6.三角恒等变换-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

6.三角恒等变换

1.（2024·全国甲卷8题）已知＝，则tan（α＋）＝（　　）

A.2＋1 B.2－1

C. D.1－

解析：B　根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan（α＋）＝＝＝2－1，故选B.

2.（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　　）

A.－3m B.－

C. D.3m

解析：A　因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A.

3.（2023·新高考Ⅱ卷7题）已知α为锐角，cos α＝，则sin＝（　　）

A. B.

C. D.

解析：D　∵α为锐角，∴为锐角，∴sin＞0.又cos α＝1－2sin2，∴sin＝＝＝＝＝.故选D.

4.（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π，cos＝，则sin（α－）＝（　　）

A.                        B.

C. D.

解析：D　cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sin α＝，所以sin（α－）＝（sin α－cos α）＝×＝.

5.（2022·新高考Ⅱ卷6题）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cossin β，则（　　）

A.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1

C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1

解析：C　由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×（cos α－sin α）sin β，整理，得sin α·cos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C.

6.（2021·新高考Ⅰ卷6题）若tan θ＝－2，则＝（　　）

A.－ B.－

C. D.

解析：C　法一（通解）　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以或所以＝＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝sin2θ＋sin θcos θ ＝－＝.故选C.

法二（优解）　因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝＝＝＝.故选C.

7.（2023·新高考Ⅰ卷8题）已知sin（α－β）＝，cos αsin β＝，则cos（2α＋2β）＝（　　）

A. B.

C.－ D.－

解析：B　因为sin（α－β）＝，所以sin αcos β－cos αsin β＝.因为cos αsin β＝，所以sin αcos β＝＋＝，所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos（2α＋2β）＝cos 2（α＋β）＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×＝.故选B.

8.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷10题）已知O为坐标原点，点P1（cos α，sin α），P2（cos β，－sin β），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），则（　　）

A.｜｜＝｜｜

B.｜｜＝｜｜

C.·＝·

D.·＝·