11.等比数列-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 精选2022-2025年高考真题，聚焦等比数列核心考点，覆盖选择、填空、解答题型，适配高考复习需求 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|2|前n项和公式、通项公式应用|结合2022乙卷、2023新高考Ⅱ卷真题，设置多解法（基本量法与性质法）| |多选|1|公比计算、前n项和与通项关系|2025全国Ⅱ卷题，考查性质应用与代数推理| |填空|3|公比求解、等比中项性质|2023甲卷、乙卷及2025全国Ⅰ卷题，注重性质法简化运算| |解答|1|等差与等比综合应用|2022新高考Ⅱ卷题，融合方程思想与集合运算，体现跨知识综合|

11.等比数列 1.（2022·全国乙卷8题）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝（　　） A.14 B.12 C.6 D.3 解析：D　法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得即解得所以a6＝a1q5＝3，故选D. 法二　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得即解得所以a6＝a1q5＝3，故选D. 2.（2023·新高考Ⅱ卷8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A.120 B.85 C.－85 D.－120 解析：C　法一　设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则Sn＝na1，不满足S6＝21S2，∴q≠1.由S6＝21S2，得＝21a1（1＋q）.整理，得1－q6＝21（1－q2），即（1－q2）（q4＋q2－20）＝0.显然q≠±1，∴q4＋q2－20＝0，解得q2＝－5（舍去）或q2＝4.∴S8＝＝＝（1＋q4）S4＝（1＋42）×（－5）＝－85.故选C. 法二　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，∴（S4－S2）2＝S2·（S6－S4），解得S2＝ －1或S2＝.当S2＝－1时，由（S6－S4）2＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去.∴S8＝－85，故选C. 3.〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷9题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则（　　） A.q＝ B.a5＝ C.S5＝8 D.an＋Sn＝8 解析：AD　A.根据S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝＋＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即（2q－1）（3q＋1）＝0，因为q＞0，所以q＝，故A正确；B.a5＝a3q2＝1×（）2＝，故B错误；C.a1＝＝4，所以S5＝＝＝，故C错误；D.an＝a1qn－1＝4×（）n－1＝＝23－n，Sn＝＝＝8［1－（）n］＝8－＝8－23－n，所以an＋Sn＝8，故D正确. 4..（2023·全国甲卷13题）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为　　　　. 答案：－ 解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠1）.由8S6＝7S3，得8×＝7×.整理，得8q6－7q3－1＝0，解得q＝－. 5.（2025·全国Ⅰ卷13题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于　　　　. 答案：2 解析：法一（基本量法）　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1.由S4＝4得＝4　①，由S8＝68得＝68　②，得＝，即＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q＞0，所以q＝2. 法二（性质法）　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝＝16，又q＞0，所以q＝2. 6.（2023·全国乙卷15题）已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝　　　　. 答案：－2 解析：法一　设数列{an}的首项为a1，公比为q.由a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，得∴即a2＝1，q5＝－2.∴a7＝a2q5＝1×（－2）＝－2. 法二　设数列{an}的公比为q.∵a2a4a5＝a3a6≠0，∴a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，∴a7＝a2q5＝－2. 7.（2022·新高考Ⅱ卷17题）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. （1）证明：a1＝b1； （2）求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数. 解：（1）证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1， 由a2－b2＝b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－（a1＋3d），即a1＝5b1－2d， 将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1. （2）由（1）知an＝a1＋（n－1）d＝a1＋（n－1）×2b1＝（2n－1）a1，bn＝b1·2n－1， 由bk＝am＋a1得b1·2k－1＝（2m－1）a1＋a1， 由a1＝b1≠0得2k－1＝2m， 由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2，3，4，…，10，共9个数，即集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}＝{2，3，4，…，10}中元素的个数为9. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $