专题08综合探究（4大考点期末真题汇编，吉林专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 本试卷聚焦初中数学综合探究专题，涵盖动点问题、几何变换、一次函数与几何综合及实际应用四大高频考点，精选吉林各地期末真题，注重能力梯度与实际情境融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |非选择题|37题|动点问题（四边形/矩形运动）、几何变换（折叠/中点四边形）、一次函数与几何（坐标系/图形面积）、实际应用（漏壶计时/快递费用）|情境贴近生活（如漏壶实验、杨梅寄送），问题分层设计（基础计算到探究证明），突出几何与函数综合（如动点与函数关系式结合）|

专题08 综合探究 4大高频考点概览 考点01 动点问题 考点02 几何变换探究综合 考点03一次函数与几何综合 考点04一次函数实际应用探究 ( 考点01 动点问题 ) 1．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)直接写出边的长为________cm； (2)当四边形是矩形时，求t的值； (3)在点Q运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值； (4)在点P，Q运动过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或3或； (4)的值为4或6． 【分析】（1）过点B作于点H，证明四边形是矩形，求得，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分，，三种情况讨论，分别列方程求解即可； （4）分和两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点H， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，． 故答案为：． （2）解：，，， 当四边形是矩形时，， ， 解得； （3）解：当时， ， ， ， ； 当时，； 当时，，， 在中，， ， 解得； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为3或或； （4）当时，如图， 四边形是平行四边形 此时， 由可列方程 解得； 当时，如图， 过点P作于点G， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， 若，则， ， ， ， 解得； 综上所述，当时，t的值为4或6． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，注意分情况讨论等腰三角形的三种情形是解题的关键． 2．(24-25八下·吉林吉林第五中学·期末)如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度沿折线向终点C运动，点Q的速度沿向终点D运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t（s）． (1)当t=______s时，四边形的面积为； (2)当点P在边上运动时，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (4)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)不存在，理由见解析 (3)当时，；当时， (4)或 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）由题意得：， ，据此表示出四边形的面积，即可求解； （2）作，利用表示出各线段的长度，然后利用勾股定理列出方程，最后进行判断求解即可； （3）分类讨论当时，当时，两种情况，画出对应图形即可求解； （4）分类讨论时，时，两种情况，画出对应图形即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：3； （2）解：当点P在边上运动时，即， 作，如图1所示： ∴，， ∴，， 由勾股定理得，， 若，则, 即， 整理得：， ∵， ∴不存在一个时刻，使得； （3）解：当时，如图2所示： ； 当时，如图3所示： ， ； 综上所述：当时，；当时，； （4）解：当时，作，如图4所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即：， 解得：； 当时，如图5所示： ∵， ∴， 解得：，（舍）， 综上所述：或． 3．(24-25八下·吉林辽源·期末)如图，在四边形中，，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也停止运动．设运动时间为． (1)________；_________；________．（用含t的代数式表示） (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；当时，则，当时，则， (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 4．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3)如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 【答案】(1)， (2)①，，②， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式为：，同理可得直线的解析式为：，联立可得； （2）①结合运动的特点，设，，，问题即可作答；②先表示出，结合可得，则有；∴点恰好落在正方形的边上时，；当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形，将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， 即有直线的解析式为：，联立可得，问题得解； （3）设交于点S，利用中点坐标公式可得，，即有，过点Q作于点T，过点M作于点R，可得， ，进而可得，则直线的解析式为：，联立可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵四边形是正方形．顶点， ∴，， ∵， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， 即：直线的解析式为：，； （2）①∵轴，直线与直线交于点、与直线交于点， ∴结合运动的特点，设，，， ∵点M在点N上方， ∴，且点M在点H的右侧， ∴， 即：，； ②如图， ∵点恰好落在正方形的边上， ∴， ∵， ∴， ∵结合图形可知：在等腰直角中，，， ∴， 解得：， ∴点恰好落在正方形的边上时，； ∵轴，， ∴轴，轴，轴， ∵在等腰直角中，，， ∴， 结合正方形的性质有：， 又∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图， ∵轴，轴，， ∴当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形， 即随之直线向边靠拢时，当等腰直角的斜边经过点A时，等腰直角与重叠部分开始为矩形， ∵，直线的解析式为：，，， ∴将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∴当时，等腰直角与重叠部分为矩形； （3）如图，设交于点S， ∵，，，、恰好是、中点， ∴，， ∴，即， 如下图，过点Q作于点T，过点M作于点R， 在等边中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴按照求解解析式的方法可得直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴等边与重叠部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题是一道一次函数的综合题，考查了正方形的性质，线段的平移，勾股定理，等边三角形的性质，矩形的性质，中点坐标公式以及待定系数法等知识，问题的难点在于弄清楚直线平移时的临界点． 5．(24-25八下·吉林吉林第十三中学·期末)如图①，在中，．动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动．设点运动的时间为秒． (1)线段的长为____________（用含的代数式表示）． (2)当平分时，求的值． (3)如图②，另一动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为 或8或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得 ，可求解； （3）根据题意得：，利用平行四边形的性质分四种情况：当点Q没有到达点B时；当点Q到达点B后，返回时；当点Q到达点C后，返回时；当点Q第二次到达点B后，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴． 故答案为：； （2）解：在中，，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，， ∴， 当点Q没有到达点B时， ， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， ， ∴， 当点Q到达点C后，返回时， ， ∴， 当点Q第二次到达点B后， ， ∴． 综上所述：t的值为或8或 ． 6．(24-25八下·吉林松原前郭县四校·期末)【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例点从原点出发连续移动2次：都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次． (1)当时，若点恰好落在直线上，求的值； (2)无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，，， ①若点、点位于直线的两侧，求的取值范围； ②若点关于直线的对称点落在轴上，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了平移的性质，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质． （1）根据平移方式，求得点的坐标为，代入求解即可； （2）①根据平移方式，求得点的坐标为，代入求得，令，求得直线的解析式为，分别经过点、点即可求得的取值范围； ②画出图形根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：已知，其中，按甲方式移动了次，则按乙方式移动了次， 根据平移方式，点的坐标为， 由题意得， 解得； （2）解：①设这条直线的解析式为，点按甲方式移动了次，又点从原点出发连续移动次，则点按乙方式移动了次， ∴点按甲方式移动了次后得到的点的坐标为，点按乙方式移动了次，得到点的坐标为， 由题意得，即， ∵无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 若点、点位于直线的两侧， 情况一：直线恰好经过，代入得，即， 情况一：直线恰好经过，代入得，即， ∴若点、点位于直线的两侧，的取值范围是； ②点关于直线的对称点落在轴上， 记直线与轴、轴的交点为， 过点作轴于点，连接，与直线交于点，如图， 根据题意得，， ∴， ∴， 根据轴对称的性质得，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴且， ∴点与点重合， ∴， ∴． 7．(24-25八下·吉林四平伊通县·期末)如图，在矩形中，，．动点P、Q分别从点A、C以2cm/s的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，连接交对角线于点O．设点P的运动时间为．    (1)求的长； (2)当四边形是矩形时，直接写出t的值； (3)当四边形是菱形时，求t的值； (4)当是等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)当时，四边形是菱形 (4)当是等腰三角形时，t的值为或或4 【分析】（1）证即可求解； （2）根据即可求解； （3）在中，由勾股定理即可求解； （4）分类讨论当、 、即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在中，，由勾股定理得， ∴． （2）解：当四边形是矩形时   ,cm 由（1）可知：cm ∴ 解得： （3）解：如图1，当四边形是菱形时，，． 在中，由勾股定理得，即， 解得．    ∴当时，四边形是菱形． （4）解：由（1）知，点O是的中点，连接，过点O作于点H，如图2．    易知，， ∴H为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴． 在中，由勾股定理得，． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，点P与点B重合，故， 解得． 综上，当是等腰三角形时，t的值为或或4． 【点睛】本题考查了几何中的动点问题，涉及了勾股定理、矩形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识点．掌握相关几何结论是解题关键． 8．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)如图1，正方形的边长为4，连接．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点B运动，过点P作交于点E．以为一边向右作正方形．设点P的运动时间为x秒．正方形与正方形重叠部分图形的面积为y．      (1)当时，______； (2)当点F落在上时，______； (3)当时，在图2中画出图形，并求出y的值； (4)连接，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)2 (3)3 (4)2，，． 【分析】（1）正方形与正方形重叠部分图形即是边长为1的正方形； （2）当点F落在上时，点恰好与点重合，此时点在的中点处，即可求得的值； （3）当时，正方形与正方形重叠部分图形是边长分别为1和3的矩形，即可求出y的值； （4）当是等腰三角形时，进行分类讨论，当与时，都是等腰直角三角形，再讨论，画图列式求的值即可． 【详解】（1）解： 四边形是正方形 , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 当，即 则四边形是边长为1的正方形 此时正方形与正方形重叠部分图形就是正方形 故答案为：1； （2）由题意得，当点F落在上时， 点恰好与点重合 如下图所示：   是等腰直角三角形，四边形是正方形 即 故答案为：2； （3）当时，    由题意得：四边形是矩形 故答案为：3； （4）①当时， ， 是等腰直角三角形 即此时点落在上， 由（2）得，此时； ②当时   ， 在中， 在中， 即 解得： 在中， 解得：； ③当时    ， 解得：． 当是等腰三角形时，的值为2，，． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，属于四边形综合题，进行分类讨论是解决本题的关键． 9．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接． 【初步探究】 （1）如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________； 【探索发现】 （2）点在线段上运动时，如图1，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）点在线段的延长线上运动时，如图2，则线段，和三者之间的数量关系为：___________； 【拓展延伸】 （4）如图3，连接，若，，直接写出四边形的面积___________． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）；（4）10 【分析】（1）由可证，可得，，即可求解； （2）由（1）可得，由直角三角形的性质可得结论； （3）由可证，可得，可得结论； （4）利用全等三角形的性质和勾股定理可求，，的长，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）当点P在线段上运动时，，理由如下： 当点P在线段上运动时，如图1，由（1）可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ， ∴； （3）当点P在线段的延长线上运动时，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 10．(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)如图1，在中，，，是边上的高，点从点出发以的速度沿边向终点运动，过点作交于点，以为边向下作正方形，设点运动的时间是． (1)则线段___________（用表示）； (2)当点落在上时，求的值； (3)设线段的长度为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (4)当线段的六等分点落在边上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查动点问题，等腰直角三角形的性质和判定； （1）得到，根据路程速度时间解答即可； （2）根据题意可得，列方程解答即可； （3）先利用勾股定理求出和长，然后根据三线合一得到长，分为和两种情况列函数关系式即可； （4）设点E是的六等分点，可求出的长，即可得到的长，列方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当点 落在上时,如图, 根据题意，得， ∵四边形是正方形, ， ， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ∵， ∴， 如图,当时， ， ∴， ； 如图,当时,； ∴； （4）设的六等分点为点E， 则长可以是，，，，， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，这时点M在上； 当长是或时，点M在上方，不符合题意； 综上所述，的值为，或． 11．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题： (1)AD＝______cm，BC＝______cm． (2)设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形． (3)如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1)6，8 (2)当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形 (3)当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【分析】（1）根据二次根式的被开方数非负即可求出a，则b可求，问题得解； （2）根据题意可知AP＝0.5xcm，CQ＝2xcm，则BQ＝BC﹣CQ＝（8﹣2x）cm，当AP＝BQ时，根据，∠B=90°，可得四边形PQBA是矩形，依据AP＝BQ时列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm，可得，再求出Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒，即根据题意可知AP＝0.5tcm，AP＝0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm，PD＝AD﹣AP＝（6﹣0.5t）cm，当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD＝BQ，据此列方程．由于Q点在BC间往复运动，Q点走完6cm的距离所需时间为3秒，即以3秒为一个阶段分情况讨论：①当0＜t≤3时，②当3＜t≤6时，③当6＜t≤9时，④当9＜t≤12时，以上四种情况，均根据PD＝BQ，列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴， ∴a＝6，b＝8， ∴AD＝6cm，BC＝8cm， 故答案为：6，8； （2）解：根据题意可知：AP＝0.5xcm，CQ＝2xcm， ∴BQ＝BC﹣CQ＝（8﹣2x）cm， 当AP＝BQ时，根据可知，四边形ABQP是平行四边形， 又∵∠B=90°， ∴四边形PQBA是矩形， ∴根据AP＝BQ，有0.5x＝8﹣2x， 解得x＝3.2， 答：当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形； （3）解：∵AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm， ∴时间， ∴Q点移动的最大距离为：12×2=24cm， ∵AD=BC=6cm，Q点的速度每秒为2cm， ∴Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒， 根据题意可知：AP＝0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm， ∴PD＝AD﹣AP＝（6﹣0.5t）cm， 当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD＝BQ， ①当0＜t≤3时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（6﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝6﹣2t， 解得t＝0（不符合题意，舍去）； ②当3＜t≤6时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（2t﹣6）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣6， 解得t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（18﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝18﹣2t， 解得t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（2t﹣18）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣18， 解得t＝9.6． 综上所述：当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，一元一次方程在几何中的应用等知识．注重分类讨论的思想是解答本题的关键． ( 考点0 2 几何变换探究综合 ) 12．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则 ① ____________°； ②线段之间的数量关系为_______________． 【深入探究】操作二： 如图2，将∠C沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请判断该结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①45；②；（2）结论成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解，然后设，则，在中，，代入数值计算，解得，由（2）得，则． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， 则， 在中，， ∴， 则， ∴， 由（2）得， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 13．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第64页的数学活动1．其内容如表： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 如图1，若连接，易证是等边三角形． 【知识运用】请根据上述过程及结论完成下列问题：已知矩形纸片，，，则线段的长为______；的度数是______度； 【综合提升】小慧在探究活动第（2）步的基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 【迁移探究】小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为______． 【拓展提升】在图2中，过H点作于点K，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，的长为______． 【答案】知识运用：8，30；综合提升：四边形为菱形，理由见解析；迁移探究：；拓展提升： 【分析】知识运用：根据矩形的性质，则，根据勾股定理，即可求出；连接，根据折叠的性质，则，为等边三角形，根据等边三角形的性质，即可推出结论； 综合提升：根据折叠的性质，则，根据三线合一，则，根据菱形的判定和性质，即可推出结论； 迁移探究：首先确定，则在中，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明，得出，进而根据，可得，即可求解； 拓展提升：求出，由勾股定理可得出答案． 【详解】知识运用： ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴； 连接，如图， ∵为折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：8，30； 综合提升： 四边形为菱形，理由如下： ∵由折叠所得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 迁移探究： ∵为等边三角形， ∴， ∵由折叠所得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 拓展提升： 如图， ∵四边形是矩形纸片，， ∴， ∵黄金矩形以为宽，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，能够根据折叠的性质证出∠1=∠2=∠3=30°是解题的关键． 14．(24-25八下·吉林吉林第五中学·期末)【发现】 如图①，已知四边形是正方形，P是对角线上的一点，求证，； 【探究】 ①如图②，在正方形中，P是对角线上的一点，，垂足分别为E、F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②如图③，在正方形中，P是上一点，过点P作于点M，于点N，若，则的最小值为______； 【拓展应用】 如图④，在正方形中，P是对角线上的一点，延长交于点G，与交于点Q，H为的中点，连接，则的形状为______． 【答案】【发现】见解析；【探究】①，证明见解析；②；【拓展应用】的形状为直角三角形；理由见解析． 【分析】【发现】利用正方形的性质，证明求解，进而推出线段关系； 【探究】①根据矩形的性质，证明，再由，进而得证； ②当时，最小，此时，则可得出答案； 【拓展应用】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，得，证明，得到， 进而可得到． 【详解】【发现】证明：∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【探究】①；如图，连接， 证明：由【发现】可知，， ∵四边形是正方形， ， 又∵，垂足分别为E、F， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ②连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：； 【拓展应用】的形状为直角三角形；理由如下： ∵H为的中点，， ∴， ∴， 在中，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)【教材呈现】： （1）如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：； （3）如图，四边形中，，M是中点，N是中点，连接，延长交于点E：若，则的大小为______． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，四边形的内角和等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． (1)延长至点G，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； (2)根据教材呈现中的结论，得出，，再利用，即可得出结论； (3)连接，取的中点P，连接，得出，进而求出，由，， 得，，根据三角形的内角和以及等量代换即可求解． 【详解】(1)证明：延长至点G，使，连接，如图， 点D、E分别是的边与的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 且； (2)证明：是的中点，M是的中点， ， 是的中点，N是的中点， ， ， ， ； (3)解：连接，取的中点P，连接，如图2， 是中点，N是中点，， ，，， ， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 16．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)在等腰直角三角形纸片中，点D是斜边的中点，，点E为上一点，将纸片沿折叠，点B的对应点为点，与交于点 (1)如图，连接、，若，则： 求证：四边形为菱形； 的形状为______； (2)如图，若与不平行，则的周长为______． 【答案】(1)详见解析；等腰三角形 (2) 【分析】（1）①由折叠得，，，由，得，得，所以，则，即可证明四边形为菱形； ②由，，点D是斜边的中点，得，，，而，，所以，，则，推导出，则是等腰三角形，于是得到问题的答案； （2）连接、，则，所以，而，则，所以，则，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】（1）①证明：由折叠得，，， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． ②解：是等腰直角三角形，点D是斜边的中点， ，，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． （2）解：如图②，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 17．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，在平行四边形中，，，．点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿折线运动到点停止，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)______； (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)取的中点为，连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1)4 (2)； (3)的值为或或． 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，据此求解即可； （2）分三种情况讨论，当点在线段上，当点在线段上，当点在线段上，利用三角形的面积公式列式求解即可； （3）同理分三种情况讨论，当点在线段上时，利用直角三角形斜边中线的性质求解；当点在线段上时，构造正方形，利用三角形中位线定理结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：4； （2）解：当点在线段上，即时，此时， ∴； 当点在线段上，即时， 此时， ∴； 当点在线段上，即时， 此时， ∴； 综上，； （3）解：当点在线段上,即时， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 当点在线段上，即时， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上，即时， 延长至点，使，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理以及勾股定理．作出合适的辅助线是解题的关键． 18．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量、猜想得出结论：原四边形对角线的数量关系和位置关系对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 在四边形中，分别是的中点． 探究一 探究二 探究三 探究四 题设：如图1，和不相等，和不垂直． 题设：如图2，和不相等，． 题设：如图3，，和不垂直． 题设：如图4，，． 结论：四边形的形状为平行四边形． 结论：四边形的形状为①___________． 结论：四边形的形状为②___________． 结论：四边形的形状为③___________． (1)①______．②_______．③_____． (2)如图1，请完成探究一的证明． (3)如图2，，若，，则四边形的面积为_______． (4)如图3，，连接，若，，则________． 【答案】(1)矩形；菱形；正方形 (2)证明见解析 (3)5 (4) 【分析】（1）根据题意得到是的中位线，是的中位线，得到，，证明出四边形的形状为平行四边形；然后由逐步证明出，得到四边形的形状为矩形；由得到，证明出四边形的形状为菱形；进而由，可得四边形的形状为正方形； （2）据题意得到是的中位线，是的中位线，得到，，证明出四边形的形状为平行四边形； （3）由三角形中位线的性质得到，，然后根据矩形的性质求解即可； （4）如图所示，连接，交于点O，由菱形的性质得到，，，得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）①∵在四边形中分别是的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴， ∴四边形的形状为平行四边形； 同理可得，是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴四边形的形状为矩形； ②∵是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴四边形的形状为菱形； ③∵， ∴由以上可得，， ∴四边形的形状为正方形； （2）∵在四边形中分别是的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴， ∴四边形的形状为平行四边形； （3）∵，， 由（1）得，，，四边形的形状为矩形 ∴四边形的面积为； （4）如图所示，连接，交于点O ∵四边形的形状为菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去） ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，矩形的判定，正方形的判定，勾股定理，三角形中位线的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)【阅读理解】矩形纸片中，点为边上一点，将沿折叠至，延长与直线交于点．    (1)【操作尝试】若，且点落在边上，则矩形的面积为________； (2)【理解探究】若，且点落在矩形内部，点在边上，如图，已知，请求出矩形的面积； (3)【探究拓展】若，且，直接写出矩形的面积． 【答案】(1)72 (2)108 (3)48或144 【分析】（1）根据折叠得：，可得，根据矩形的面积即可解答； （2）如图2，连接，先证明，得，设，则，根据勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：①如图3，点G在点B的右侧，连接，先由勾股定理可得和的长，设，则，最后由勾股定理即可解答；②如图4，点G在点B的左侧，连接，同样的方法即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，    ∴， ∵点F落在边上， 由折叠得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形的面积； 故答案为：72； （2）解：如图2，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积； （3）解：分两种情况： ①如图3，点G在点B的右侧，连接，    ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 此时点G与C重合， ∴矩形的面积； ②如图4，点G在点B的左侧，连接，      同理， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴矩形的面积 综上，矩形的面积是48或144． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，矩形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20．(24-25八下·吉林四平伊通县·期末)在正方形中，过点A引射线，交边于点点H与点D不重合通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于点E，延长交于点 感知：如图①，当点H与点C重合时，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论． 探究：如图②，当点H为边上任意一点时，猜想与的数量关系，并说明理由． 应用：在图②中，当，时，利用探究的结论，求的长． 【答案】感知：，理由见解答过程；探究：，理由见解答过程；应用： 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． （1）连接，由正方形性质得，，由翻折性质得，，进而得，，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出与的数量关系； （2）连接，由正方形性质得，，由翻折性质得，，进而得，，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出与的数量关系； （3）根据正方形性质得，，进而得，由翻折性质得，设，则，，，在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）与的数量关系是：，理由如下： 连接，如图①所示： 四边形是正方形， ，， 由翻折性质得：，， ，， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ； （2）与的数量关系是：，理由如下： 连接，如图②所示： 四边形是正方形， ，， 由翻折性质得：，， ，， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ； （3）∵四边形是正方形，且， ，， ， ， 由翻折性质得：， 设， 由（2）可知：， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 21．(24-25八下·吉林松原前郭县四校·期末)如图，在正方形中，E是线段上的动点，连接，过点D作点F在直线的下方，且，连接 (1)【动手操作】 在图中画出线段，则与的数量关系是______； (2)【问题解决】 利用（1）题画出的图形，证明B，C，F三点在一条直线上； (3)【问题探究】 取的中点P，连接，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据题意画出图形，根据得，根据得，由此可得与的数量关系； （2）连接，证明和全等得，进而得，由此即可得出结论； （3）连接，过点P作于H，由直角三角形斜边上的中线性质得，，则，由此可依据“”判定和全等，则，进而得为等腰直角三角形，设，则，证明为的中位线得，据此可得的值． 【详解】（1）解：，理由如下： 根据题意画出图形如图1所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图2所示： 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ∴， ， ， ，C，F三点在一条直线上； （3）解：连接，过点P作于H，如图3所示： ，， 和均为直角三角形， 点P为的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， ，， ， 又点P为的中点， 为的中位线， ， ． 22．(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学·期末)（1）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； （2）如图2，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，且，，，求直角梯形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）108 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得证； （2）延长至，使，连接，证明，得出即可得证； （3）作交的延长线于，证明四边形为正方形，得出，设，则，，由勾股定理求出的长，再由面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，延长至，使，连接， ， 由（1）得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作交的延长线于， ， 在直角梯形中， ∵, ∴， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， 由（1）（2）可得，， ∴，即， 设，则，， 在中，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴这个梯形的面积为． 23．(24-25八下·吉林吉林第九中学·期末)综合与实践 问题情境： 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，将直角三角形的直角顶点放在点处，使直角边经过点，另一条直角边与交于点 问题解决： (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，交于点，当时，连接．求证：四边形是菱形； (3)如图3，当与的延长线交于点时，若正方形边长4，，请直接写出的长 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，可得，再由四边形内角和定理，可得，从而得到，即可求证； （2）由（1）可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证； （3）过点P作于点G，设交于点H，证明，可得，再由三角形内角和定理，可得，从而得到，进而得到，由，可得，是等腰直角三角形，从而得到，，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：如图，过点P作于点G，设交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类思想讨论解答是解题的关键． 24．(24-25八下·吉林桦甸·)阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作MEBD，MFAC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形． (1)当对角线，满足______时，四边形是矩形． (2)如图，若四边形是矩形，且是的中点，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程． (3)如图，在四边形为矩形的条件下，若点是边延长线上的一点，此时，，三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)菱形，证明见解析 (3)MF+OA=ME，证明见解析 【分析】（1）由矩形的判断方法即可； （2）由三角形的中位线判断出ME=MF，得到邻边相等平行四边形是菱形； （3）先判断出四边形OEMF是平行四边形，再由平行四边形的性质得到EA=EM，即可． 【详解】（1）解：要使平行四边形OEMF是矩形， ∴∠AOB=90°， ∴AC⊥BD， 故答案为：AC⊥BD； （2）解：四边形OEMF是菱形． 证明：在矩形ABCD中，OA=OB， ∵点M是AB的中点，MEBD，MFAC， ∴ME=OB，MF=OA， ∴ME=MF， ∵四边形OEMF是平行四边形， ∴四边形OEMF是菱形； （3）解：MF+OA=ME， 理由：在矩形ABCD中，OA=OB， ∵MEBD，MFAC， ∴四边形OEMF是平行四边形， ∴MF=EO， ∴∠OAB=∠OBA=∠EMA， ∴EA=EM， ∵MF=OE， ∴MF+OA=ME 【点睛】本题主要考查了特殊的四边形的性质和判定，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别． 25．(24-25八下·吉林吉林永吉县·期末)如图，四边形ABCD是正方形，点P在射线AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连结PD，点O为线段AC中点． (1)【感知】如图①，当点P在线段AO上时， ①易证：△ABP≌△ADP（不需要证明）．进而得到PE与PD的数量关系是 　 　． ②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证：Rt△PNE≌Rt△PMD（不需要证明）．进而得到PE与PD的位置关系是 　 　． (2)【探究】如图②，当点P在线段OC上（点P不与点O、C重合）时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)【应用】如图③，当点P在线段AC的延长线上时，直接写出当AB＝3，CP＝时线段DE的长． 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【分析】（1）①根据正方形的性质可得，即可得出答案； ②由条件可证得四边形是矩形，故，再由角平分线的性质可得出，由，可得，再由得出，即可得出答案； （2）设交于，正方形的性质可得：，即可得出，,由，即可得出，，再由三角形内角和定理可推导出，可得出，即可得出与的数量关系和位置关系； （3）设交于，过点作于，由正方形的性质可得：，即可得出，,由，即可得出，，故，再由三角形内角和定理可推导出，可得出，即可得出是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得出，由，可推导出是等腰直角三角形，故，，由勾股定理即可计算给出，的长度． 【详解】（1）①∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）与的数量关系和位置关系为：，，理由如下： 设交于，如图②所示： ∵在正方形中， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在正方形中：， ∴， ∴； ∴与的数量关系和位置关系为：， （3）设交于，过点作于，如图③所示 在正方形中：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在正方形中： ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，综合性较高，掌握以上知识点，准确作出辅助线是解题的关键． ( 考点0 3 一次函数与几何综合 ) 26．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，正方形的边长为，对角线，交于点O，点P从点A出发，沿线段向终点B运动．设点P运动的路程为x，的面积为 (1)______； (2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)在图中画出（2）中的函数图象； 若直线与此函数图象只有一个公共点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3)图见解析；或 【分析】本题是一次函数综合题，考查正方形的性质，动点问题的函数图象．难点是理解直线与函数图象只有一个公共点与直线经过函数图象的几个关键点． （1）根据正方形的性质即可得到结论； （2）分两种情况讨论，根据正方形的性质可得，、、的长，进而可得y与x的关系式以及x的取值范围； （3）①分别求出当时，时，时相应的y的值．进而描点，连线即可； ②分别求出直线经过函数图象三个关键点时b的值，进而结合图象可得直线与函数图象只有一个公共点时b的取值范围． 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ，，，， ， ， 故答案为：2； （2）解：当时，点P在线段上运动时，此时, ， ， 当时，点P在线段上运动时，如图． 此时，点P运动的路程和为， 四边形是正方形， ，， ， 作于点， ， ， ， 综上所述：； （3）解：①当时，； 当时，； 当时，． 描点，连线即可． ②如图，当直线经过点时，与函数图象只有一个公共点． ， 解得：， 当直线经过点时，与函数图象只有一个公共点．此时， 当直线经过点时，， 解得：， 与函数图象只有一个公共点， ， 综上所述：或． 27．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)已知：图形上任意一点，图形上任意一点，若点与点之间的距离始终满足，则称图形与图形相离． (1)已知点，，，． ①与直线为相离图形的点是______； ②若直线与相离，求的取值范围． (2)设直线，直线及直线围成的图形为，图形是边长为的正方形，且正方形的各边分别与两坐标轴平行，该正方形对角线的交点坐标为，直接写出图形与图形相离时的取值范围． 【答案】(1)① ，；或 (2)或 【分析】（1）① 将，，，四个点的坐标代入直线计算即可判断； ② 根据直线经过点和点计算的值即可解答； （2）先画出图形，再分图形在图形上下两种情形，观察图象得出经过特殊位置的图形对角线交点的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：① 点， 当 时，代入直线方程可得，， 点不在直线上， 同理，点不在直线上，点和在直线上， 与直线相离的点是，； 故答案为：，； ② 当直线过点时， 将点坐标代入可得： ， 解得：． 当直线过点时， 将点坐标代入可得： ， 解得：． 的取值范围是或． （2）如图所示： 图形与图形相离时的取值范围是或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质等知识，理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题是解题的关键． 28．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)如图1，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P在的平分线上，求点P的坐标； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，坐标与图形的性质等知识，根据待定系数法求出一次函数解析式是解决本题的关键． （1）先令，即可求得，然后利用求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解； （2）设，根据角平分线的性质得到，解方程即可得到答案； （3）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，解得， 则D的坐标是，即， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴，则E的坐标是， 把E的坐标代入得， 解得， ∴； （2）解：∵点P是线段上的一个动点． ∴设， 过点P作轴于点M，轴于点N，连接，如图， ∴，， ∵点P在平分线上，轴，轴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：设， 四边形面积， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点P的坐标为或． 29．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，点的坐标为，点的坐标为，以点为端点分别作射线，将射线所组成的图形记为图象V． (1)射线的解析式为________，自变量的取值范围是_______． (2)射线的解析式为________，自变量的取值范围是________． (3)点为轴上一动点，其纵坐标为．连接，以为边向右作正方形． ①当点在上时，________． ②当点在图象V上时，求的值． ③当图象V与正方形有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②或；  ③或或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）用待定系数法求函数的解析式即可； （3）①由题可知轴，则； ②当时，，将点M代入求出m的值；当时，，将点M代入求出m的值； ③当时，图象V与正方形一定有两个公共点；当时，此时图象V与正方形有三个公共点，则时，图象V与正方形有两个公共点；当时，图象V与正方形有两个公共点，则时，图象V与正方形有三个公共点． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点代入，可得， ∴射线的解析式为，， 故答案为：，； （2）解：设射线的解析式为， 将A、B的坐标代入，可得， 解得， ∴射线解析式为，， 故答案为：，； （3）解：①∵四边形是正方形， ∴轴， ∵A点在上， ∴； 故答案为：； ②当时，， ∴， ∴， ∵点M在图象V上， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 综上所述：m的值为4或； ③当时，图象V与正方形一定有两个公共点； 当时，M点、O点在正方形上，此时图象V与正方形有三个公共点， ∴时，图象V与正方形有两个公共点； 当时，N点，此时B点、O点在正方形上，图象V与正方形有两个公共点； ∴时，图象V与正方形有三个公共点； 综上所述：或或时，图象V与正方形有两个公共点． 30．(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)对于平面直角坐标系中的图形和点、给出如下定义：点是图形上任意一点，如果平面内存在一点，使、、、为顶点的四边形是平行四边形，则称点是图形的关于点、的“平行连接点”．对于点，点． (1)如图1，若图形上有一点， ①判断，，三点中不是图形的关于点、的“平行连接点”的是_____； ②若点是图形的关于点、的“平行连接点”，请求出直线的解析式． (2)如图2，若图形是以点，，为顶点的三角形，点是图形的关于点、的“平行连接点”，当为平行四边形的边时，直接写出直线中的取值范围． 【答案】(1)；或； (2)． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式等知识点，根据题意正确画出函数图像是解题的关键． （）根据“平行连接点”的定义画出图形即可解答； 设所在直线为，当为平行四边形的一边时，由可知，然后运用待定系数法解答即可；当为平行四边形的对角线时，先求得线段的中点坐标，然后结合点的坐标运用待定系数法解答即可； （）画出图形，求出边界时的解析式，进而确定的取值范围． 【详解】（1）解：如图，四边形显然不是平行四边形， 故答案为：； 设所在直线为， 当为平行四边形的一边时，由可知：，代入点坐标得， ∴，  解得， ∴； 当为平行四边形的对角线时， ∵，点， ∴的中点坐标为， ∵直线过点、， ， 解得， ∴， ∴直线解析式为或； （2）解：当为平行四边形的一边时，则直线一定平行于， ∵点，点， ∴同理得直线的解析式为， 如图，直线的解析式为， 当直线过点时，有，解得； 当直线过点时，有，解得， ∴的取值范围为． 31．(24-25八下·吉林松原前郭县四校·期末)【新考法】定义：关于的方程称为”双绝对值方程”；所有满足“双绝对值方程”的坐标的点组成的图形称为“双绝对值图形”，如图是“双绝对值方程”所对应的“双绝对值图形”．求： (1)画出“双绝对值方程”所对应的“双绝对值图形”；提示：根据和的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式 (2)点，，，组成平行四边形，写出对角线所在直线的函数解析式，并写出“双绝对值图形”所对应的“双绝对值方程”：（提示，待定系数法求直线解析式，再分别把平行四边形四条边的关系式表达出来） (3)类似地，对于方程我们可以定义“三绝对值方程”，请画出其对应的“三绝对值图形”． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂定义，根据绝对值的性质，分段求函数的解析式是解题的关键． （1）根据x和y的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式，再画出图形即可； （2）用待定系数法求函数的解析式，根据x和y的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式，最后求解即可； （3）根据x和y的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式，再画出图形即可． 【详解】（1）解：由， 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即； “双绝对值方程”所对应的”双绝对值图形”如图所示： （2）解：如图所示， 设对角线所在直线的函数解析式为，将点，代入， 得， 解得， 对角线所在直线的函数解析式为， 同理，由点的坐标可得直线的解析式为，即， 线段上的点的方程为， 的解析式为，则线段上的点的方程为， 直线的解析式为，则线段上的点的方程为， 直线的解析式为，线段上的点的方程为， 线段在上方，而线段上的点在x轴上方，，，则，， 线段上的点在x轴下方，，，则，， 线段上的点可用； 同理，线段上的点可用， 综上可知，”双绝对值图形“所对应的“双绝对值方程”为； （3）解：由方程得当，时，，即， 当，时，，即， 当，，且时，，即， 当，，且时，，即， 当，，且时，即， 当，，且时，，即， 方程对应的“三绝对值图形”如图所示． 32．(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学·期末)如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质：当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可） (3)或 【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，还考查了平行四边形的性质，勾股定理； （1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定，，然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质； （3）通过平移直线，与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止， ∴当点到达点时秒，当点到达点时秒， ∴当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上， 此时，； ∴； （2）解：函数图象如图： 由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）； （3）解：平移直线，与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得，解得； 把代入可得，解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或． 33．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．    (1)求n、k的值； (2)已知点D是直线：上的一个动点． ①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______； ②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标； (3)如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形． ①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)； ②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______． 【答案】(1)n、k的值分别为、； (2)①；②或 (3)①；② 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）把点分别代入函数解析式即可得到答案； （2）①由（1）可知，直线：，直线：，设点D的坐标为，得到点P的坐标是，点D，P关于x轴对称，则，解得，即可得到答案；②求出点A的坐标是，点B的坐标是，设点D的坐标为，则，，根据的面积是面积的2倍得到，解得值，即可得到答案； （3）①点C作轴于点F，过点M作于点H，则，证明，则，得到，则，即可得到点M的坐标为；②连接，相交于点K，则点K是的中点，也是的中点，根据中点坐标公式求出点的坐标是，求出，当时，即时，，此时满足题意，当时，即时，，此时无解，即可得到答案． 【详解】（1）把点代入得， ， 解得，， 把点代入得，， 解得， 即n、k的值分别为、； （2）①由（1）可知，直线：，直线：， 设点D的坐标为， ∵过点D作轴，交直线于点P， ∴点P的坐标是， ∵点D，P关于x轴对称， ∴ 解得， ∴， ∴点D的坐标为 故答案为： ②当时， 当时，，解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 设点D的坐标为，则 ， ， ∵的面积是面积的2倍 ∴， 解得， ∴当时，， 当时，， ∴点D的坐标为或 （3）①点C作轴于点F，过点M作于点H，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E的坐标为， ∴ ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 故答案为： ②连接，相交于点K，则点K是的中点，也是的中点，    ∵．点E的坐标为，点M的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴，解得， 当时，即时，，此时满足题意， 当时，即时，，此时无解， 综上可知， 故答案为： 34．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)在平面直角坐标系中，直线经过点且交x轴于点B，过点A作轴于点线段，，围成的区域（不含边界）为我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点． (1)当时，点B的坐标为______； (2)当直线与直线平行时． 求直线的解析式； 直接写出区域W内的整点个数； 【答案】(1) (2) ；1个 【分析】本题考查的是两条直线相交或平行问题，主要考查待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是理解整点的意义，正确画出函数图象，进而求解． （1）利用三角形面积公式求得，根据直线经过点可知B在C的左边，即可求得； （2）①直线AB与直线平行，则，将点A的坐标代入并解得：，故直线的表达式为：； ②画出函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，轴于点C， ∴， ， ∴，即， ， 直线经过点且交x轴于点B， 在C的左边， ∴， 故答案为：； （2）解：①直线AB与直线平行，则， 将点A的坐标代入并解得：， 故直线AB的表达式为：； ②令，解得：， 点， 函数图象如下： 从图象看，区域W内的整点只有一个为． ( 考点0 4 一次函数 实际 应用探究 ) 35．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法、根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据表格中变量的变化规律即可； （3）当时，求出对应的值，从而求出具体的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：根据表格，时间增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， 则， 与之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 解得， 故， 当圆柱体容器液面高度达到厘米时是． 故答案为：，． 36．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)根据以下素材，探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克． (2)寄送杨梅重量均为整数千克． 素材2 (1)【分析变量关系】根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用（元）关于杨梅重量x (千克)之间的函数关系式． (2)【计算最省费用】若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用． (3)【探索最大重量】小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 【答案】(1) (2)94元 (3)93千克；8件10千克，1件13千克 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解数量关系，掌握一次函数的计算是关键． （1）根据电子存单1和2的关系计算即可； （2） 根据题意，分类讨论：①若单件寄送；②若分两件寄送；③若分三件寄送；比较各自的费用即可； （3）设有a千克杨梅需要寄送，设的余数为n，结合题意得到当时，采用其中一件超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱；当时，采用一件不超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱，设小聪购买的杨梅一共分b件不超过10千克的寄送方式，由题意得，，所以最省钱的寄送方式应该是8件均为10千克的寄送，一件超过10千克的寄送，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，     解得， ∴． （2）解：当时， ①若单件寄送，则需寄费 (元)， ②若分两件寄送，则需寄费(元)，， ③若分三件寄送，则需寄费(元)， ∵， ∴寄送25千克杨梅的最省费用为94元； （3）解：设有a千克杨梅需要寄送，设的余数为n， 当时，， 当时，， ∴当时，采用其中一件超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱； 当时，采用一件不超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱． 设小聪购买的杨梅一共分b件不超过10千克的寄送方式，由题意得，， 解得， 又是正整数， ∴b最大值为9， ∴还剩下 (元)， ∵的余数小于5， ∴最省钱的寄送方式应该是8件均为10千克的寄送，一件超过10千克的寄送， ∵8件均为10千克的费用(含寄送费)为元，，， ，， ∴一件超过10千克的寄送的杨梅重量是13千克， ∴ (千克)． ∴小聪最多可以购买93千克杨梅，寄送方式为8件10千克，1件13千克． 37．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)项目式学习 背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？ 素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（分钟） 1 2 3 4 5 总水量y（毫升） 10 15 20 25 30 问题探究和问题解决 任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点． 任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断总水量y与时间t的函数关系？请求出这个关系式． 任务3 ①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议． 【答案】任务1：见解析；任务2：（k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系，；任务3：①当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟；②照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水；③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键． 任务1：根据表格数据描点即可； 任务2：根据上表中的数据和所描的点，（k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；再利用待定系数法求解解析式即可； 任务3：①把代入解析式即可得到答案； ②把，代入解析式求解即可得到答案； ③答案不唯一，合理即可． 【详解】解：任务1：如图，描点如下： 任务2：由数据和画图可知（k，b为常数）才能正确反映总水量y与时间t的函数关系； 点和都在此函数的图象上 ， 解得：， ； 任务3：①当时，则， 解得：， 当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟； ②当时，， 当时，， ∵（毫升）， 照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水； ③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换． 38．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示． 记录得到以下信息： a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程和（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如下图： b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表： 景点 园中园 白鸽广场 海豹池 猴山 路程（） 1 2 2.5 3 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________； (2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此时距出发经过了___________ ； (3)下面有三个推断： ①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是； ②然然比琦琦晚到达游乐场； ③时，琦琦比然然多走了． 所有合理推断的序号是___________． (4)求然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式，标出自变量的取值范围； (5)当琦琦和然然相距时，直接写出游览时间的值：___________． 【答案】(1)4 (2)白鸽广场，45 (3)②③ (4) (5)72或96 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键． （1）观察图象即可； （2）根据两图象交点的纵坐标判断除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在哪个景点相遇；写出与x的函数关系式，当时，求出对应x的值即可； （3）①求出当时，与x的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而根据平均速度总路程总时间求出然然从园中园到游乐场游览的过程中的平均速度即可； ②观察图象即可； ③当时，求出对应的值，从而求出琦琦比然然多走的路程即可； （4）根据速度路程时间求出这个过程中然然的速度，再由路程速度时间写出与x的函数解析式即可； （5）按照x的取值范围，利用和关于x的函数关系式，当琦琦和然然相距时，分别列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为， 故答案为：4； （2）解：琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在白鸽广场相遇， 琦琦的速度为，则， 当时，得， 解得， ∴此时距出发经过了， 故答案为：白鸽广场，45； （3）解：当时，然然的速度为， ∴， 当时，得， 解得， 则然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是 ， ∴①不合理，不符合题意； 然然比琦琦晚到达游乐场， ∴②合理，符合题意； 当时，， ， ∴时，琦琦比然然多走了， ∴③合理，符合题意． 故答案为：②③； （4）解：然然离开白鸽广场到游乐场时的速度为， 则， ∴然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式及自变量x的取值范围为； （5）解：综上，与x的函数关系式为，与x的函数关系式为， 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得（舍去）； 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得； 当，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得． 综上，当琦琦和然然相距时，x的值为72或96． 故答案为：72或96． 102 / 102 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 综合探究 4大高频考点概览 考点01 动点问题 考点02 几何变换探究综合 考点03一次函数与几何综合 考点04一次函数实际应用探究 ( 考点01 动点问题 ) 1．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)直接写出边的长为________cm； (2)当四边形是矩形时，求t的值； (3)在点Q运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值； (4)在点P，Q运动过程中，当时，直接写出t的值． 2．(24-25八下·吉林吉林第五中学·期末)如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度沿折线向终点C运动，点Q的速度沿向终点D运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t（s）． (1)当t=______s时，四边形的面积为； (2)当点P在边上运动时，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (4)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 3．(24-25八下·吉林辽源·期末)如图，在四边形中，，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也停止运动．设运动时间为． (1)________；_________；________．（用含t的代数式表示） (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 4．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3)如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 5．(24-25八下·吉林吉林第十三中学·期末)如图①，在中，．动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动．设点运动的时间为秒． (1)线段的长为____________（用含的代数式表示）． (2)当平分时，求的值． (3)如图②，另一动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 6．(24-25八下·吉林松原前郭县四校·期末)【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例点从原点出发连续移动2次：都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次． (1)当时，若点恰好落在直线上，求的值； (2)无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，，， ①若点、点位于直线的两侧，求的取值范围； ②若点关于直线的对称点落在轴上，直接写出的值． 7．(24-25八下·吉林四平伊通县·期末)如图，在矩形中，，．动点P、Q分别从点A、C以2cm/s的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，连接交对角线于点O．设点P的运动时间为．    (1)求的长； (2)当四边形是矩形时，直接写出t的值； (3)当四边形是菱形时，求t的值； (4)当是等腰三角形时，求t的值． 8．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)如图1，正方形的边长为4，连接．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点B运动，过点P作交于点E．以为一边向右作正方形．设点P的运动时间为x秒．正方形与正方形重叠部分图形的面积为y．      (1)当时，______； (2)当点F落在上时，______； (3)当时，在图2中画出图形，并求出y的值； (4)连接，当是等腰三角形时，直接写出的值． 9．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接． 【初步探究】 （1）如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________； 【探索发现】 （2）点在线段上运动时，如图1，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）点在线段的延长线上运动时，如图2，则线段，和三者之间的数量关系为：___________； 【拓展延伸】 （4）如图3，连接，若，，直接写出四边形的面积___________． 10．(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)如图1，在中，，，是边上的高，点从点出发以的速度沿边向终点运动，过点作交于点，以为边向下作正方形，设点运动的时间是． (1)则线段___________（用表示）； (2)当点落在上时，求的值； (3)设线段的长度为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (4)当线段的六等分点落在边上时，直接写出的值． 11．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题： (1)AD＝______cm，BC＝______cm． (2)设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形． (3)如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ( 考点0 2 几何变换探究综合 ) 12．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则 ① ____________°； ②线段之间的数量关系为_______________． 【深入探究】操作二： 如图2，将∠C沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请判断该结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，直接写出线段的长． 13．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第64页的数学活动1．其内容如表： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 如图1，若连接，易证是等边三角形． 【知识运用】请根据上述过程及结论完成下列问题：已知矩形纸片，，，则线段的长为______；的度数是______度； 【综合提升】小慧在探究活动第（2）步的基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 【迁移探究】小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为______． 【拓展提升】在图2中，过H点作于点K，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，的长为______． 14．(24-25八下·吉林吉林第五中学·期末)【发现】 如图①，已知四边形是正方形，P是对角线上的一点，求证，； 【探究】 ①如图②，在正方形中，P是对角线上的一点，，垂足分别为E、F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②如图③，在正方形中，P是上一点，过点P作于点M，于点N，若，则的最小值为______； 【拓展应用】 如图④，在正方形中，P是对角线上的一点，延长交于点G，与交于点Q，H为的中点，连接，则的形状为______． 15．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)【教材呈现】： （1）如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：； （3）如图，四边形中，，M是中点，N是中点，连接，延长交于点E：若，则的大小为______． 16．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)在等腰直角三角形纸片中，点D是斜边的中点，，点E为上一点，将纸片沿折叠，点B的对应点为点，与交于点 (1)如图，连接、，若，则： 求证：四边形为菱形； 的形状为______； (2)如图，若与不平行，则的周长为______． 17．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，在平行四边形中，，，．点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿折线运动到点停止，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)______； (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)取的中点为，连接，当时，直接写出的值． 18．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量、猜想得出结论：原四边形对角线的数量关系和位置关系对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 在四边形中，分别是的中点． 探究一 探究二 探究三 探究四 题设：如图1，和不相等，和不垂直． 题设：如图2，和不相等，． 题设：如图3，，和不垂直． 题设：如图4，，． 结论：四边形的形状为平行四边形． 结论：四边形的形状为①___________． 结论：四边形的形状为②___________． 结论：四边形的形状为③___________． (1)①______．②_______．③_____． (2)如图1，请完成探究一的证明． (3)如图2，，若，，则四边形的面积为_______． (4)如图3，，连接，若，，则________． 19．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)【阅读理解】矩形纸片中，点为边上一点，将沿折叠至，延长与直线交于点．    (1)【操作尝试】若，且点落在边上，则矩形的面积为________； (2)【理解探究】若，且点落在矩形内部，点在边上，如图，已知，请求出矩形的面积； (3)【探究拓展】若，且，直接写出矩形的面积． 20．(24-25八下·吉林四平伊通县·期末)在正方形中，过点A引射线，交边于点点H与点D不重合通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于点E，延长交于点 感知：如图①，当点H与点C重合时，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论． 探究：如图②，当点H为边上任意一点时，猜想与的数量关系，并说明理由． 应用：在图②中，当，时，利用探究的结论，求的长． 21．(24-25八下·吉林松原前郭县四校·期末)如图，在正方形中，E是线段上的动点，连接，过点D作点F在直线的下方，且，连接 (1)【动手操作】 在图中画出线段，则与的数量关系是______； (2)【问题解决】 利用（1）题画出的图形，证明B，C，F三点在一条直线上； (3)【问题探究】 取的中点P，连接，求的值． 22．(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学·期末)（1）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； （2）如图2，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，且，，，求直角梯形的面积． 23．(24-25八下·吉林吉林第九中学·期末)综合与实践 问题情境： 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，将直角三角形的直角顶点放在点处，使直角边经过点，另一条直角边与交于点 问题解决： (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，交于点，当时，连接．求证：四边形是菱形； (3)如图3，当与的延长线交于点时，若正方形边长4，，请直接写出的长 24．(24-25八下·吉林桦甸·)阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作MEBD，MFAC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形． (1)当对角线，满足______时，四边形是矩形． (2)如图，若四边形是矩形，且是的中点，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程． (3)如图，在四边形为矩形的条件下，若点是边延长线上的一点，此时，，三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 25．(24-25八下·吉林吉林永吉县·期末)如图，四边形ABCD是正方形，点P在射线AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连结PD，点O为线段AC中点． (1)【感知】如图①，当点P在线段AO上时， ①易证：△ABP≌△ADP（不需要证明）．进而得到PE与PD的数量关系是 　 　． ②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证：Rt△PNE≌Rt△PMD（不需要证明）．进而得到PE与PD的位置关系是 　 　． (2)【探究】如图②，当点P在线段OC上（点P不与点O、C重合）时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)【应用】如图③，当点P在线段AC的延长线上时，直接写出当AB＝3，CP＝时线段DE的长． ( 考点0 3 一次函数与几何综合 ) 26．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，正方形的边长为，对角线，交于点O，点P从点A出发，沿线段向终点B运动．设点P运动的路程为x，的面积为 (1)______； (2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)在图中画出（2）中的函数图象； 若直线与此函数图象只有一个公共点，直接写出b的取值范围． 27．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)已知：图形上任意一点，图形上任意一点，若点与点之间的距离始终满足，则称图形与图形相离． (1)已知点，，，． ①与直线为相离图形的点是______； ②若直线与相离，求的取值范围． (2)设直线，直线及直线围成的图形为，图形是边长为的正方形，且正方形的各边分别与两坐标轴平行，该正方形对角线的交点坐标为，直接写出图形与图形相离时的取值范围． 28．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)如图1，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P在的平分线上，求点P的坐标； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，直接写出点P的坐标． 29．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，点的坐标为，点的坐标为，以点为端点分别作射线，将射线所组成的图形记为图象V． (1)射线的解析式为________，自变量的取值范围是_______． (2)射线的解析式为________，自变量的取值范围是________． (3)点为轴上一动点，其纵坐标为．连接，以为边向右作正方形． ①当点在上时，________． ②当点在图象V上时，求的值． ③当图象V与正方形有两个公共点时，直接写出的取值范围． 30．(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)对于平面直角坐标系中的图形和点、给出如下定义：点是图形上任意一点，如果平面内存在一点，使、、、为顶点的四边形是平行四边形，则称点是图形的关于点、的“平行连接点”．对于点，点． (1)如图1，若图形上有一点， ①判断，，三点中不是图形的关于点、的“平行连接点”的是_____； ②若点是图形的关于点、的“平行连接点”，请求出直线的解析式． (2)如图2，若图形是以点，，为顶点的三角形，点是图形的关于点、的“平行连接点”，当为平行四边形的边时，直接写出直线中的取值范围． 31．(24-25八下·吉林松原前郭县四校·期末)【新考法】定义：关于的方程称为”双绝对值方程”；所有满足“双绝对值方程”的坐标的点组成的图形称为“双绝对值图形”，如图是“双绝对值方程”所对应的“双绝对值图形”．求： (1)画出“双绝对值方程”所对应的“双绝对值图形”；提示：根据和的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式 (2)点，，，组成平行四边形，写出对角线所在直线的函数解析式，并写出“双绝对值图形”所对应的“双绝对值方程”：（提示，待定系数法求直线解析式，再分别把平行四边形四条边的关系式表达出来） (3)类似地，对于方程我们可以定义“三绝对值方程”，请画出其对应的“三绝对值图形”． 32．(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学·期末)如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 33．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．    (1)求n、k的值； (2)已知点D是直线：上的一个动点． ①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______； ②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标； (3)如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形． ①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)； ②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______． 34．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)在平面直角坐标系中，直线经过点且交x轴于点B，过点A作轴于点线段，，围成的区域（不含边界）为我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点． (1)当时，点B的坐标为______； (2)当直线与直线平行时． 求直线的解析式； 直接写出区域W内的整点个数； ( 考点0 4 一次函数 实际 应用探究 ) 35．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 36．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)根据以下素材，探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克． (2)寄送杨梅重量均为整数千克． 素材2 (1)【分析变量关系】根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用（元）关于杨梅重量x (千克)之间的函数关系式． (2)【计算最省费用】若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用． (3)【探索最大重量】小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 37．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)项目式学习 背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？ 素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（分钟） 1 2 3 4 5 总水量y（毫升） 10 15 20 25 30 问题探究和问题解决 任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点． 任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断总水量y与时间t的函数关系？请求出这个关系式． 任务3 ①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议． 38．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示． 记录得到以下信息： a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程和（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如下图： b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表： 景点 园中园 白鸽广场 海豹池 猴山 路程（） 1 2 2.5 3 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________； (2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此时距出发经过了___________ ； (3)下面有三个推断： ①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是； ②然然比琦琦晚到达游乐场； ③时，琦琦比然然多走了． 所有合理推断的序号是___________． (4)求然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式，标出自变量的取值范围； (5)当琦琦和然然相距时，直接写出游览时间的值：___________． 102 / 102 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08 综合探究 目目 考点01 动点问题 1. 【详解】(1)解：过点B作BH⊥CD于点H, :∠A=90°，AB∥CD, ∠D=90°， ·四边形ABHD是矩形， :BH AD =6cm,DH AB =12cm, CH=15-12=3cm, 在Rt△BCH中，BC=VBH2+CH2=V62+32=3√5cm· 故答案为：3√5. B D H (2)解：AP=tcm,CQ=2tcm,DQ=(15-2t)cm, 当四边形APOD是矩形时，AP=DQ, .t=15-2t, 解得t=5; A B (3)解：当BQ=BC时， :BH⊥CD, ∴.QH=CH=3cm, .Co=6cm 1/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 当C0=BC=35cm时，4=35 当BQ=CQ时，BQ=CQ=2cm,H=(2t-3)cm, 在Rt△BHQ中，BH2+QH2=BQ2, 62+2t-32=(2)2, 解得1=15 9 综上所述，当△BCO是等腰三角形时，t的值为3或35或5 2 (4)当BP=C0时，如图， AB CD :四边形BCQP是平行四边形 此时，PQ=BC 由BP=CQ可列方程12-t=2t 解得t=4: P B 当BP<CQ时，如图， 过点P作PG⊥CD于点G, AB CD PG⊥AB, :BH⊥CD, ·四边形PBHG是矩形， .PG=BH,∠PGQ=∠BHC=90°，BP=GH=(I2-t)cm, 若PQ=BC,则Rt△PGQ≌Rt△BHC(HL), 2/68 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.QG CH =3cm .QG+GH+CH=CO, .3+(12-t)+3=2t, 解得t=6; P B D 综上所述，当PQ=BC时，t的值为4或6. 【点晴】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质， 注意分情况讨论等腰三角形的三种情形是解题的关键， 2. 【详解】(1)解：由题意得：AP=3t,CQ=2t, .BP=AB-AP =15-3t, 分15-+25=0. 解得：t=3, 故答案为：3； (2)解：当点P在边AB上运动时，即0<1<5， 作PE⊥CD,如图1所示： D E 图1 .Co=2t,AP=DE=3t,PB =15-3t,PE =BC AD =5cm, .EO=CD-DE-CO=15-5t,PB=AB-AP =15-3t, 由勾股定理得，PQ=E02+PE2=(15-5)2+25=2512-150t+250, BQ2=CQ2+BC2=4t2+25 若∠PQB=90°，则PB2=PQ2+BQ, 3/68 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即(15-3t2=25t2-150t+250+4r2+25, 整理得：212-6t+5=0, :△=(-6)2-4×2×5=-4<0， 不存在一个时刻，使得LPQB=90°； (3)解：当0≤1≤5时，如图2所示： 0+C 5=×15-30x5=-15+75, 1 t+ 2 2 2 图2 当5<19时，如图3所示： D Q PBP=3t-15, B 图3 S=2xW3-15)×21=3r-15: 踪上所述：当0s15时，S+分；当5<1≤附，了=31面 (4)解：当QB=QP时，作QH⊥AB,如图4所示： D 图4 则H=号BP-5-3刘， :∠QHB=∠HBC=∠C=90°， ∴四边形QHBC是矩形， .BH=CO, 4/68 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即：5-3刘=2. 15 解得：=7 当BQ=BP=15-3t时，如图5所示： D 0 图5 BC2+CO=BO, 52+(2t)2=(15-3t)2, 解得：1=9-V④I,t2=9+√41（舍）， 综上所述：1=9-④或1=15 7 3. 【详解】(1)解：：AD=6,BC=16,点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， .PD=6-4P,BE=CE-7BC-8, ∴.QE=8-CQ或QE=CQ-8, :点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动， .AP=1, .PD=6-1; :点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动， .C0=2t, 若点Q与点E重合，则21=8， 解得t=4; 若点P与点D重合，则t=6, 当0≤1≤4时，则QE=8-2t, 当4<t≤6时，则QE=2t-8, 故答案为：6-1；2t;8-2t或21-8； (2)解：：AD∥BC, 5/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形时，PD=EQ, :E是BC的中点， ∴.BE=CE=BC=8, 分两种情况： ①当2运动到E和B之间，则得：21-8=6-1， 解得：1=14 ②当Q运动到E和C之间，则得：8-2t=6-1, 解得：t=2, 综上所达，当运动时间：为2秒或号秒时，以点户，Q,么，D为顶点的四边形是平行四边形. 4. 【详解】(1)：四边形OABC是正方形.顶点A7,0), B7,7,C(0,7, .0D=OE=4, .D(0,4),E(4,0, 设直线DE的解析式为：y=x+b, 「0=4k+b 4=6，解得： k=-1 b=41 .直线DE的解析式为：y=-x+4, 同理可得：直线OB的解析式为：y=x, y=-x+4 联立： y=x y=2 解得： x=2’ .H(2,2), 即：直线DE的解析式为：y=-x+4,H(2,2): (2)①：MN∥y轴，直线I与直线OB交于点M、与直线DE交于点N, 结合运动的特点，设M(t,t),N(t,-t+4,t≤7， 6/68 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :点M在点N上方， .L=t-(-t+4=2t-4,且点M在点H的右侧， .t>2, 即：L=2t-4,2<t≤7； ②如图， AV B ML 人 】 :点P恰好落在正方形的边AB上， xp=x4=7, :M(t,, .MP =Xp-xy =7-1, :结合图形可知：在等腰直角△MNP中，MW=MP,∠PMN=90°， .7-t=2t-4, 解得：1=， Γ3 :点P恰好落在正方形的边AB上时，4= 39 :MN∥y轴，∠PMW=90°， .MN⊥x轴，MP∥x轴，MP⊥y轴， :在等腰直角△MNP中，MN=MP,∠PMN=90°， .∠MPN=∠MNP=45°， 结合正方形的性质有：∠B0A=45°， 又：MP∥x轴， ∠B0A=∠BMP=45°， .∠MPN=∠BMP=45°， 7168 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 .PN OB, 如图， N :MN⊥x轴，MP⊥y轴，∠OAB=∠PMN=90°， :当点A在△MNP内部（含斜边NP)时，等腰直角△MWP与aABO重叠部分为矩形， 即随之直线MN向边AB靠拢时，当等腰直角△MNP的斜边NP经过点A时，等腰直角△MNP与△ABO重 叠部分开始为矩形， :PNI0B,直线OB的解析式为：y=x,A7,0),B(7,7, ∴.将直线OB向下平移7个单位时即与PN所在直线重合， .直线PN的解析式为：y=x-7, y=-x+4 联立： y=x-7 3 y=- 解得： 2 11’ 2 引 :当≤1<7时，等腰直角△MNP与△AB0重叠部分为矩形： (3)如图，设NQ交OB于点S, 8/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A B C M E :H(2,2),D0,4),0(0,0),N、M恰好是DH、OH中点， N(1,3,M1,1, .MN=2,即MN=MQ=QN=2, 如下图，过点Q作QT⊥MN于点T,过点M作MR⊥NQ于点R, R M 在等边△MNQ中，MN=MQ=QN=2,QT⊥MN, 7=w-w=1, .T0=VMg2-MT2=5, TO=MR=3, :N(1,3,M(1,1,NT=1,TQ=5, :01+5,2, 3*343 :按照求解DE解析式的方法可得直线NQ的解析式为：y- 3 y=x 联立： = +3+, 3 3 9168 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=4-V5 解得： x=4-V3' S4-5,4-5, :01+5,2, “0s=4-5-1-5+(4-5-2=4-25, :等边△NM0与：480重叠部分的面积为：×Q5×MR=×4-2)x5=25-3, 故答案为：25-3 【点睛】本题是一道一次函数的综合题，考查了正方形的性质，线段的平移，勾股定理，等边三角形的性 质，矩形的性质，中点坐标公式以及待定系数法等知识，问题的难点在于弄清楚直线平移时的临界点. 5. 【详解】(1)解：由题意可得4P=, :PD=AD-4P-6-7 . 故答案为：6-29 (2)解：在口ABCD中，AD∥BC,CD=AB=3, ∴.LDPC=LBCP. :CP平分∠BCD, .LBCP=∠DCP, ∠DPC=∠DCP, .DP=DC=3, 6-=3 1=6; (3)解：：以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，BQ∥PD, :PD BO 当点Q没有到达点B时， 6-1=6-21, 2 .t=0(不合题意舍去)， 10/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 当点Q到达点B后，返回时， 6--1-6, 24 :.1=- 当点Q到达点C后，返回时， 6-1=3x6-21, 2 t=8, 当点Q第二次到达点B后， 6-1=21-6x3, 2 s48 5 综上所述：的能为行或8成餐。 6. 【详解】(1)解：已知m=10,其中，按甲方式移动了n次，则按乙方式移动了(10-n)次， 根据平移方式，点B的坐标为-2n,-20+2n, 由题意得-20+2n=-n+1, 解得n=7; (2)解：①设这条直线I的解析式为y=x+b,点A按甲方式移动了n次，又点A从原点O出发连续移动 m次，则点A按乙方式移动了m-n)次， ∴.点A按甲方式移动了n次后得到的点的坐标为-2n,0),点(-2n,0按乙方式移动了(m-n)次，得到点B的 坐标为-2n,-2m+2n, 由题意得-2m+2n=-2nk+b,即-2m+2+2k)n=b, :无论n怎样变化，点B都在自变量x的系数为定值的直线I上， .2+2k=0, 解得k=-1,b=-2m, ∴直线I的解析式为y=-x-2m, 若点P、点Q位于直线1的两侧， 11/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 情况一：直线1恰好经过P(-8,0),代入得8-2m=0,即m=4, 情况一：直线1恰好经过Q(-10,-6),代入得8-2m=-6,即m=8, :若点P、点Q位于直线1的两侧，m的取值范围是4<m<8; ②点Q关于直线1的对称点2落在y轴上， 记直线1与x轴、y轴的交点为D,C, 过点Q作QP⊥y轴于点P,连接Qg,与直线I交于点E,如图， 以 D 根据题意得D(-2m,0),C0,-2m, .0C=0D, .∠0CD=∠0DC=45°， 根据轴对称的性质得，QQ⊥CD, :.∠EQ,C=90°-∠0CD=45°，且∠QP2=90°， .△Q0,C是等腰直角三角形，Q-10,-6), .QP=9P=10, .09-9P-0P=4, :E是Qg的中点， PE⊥O9且QQ,⊥DE, 点P与点C重合， .-2m=-6, m=3. 7. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， 12/68 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 AB∥CD, ∴.∠CQO=∠APO,∠QCO=∠PAO. :AP=C0=21, .△AOP≌△COQ, 0C=0A. 在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得AC=√AB2+BC2=10, :0C=4C=5. (2)解：当四边形APQD是矩形时 D Q C PQ⊥CD,PQ=AD=6cm P 由(1)可知：OQ=-PQ=3cm ∴.CQ=V0C2-002=4=2t 解得：t=2 (3)解：如图1，当四边形APCQ是菱形时，AP=CP=2t,PB=8-2t. 在Rt△BCP中，由勾股定理得CP2=BP2+BC2,即(2t)2=(8-2)2+62, 解得1=25 8 9 P B 图1 :当1=25时，四边形APCQ是菱形. 8 (4)解：由(1)知，点O是AC的中点，连接OB,过点O作0H⊥AB于点H,如图2. 13/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 Q --3B P H 图2 易知，0A=0B, H为AB的中点， OH是ABC的中位线， .OH-7BC=3.AW--48-43 2 .PH=4-2t. 在RtaP0H中，由勾股定理得，PO2=OH2+PH2=32+(4-2t)2. 当P0=AP时，(2)2=32+(4-2t)2,， 解得1=25。 16: 当A0=AP时，2t=5, 解海1 当A0=0P时，点P与点B重合，故21=8， 解得t=4. 综上，当△4P0是等腰三角形附，1的值为2或或4. 16 2 【点晴】本题考查了几何中的动点问题，涉及了勾股定理、矩形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质 等知识点.掌握相关几何结论是解题关键， 8. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形 AB=BC,∠ABC=90° “△ABC是等腰直角三角形 ∠CAB=45 :PE⊥AB ,△AEP是等腰直角三角形 14/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 当x=1,即PA=PE=1 则四边形PEFG是边长为1的正方形 此时正方形PEFG与正方形ABCD重叠部分图形就是正方形PEFG :SE方形PEG=1P=1 .y=1 故答案为：1； (2)由题意得，当点F落在BC上时， 点G恰好与点B重合 如下图所示： D C F AEP是等腰直角三角形，四边形PEFG是正方形 G B .PA=PE PB x 即AB=PA+PB=2x=4 x=2 故答案为：2； (3)当x=3时， D C M F .PA=PE =3 G ∴.PB=AB-PA=4-3=1 由题意得：四边形PEMB是矩形 y=S矩形PEMB=3×1=3 故答案为：3； (4)①当EF=CF时， ∠CEF=45°， 15/68 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CFE=90° :△CEF是等腰直角三角形 即此时点F落在BC上， 由(2)得，此时x=2: ②当CE=CF时 D :∠CEF=45°， P B G ∠ECF=90° PA=PE =EF =x 在Rt△AEP中，AE=√PA2+PE2=Vx2+x2=√2N 在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2 即2CE2=x2 解得：CE=2 在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=V42+42=V32=4√2 AC-AE+CE= x=42 2 解得：x=8 9 ③当CE=EF时 D C E PA=PE=EF=x P BG .AE=2x,CE EF =x .AC=AE+CE=2x+x=4v2 16/68 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4v2 42(2-) 解得：x= =8-4V2 (2+1(2+12-1 :当△CEF是等腰三角形时，x的值为2，氵，8-4反。 【点晴】本题考查的是正方形的性质，属于四边形综合题，进行分类讨论是解决本题的关键. 9. 【详解】解：(1)：四边形ABCD是正方形， .AD=DC,LACD=LDAC=45°，∠ADC=90°， :四边形DPFE是正方形， DP=DE,∠PDE=∠ADC=90°， .∠ADP=∠CDE, 在△ADP和△CDE中， 「AD=DC ∠ADP=∠CDE, DP=DE .△ADP≌aCDE(SAS), .AP=CE,∠DAC=∠DCE=45°， .∠ACE=90°， ∴.AP⊥CE, 故答案为：AP=CE,AP⊥CE; (2)当点P在线段AC上运动时，PC+CE=√2CD,理由如下： 当点P在线段AC上运动时，如图1，由(1)可得AP=CE, .PC+CE =PC+AP=AC, :四边形ABCD是正方形， .∠ADC=90°，AD=CD, 在Rt△ADC中，∠ADC=90°， AC=AD2+CD2=2CD2=2CD, ∴.PC+CE=V2CD: (3)当点P在线段AC的延长线上运动时，CE-PC=√2CD,理由如下： :四边形ABCD是正方形， 17/68 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 .AD=DC,∠ACD=LDAC=45°，∠ADC=90°，AC=√2CD, :四边形DPFE是正方形， .DP=DE,∠PDE=∠ADC=90°， ∠ADP=∠CDE, 在△ADP和ACDE中， AD=CD ∠ADP=∠CDE, DP=DE .△ADP≌aCDE(SAS), .AP=CE,LDAC=∠DCE=45°， .CE CP=2CD 故答案为：CE-CP=√2CD; (4):△ADP≌△CDE, .∠DCE=∠DAP=45°， ∴.∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°， AB=2, CD=AB=√2，AC=√2xV2=2, CE=AE2-AC2=5, AP CE=5, .PC=5-2=3, PE=CE2+CP2=34, :e受-i, 17+3=10 SE边形DcPE=S,PnE+S.pmc=2+2 故答案为：10. 【点晴】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质， 全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键 10. 18/68 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，AC=BC=4cm, .LCAB=45°， 又：PQMN是正方形， .∠QPA=90°， ∠AQP=45°=∠CAB, .PO=AP=2x, 故答案为：2x; (2)解：当点M落在CD上时，如图， 图① 根据题意，得AP=PQ=2x, :四边形PQMN是正方形， ∴.PQ=PN=MW=2x, :CD⊥AB, LACD=45°， :CN=MN =2x, AP+PN +CN=AC, .2x+2x+2x=4, 2 解得x=3 (3)解：AB=VAC2+CB2=4√2， :CD⊥AB, .AD=DB=2√2， 如图，当0<x≤1时，PQ=AP=2x, ·AQ=√AP2+PQ2=2N2x, 19/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 图② :.y=AD-A0=2v2-2v2x; 如图，当1<x≤2时，y=AQ-AD=2V2x-2V2; 4 D P G B M 2W2-2W2x(0<x≤1) .y= 2V2x-2W21<x≤2) (4)设BC的六等分点为点E, 则CE长可以是名，4， 810 ,3233 当CE=10时，Pg=CE=2x= 10 ,解得x= 3 3 3 当C6-时，P0=0E=2号解得 当CE=2时，PQ=CE=2x=2,解得x=1,这时点M在BC上： 当CE长是号安号时，点在sC上方，不符合题忘， 综上所达，位为，或号 11 【详解】(1)解：：b=√a-6+√6-a+8, 又：√a-6≥0，Va-620, .a-6=0, ∴.a=6,b=8, 20/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ..AD=6cm,BC=8cm, 故答案为：6,8； (2)解：根据题意可知：AP=0.5xcm,CQ=2xcm, .BO=BC-CO=(8-2x)cm, 当AP=BQ时，根据AD∥BC可知，四边形ABQP是平行四边形， 又：∠B=90°， :四边形PQBA是矩形， 根据AP=BQ,有0.5x=8-2x, 解得x=3.2, 答：当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形； (3)解：AD=6cm,P点的速度每秒为0.5cm, :时间0<1≤6=12， Γ0.5 :.Q点移动的最大距离为：12×2=24cm, :AD=BC-6cm,Q点的速度每秒为2cm, ∴.Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒， 根据题意可知：AP=0.5cm,点Q的运动距离为2tcm, .PD=AD-AP=(6-0.5t)cm, 当P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD=BQ, ①当0<3时，PD=(6-0.5t)cm,BQ=(6-2t)cm, .6-0.5t=6-2t, 解得t=0(不符合题意，舍去)； ②当3<t6时，PD=(6-0.5t)cm,BQ=（2t-6)cm, .6-0.5t=2t-6, 解得t=4.8: ③当6<9时，PD=(6-0.5t)cm,BQ=BC-CQ=(18-2t)cm, .6-0.5t=18-2t, 解得t=8: ④当9<12时，PD=(6-0.5t)cm,BQ=BC-CQ=(2t-18)cm, .6-0.5t=2t-18, 21/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解得t=9.6. 综上所述：当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形 【点晴】本题考考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，一元一次方程在几何中的应用等知 识.注重分类讨论的思想是解答本题的关键。 目目 考点02 几何变换探究综合 12. 【详解】解：(1)①四边形ABCD是正方形， .∠C=∠BAD=90°， 由折叠的性质可得：∠BAE=∠MAE,∠DAF=∠MAF, :∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD=45°，即∠EAF=45°： ②由折叠的性质可得：BE=ME,DF=MF, EF ME +MF .EF BE+DF (2)结论：AP=BE+DF成立，理由如下： 将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N, :四边形ABCD是正方形， .∠B=∠C=90°， 由折叠的性质可得：BE=ME,DF=MF,∠AME=∠B=∠C=LENF=90°， .∠ANF=∠AMF=90°， .∠APN=∠FPM, .∠NAP=∠NFE, 由(1)得：∠EAF=45°， :.△ANF是等腰直角三角形， .AN FN .△ANPD△FNE(ASA, .AP=EF, ∴EF=EM+FM=BE+DF, .AP BE+DF (3):点N落在折痕AE上， 22/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAE=∠MAE,LCFE=∠NFE,∠AFD=∠AFM, ·.△ANF是等腰直角三角形， .∠AFN=45°， .∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45°+∠NFE, .∠AFD+∠AFM+∠CFE=180°， ∴.2×45°+∠NFE)+∠NFE=180°， .∠NFE=30°， :∠APN=∠FPM,∠ANF=∠AMF=90°， ∠NAP=∠NFE=30°， .∠BAE=30°， ∴.AE=2BE, AB2+BE2=AE2, 32+BE2=(2BE), BE=5, :CE BC-BE =3-3. 设DF=x, 则MF=DF=x,CF=3-x, 在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2, :(3+x=3-5+3-x2, 则3+2V5x+x2=9-6V5+3+9-6x+x2, x-9-35_9-33-月6-1856-3N5, 3+√3 6 6 由(2)得AP=BE+DF, .AP=V5+6-3V5=6-2V5. 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知 识点并灵活运用是解此题的关键。 13. 23/68 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 【详解】知识运用： :四边形ABCD为矩形， ∠A=90°， :AB=4V5,AM=4, BM-VAB+AN-4)4-8: 连接AN,如图， 0 F :EF为折痕， .EF垂直平分AB, .AN BN, :△BMN由△BMA折叠所得， .AB BN, .AN BN AB, .△ABN为等边三角形， .∠ABN=60°， .∠NBC=90°-60°=30°， 故答案为：8,30： 综合提升： 四边形BGHM为菱形，理由如下： :△BMN由△BMA折叠所得， :.∠ABM=∠NBM,∠BAM=∠MWB=90°， :∠ABN=∠ABM+∠NBM=60°， .∠ABM=∠NBM=30°， :∠NBC=30°， ∴∠NBM=∠NBC=30°， .MBG=60°， .△BMG是等边三角形， 24/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .BM =BG :将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH, .△BMG≌AHGM,BH⊥MG, .MH BM, .MH BM =BG :MH∥BG, ∴.四边形BGHM是平行四边形， .BM=BG, :四边形BGHM是菱形： 迁移探究： :△ABN为等边三角形， .∠ABN=60°， :△BMN由△BMA折叠所得， C∠ABM=NBM-ABN=30P,LAMB=∠NMB :∠BAM=90°， .∠AMB=∠NMB=90°-∠ABM=60°， .∠DMN=180°-60°-60°=60°， 在Rt△DMQ中，DM=2,∠MQD=90°-60°=30°， .MQ=4,D0=V42-22=25, :△BMN由△BMA折叠所得， .AB BN .BN =BC, 在RtaBNO和Rt△BCQ中， BN=BC BO=BO' .∴Rt△BWQ≌RtABCO(HL), .NO=CO, .MO=MN+NO=MA+CO, 25/68 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD+DC=AM+MD+D0+Co=MO+MD+DO=4+2+23=6+23, AD=3+V5, 故答案为：3+√3； 拓展提升： 如图， D :四边形ABCD是矩形纸片，HK⊥BC, .AB=HK=DC=4, :黄金矩形HKCD以DH为宽，HK=4, :DH-5-1 HK 2 .DH=2V5-2=CK, :∠1=L2=∠3=30°， .BH=2HK=8, 由勾股定理得BK=V⑧2-42=4√5， .BC=BK+KC=4V3+2V5-2, 故答案为：45+25-2. 【点晴】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形 的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，能够根据折叠的性质证 出∠1=∠2=∠3=30°是解题的关键 14. 【详解】【发现】证明：：四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠BAP=∠DAP=45°， 在△APB与△APD中， 26/68 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD=AB ∠BAP=∠DAP=45°， AP=AP △APB≌aAPD(SAS), .PB=PD 故答案为：PB=PD; 【探究】①PD=EF；如图，连接PB, D P A E B 图② 证明：由【发现】可知，PB=PD, :四边形ABCD是正方形， ∠ABC=90°， 又：PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E、F, ·.四边形PEBF是矩形， .PB=EF, .DP=EF; ②连接BD,PB,如图， D M B 图③ :四边形PMBN是矩形， .PB=MN, :四边形ABCD是正方形， ∠DCB=∠B=90°，DC=BC=AD=AB=4, 27/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :BD=√2AB=V2×4=4V2, :四边形ABCD是正方形， BD⊥AC, 当PB⊥AC时，PB最小， 此时PB=2BD=22, :.MN的最小值为2√2， 故答案为：2√2； 【拓展应用】△DHP的形状为直角三角形；理由如下： :H为GQ的中点，∠ADG=90°， .GH=DH,∠GDH+∠ADH=90°， ∴.∠G=∠GDH, 在RtABCG中，∠G+∠CBG=90°， 在△CDP与aCBP中， (PB=PD CD=CB, CP=CP :△CDP≌ACBP(SSS), ∠CDP=∠CBP, .∠GDH+LCDP=90°， ∴∠HDP=90°， :△DHP的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定， 勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键. 15. 【详解】(I)证明：延长DE至点G,使GE=DE,连接CG,如图， G:点D、E分别是ABC的边AB与AC的中点， B 28/68 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AE=CE,AD =BD, 在ADE和aCGE中， AE=CE ∠AED=∠CEG, DE=EG △ADE≌ACGE(SAS), AD=CG,∠DAE=∠GCE, BD=CG,BD∥CG, ·四边形DBCG是平行四边形， :DGBC DG=BC, DE∥BC且DE= DG-C (2)证明：P是BD的中点，M是DC的中点， :.PM=IBC, 2 P是BD的中点，N是AB的中点， :.PN=IAD, 2 :AD=BC, :PM PN ∠PMN=∠PNM; (3)解：连接BD,取BD的中点P,连接PM、PN,如图2， D :M是DC中点，N是AB中点，AD=BC, 图2 :PM=.BC=AD=PN,PN∥AD,PM∥BE, 2 ∠PMN=∠PNM, :∠ADC+∠DCB=236°， ∴.∠A+∠ABC=360°-∠ADC+∠DCB)=360°-236°=124°， 29/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :PN∥AD,PM∥BE, ∠PNB=∠A,∠PMN=∠E, 在△ENB中，∠E+∠ABC+∠ENB=180°， ∠E=180°-∠ABC-∠PNM-∠PNB=180°-∠ABC-∠E-∠A, .2∠E=180°-（∠A+∠ABC)=180°-124°=56°， ∠E=28°， 故答案为：28°. 16. 【详解】(I)①证明：由折叠得B'D=BD,B'E=BE,∠B'DE=∠BDE, :DB'∥BC, ∠B'DE=∠BED, ∴.∠BDE=∠BED, .BD=BE, :B'D B'E BD =BE, :四边形BDB'E为菱形 ②解：：△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点， AC=BC.ZACB=90,CD=BD=AD=AR ∠B=∠A=45°，∠DCA=∠DCB=∠ACB=45°， B'D=BD,∠DB'E=∠B=45°， .CD=BD,LDCA=LDB'E=45°， ∠DCB'=∠DB'C, :∠DCB'-∠DCA=∠DB'C-∠DB'E, ∠FCB'=∠FB'C, :CF B'F, :△B'FC是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 (2)解：如图②，连接CD、B'C, 30/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :CD=BD B'D, B----- 图② ·LDCB'=∠DB'C, .∠DCA=∠DB'E=45°， ∠DCB'-∠DCA=∠DB'C-∠DB'E, .∠FCB'=∠FB'C, .CF =B'F :CF EF B'F EF B'E =BE :CF EF +CE=BE CE BC, AB=AC2+BC2=2BC=10, .BC=52, ..CF+EF+CE=52, aCEF的周长为5√2， 故答案为：5√2 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性 质、菱形的判定、勾股定理等知识，推导出∠FCB'=∠FB'C是解题的关键 17. 【详解】(1)解：：AB=4,∠A=45°，AB1BD, “.△ABD是等腰直角三角形， ∴.BD=AB=4, 故答案为：4； (2)解：当点P在线段AB上，即0<x≤2时，此时AP=2x, .y=AP.BD=4x: 2 当点P在线段BD上，即2<x<4时， 31/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B 此时DP=8-2x, y=Dp4B=8-2x4=4x+16: 当点P在线段CD上，即4≤x≤6时， D P B 此时DP=2x-8, :y-DP.DB=(2x-8)x4-4x-16: 2 4x0<x≤2 综上，y= 4x+16(2<x<4): 4x-16(4<x≤6 (3)解：当点P在线段AB上，即0<x≤2时， A OP B 0 ÷40=4-5=3 22' :点Q是AP的中点， AP=2A0=3, 3 ·x=2 当点P在线段BD上，即2<x<4时， 32/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D A B 点Q是4P的中点， :Q=3, .AP=2BO=5, :BP=AP2-AB2=3, :.2x=AB+BP=7, 7 :x=2 当点P在线段CD上，即4≤x≤6时， D P C A B E 延长AB至点E,使BE=AB=4,连接CE,PE, :BE=CD=4,CD∥BE, :.四边形CDBE是平行四边形， :∠DBE=90°， :四边形CDBE是矩形， BE =BD=4, 四边形CDBE是正方形， CE=4,∠PCE=90°， :点Q是AP的中点，点B是AE的中点， .PE=2BQ=5, ∴CP=VPE2-CE2=3, .2x=AB+BD+CD-CP=9, 9 X=2 33/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 3 9 综上，的值为或政了 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位 线定理以及勾股定理.作出合适的辅助线是解题的关键 18. 【详解】(I)①：在四边形ABCD中E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点. :EH是△ABD的中位线，FG是△CBD的中位线， EH∥BD,EH=)BD,FG∥BD,FG=LBD, ∴.EH=FG,EH∥FG .四边形EFGH的形状为平行四边形； 同理可得，EF是△BAC的中位线， EF∥AC .AC⊥BD .EH⊥EF ·.四边形EFGH的形状为矩形； ②：EF是△BAC的中位线， &球-4C AC BD ∴.EH=EF .四边形EFGH的形状为菱形； ③AC=BD,AC⊥BD 由以上可得，EH⊥EF,EH=EF :.四边形EFGH的形状为正方形： (2):在四边形ABCD中E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点. .EH是△ABD的中位线，FG是△CBD的中位线， :EH∥BD,EH=,BD,FG∥BD,FG=BD, 2 .EH=FG,EH∥FG :四边形EFGH的形状为平行四边形； (3)AC=4,BD=5, 34/68 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 由(1)得，EF=AC=2,EH=BC=2.5,四边形EFGH的形状为矩形 2 四边形EFGH的面积为EH·EF=2.5×2=5; (4)如图所示，连接FH,EG交于点O :四边形EFGH的形状为菱形 EGLFR OFFZEFO-EG 2 :.OE=TEF EF2=OE2+OF2 -传rj :F=√3（负值舍去） AC =2EF=23. 【点晴】此题考查了菱形的性质和判定，矩形的判定，正方形的判定，勾股定理，三角形中位线的性质和 判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点. 19. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， D E 图1 .∠A=LADC=90°， :点F落在DC边上， 35/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 由折叠得：EF=AE=6,∠EFD=LA=90°，∠ADE=∠EDF=45°， .△AED是等腰直角三角形， .AD AE=6, :矩形ABCD的面积=AB·AD=12×6=72; 故答案为：72； (2)解：如图2，连接EG, D 图2 AB=12,AE=6, .BE=6, :EF=6, :BE=EF, EG=EG, :.Rt△EBG≌RtAEFG(HL), .FG=BG=4, 设AD=x,则CG=x-4, 由勾股定理得：DG2=CG2+DC2, (x+42=(x-4)2+122, x=9, ∴.AD=9, .矩形ABCD的面积=AB·AD=12×9=108; (3)解：分两种情况： ①如图3，点G在点B的右侧，连接EG, 36/68 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C(G) 图3 :BE=12-4=8,BG=4,∠B=90°， EG=V82+42=4V5, FG=VEG2-EF=45-42=8, 设AD=a,则AD=DF=a, 在Rt△DCG中，DG2=DC2+CG2, (a+8)2=122+a-42, .a=4, 此时点G与C重合， .矩形ABCD的面积=AB·AD=12×4=48; ②如图4，点G在点B的左侧，连接EG, D E B 图4 C 同理EG=V⑧2+4=45， FG=VEG2-EF2=V45-42=8, 设AD=a,则AD=DF=a, 在Rt△DCG中，DG2=DC2+CG2, (a+8)2=122+(a+4)2, .a=12, 37/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 矩形ABCD的面积=AB·AD=12×12=144 综上，矩形ABCD的面积是48或144 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，矩形的面积，全等三角形的判定 和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键 20. 【详解】解：(1)FG与FD的数量关系是：FG=FD,理由如下： 连接AF,如图①所示： D 四边形ABCD是正方形， C(H) E 图① .AB=AD,∠B=∠D=90°， 由翻折性质得：AG=AB,∠AGE=∠B=90°， .AG=AD,∠AGF=∠AGE=90°， :.AGF和△ADF都是直角三角形， 在Rt△AGF和RtAADF中， AG=AD AF=AF .Rt△AGF≌Rt△ADF(HL), :FG=FD; (2)FG与FD的数量关系是：FG=FD,理由如下： 连接AF,如图②所示： :四边形ABCD是正方形， E 图② .AB=AD,∠B=∠D=90°， 由翻折性质得：AG=AB,∠AGE=∠B=90°， 38/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .AG=AD,∠AGF=∠AGE=90°， :AGF和△ADF都是直角三角形， 在Rt△AGF和RtAADF中， AG=AD AF=AF’ .RtAAGF≌RtAADF(HL), :FG=FD; (3):四边形ABCD是正方形，且AB=8, AB=BC=CD=8,∠C=90°， BE=6, :CE=BC-BE=2, 由翻折性质得：EG=BE=6, 设FG=a, 由(2)可知：FG=FD=a, :EF=EG+FG=6+a,CF=CD-FD=8-a, 在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=CE2+CF2, (6+a)2=22+(8-a)2, 8 解得：a=7' 8 ∴.FG=a= 21. 【详解】(I)解：∠ADE=∠CDF,理由如下： 根据题意画出图形如图1所示： E :四边形ABCD为正方形， B 图1 .∠ADC=90°， .∠ADE+∠EDC=90°， 39/68 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DF⊥DE, ∠EDC+∠CDF=90°， ∠ADE=LCDF; (2)证明：连接CF,如图2所示： E :四边形ABCD为正方形， B 图2 DA=DC=BC,∠A=∠DCB=∠B=90°， 在ADE和CDF中， AD=CD ∠ADE=∠CDF, DE=DF :.△ADE≌aCDF(SAS), .∠DCF=∠A=90°， :∠BCF=∠DCB+∠DCF=90°+90°=180°， B,C,F三点在一条直线上； (3)解：连接PD,PB,过点P作PH⊥BC于H,如图3所示： E DF⊥DE,∠ABC=90°， H 图3 :△DEF和△BEF均为直角三角形， :点P为EF的中点， PDEF P8- :PD=PB, 在△PDC和△PBC中， 40/68 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 PD=PB PC=PC, CD=CB ∴APDC≌△PBC(SSS), :∠DCP=∠BCP=∠DCB=45°， 2 :PH⊥BC, :△PCH为等腰直角三角形， 设PH=CH=a, 由勾股定理得：CP=VPH+CH=Va2+a2=√2a, PH⊥BC,∠ABH=90°， :ABPH 又：点P为EF的中点， .PH为△BEF的中位线， :BE 2PH =2a, CP 2a BE 2a 2 22. 【详解】解：(1)：四边形ABCD为正方形， BC=CD,∠B=LADC=90°， .∠CDF=180°-∠ADC=90°， .∠CDF=LB, DF =BE, :.△BCE≌DCF(SAS), .CE =CF; (2)如图，延长AD至F,使DF=BE,连接CF, 41/68 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D E B C 由(1)得：△CBE≌△CDF, .ZBCE ZDCF, ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°， ∠GCE=45°， .GCF=∠GCE=45°， ,CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC, .△ECG≌△FCG, .GE=GF, .GE=DF+GD=BE+GD (3)如图，作CG⊥AD交AD的延长线于G, A 111111111 E B 在直角梯形ABCD中， :AD∥BC, .∠A=∠B=90°， .∠CGA=90°，AB=BC, :.四边形ABCG为正方形， .AG=BC, .∠DCE=45°， 由(1)(2)可得，ED=BE+DG, 10=4+DG,即DG=6, 42/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 设AB=x,则AE=x-4,AD=x-6, 在Rt△AED中，DE2=AD2+AE2,即102=(x-6)2+(x-4)2, 解得：x=12或x=-2(不符合题意，舍去)， .AB=12, :这个梯形ABCD的面积为S=4D+8Cx4B-6+12x12=10e. 23. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠ADB=∠CDB,∠ADC=90°， 在△ADP和△CDP中， :AD=CD,∠ADB=∠CDB,DP=DP, .△ADP≌aCDP(SAS, .∠PAD=∠PCD, .∠EPF=90°， .∠PMD+∠PCD=360°-∠EPF-∠ADC=180°， :∠PMD+∠AMP=I80°， .∠PCD=∠AMP, ∠PAD=∠PMA; (2)证明：由(1)得：△ADP≌△CDP, .∠APD=∠CPD,AP=CP, :AP∥CM, ∴∠APD=∠CNP, .∠CPD=∠CNP, .PC=CN, .AP=CN .四边形APCN是平行四边形， .PC=CN, ∴四边形APCN是菱形； (3)解：如图，过点P作PG⊥AD于点G,设PF,CD交于点H, 43/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 G D M 图3 :四边形ABCD是正方形， .AD=CD=4,∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=∠CDM=90°， 在△ADP和△CDP中， AD=CD,∠ADB=∠CDB,DP=DP, △ADP≌△CDP(SAS), .∠PAD=∠PCD, :∠EPF=∠CDM=90°，∠CHP=∠DHM, .∠PCD=LAMP, ∴∠PAD=∠AMP, ∴.AP=PM, :PG⊥AD, :GM=AG,△PDG是等腰直角三角形， ∴PD=V2PG=V2DG, :PD=√2， .PG=DG=1, ∴.AG=MG=AD-DG=3, .DM =GM -DG=2, 在Rt△CDM中，CM=VCD2+DM2=V42+22=2√5 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股 定理，利用分类思想讨论解答是解题的关键 24. 【详解】(1)解：要使平行四边形OEF是矩形， .∠AOB=90°， AC⊥BD, 44/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：AC⊥BD; (2)解：四边形OEMF是菱形. 证明：在矩形ABCD中，OA=OB, :点M是AB的中点，ME∥BD,MF∥AC, ME-OB,Ath= 204, .ME=MF, :四边形OEMF是平行四边形， ∴四边形OEMF是菱形； (3)解：MF+OA=ME, 理由：在矩形ABCD中，OA=OB, ME∥BD,MF∥AC, .四边形OEMF是平行四边形， ..MF=EO. ∴.∠OAB=∠OBA=∠EMA, .EA=EM, MF=OE, ∴.MF+OA=ME 【点晴】本题主要考查了特殊的四边形的性质和判定，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本 题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别. 25. 【详解】(1)①：四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°， 又：AP=AP, .△ABP=△ADP(SAS), ∴PB=PD, :PB=PE, .PE=PD, 故答案为：PE=PD; ②：PM⊥CD于点M,PN⊥BC于点N, 45/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .∠PNE=∠PMD=∠PMC=90°， :四边形ABCD是正方形， .PC平分∠MCN,∠NCM=90°， :∠PNC=∠NCM=∠PMC=90° 四边形PMCN是矩形， .∠MPN=90°， :PC平分∠MCN,PM⊥CD,PN⊥BC, .PN PM 在Rt△PNE和RtAPMD中， (PE=PD PN=PM' ∴.Rt△PNE≈Rt△PMD, .∠EPN=∠DPM, :∠MPN=∠MPE+∠EPN=90 .∠MPE+∠DPM=90°， 即∠DPE=90°， PE⊥PD, 故答案为：PE⊥PD; (2)PE与PD的数量关系和位置关系为：PE=PD,PE⊥PD,理由如下： 设PE交CD于F,如图②所示： A D F B C E 图② .在正方形ABCD中， .BC=CD,∠BCA=∠DCA=45 .PC=PC, 46/68 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 .△BCP=△DCP .PD=PB,∠PBC=∠PDF :PB=PE, PD=PE,∠PBC=∠PEB, ∠PBC=LPDF, .∠PDF=∠PEB, ZPFD ZCFE ∴180°-∠PFD-∠PDC=180°-∠CFE-∠PEB, :ZDPF ZECF, 在正方形ABCD中：∠ECF=∠BCD=90°， ∠DPF=90°， PD⊥PE; .PE与PD的数量关系和位置关系为：PE=PD,PE⊥PD (3)设PD交BE于H,过点P作PQ⊥BE于Q,如图③所示 D B HO C 图③ 在正方形中：BC=CD,∠ACB=45°，∠BCA=∠DCA=45°，BC=AB=3, .LBCP=∠DCP=135°， .PC=PC, ∴.△BCP兰△DCP, .PD=PB,∠PBC=∠PDC, PB=PE ∴.PD=PE,∠PBC=∠PEB, :LPBC=∠PDC, 47/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .∠PDC=∠PEB, .∠PHE=∠CHD, .180°-∠CHD-∠PDC=180°-∠PHE-∠PEB, .LDPE=∠DCE, 在正方形ABCD中：∠DCE=∠BCD=90°， .∠DPE=90°， .△DPE是等腰直角三角形， :PQ⊥BE,PB=PE, .BO=EO, :LPC0=LACB=45°， :CQP是等腰直角三角形， co=Po=cp=1. .EO=BO=BC+CO=3+1=4, PE=E02+PO2=+1=7, .DE=V2PE=√2xV17=√34. 【点晴】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，综合性较 高，掌握以上知识点，准确作出辅助线是解题的关键， 目目 考点03 次函数与几何综合 26. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形，AB=2√2， :AC=BD,∠BAD=90°，OA=OD=AC,AC1BD, :AC=BD=4, 0D=0A=2, 故答案为：2； (2)解：当0≤x≤2时，点P在线段A0上运动时，此时AP=x, .CP=AC-AP=4-x, y=0DCP=x2x4-x=-x+40≤x≤2， 2 2 当2<x≤4时，点P在线段OB上运动时，如图. 48/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 此时，点P运动的路程和为OA+OP=x, 四边形ABCD是正方形， 图1 0D=0A,∠BDC=45°， :DP=OD+OP=0A+OP=x, 作PE⊥CD于点E, .∠PED=90°， ..PE= V22x, CD-PE=x(2<x≤4)， .y=2 -x+40≤x≤2) 综上所述：y= x(2<x≤4) (3)解：①当x=0时，y=4; 当x=2时，y=2; 当x=4时，y=4. 描点，连线即可. 2 012345元 ②如图，当直线y=二x+b经过点B(2,2)时，与函数图象只有一个公共点. 1 .2= ×2+b, 2 12345x 图2 解得：b=1, 49/68 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 当直线y=二x+b经过点A(0,4)时，与函数图象只有一个公共点.此时b=4, 1 当直线y=。x+b经过点C(4,4)时，4=二×4+b, 2 解得：b=2, “与函数图象只有一个公共点， 2<b≤4， 综上所述：b=1或2<b≤4. 27. 【详解】(1)解：①：点A(0,-2), :当x=0时，代入直线方程可得，0+1≠-2， ·点A不在直线y=x+1上， 同理，点B(2,6)不在直线y=x+1上，点C(3,4)和D(-1,0)在直线上， :与直线y=x+1相离的点是A,B; 故答案为：A,B; ②当直线y=x+b过点A(0,-2)时， ·将点A(0,-2)坐标代入可得： -2=0+b, 解得：b=-2 当直线y=x+b过点B(2,6)时， :将点B(2,6)坐标代入可得： 6=2+b, 解得：b=4. :b的取值范围是b>4或b<-2. (2)如图所示： 50/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 -6-5-423-2-10123456x -6 图形T与图形W相离时t的取值范围是t>5或t<-3. 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质等知识，理解题意，学会寻 找特殊位置解决数学问题是解题的关键， 28 【详解】(1)解：对于y=-mx+6,令x=0,解得y=6, 则D的坐标是(0,6)，即0D=6, :点B的坐标为6,8)， .0C=6,0A=BC=8, AD=8-6=2, AD=CE, CE=2,则E的坐标是(6,2)， 把E的坐标代入y=-mx+6得2=-6m+6, 2 解得m= 3 .y=- x+6: 3 (2②)解：点P是线段DE:y=子+6上的一个动点， 过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,连接OP,如图， 51/68 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 B D 0 PM=-2, t+6,PN=t, 3 :点P在∠AOC平分线上，PM⊥x轴，PN⊥y轴， .PM PN -1+6=1, 3 解得1=18 :p1818 （5’5 (3)解：设 2 m,-m+6 四边形0DEC面积=二×6×(2+6)=24， 当S,0pm:SE黄形ocEP=3:5时， 3 则S0Pn=×24=9, 8 1 六2x6m=9, m=3, 。-2m+6=-2x3+6=4, 3 .P(3,4, 当S,oPp:S因边形0CEP=5:3时， 则5am24=15, 1 ·2×6m=15, ∴m=5, m+6= -2x5+6= 3 3 3 P53) 52/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 综上可知，点P的坐标为利或引】 29. 【详解】(1)解：设直线A0的解析式为y=c, 将点A1,-2)代入，可得k=-2, 射线A0的解析式为y=-2x,x≤1， 故答案为：y=-2x,x≤1： (2)解：设射线AB的解析式为y=+b, [k'+b=-2 将A、B的坐标代入，可得2K+b=0 [K=2 解得 1b=-41 .射线AB解析式为y=2x-4,x≥1， 故答案为：y=2x-4,x≥1； (3)解：①四边形OPMN是正方形， .PM∥x轴， :A点在PM上， .m=-2; 故答案为：-2； ②当m>0时，P(0,m), .OP=ON =m :M(m,m), :点M在图象V上， 2m-4=m, 解得m=4; 当m<0时，0P=0N=-m, .M (-m,m, .-2m-4=m, 53/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解得=一 4 综上所运：m的值为4成-等 ③当m<-2时，图象V与正方形0PMN一定有两个公共点； P M 当m=-4时，M点、O点在正方形OPMN上，此时图象V与正方形OPMN有三个公共点， 3 3 <m<0时，图象V与正方形OPMN有两个公共点： 当m=2时，N点(2，O),此时B点、O点在正方形OPMN上，图象V与正方形OPMN有两个公共点； :m≥2时，图象V与正方形OPMN有三个公共点； 54/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 综上所述：m<-2或-4<m<0或m=2时，图象V与正方形0PMN有两个公共点. 3 30. 【详解】(1)解：①如图，四边形AQ2PB显然不是平行四边形， 4 - 、1A 5-4-3-2 2345 故答案为：Q2; ②设PQ所在直线为y=+b, 当AB为平行四边形的一边时，由①可知：Q(2,3),代入PQ点坐标得， 3=2k+b 1 k= b=2 ， 解得 2 b=2 1 y=2x+2: 当AB为平行四边形的对角线时， :A2,0),点B(0,-1, :B的中点坐标为1-》， :直线四过点》、10,2 55/68 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 k+h=2, b=2 解得 2, b=2 5 .y= 2t+2, ·直线PQ解析式为y三x+2或y=x+2 (2)解：当AB为平行四边形的一边时，则直线PQ一定平行于AB, :点A(2,0),点B(0,-1, ·.同理得直线AB的解析式为y=x+1, 2 如图，直线P2的解析式为y=2x+b, 4 1-3 1-2 5-4-3 2345x 3 3引 -------=4 当直线0过点D时，有2=-2+6，解行0=3： 1 当直线PO过点F时，有0=2×-+b,解得b=2, :b的取值范围为2≤h≤3. 31. 【详解】(1)解：由x+2y=1, 当x>0,y>0时，x+2y=1,即y=-x+ x+2 11 当x>0,y<0时，x-2y=1,即y=。x- 229 当x<0,y>0时，-x+2y=1,即y=2x+2 11 56/68 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 1 当x<0,y<0时，-x-2y=1,即y=-。x- 229 ·“双绝对值方程”x+2y=1所对应的”双绝对值图形”如图所示： 0. 0 (2)解：如图所示， 2 -3-2 23 设对角线BD所在直线的函数解析式为y=kx+b(k≠O),将点B(1,),D(-1,-1代入， k+b=1 得 -k+b=-1' k=1 解得b=0 :对角线BD所在直线的函数解析式为y=x, 同理，由点A(-1,0),B,1)的坐标可得直线B的解析式为y=2x+2,即2y-x=1, ·线段AB上的点的方程为y-x+y=1, BC的解析式为x=1,则线段BC上的点的方程为x-y+y=1, 11 直线CD的解析式为y=2-2,则线段CD上的点的方程为x-”-y=1, 直线AD的解析式为x=-1,线段AD上的点的方程为-x+y-y=1, :线段AB,AD在y=x上方，而线段AB上的点(x,y)在x轴上方，y>x,y>0,则x-=y-x,y=y, 线段AD上的点(x,在x轴下方，y>x,y<0,则x-=y-x,y=-y, 57/68 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :线段AB,AD上的点(x,y)可用y+y-x=1; 同理，线段CD,BC上的点(x,y)可用y++y-x=1, 综上可知，”双绝对值图形“。ABCD所对应的“双绝对值方程”为y-x+y=1; （3)解：由方程+小++小=1得当x>0,>0时，++y1,即y=x+分 当x<0,y<0时，x-y-x-y=l,即y=-x2 1 当x>0,y<0,且x+y>0时，x-y+x+y=1,即x= 当x>0,y<0,且x+y<0时，x-y-x-y-1,即y= 1 2 当x<0,y>0,且x+y>0时，-x+y+x+y-1.即y= 1 当x<0,y>0,且x+y<0时，-x+y-x-y=1,即x=- ·方程x+y+x+y=1对应的“三绝对值图形”如图所示. 0. -1-0.5Q51 -0.5 32. 【详解】(1)解：：在平行四边形ABCD中，∠C=60°，AB=4V5,AD=4, AB=CD=4V3,AD=BC=4,∠ABC=120°， :BE⊥CD, ∠BEC=90°， ∠CBE=30°， CE=二BC=2,∠ABE=∠ABC-∠CBE=90°， 2 ·BE=VBC2-CE2=V42-22=2V5, :点P从点A出发，以每秒√3个单位的速度沿折线A→B→E运动，到达点E时停止， 58/68 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 当点P到达点B时x= B=4秒，当点P到达点E时x=4B+BE_45+2 3 3 =6秒， c个×一=H&·dF-=aS=M‘X个=dF姐印&p的h￥d早出力> 当4<x≤6时，点P在线段BE上， P 此时pE=6N5-5x,y=S-4B-PE=×45x65-5=36-6, 3x0≤x≤4) .y= 36-6x(4<x≤6) [3x(0≤x≤4) (2)解：y= 36-6x(4<r≤6)函数图象如图： 12 10 9 7 6 5 4 3 2 1 O123456789x 图2 由函数图象可得，当x=4时，函数有最大值12（答案不唯一，合理即可）； 3x(0≤x≤4) (3)解：平移直线y=-x,与y= 36-6x4<x≤6) 相交，函数图象如图： 59/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 12 11 10 9 8 6 5 4 2 023456789x 图2 把(0,0)代入乃=-x+b可得b=0; 把6,0)代入y=-x+b可得0=-6+b,解得b=6; 把4,12)代入y=-x+b可得12=-4+b,解得b=16; 由函数图象可得，直线y,=-x+b与该函数图象恰有一个交点，则常数b的取值范围是0≤b<6或b=16. 33 【详解】(1)把点C(2,4)代入y=- x+n得， 2 42 解得，n=5, 把点C(2,4)代入y=得，4=2k, 解得k=2, 即n、k的值分别为5、2： 2》①由1)可知，直线4：y=x+5,直线6：y=2x, 设点D的坐标为6+5小】 :过点D作DP∥y轴，交直线Z于点P, 点P的坐标是t,2, :点D,P关于x轴对称， 1 7+5=-21 60/68 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 解得1=一10 1 3, 1020 点D的坐标为 33 故答案为： 10 -3 ②当x=0时，y= 2x+5-5 当=0时，0=+5，解得=10， 点A的坐标是(10,0)，点B的坐标是(0,5)， 1 设点D的坐标为x,-2x+5则 2 S.on= 0xT2x+5=x10x 1 1 1 AO× 2 2 S.oc=5B0×2=5×5×2=5, 2 :△A0D的面积是△BOC面积的2倍 5 2x+2=5x2, 解得x1=6,x2=14, 2+5s-1 1 .当x=6时， ×6+5=2, 2 1 当14时x+514+52 2 点D的坐标为(6,2)或14，-2) (3)①点C作CF⊥y轴于点F,过点M作MH⊥y于点H,则0F=4,CF=2, B FU----- E :四边形CEMN是正方形， 61/68 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CE=EM,∠CEM=90°， .∠CEF+∠MEH=90°， :LCEF+∠ECF=90°， .LMEH=∠ECF, :.△MEH≌△ECF(AAS), .CF=EH EF MH, :点E的坐标为(0，， .OE=t, .EF=MH=OF-OE=4-1,CF=EH=2, .0H=0E-EH=t-2, .点M的坐标为4-1，t-2), 故答案为：4-1,1-2 ②连接CM,EN相交于点K,则点K是CM的中点，也是EN的中点， E H M :C(2,4).点E的坐标为0，t,点M的坐标为4-1，t-2), :龙=+x-x+xw 2 2y=yE十ywyc+yw 2 2 0+xx2+4-tt+yw4+t-2 ..X=- 22= 22 .点N的坐标是6-1,2)， 当y=2时，2=+5，期得=6， 当y=2时，2=2x,解得x=1, .1≤6-1≤6，解得0≤1≤5， 62/68 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 当0≤4-1≤2时，即2≤t≤4时，0≤t-2≤2(t-2),此时2≤1≤4满足题意， 当2≤4-1≤10时，耳-6≤1≤2时，051-2s-2+5,此时无解， 综上可知，2≤t≤4 故答案为：2≤1≤4 34. 【详解】(1)解：：点A2,2),AC⊥x轴于点C, C(2,0), S△4Bc=3, ÷8cy=3.即时8c2= BC=3, :直线y=x+b(k>0)经过点A2,2)且交x轴于点B, B在C的左边， B(-1,0, 故答案为：（-1,0： (2)解：①：直线B与直缆y=平行，则a= 将点A的坐标代入方+6并解得：b=1, 故直线AB的表达式为：y=2+1: ②令y=二x+1=0,解得：x=-2, :点B(-2,0), 函数图象如下： 63/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 3 B -4 -1 3 从图象看，区域W内的整点只有一个为(1，. 目目 考点04 次函数实际应用探究 35. 【详解】(1)解：描点并连线如图所示： (厘米) 22 2 8 10 8 6 可123456789亦时 图② (2)解：根据表格，时间增加1小时，圆柱体容器液面高度增加4厘米， 则y=6+4x-1=4x+2, y与x之间的函数表达式为y=4x+2. (3)解：当y=16时，4x+2=16, 解得x=3.5, 故9+3.5=12.5， ·.当圆柱体容器液面高度达到16厘米时是12：30 故答案为：12,30. 36. 【详解】(1)解：由题意得32+(12-10)m=44, 64/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解得m=6, .y=32+6x-10)=6x-28(x>10). (2)解：当x=25时， ①若单件寄送，则需寄费6×25-28=122（元）， ②若分两件寄送，则需寄费32+(25-10)×6-28=94（元），32+25-10×6-28=94， ③若分三件寄送，则需寄费32×3=96（元）， 94<96<122, ∴.寄送25千克杨梅的最省费用为94元： (3)解：设有a千克(a>10)杨梅需要寄送，设a÷10的余数为n, 当n=5时，32×2=64>6×15-28=62， 当n=6时，32×2=64<6×16-28=68， :.当n≤5时，采用其中一件超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱； 当6≤n≤9时，采用一件不超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱. 设小聪购买的杨梅一共分b件不超过10千克的寄送方式，由题意得，50×10b+32b≤5000， 解得bs1250 Γ133’ 又：b是正整数， b最大值为9， .还剩下5000-50×10×9-32×9=212（元）， :(212÷50+10)÷10的余数小于5， ∴最省钱的寄送方式应该是8件均为10千克的寄送，一件超过10千克的寄送， :8件均为10千克的费用（含寄送费）为10×50×8+32×8=4256元，14×6-28+14×50=756， 13×6-28+13×50=700, 4256+756>5000,4256+700<5000, “.一件超过10千克的寄送的杨梅重量是13千克， .10×8+13=93(千克) :小聪最多可以购买93千克杨梅，寄送方式为8件10千克，1件13千克. 37. 【详解】解：任务1：如图，描点如下： 65/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 /毫升 35 30 25 20 15 10 5 1234567/分钟 0 任务2：由数据和画图可知y=1+b(k,b为常数)才能正确反映总水量y与时间t的函数关系； :点(L,10)和(2,15)都在此函数的图象上 k+b=10 2k+b=15 k=5 解得： b=5 y=51+5; 任务3：①当y=65时，则51+5=65， 解得：t=12, :当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟： ②当t=60时，y=5×60+5=305, 当t=0时，y=5×0+5=5, :305-5=300(毫升)， :照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水； ③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换. 38. 【详解】(1)解：在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为4km, 故答案为：4； (2)解：琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在白鸽广场相遇， 琦琦的速度为4÷90= 2-(km/min),则y=45, 2 4 当y=2时，得 2 x=2, 解得x=45, .此时距出发经过了45min, 66/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：白鸽广场，45： (3)解：当0≤x≤30时，然然的速度为2÷30= 1 ÷h=i50≤x≤30)， 当必=1时，得5=1， 解得x=15, 则然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是 4-l小4120-1l-5kmmm. ①不合理，不符合题意； 然然比琦琦晚到达游乐场120-90=30(min), ②合理，符合题意； 当x=60时，= 60=8 2 45 3 60min时，琦琦比然然多走了km) ③合理，符合题意 故答案为：②③； (4)解：然然离开白鸽广场到蓄乐场时的述度为4-2引=(120-60=0kmmm, 则=2+x-60)= 30 30, :然然离开白鸽广场到游乐场时⅓对应的函数解析式及自变量x的取值范围为片一30 1 (60≤x≤120)； 2 (5)解：综上，月与x的函数关系式为y=450≤x≤90)，为与x的函数关系式为 1 x(0≤x≤30) 1 = 2(30<x≤60 x(60≤x≤120) 3 当0≤x≤30时，当琦琦和然然相距800m时，得 1x-2x=0.8, 1545 解得x=36(舍去)； 67/68 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 当30<x≤60时，当琦琦和然然相距800m时，得 45x-2=0.8, 解得x=27(舍去)或x=63(舍去)： 当60<x≤90时，当琦琦和然然相距800m时，得 2 1 45x-30 x=0.8, 解得x=72; 当90<x≤120，当琦琦和然然相距800m时，得 40=05 解得x=96. 综上，当琦琦和然然相距800m时，x的值为72或96. 故答案为：72或96. 68/68