13.函数的图象与性质-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 2021-2025年高考数学函数图象与性质真题汇编，涵盖单调性、奇偶性、周期性等核心考点，适配高考复习，突出真题导向与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择（含多选）|15道|单调性（2023新高考Ⅰ卷4题）、奇偶性（2024新高考Ⅱ卷6题）、周期性（2025全国Ⅰ卷7题）|结合复合函数、抽象函数考查逻辑推理，贴合高考命题趋势| |填空|3道|极值点（2025全国Ⅱ卷13题）、函数构造（2021新高考Ⅱ卷14题）|注重数学思维与创新应用，体现核心素养|

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 13.函数的图象与性质 1.（2023·新高考I卷4题)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减，则实数a的取值 范围是() A.(-∞，-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解析：D设t=x(x-a),易知函数y=2'是增函数.因为f(x)=2x(x-a)在(0,1)上单调递减， 所以由复合函数的单调性可知函数t=x(x一a)在(0,1)上单调递减.因为函数t=x(x一a)在 (-∞，)上单调递减，所以是≥1，即a≥2.故选D. 点，故D不正确.综上，故选A、B、C (-x2-2ax-ax<0, 2.(2024·新高考I卷6题）已知函数f(x)={e+n(x+)x≥0在R上单调递增，则a的取 值范围是() A.(-∞，0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 解析：B因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=e+ln(x十1)单调递增，则需满足 -20, -a≤e2+lnl,解得-1≤a≤0，即a的取值范围是[-1,0l.故选B. 3.(2022·全国甲卷5题)函数y=(3x-3x)cosx在区间[-受晋]的图象大致为(） B D 解析：A法-（特值法）取x=1,则y=(3-青)os1=号cos1>0;取x=-1,则y=(专-3) cos(-1)=-号cos1<0.结合选项知选A. 法二令y=f(x)，则f(一x)=(3-x-3x)·cos(-x)=-(3x-3x)cosx=一f(x),所以 函数y= 1/7 学科网书城雪 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3x-3x)·cosx是奇函数，排除B、D;取x=1,则y=(3-专)cos1=号cos1>0,排除C.故选 A. 4.（2024全国甲卷7题)函数f(x)=一x2+(ex-e-x)sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为() 解析：B由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称，f(一x)=一（一x)2+(ex一ex)sim (一x)=一x2+(er一e)sinx=f(x),所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除 A、C;f(1)=-1+(e-)sim1>-1+(e-是)sin=-1+号-京>0，排除D.故选B. 5.(2023·全国甲卷1题)已知函数f(x)=e1记a=f(号)，b=可（夏），c= 9),则() A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析：A函数f(x)=ex1是由函数y=e“和u=一(x一I)2复合而成的复合函数，y=e“为R 上的增函数，u=一(x一1)2在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，所以由复合函 数的单调性可知，f(x)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上单调递减.易知∫(x)的图象 关于直线=1对称，所以c=f()=f(2-)，又号<2-<号<1，所以f(号)<(2 -5)<f写)，所以b>c>a,故选A 6.(2023·新高考Ⅱ卷4题)若f(x)=(x+a)lh为偶函数，则a=() A.-1 B.0 c D.1 解析：B法一要使函数∫(x)有意义，必须满足斜>0，解得x<一或x>,因为函数f(x) 是偶函数，所以对任意x∈(-∞，一专)U(,十∞)，都有f(-x)=f(x),即(-x十a)·ln 2/7 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 器=(x+a)ln签，则(x-a)n=(x十a)lh斜对任意xe(-∞，-)U(克，+o) 恒成立，所以a=0.故选B. 法二因为f(x)=(x+a)ln为偶函数，f(-1)=(a-1)ln3,f(1)=(a十1)m青= (a+1)ln3,所以(a-1)ln3=-(a十1)ln3,解得a=0,故选B. 7.(2025·全国I卷5题)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤≤3时，f(x)=5一2x, 则f(-圣)=() A.- B.- C. D 解析：A法一（通解）当x∈[-1,0]时，一x+2∈[2,3]，所以当x∈[-1,0]时，f(x)=f (-x)=∫(-x+2)=5-2(-x十2)=1+2x,所以f(-)=1-号=-.故选A 法二（优解）f(-)=∫（星）=∫（星+2）=5-2×(+2)=- 8.(2021·新高考Ⅱ卷8题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x十2)为偶函数，f(2x+1)为奇函 数，则() A.(-)=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 解析：B法一（通解）.f(x+2)是偶函数，则f(一x十2)=f(x十2).又，f(2x十1)是奇函 数，则 f(-2x+1)=-f(2x+1).f(1)=-f(1)可得f(1)=0.f(-1)=-f(3)=-f(1)= 0.故选B. 法二（优解） 可构造f(x)=cos[受(x-2]符合题意，故选B. 9.(2025·全国I卷8题)已知2十log2x=3十log3y=5十logs2,则x,y,z的大小关系不可能为() A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 解析：B法-令2+log2=3+1ogy=5+1og2=0,得x=￥，y=克，2=主，此时x>y>:令2 +log2x=3+log3y=5+logz=5,得x=8,y=9,z=1,此时y>x>z;令2+log2x=3+1og3y=5+1ogs2 =8,得x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时y>z>x.故选B. 3/7 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 法二设2+log2x=3+log3y=5+logs2=t,则x=21-2=f(t),y=31-3=g(t)，z=5-5=h(t), 在同一平面直角坐标系中画出函数f(t),g(t),h(t)的图象，由图可知x,y,z的关系不可能 为x>z>y,故选B. u=g(t) =f) u=h(t) 10.(2024·新高考I卷8题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x一1)+f(x-2),且当 x<3时f(x)=x,则下列结论中一定正确的是() A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000D.f(20)<10000 解析：B因为当x<3时f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2,又因为f(x)>f(x-1)+f(x一2)， 则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)> f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+ f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f (10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14) +f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000,则依次下去可知f(20)>1000,故选 B.且无证据表明A、C、D一定正确. 11.(2024·新高考IⅡ卷8题)设函数f(x)=(x+a)·1n(x+b).若f(x)≥0，则a2+b2的最 小值为() A.吉 B. c. D.1 解析：C法一由题意可知：f(x)的定义域为（一b,+∞），令x十a=0解得x=一a;令ln(x 十b)=0解得x=1一b,则当x∈（一b,1一b)时，1n(x+b)<0,故x+a≤0，所以1一b+a≤0： 当x∈(1-b, +∞)时，1n(x+b)>0,故x+a≥0，所以1-b+a≥0，故1-b+a=0,则a2+b2=a2+(a十1) 2=2(a十号)2+≥，当且仅当a=-,b=吉时，等号成立，所以a2+b2的最小值为克.故选C. 4/7 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 法二令f(x)=0,解得x=一a或x=1一b.易知yⅥ=x十a,y2=ln(x十b)均为增函数.若f(x)≥ 0恒成立，则-a=1-b,即b=1+a.所以a2+b2=a2+(1+a)2=2(a+)2+寺，当a=-克，b =专时，等号成立，所以(a2+b2)mm=号 12.(2019·全国Ⅱ卷12题)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0， 1]时， f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞，m],都有f(x)≥一号，则m的取值范围是() A.(-∞，是] B.(-o,子] C.(-∞，] D.(-∞，号] 解析：B当-1<x≤0时，0<x十1≤1，则f(x)=∫(x+1)=克(x+1)x;当1<x≤2时，0 <x-1≤1，则f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2);当2<x≤3时，0<x-2≤1，则f(x)= 2f(x-1)=22f(x-2)=22(x-2)(x-3),.由此可得f(x)= 号(x+1)x-1<x≤0. xx-1),0<X≤1， 2K-0区-2,1<x≤2，由此作出函数f(x)的图象，如图所示.由图可知当2<x≤3时，令2 2(x-2)x-3)2<x≤3， (x一2)(x一3)=一号，整理，得(3x-7)(3x一8)=0，解得x=号或x=号，将这两个值标注在 图中.要使对任意x∈（一∞，m]都有f(x)≥一号，必有m≤，即实数m的取值范围是 (-∞，子].故选B. 758 23233 13.(2022·全国乞卷12题)己知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)十g(2-x)=5, g)16一4书=若-86的的图象关于直线2对称，g2:=则总)=（) A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 5/7 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：D由y=g(x)的图象关于直线x=2对称，可得g(2十x)=g(2一x).在f(x)+g(2一x) =5中，用一x替换x,可得f(一x)十g(2十x)=5,可得∫（一x)=f(x)①，y=∫(x)为偶函 数.在g(x)一f(x-4)=7中，用2-x替换x,得g（2-x)=f(一x一2)十7，代入f(x)+g(2-x) =5中，得 f(x)+f(一x一2)=一2②，所以y=f(x)的图象关于点（一1，一1）中心对称，所以f(1)= f(-1)=-1.由①②可得f(x)+f(x+2)=-2,所以f(x+2)+f(x+4)=-2,所以f(x+ 4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.由f(x)+g(2一x)=5可得f(0)+g(2) =5,又g(2)=4,所以可得f(0)=1,又f(x)+f(x+2)=-2,所以f(0)+f(2)=-2, 得f(2)=-3,又f(3)= -D=,401,86①十62》十5十56 (-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.故选D. 14.(2022新高考Ⅱ卷8题)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)+f(x一y)=f(x)f(y), 22 f1)=1,则(k)=（) A.-3 B.-2 C.0 D.1 解析：A因为f(1)=1,所以在f(x+y)+f(x一y)=f(x)f(y)中，令y=1,得f(x+1)+ f(x-1)=f(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x)①，所以f(x十2)+f(x)=f(x +1)②.由①②相加，得f(x十2)+f(x一1)=0，故f(x+3)+f(x)=0,所以f(x+3)= f(x),所以f(x十6)=一f(x十3)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x十y)+f(x一y) =f(x)f(y)中，令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令x=1,y=1, 得f(2)+f(0)=f(1)f(1)，所以f(2)=-1.由f(x+3)=-f(x)，得f(3)=-f(0) =一2，f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=-f(3)=2,所以f(1)+f(2) +..+f(6)=1一1一2-1十1十2=0，根据函数的周期性知， 墓r)可)+打2y+r8+ f(4)=1-1-2-1=-3,故选A. 15.(多选)(2023·新高考I卷11题)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y), 则() A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 6/7 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：ABC取x=y=0,则f(0)=0,故A正确；取x=y=1,则f(1)=∫(1)+f(1),所以 f(1)=0,故B正确；取x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0,取y=一 1,则f(一x)= f(x)十xf(-1),又f(-1)=0,所以f(-x)=f(x),所以函数∫(x)为偶函数，故C正确； 由于 f(0)=0,且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x=0可能为函数f (x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值 16.(2025·全国IⅡ卷13题)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x一2)(x-a)的极值点，则f(0) 答案：一4 解析：P(x)=(x-2)[(x-1)(x-a)]+(x-2)[(x-1)(x-a)J=（x-1)(x-a)十 (x-2)[(x-1)(x-a)]',因为x=2是函数f(x)的极值点，所以(2)=0，即(2-1)(2-a) =0,则a=2,经检验，满足题意，所以f(x)=(x一1)(x一2)2，所以f(0)=一4. 17.(2021·新高考Ⅱ卷14题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x): ①f(x2)=f()f(）;②当x∈(0，+∞)时，f(x)>0:③f(x)是奇函数. 解析：本题属于开放性问题，答案不唯一 例如取f(x)=x2,x4,x6,,都可以，还可以取f(x)=x,x得，x,,… 答案：f(x)=x2(x∈R)(答案不唯一) 18.(2021新高考I卷13题)已知函数f(x)=x3(a2x-2x)是偶函数，则a= 解析：法一（通解)因为f(x)=x(a2x-2)的定义域为R,且是偶函数，所以f(-x)=f (x)对任意的x∈R恒成立，所以（一x)3（a2x一2x)=x3(a2x一2x)对任意的x∈R恒成立， 所以x3（a一1)（2x十2x)=0对任意的x∈R恒成立，所以a=1. 法二（优解)因为f()=x3（a2x-2x)的定义域为R,且是偶函数，所以f(一1)=f(1), 所以-（是-2)=2a-克，解得a=1,经检验，f(x)=3(2-2x)为偶函数，所以a=1. 答案：1 7/7