6.三角恒等变换-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

**基本信息** 汇编2021-2025年高考数学三角恒等变换真题共10题，涵盖选择（含多选）、填空题型，聚焦核心公式应用与综合变换，适配高考复习对真题训练的需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|7题|两角和差公式（如2024全国甲卷8题）、二倍角公式（如2023新高考Ⅱ卷7题）|注重公式逆向应用与角范围分析（如2024新高考Ⅱ卷13题）| |多选|1题|三角函数定义与数量积（2021新高考Ⅰ卷10题）|结合坐标运算考查公式几何意义| |填空|2题|同角关系（2023全国乙卷14题）、和角正切与正弦（2024新高考Ⅱ卷13题）|多公式串联（如正切和角公式与同角平方关系联用）|

6.三角恒等变换 1.（2024·全国甲卷8题）已知＝，则tan（α＋）＝（　　） A.2＋1 B.2－1 C. D.1－ 解析：B　根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan（α＋）＝＝＝2－1，故选B. 2.（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　　） A.－3m B.－ C. D.3m 解析：A　因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A. 3.（2023·新高考Ⅱ卷7题）已知α为锐角，cos α＝，则sin＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　∵α为锐角，∴为锐角，∴sin＞0.又cos α＝1－2sin2，∴sin＝＝＝＝＝.故选D. 4.（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π，cos＝，则sin（α－）＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sin α＝，所以sin（α－）＝（sin α－cos α）＝×＝. 5.（2022·新高考Ⅱ卷6题）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cossin β，则（　　） A.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1 C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1 解析：C　由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×（cos α－sin α）sin β，整理，得sin α·cos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C. 6.（2021·新高考Ⅰ卷6题）若tan θ＝－2，则＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：C　法一（通解）　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以或所以＝＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝sin2θ＋sin θcos θ ＝－＝.故选C. 法二（优解）　因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝＝＝＝.故选C. 7.（2023·新高考Ⅰ卷8题）已知sin（α－β）＝，cos αsin β＝，则cos（2α＋2β）＝（　　） A. B. C.－ D.－ 解析：B　因为sin（α－β）＝，所以sin αcos β－cos αsin β＝.因为cos αsin β＝，所以sin αcos β＝＋＝，所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos（2α＋2β）＝cos 2（α＋β）＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×＝.故选B. 8.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷10题）已知O为坐标原点，点P1（cos α，sin α），P2（cos β，－sin β），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），则（　　） A.｜｜＝｜｜ B.｜｜＝｜｜ C.·＝· D.·＝· 解析：选AC　由题可知，｜｜＝＝1，｜｜＝＝1，所以｜｜＝｜｜，故A正确； 取α＝，则P1，取β＝，则P2，则｜｜≠｜｜，故B错误； 因为·＝cos（α＋β），·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos（α＋β），所以·＝·，故C正确； 因为·＝cos α，·＝cos βcos（α＋β）－sin βsin（α＋β）＝cos（α＋2β），取α＝，β＝，则·＝，·＝cos ＝－，所以·≠·，故D错误.故选A、C. 9.（2023·全国乙卷14题）若θ∈（0，），tan θ＝，则sin θ－cos θ＝　　　　. 答案：－ 解析：由tan2θ＝＝＝，得cos2θ＝.因为θ∈（0，），所以cos θ＝，则sin θ＝＝，所以sin θ－cos θ＝－. 10.（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝　　　　. 答案：－ 解析：法一　由题意得tan（α＋β）＝＝＝－2，因为α∈（2kπ，2kπ＋），β∈（2mπ＋π，2mπ＋），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则sin（α＋β）＜0，则＝－2，联立sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，解得sin（α＋β）＝－. 法二　由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β为第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2），则r＝｜OP｜＝＝3，所以sin（α＋β）＝－. 法三　易得tan（α＋β）＝＝＝－2.又tan α＋tan β＝＋＝＝4，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cos α＞0，cos β＜0，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β＜0.由tan（α＋β）＝－2，结合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，得sin（α＋β）＝－. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $