8.正、余弦定理-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

8.正、余弦定理

1.（2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝（　　）

A.45° B.60°

C.120° D.135°

解析：A　法一（通解）　cos A＝＝＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°.

法二（优解）　因为BC＜AC，BC＜AB，所以A为最小角，所以A＜60°，排除B、C、D，故选A.

2.（2023·全国乙卷4题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝（　　）

A. B.

C. D.

解析：C　由正弦定理及acos B－bcos A＝c，得sin Acos B－cos Asin B＝sin C，即sin（A－B）＝sin C＝sin（A＋B）.因为A－B＜A＋B，所以A－B＋A＋B＝π，解得A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝.故选C.

3.（2024·全国甲卷11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则

sin A＋sin C＝（　　）

A. B.

C. D.

解析：C　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以（sin A＋sin C）2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A＞0，sin C＞0，所以sin A＋sin C＝.

4.（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.

（1）求B；

（2）若△ABC的面积为3＋，求c.

解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，

对比已知a2＋b2－c2＝ab， 

可得cos C＝＝＝，

因为C∈（0，π），所以C＝，

又sin C＝cos B，所以＝cos B，

即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝.

（2）由（1）可得A＝，

则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝，

从而a＝·c＝c，

又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1），

将a＝c代入，解得c＝2.

5.（2024·新高考Ⅱ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.

（1）求A；

（2）若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.

解：（1）法一（辅助角公式法）　由sin A＋cos A＝2，可得sin A＋cos A＝1，即sin（A＋）＝1，

由于A∈（0，π）⇒A＋∈（，），故A＋＝，解得A＝.

法二（同角三角函数的基本关系法）　由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sin A得4cos2A－4cos A＋3＝0⇔（2cos A－）2＝0，解得cos A＝，

又A∈（0，π），故A＝.

（2）由题设条件和正弦定理，bsin C＝csin 2B⇔ sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B，

又B，C∈（0，π），则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得到B＝，

于是C＝π－A－B＝，sin C＝sin（π－A－B）＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A＝.

法一（基本量法）　由正弦定理可得，＝＝，即＝＝，

解得b＝2，c＝＋，

故△ABC的周长为2＋＋3.

法二（整体思想法）　由正弦定理＝＝，得＝＝＝4，

所以a＋b＋c＝4（sin A＋sin B＋sin C）＝4×（＋＋）＝2＋＋3，

所以△ABC的周长为2＋＋3.

6..（2023·新高考Ⅰ卷17题）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin（A－C）＝sin B.

（1）求sin A；

（2）设AB＝5，求AB边上的高.

解：（1）∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，

∴4C＝π，则C＝.

∵2sin（A－C）＝sin B＝sin（π－A－C）＝sin（A＋C），

∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，

则sin Acos C＝3cos Asin C，∴sin A＝3cos A＞0.

又sin2A＋cos2A＝1，∴sin A＝.

（2）法一　设AB边上的高为h，

由（1）易得cos A＝，则sin B＝sin（A＋C）＝sin（＋A）＝cos A＋sin A＝.

在△ABC中，由正弦定理＝，得AC＝＝＝2.

又S△ABC＝·AC·AB·sin A＝·AB·h，

∴h＝ACsin A＝2×＝6.

即AB边上的高为6.

法二　由（1）得sin A＝3cos A，则A是锐角，cos A＝，

sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

由正弦定理＝，得AC＝＝＝2，故AB边上的高为ACsin A＝2×＝6.