8.正、余弦定理-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 正、余弦定理高考真题汇编，整合2021-2025年全国卷及新高考卷典型题，覆盖定理直接应用、综合变换及多三角形情境问题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|3题（15分）|余弦定理求角、正弦定理与三角恒等变换|提供通解与优解（如第1题余弦定理与最小角判断）| |解答题|6题（约60分）|面积公式、边角互化、中点问题综合|知识交汇（如第4题结合余弦定理与三角恒等变换），贴合高考对定理综合应用的命题趋势|

8.正、余弦定理 1.（2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝（　　） A.45° B.60° C.120° D.135° 解析：A　法一（通解）　cos A＝＝＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°. 法二（优解）　因为BC＜AC，BC＜AB，所以A为最小角，所以A＜60°，排除B、C、D，故选A. 2.（2023·全国乙卷4题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由正弦定理及acos B－bcos A＝c，得sin Acos B－cos Asin B＝sin C，即sin（A－B）＝sin C＝sin（A＋B）.因为A－B＜A＋B，所以A－B＋A＋B＝π，解得A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. 3.（2024·全国甲卷11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则 sin A＋sin C＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以（sin A＋sin C）2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A＞0，sin C＞0，所以sin A＋sin C＝. 4.（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. （1）求B； （2）若△ABC的面积为3＋，求c. 解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝， 又sin C＝cos B，所以＝cos B， 即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝. （2）由（1）可得A＝， 则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝， 从而a＝·c＝c， 又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1）， 将a＝c代入，解得c＝2. 5.（2024·新高考Ⅱ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. （1）求A； （2）若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长. 解：（1）法一（辅助角公式法）　由sin A＋cos A＝2，可得sin A＋cos A＝1，即sin（A＋）＝1， 由于A∈（0，π）⇒A＋∈（，），故A＋＝，解得A＝. 法二（同角三角函数的基本关系法）　由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sin A得4cos2A－4cos A＋3＝0⇔（2cos A－）2＝0，解得cos A＝， 又A∈（0，π），故A＝. （2）由题设条件和正弦定理，bsin C＝csin 2B⇔ sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B， 又B，C∈（0，π），则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得到B＝， 于是C＝π－A－B＝，sin C＝sin（π－A－B）＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A＝. 法一（基本量法）　由正弦定理可得，＝＝，即＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. 法二（整体思想法）　由正弦定理＝＝，得＝＝＝4， 所以a＋b＋c＝4（sin A＋sin B＋sin C）＝4×（＋＋）＝2＋＋3， 所以△ABC的周长为2＋＋3. 6..（2023·新高考Ⅰ卷17题）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin（A－C）＝sin B. （1）求sin A； （2）设AB＝5，求AB边上的高. 解：（1）∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π， ∴4C＝π，则C＝. ∵2sin（A－C）＝sin B＝sin（π－A－C）＝sin（A＋C）， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 则sin Acos C＝3cos Asin C，∴sin A＝3cos A＞0. 又sin2A＋cos2A＝1，∴sin A＝. （2）法一　设AB边上的高为h， 由（1）易得cos A＝，则sin B＝sin（A＋C）＝sin（＋A）＝cos A＋sin A＝. 在△ABC中，由正弦定理＝，得AC＝＝＝2. 又S△ABC＝·AC·AB·sin A＝·AB·h， ∴h＝ACsin A＝2×＝6. 即AB边上的高为6. 法二　由（1）得sin A＝3cos A，则A是锐角，cos A＝， sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得AC＝＝＝2，故AB边上的高为ACsin A＝2×＝6. 7.（2022·新高考Ⅱ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. （1）求△ABC的面积； （2）若sin Asin C＝，求b. 解：（1）由S1－S2＋S3＝，得（a2－b2＋c2）＝，即a2－b2＋c2＝2， 又a2－b2＋c2＝2accos B，所以accos B＝1. 由sin B＝，得cos B＝或cos B＝－（舍去），所以ac＝＝， 则△ABC的面积S＝acsin B＝××＝. （2）由sin Asin C＝，ac＝及正弦定理知＝＝＝， 即b2＝×＝，得b＝. 8.（2021·新高考Ⅰ卷19题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C. （1）证明：BD＝b； （2）若AD＝2DC，求cos∠ABC. 解：（1）证明：因为BDsin∠ABC＝asin C，所以由正弦定理得，BD·b＝ac， 又b2＝ac，所以BD·b＝b2， 又b＞0，所以BD＝b. （2）如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E， 因为AD＝2DC，所以＝＝2，＝， 所以BE＝，DE＝a. 在△BDE中，cos ∠BED＝ ＝＝＝， 在△ABC中，cos ∠ABC＝＝＝. 因为∠BED＝π－∠ABC，所以cos ∠BED＝－cos ∠ABC，所以＝－，化简得3c2＋6a2－11ac＝0，方程两边同时除以a2，得3－11＋6＝0，解得＝或＝3. 当＝，即c＝a时，cos∠ABC＝＝＝； 当＝3，即c＝3a时，cos∠ABC＝＝＝＞1（舍）. 综上，cos∠ABC＝. 9.（2023·新高考Ⅱ卷17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. （1）若∠ADC＝，求tan B； （2）若b2＋c2＝8，求b，c. 解：（1）在△ABC中，因为S△ABC＝，D为BC的中点，所以S△ADC＝S△ABC＝. 又因为∠ADC＝，AD＝1， 所以S△ADC＝×1×DC×sin＝， 解得DC＝2，所以BD＝2. 在△ABD中，由余弦定理，得 AB＝ ＝＝， 所以cos B＝＝＝. 又0＜B＜， 所以sin B＝＝， 所以tan B＝＝. （2）法一　依题意，得＝（＋）， 所以（＋）2＝1，即＋2·＋＝4， 所以c2＋2cbcos∠BAC＋b2＝4. 又b2＋c2＝8，所以bccos∠BAC＝－2. 因为S△ABC＝bcsin∠BAC＝， 所以bcsin∠BAC＝2， 所以tan∠BAC＝－. 因为0＜∠BAC＜π，所以∠BAC＝. 由得b＝c＝2（负值已舍去）. 法二　因为D为BC的中点，所以BD＝DC. 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理的推论，得＝－， 得1＋BD2－c2＝－（1＋BD2－b2）， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2. 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos∠BAC＝＝＝－，所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝bc＝bc＝＝， 解得bc＝4. 则由解得b＝c＝2. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $