7.三角函数的图象与性质-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 汇编2017-2025年全国及新高考卷三角函数图象与性质真题13道，覆盖象限角、单调性、对称中心等核心考点，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|7|象限角判断（2020全国Ⅱ卷）、单调区间（2021新高考Ⅰ卷）|真题溯源，多解法呈现（代数推理与特殊值验证）| |多选|2|函数性质比较（2024新高考Ⅱ卷）、对称与极值（2022新高考Ⅱ卷）|综合考查奇偶性、周期等概念辨析| |填空|4|零点个数（2023新高考Ⅰ卷）、周期计算（2023新高考Ⅱ卷）|结合图象分析，强调数形结合思想| |解答|1|三角恒等变换（2025全国Ⅱ卷）|融合诱导公式与值域求解，注重逻辑推理|

7.三角函数的图象与性质 1.（2020·全国Ⅱ卷2题）若α为第四象限角，则（　　） A.cos 2α＞0 B.cos 2α＜0 C.sin 2α＞0 D.sin 2α＜0 解析：D　法一　由题意，知－＋2kπ＜α＜2kπ（k∈Z），所以－π＋4kπ＜2α＜4kπ（k∈Z），所以 cos 2α≤0或cos 2α＞0，sin 2α＜0，故选D. 法二　当α＝－时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A、B、C，故选D. 2.（2021·新高考Ⅰ卷4题）下列区间中，函数f（x）＝7 sin的单调递增区间是（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：选A　法一（通解）　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为⫋，所以区间是函数f（x）的单调递增区间.故选A. 法二（优解）　因为＜＜＜π，但f＝7sin ＝7，f＝7sin＜7，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除B；因为π＜＜＜，但f＝7sin π＝0，f＝7sin＝－＜0，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除C；因为＜＜＜2π，但f＝7sin＝－7sin＞－7，f＝7sin＝－7，所以区间不是函数f（x）的单调递增区间，排除D.故选A. 3.（2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan（x－）的图象的对称中心为（＋，0），k∈Z，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为.故选B. 4.（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　　） A.3 B.4 C.6 D.8 解析：C　因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C. 5.（2017·全国Ⅰ卷9题）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是（　　） A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 解析：D　易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2. 6.（2023·全国乙卷6题）（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：D　由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D. 7.（2022·新高考Ⅰ卷6题）记函数f（x）＝sin＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点中心对称，则f＝（　　） A.1 B. C. D.3 解析：A　因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f（x）＝sin＋2，所以f＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A. 8.（多选）（2024·新高考Ⅱ卷9题）对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（2x－），下列说法中正确的有（　　） A.f（x）与g（x）有相同的零点 B.f（x）与g（x）有相同的最大值 C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴 解析：BC　A选项，令f（x）＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f（x）零点，令g（x）＝sin（2x－）＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A选项错误；B选项，显然 f（x）max＝g（x）max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f（x），g（x）的周期均为＝π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋⇔ x＝＋，k∈Z，g（x）的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔ x＝＋，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的对称轴不同，D选项错误.故选B、C. 9.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷9题）已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于点中心对称，则（　　） A.f（x）在区间单调递减 B.f（x）在区间有两个极值点 C.直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴 D.直线y＝－x是曲线y＝f（x）的切线 解析：AD　由题意，得f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z.又0＜φ＜π，所以φ＝.故f（x）＝sin.选项A，当x∈时，u＝2x＋∈.由y＝sin u的图象，知y＝f（x）在区间上单调递减，故正确.选项B，当x∈时，u＝2x＋∈.由y＝sin u的图象，知y＝f（x）在区间内只有1个极值点，故错误.选项C，当x＝时，2x＋＝3π，则f＝0，所以直线x＝不是曲线y＝f（x）的对称轴，故错误.选项D，令f'（x）＝2cos＝－1，得cos（2x＋）＝－，则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z.所以函数y＝f（x）的图象在点处的切线斜率为f'（0）＝2cos ＝－1，切线方程为y－＝－（x－0），即y＝－x，故正确.故选A、D. 10.（2021·全国甲卷15题）已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f＝　　　　. 答案：－ 解析：由题图可知T＝－＝（T为f（x）的最小正周期），即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f（x）＝2cos（2x＋φ）.点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，即f（x）＝2cos，所以f＝2cos＝－. 11.（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝cos ωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　. 答案：[2，3） 解析：法一　由f（x）＝cos ωx－1＝0，得cos ωx＝1.设g（x）＝cos ωx，x∈[0，2π].令t＝ωx，x∈[0，2π]，设g（t）＝cos t，t∈[0，2πω].因为方程g（x）＝1在[0，2π]上有且仅有3个根，所以4π≤2πω＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）. 法二　函数f（x）＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）. 12.（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝　　　　. 答案：－ 解析：由题图设点A（x1，），B（x2，），则｜AB｜＝x2－x1＝.由题图可知其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（，0），所以4×＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以f（x）＝sin（4x＋2kπ－）＝sin（4x－＋2kπ）＝sin（4x－），k∈Z.故f（π）＝sin（4π－）＝sin＝－. 13.（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0≤φ＜π），f（0）＝. （1）求φ； （2）设函数g（x）＝f（x）＋f（x－），求g（x）的值域和单调区间. 解：（1）因为f（0）＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝. （2）g（x）＝f（x）＋f（x－） ＝cos（2x＋）＋cos 2x ＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x ＝（cos 2x－sin 2x） ＝cos（2x＋）. 因为余弦函数y＝cos θ的值域是[－1，1]，令θ＝2x＋，那么函数y＝cos θ的值域就是[－，]，所以g（x）的值域为[－，]. 易知余弦函数y＝cos θ在[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上单调递增，令2kπ－π≤2x＋≤2kπ（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ－（k∈Z），所以g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ－］（k∈Z）. 易知余弦函数y＝cos θ在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上单调递减，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），所以g（x）的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $