，无解，故两个零点不同， 结论：恰有 2 个不同有效零点，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 19．（2026·天津和平·三模）若，，使得关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】令，且， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 即， 函数在区间上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，如下图所示： 因为， 当时，，即， 要使得直线与函数的图象有个交点， 则，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递减，， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，所以， 此时； 当时，，则，， 要使得直线与函数的图象有个交点，则，解得； 当时，，要使得直线与函数的图象有个交点， 则，可得， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，则， 令，其中，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以，且，此时， 此时. 综上所述，实数的取值范围是. 20．（2026·天津南开·二模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】①当时，，则由，可得， 解得且，矛盾，舍去； ②当时，，解得，只有一解，舍去； ③当时，由，可得， 两边取平方，，整理得 当时，，解得，只有一解，舍去； 当，判别式 所以上述方程始终有两个不相等的根，即函数有两个零点，符合题意. 综上，可得 试卷第1页，共3页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $