12.数列求和-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

12.数列求和

1.（2021·新高考Ⅰ卷16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　　　　；如果对折n次，那么Sk＝　　　　dm2.

答案：5　240

解析：依题意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180；当n＝3时，共可以得到5 dm×6 dm， dm×12 dm，10 dm×3 dm，20 dm× dm四种规格的图形，且5×6＝30，×12＝30，10×3＝30，20×＝30，所以S3＝30×4＝120；当n＝4时，共可以得到5 dm×3 dm， dm×6 dm， dm×12 dm，10 dm× dm，20 dm×

dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，×6＝15，×12＝15，10×＝15，20×＝15，所以S4＝15×5＝75；……所以可归纳Sk＝×（k＋1）＝.所以Sk＝240（1＋＋＋…＋＋）①，所以×Sk＝240（＋＋＋…＋＋）②，由①－②得，×Sk＝240（ 1＋＋＋＋…＋－）＝4.240（ 1＋－）＝240，所以Sk＝240（3－）dm2.

2.（2024·全国甲卷18题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝（－1）n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：（1）因为4Sn＝3an＋4， ①

所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4， ②

则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1.

当n＝1时，由4Sn＝3an＋4得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，

所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，

所以an＝4×（－3）n－1.

（2）法一（错位相减法）　因为bn＝（－1）n－1nan＝（－1）n－1n×4×（－3）n－1＝4n·3n－1，

所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n－1，

所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，

两式相减得－2Tn＝4＋4（31＋32＋…＋3n－1）－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝－2＋（2－4n）·3n，

所以Tn＝1＋（2n－1）·3n.

法二（裂项相消法）　bn＝（－1）n－1nan＝（－1）n－1n×4×（－3）n－1＝4n·3n－1，

令bn＝（kn＋b）·3n－[k（n－1）＋b]·3n－1，

则bn＝（kn＋b）·3n－[k（n－1）＋b]·3n－1＝3n－1[3kn＋3b－k（n－1）－b]＝（2kn＋2b＋k）·3n－1，

所以解得

即bn＝（2n－1）·3n－[2（n－1）－1]·3n－1＝（2n－1）·3n－（2n－3）·3n－1，

所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1×31－（－1）×30＋3×32－1×31＋5×33－3×32＋…＋（2n－1）·3n－（2n－3）·3n－1＝

3.（2025·全国Ⅰ卷16题）已知数列{an}中，a1＝3，＝＋.

（1）证明：数列{nan}是等差数列；

（2）给定正整数m，设函数f（x）＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f'（－2）.

解：（1）证明：＝＋两边同时乘n（n＋1），得（n＋1）an＋1＝nan＋1，

又1×a1＝3，所以{nan}是首项为3，公差为1的等差数列.

（2）（错位相减法）由（1）可知数列{nan}的通项公式为nan＝3＋（n－1）×1＝n＋2，

又f'（x）＝a1＋2a2x＋…＋mamxm－1，

故f'（－2）＝3＋4×（－2）＋…＋（m＋2）×（－2）m－1，

所以－2f'（－2）＝3×（－2）＋4×（－2）2＋…＋（m＋2）×（－2）m.

两式相减，得3f'（－2）＝3＋（－2）＋（－2）2＋…＋（－2）m－1－（m＋2）×（－2）m＝－（m＋）×（－2）m，

所以f'（－2）＝－（＋）×（－2）m.

4.（2021·新高考Ⅰ卷17题）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝

（1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；

（2）求{an}的前20项和.