7.三角函数的图象与性质-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

7.三角函数的图象与性质

1.（2020·全国Ⅱ卷2题）若α为第四象限角，则（　　）

A.cos 2α＞0 B.cos 2α＜0

C.sin 2α＞0 D.sin 2α＜0

解析：D　法一　由题意，知－＋2kπ＜α＜2kπ（k∈Z），所以－π＋4kπ＜2α＜4kπ（k∈Z），所以

cos 2α≤0或cos 2α＞0，sin 2α＜0，故选D.

法二　当α＝－时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A、B、C，故选D.

2.（2021·新高考Ⅰ卷4题）下列区间中，函数f（x）＝7 sin的单调递增区间是（　　）

A.　 B.

C.　 D.

解析：选A　法一（通解）　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为⫋，所以区间是函数f（x）的单调递增区间.故选A.

法二（优解）　因为＜＜＜π，但f＝7sin ＝7，f＝7sin＜7，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除B；因为π＜＜＜，但f＝7sin π＝0，f＝7sin＝－＜0，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除C；因为＜＜＜2π，但f＝7sin＝－7sin＞－7，f＝7sin＝－7，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除D.故选A.

3.（2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　）

A. B.

C. D.

解析：B　令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan（x－）的图象的对称中心为（＋，0），k∈Z，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为.故选B.

4.（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　　）

A.3 B.4

C.6 D.8

解析：C　因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.

5.（2017·全国Ⅰ卷9题）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是（　　）

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

解析：D　易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.

6.（2023·全国乙卷6题）（　　）

A.－ B.－

C. D.

解析：D　由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D.

7.（2022·新高考Ⅰ卷6题）记函数f（x）＝sin＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点中心对称，则f＝（　　）

A.1 B.

C. D.3

解析：A　因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f（x）＝sin＋2，所以f＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A.

8.（多选）（2024·新高考Ⅱ卷9题）对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（2x－），下列说法中正确的有（　　）

A.f（x）与g（x）有相同的零点

B.f（x）与g（x）有相同的最大值

C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期

D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴

解析：BC　A选项，令f（x）＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f（x）零点，令g（x）＝sin（2x－）＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A选项错误；B选项，显然

f（x）max＝g（x）max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f（x），g（x）的周期均为＝π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋⇔ x＝＋，k∈Z，g（x）的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔ x＝＋，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的对称轴不同，D选项错误.故选B、C.