专题05特殊平行四边形（4大考点期末真题汇编，吉林专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 专题聚焦特殊平行四边形，整合吉林多地期末真题，覆盖矩形、菱形、正方形性质判定及综合应用，分层设计适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约10题|矩形折叠（题5）、菱形坐标（题23）|结合动态问题（如动点面积函数图像）| |填空|约15题|正方形最值（题47）、菱形对角线计算（题28）|融入文化情境（华容道问题，题8）| |解答|约15题|矩形判定（题11）、四边形综合证明（题59）|分层设计，从基础计算到多步推理|

专题05 特殊平行四边形 4大高频考点概览 考点01 矩形性质与判定 考点02 菱形性质与判定 考点03正方形性质与判定 考点04特殊四边形综合 ( 考点01 矩形性质与判定 ) 1．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)在矩形中，，，动点P从点A出发，沿路线作匀速运动，连接，则的面积y与动点P的运动路程x之间的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，能根据点的不同位置确定出变化趋势，且求出特殊点的值是解决此类问题的关键． 根据点在线段、线段两种情况确定随的变化规律，确定出当点与点重合时，的值即可判断． 【详解】解：当点在线段上运动时，的面积随点的增大而增大， 所以当时，， 当点在线段上运动时，的面积不随点的变化而变化，点在线段上运动的时间是线段上的2倍， 所以符合题意的是B选项． 故选：B． 2．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，矩形的两条对角线相交于点O．若，，则边的长为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，在根据勾股定理求出． 【详解】，，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 3．(24-25八下·吉林吉林永吉县·期末)如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，连接，若矩形的周长是，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，数形结合思想的应用．由矩形的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由矩形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 矩形的周长为， ， ， ， 的周长， 故选：A． 4．(24-25八下·吉林吉林吉化第九中学校·期末)如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用矩形的性质得出．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得＝，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得．即则的最小值是． 故答案为：． 5．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，将矩形纸片沿折叠，顶点B落在边上点F处，若，，则______． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键．由矩形的性质得，，由折叠得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，,， 由折叠得， ， ， 故答案为：． 6．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)如图，已知矩形的对角线，相交于点O，，点P是矩形对角线上一点，且，则______°． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；根据四边形是矩形，可得，再根据，求出的度数，再利用，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ∴为等边三角形， ， ∵， ； ∵， ． 故答案为：． 7．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)用一根长的铁丝围一个矩形，设的长为，的长为， 则关于的函数解析式为____________（不写自变量的取值范围）． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质、求函数解析式，由矩形的性质得出，，再结合矩形的周长为得出，整理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵用一根长的铁丝围一个矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 8．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏， 一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放， 把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为_________ ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；结合图形建立关系式是解题的关键；设小矩形的长为a，宽为b，根据阴影部分面积为大矩形面积减去5个小矩形面积等于40，化简得的值，由勾股定理即可求得小矩形的对角线长． 【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，则大矩形长为，宽为， 由题意得：， 化简得， ； 即小矩形对角线的长为. 故答案为：． 9．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，在直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，那么______． 【答案】1 【分析】根据矩形的性质，将矩形OABC分成面积相等的两部分的直线一定经过矩形的中心，再根据点B的坐标求出矩形的中心的坐标，然后代入直线解析式计算即可得解． 【详解】解：∵将矩形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心， ∵B点坐标为B（12，5）， ∴矩形中心的坐标为（6，）， ∴×6+b=， 解得b=1． 故答案为：1． 【点睛】本题综合考查了一次函数与矩形，熟知过矩形中心的直线把矩形分成面积相等的两个部分是解题的关键，也是本题的难点． 10．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)如图，在矩形中，点E是上一点，，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合矩形的性质得，则，根据，得，又因为，故，所以，即； （2）根据矩形的性质以及，得，运用勾股定理算出，则，结合在中，运用勾股定理列式计算，得，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． （2）解：由（1）得， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，． 11．(24-25八下·吉林吉林第五中学·期末)如图，在中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接． (1)已知，证明四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)18． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，进而证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）证明得，再由勾股定理求得，即可解决问题． 此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵共线， ∴ ∵ ， ∵ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， 在中，， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 12．(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)如图，在平行四边形中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形； (3)在（2）条件下，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证，得，再证四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的 性质得出，，得出，然后证，即可得出结论； （3）过点O作于点F，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （3）解：如图，过点O作于点F， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 13．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的判定以及矩形的性质，熟练掌握解题方法是解答此题的关键．首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ,，， ， 平行四边形是菱形． 14．(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学·期末)如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 15．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处， 交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用折叠的性质以及矩形的性质和平行线的性质得到：，即可得证； （2）利用勾股定理求出，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵折叠， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 又∵ ∴ ∴， 设，则：， 在中， ， 即：， 解得：； ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，以及等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解三角形是解题的关键． 16．(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学·期末)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，∠DBC＝30°，求AC的长和矩形ABCD的面积. 【答案】AC＝8，矩形ABCD的面积为． 【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，求出∠OCB＝30°，根据含30°直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出BC，再求出矩形ABCD的面积即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∵AB＝4， ∴AC＝2AB＝8， 由勾股定理得：BC＝， ∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝4×． 【点睛】本题考查了含30°直角三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，能熟记矩形的对角线相等且平分是解此题的关键． 17．(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学·期末)如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠，使点A落在矩形外的一点 F上，连接BF，并延长交DC的延长线于点G．    （1）求证：． （2）当DG=3，BC=时，求 CG的长． 【答案】（1）见解析；（2）CG=1． 【分析】（1）由轴对称的性质，矩形的性质，中点的含义证明： 再利用斜边直角边公理证明：，即可得到结论； （2）设CG=x，利用的性质，矩形的性质，用含的代数式表示 再利用勾股定理列方程可得答案． 【详解】解：（1）由折叠知AE=FE，∠BFE=∠A， ∵E是边AD的中点， ∴DE=AE ， ∴DE=FE， 又∵ABCD是矩形， ∴∠D=∠A=∠BFE=90°， ∴∠D=∠EFG=90°， 又∵EG=EG ∴． （2）∵， ∴FG=DG=3， 设CG=x， 则BF=AB=DC=3－x， BG=6－x 在中 解得： x=1   即CG=1． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． ( 考点0 2 菱形性质与判定 ) 18．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，若，，则的值为（　　　） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．根据菱形的性质，得到，，，由勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， 为的中点， ． 故选：D． 19．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，在中，，取边上任意一点D（不与点A重合），连结，作，与交于点F，则下列结论中正确的是（    ） ①当点D位置变化时，F始终为中点； ②当D为中点时， 平分； ③当时，四边形为矩形； A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边的中线，菱形的判定与性质．根据平行四边形的性质可判断①；根据菱形的判定与性质可判断②；根据矩形的判定方法可判断③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴F始终为中点，故①正确； 当D为中点时，则， ∴四边形是菱形， ∴平分，故②正确； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形为矩形，故③正确． 故选：D． 20．(24-25八下·吉林吉林第十三中学·期末)如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点．若，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质．解题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，是解决问题的关键． 直接利用菱形的性质得出的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用直角三角形中线的性质得出答案． 【详解】∵菱形的对角线相交于点O， ，， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 故选：D． 21．(24-25八下·吉林松原前郭县四校·期末)如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点B在y轴上，，将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2024次，点B的落点依次为，……，则的坐标为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，规律探索，能够根据图象得出规律是解题的关键．连接，再根据菱形和等边三角形的性质得出的长，画出第5次，第6次，第7次翻折后的图形，由图可发现规律，每翻转6次，图形向右平移4个单位，可得即点向右平移个单位到点，落在x轴上，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 画出第5次，第6次，第7次翻折后的图形，如图所示， 由图可知，每翻转6次，图形向右平移4个单位， ∵， ∴点向右平移个单位到点，落在x轴上， ∴的坐标为， 故选：C． 22．(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学·期末)如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形的斜边上的中线性质和菱形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由菱形的性质得，根据题意得，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故选：． 23．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4， 即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 24．(24-25八下·吉林吉林第五中学·期末)如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，设直线交于点F，由菱形的性质可得，．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，，则，，，在中，由勾股定理得结论． 【详解】解：连接，设直线交于点F， ∵四边形为菱形， ∴，． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，在菱形中，，E是上一动点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形和三角形．熟练掌握菱形性质，含30°的直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，是解题的关键． 过点B作于点F，根据菱形性质可得，得，根据，得，由，得的最小值为． 【详解】解：过点B作于点F，则， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 26．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)如图，在中，以点A为圆心，为半径画圆弧交于点E，再分别以点B，E为圆心，大于长为半径 画圆弧交于点F，连接并延长交于点G．若，， 则 的长为___． 【答案】16 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识．先证明是等腰三角形，设交于点．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】证明：连接，设交于点，由作图可知，平分， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ； 由作图可知：，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， ． 故答案为：16． 27．(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)如图，菱形的对角线与相交于点，，，以为坐标原点，与所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，由菱形的性质可得，，进而由直角三角形的性质得到，再利用勾股定理得，据此即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 28．(24-25八下·吉林四平伊通县·期末)若菱形的两条对角线的长是和，那么这个菱形的周长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质可得，，，，在中，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图， 四边形是菱形， ，，，， ，， ，， ， 菱形的周长， 故答案为：． 29．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为48，则的长等于______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据菱形性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵H为边中点， ∴． 故答案为：6． 30．(24-25八下·吉林敦化·期末)如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B，D．已知四边形是菱形，村庄C到公路的距离为，则村庄C到公路的距离是______ 【答案】4 【分析】此题考查了菱形的判定与性质以及角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接，过点C作于E，作于F，由四边形是菱形，可得平分，然后根据角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：连接，过点C作于E，作于F， ∵村庄C到公路的距离为， ∴ ∵四边形是菱形 ∴平分， ∴， 即C到公路的距离是． 故答案为：4． 31．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______．    【答案】 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，如图所示，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示：    ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键． 32．(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学·期末)如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________.    【答案】2 【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDA=∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解． 【详解】解：如图，连接BD，    ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BDA=∠ADC=×120°=60°， ∵AB=AD（菱形的邻边相等）， ∴△ABD是等边三角形， 连接DE，∵B、D关于对角线AC对称， ∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB， ∵菱形ABCD周长为16， ∴AD=16÷4=4， ∴DE=． 故答案为：2． 【点睛】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键． 33．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______．    【答案】（5，4） 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴DO=4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 34．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，在中，是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证四边形是菱形． (2)若，则菱形的面积为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查三线合一，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是关键． （1）根据三线合一得到，结合菱形的判定即可求解； （2）根据菱形的性质，由菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，点是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 35．(24-25八下·吉林桦甸·)如图，四边形的对角线相交于点，且，，，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的对角线相交于点，且， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴平行四边形是菱形； ∴，， ∴平行四边形是矩形． 36．(24-25八下·吉林吉林第十三中学·期末)如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，作，作，连接交于点O． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）证明四边形是平行四边形，即可求证； （2）根据菱形的性质可得，设，则，在中，根据勾股定理求出x的值，再利用菱形的性质计算出面积即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得： 即， ∴菱形的面积为． 37．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，． (1)求证； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用证明三角形全等； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，又， ， ． 在和中， ． ． （2）四边形是菱形，理由如下． 连接，交于O， ．， ． 又， ． ． 四边形是平行四边形． 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． ． 四边形是菱形． 38．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)在平行四边形 中，，，．请判定四边形 是哪种特殊的平行四边形？并说明理由．      【答案】菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形四边形的判定，勾股定理逆定理的应用，利用平行四边形的性质得出，再根据勾股定理逆定理得出，进一步即可得出四边形时菱形． 【详解】解：四边形时菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形，，， ， 是直角三角形， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形时菱形． 39．(24-25八下·吉林辽源·期末)我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的衣帽架变化为不同的形状．如图2，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）变化成四边形．解决下列问题． (1)四边形的形状是_______，理由是_______． (2)若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂，，则橡皮筋会不会断裂？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)菱形；四条边相等的四边形是菱形； (2)不会断裂，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质． （1）根据正方形的性质可得，则可根据四条边相等的四边形是菱形证明四边形是菱形； （2）设扭动后对角线的交点为，利用菱形的性质及条件，得出为等边三角形，利用勾股定理算出，从而得到，再比较即可判断． 【详解】（1）解；∵原来的框架是正方形， ∴， ∴四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形）， 故答案为：菱形；四条边相等的四边形是菱形； （2）解：不会断裂，理由如下： 设扭动后对角线的交点为，如下图： ，， 为等边三角形， ， ∵四边形是菱形是菱形 ，， ， ∴， ， 不会断裂． 40．(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)如图，菱形的对角线交于点O，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，结合矩形的性质得，再由勾股定理得，即可求解． 本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：如图，连接 四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形 ∴ ∴在中，由勾股定理得：． 41．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，， (1)求证：四边形是菱形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平行四边形得出结合勾股定理的逆定理，得证即可作答． （2）运用菱形性质列式求面积，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，且， ∴ ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）知四边形是菱形 ， ∴ ( 考点0 3 正方形性质与判定 ) 42．(24-25八下·吉林桦甸·)如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（    ） A．13 B．20 C．25 D．34 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，两点间的距离公式，二次根式的乘法，熟练掌握两点间的距离公式是解决问题的关键，利用两点间的距离公式求出，由此即可得出正方形的面积． 【详解】解：点的坐标是，点的坐标是， ， 正方形的面积是：． 故选：D． 43．(24-25八下·吉林吉林第九中学·期末)如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，折痕为与，，根据正方形的性质：正方形的对角线平分对角，可得，．所以剪口与折痕所成的角的度数应为． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，    ∴，． ∴剪口与折痕所成的角的度数应为． 故选：B． 【点睛】本题通过折叠变换考查正方形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案． 44．(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学·期末)如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 【答案】9 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 45．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，顶点A在轴上，顶点D在轴上，，则点C的坐标为___________________． 【答案】 【分析】根据正方形的边长为2，，，可得，，作轴于，证明，得到，，则，即可得解． 【详解】解：∵正方形的边长为2，，， ∴，， ，， 如图，作轴于， 则， 四边形是正方形， ∴， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第一象限， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、坐标与图形，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键． 46．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)如图，在正方形中，E，F分别为，边上的点，与交于点M，N为上一点，连接，若．则下列结论：①；②；③；④若，点N为的中点，，则．其中一定正确的结论是______．（请将正确的结论的序号填在横线上） 【答案】①②④ 【分析】根据四边形是正方形，得出，，证明，得出，即可判断①；根据，等量代换得出，三角形内角和定理得出，即，即可判断②；根据，得出，若，则，则，根据①知，在直角三角形在根据斜边大于直角边得出，即，与矛盾，即可判断③；根据，求出，结合①得，在中勾股定理求出，则，在中，等面积法求出，即可求出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理求出，再根据直角三角形的性质求出，即可判断④； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 在和中 ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， 若， 则， ∴， 根据①知， ∵， ∴， 与矛盾，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 结合①得， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 根据②， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴，故④正确； 故正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】该题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形面积公式，二次根式的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 47．(24-25八下·吉林吉林永吉县·期末)如图，以边长为2的正方形的对角线交点为端点引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值为______．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理．根据正方形的对角线平分一组对角线可得，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得时，最小，然后求出，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 要使最小，只要取最小值即可， 根据垂线段最短，时，最小， ∵正方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 48．(24-25八下·吉林松原前郭县四校·期末)如图所示，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为5，O为正方形ABCD的中心，则图中重叠部分的面积是 _______． 【答案】 【分析】如图，连接OB、OC，根据正方形的对角线相等且互相平分可得OB＝OC，再根据两角的和等于90°可以证明∠COH＝∠BOG，又∠OBG＝∠OCB＝45°，证明△OBG与△OCH全等，从而得到重叠部分的面积等于△OBC的面积，即正方形的面积的． 【详解】如图，连接OB、OC． ∵O为正方形ABCD的中心，∴OB＝OC，∠OBG＝∠OCB＝45°． ∵∠COH+∠BOH＝90°，∠BOG+∠BOH＝90°，∴∠COH＝∠BOG． 在△OBG与△OCH中，∵，∴△OBG≌△OCH（ASA），∴S△OBG＝S△OCH，∴重叠部分的面积＝△OBC的面积S正方形ABCD． ∵S正方形ABCD＝52＝25，∴重叠部分的面积是． 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，通过全等三角形得到重叠部分的面积是正方形的面积的是求解的关键． 49．(24-25八下·吉林吉林第十三中学·期末)如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝_____°． 【答案】45 【详解】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°． ( 考点0 4 特殊四边形综合 ) 50．(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)菱形、矩形、正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．一条对角线平分一组内角 【答案】C 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意； D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； 故选：C． 51．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)下列说法正确的是（　　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线互相垂直 D．菱形的对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键．根据平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的性质等定理，即可判断答案． 【详解】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误，不符合题意； B、原说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等，但不一定垂直，故选项C错误，不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 52．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等 C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意． 故选：A. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理． 53．(24-25八下·吉林四平伊通县·期末)顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必是（　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 【答案】A 【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF＝AC，GH＝AC，HE＝BD，FG＝BD，再根据四边形的对角线相等可知AC=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形即可得解． 【详解】解：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， 连接AC、BD，    根据三角形的中位线定理得，EF＝AC，GH＝AC，HE＝BD，FG＝BD， ∵四边形ABCD的对角线相等， ∴AC＝BD， 所以，EF＝FG＝GH＝HE， 所以，四边形EFGH是菱形． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的判定和三角形的中位线定理，解题的关键是掌握菱形的判定和三角形的中位线定理. 54．(24-25八下·吉林敦化·期末)下列说法中正确的是 （    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形. 平行四边形：有两组对边分别平行的四边形. 菱形：在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形. 矩形：有一个角是直角的平行四边形，矩形也叫长方形. 【详解】A选项中四边相等的四边形不能证明是正方形,有可能是菱形.则A错误. B选项一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形，所以B错误. C选项中，对角线互相垂直，不能判定四边形是菱形. 根据正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，即可得出本题正确答案为D. 【点睛】本题的关键在于：熟练掌握正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质与判定. 55．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，在菱形中，连接，，，以为边作正方形，则正方形的周长为______． 【答案】16 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理．利用勾股定理求得，得到，再利用正方形的性质即可求解． 【详解】解：设菱形的对角线交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴正方形的周长为， 故答案为：16． 56．(24-25八下·吉林吉林第九中学·期末)某中学门前有一个边长为米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中，准备在形如的四个全等三角形内种植红色花草，在形如的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形内种植紫色花草，每种花草的价格如表： 品种 红色花草 黄色花草 紫色花草 价格（元米） 解答下列问题： (1)若米，则 ______米， ______米， ______米； (2)若买花草所需的费用为元，试求的长． 【答案】(1)，，； (2)米． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由正方形性质可得米，然后通过全等三角形性质可得米，则米，通过勾股定理得米，由题意可知，所以，又四边形为正方形，则米，设米，由勾股定理得，即，然后求出的值即可； （）设的长为米，由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴米， 由题意可知，， ∴米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意可知，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴米， 设米， 在中，由勾股定理得：， 即，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：，，； （2）解：设的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：的长为米． 57．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)在等腰直角三角形纸片中，点D是斜边的中点，，点E为上一点，将纸片沿折叠，点B的对应点为点，与交于点 (1)如图，连接、，若，则： 求证：四边形为菱形； 的形状为______； (2)如图，若与不平行，则的周长为______． 【答案】(1)详见解析；等腰三角形 (2) 【分析】（1）①由折叠得，，，由，得，得，所以，则，即可证明四边形为菱形； ②由，，点D是斜边的中点，得，，，而，，所以，，则，推导出，则是等腰三角形，于是得到问题的答案； （2）连接、，则，所以，而，则，所以，则，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】（1）①证明：由折叠得，，， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． ②解：是等腰直角三角形，点D是斜边的中点， ，，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． （2）解：如图②，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 58．(24-25八下·吉林敦化·期末)如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用已知条件得出线段相等关系，结合平行四边形的性质得到对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再依据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）完成证明． （2）根据矩形性质求出相关线段长度，借助勾股定理逆定理判断三角形形状，再利用三角形面积公式求出的长，进而得到的长． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形． （2）解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且． ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识的内在联系和应用方法是解题的关键． 59．(24-25八下·吉林敦化·期末)如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 (3)当或时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 60．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，已知矩形，，P是上一动点，M、N、E分别是的中点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请直接写出当为何值时，四边形是菱形； (3)四边形有可能是矩形吗？若有可能，求出的长；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)5； (3)可能，2或8． 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明． （2）当时，四边形是菱形，P是的中点，所以可求出的值． （3）四边形是矩形的话，必需为，用勾股定理的逆定理判断一下是不是直角三角形就行． 【详解】（1）∵M、N、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当时，在和中， ， ∴， ∴， ∵M、N、E分别是的中点， ∴ ，， ∴， ∴四边形是菱形； （3）四边形可能是矩形． 若四边形是矩形，则 设， ，． 或． 故当或时，四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，勾股定理的逆定理，掌握矩形和菱形的性质是关键． 59 / 59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05 特殊平行四边形 ☆4大高频考点概览 考点01矩形牲质与判定 考点02菱形性质与判定 考点03正方形性质与判定 考点04特殊四边形综合 目目 考点01 矩形性质与判定 1.(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校期末)在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,动点P从点A出发，沿 路线A→B→C→D作匀速运动，连接PD,则△APD的面积y与动点P的运动路程x之间的函数图象为 () D B 2 A. 1 B 1 01234 o234 D. o1234 o1234 2.(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若LACB=30°，AB=2, 则边AD的长为() D B A.25 B.2 C.5 D.1 3.(24-25八下·吉林吉林永吉县·期末)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O作OE⊥AC,交AB 于点E,连接CE,若矩形ABCD的周长是20cm,则△BCE的周长是() 1/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D ◇ E B A.10cm B.15cm C.20cm D.40cm 4.(24-25八下·吉林吉林吉化第九中学校·期末)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3, P为AB上一动点（不与A、B重合），作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,则EF的最小值 是 5.(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，顶点B落在CD边上点F处， 若AB=3,BC=2,则CF= D D B 6.(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校期末)如图，已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, CD=OD,点P是矩形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC,则∠BCP=°. B 7.(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校期末)用一根长20cm的铁丝围一个矩形ABCD,设AB的长为xCm, BC的长为cm,则y关于x的函数解析式为 (不写自变量的取值范围)· X y 2/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校期末如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏，一些棋子 紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个 横向摆放，把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示.若图2中阴影部分面积为40， 则一个小矩形木块的对角线的长为 三图华容首 意豆短夏 图1 图2 9.(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，在直角坐标系中，矩形0ABC的顶点B的坐标为 (12,5),直线y=，x+b恰好将矩形0ABC分成面积相等的两部分，那么b=一· B(12,5) 10.(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD, DF⊥AE于点F. (I)求证：DF=DC; (2)连接DE,若AD=I0,AB=6,求DE的长. 11.(24-25八下·吉林吉林第五中学期末)如图，在口ABCD中，∠BDC=90°，E是AD边上一点，延长BE与 CD的延长线交于点F,连接AF. 3/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1I)已知BF=BC,证明四边形ABDF是矩形： (2)在(1)的条件下，若AB=3,AD=5,直接写出四边形ABCF的面积. 12.(24-25八下·吉林四平铁西区期末)如图，在平行四边形ABCD中，点0为线段AD的中点，延长B0交 CD的延长线于点E,连接AE,BD. O D (I)求证：四边形ABDE是平行四边形： (2)若AB2+AE2=BC2,求证：四边形ABDE是矩形； (3)在(2)条件下，连接0C.若AB=4,BD=2√6，请直接写出0C的长. 13.(24-25八下·吉林白城通榆县期末)如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点 O,DE∥AC,CE∥DB,CE、DE交于点E,求证：四边形DOCE是菱形. E O B 14.(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB=90°，过点D作 DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接AE交CD于点F, D B (I)求证：四边形ACED是矩形； (2)连接BF,若∠ABC=60°，CF=5,求BF的长. 15.(24-25八下，吉林吉林丰满区·期末)如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C处，BC' 交AD于点E. 4/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C (1I)求证：△BED是等腰三角形： (2)若AD=8,AB=4,求△BED的面积. 16.(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学.期末)如图，在矩形ABCD中，已知AB=4,∠DBC=30°，求 AC的长和矩形ABCD的面积， D 30° 17.(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学.期末)如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠， 使点A落在矩形外的一点F上，连接BF,并延长交DC的延长线于点G. D (1)求证：aEFG≌△EDG. (2)当DG=3,BC=2V6时，求CG的长. 目目 考点02 菱形性质与判定 18.(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为 AD的中点，连接OE,若AC=4,BD=4V3，则OE的值为() E A.4 B.2W5 C.5 D.2 5/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 19.(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，取边AB上任意一点 D(不与点A重合)，连结DC,作口ADCE,AC与DE交于点F,则下列结论中正确的是() D B ①当点D位置变化时，F始终为AC中点； ②当D为AB中点时，DE平分∠ADC; ③当CD⊥AB时，四边形ADCE为矩形； A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 20.(24-25八下·吉林吉林第十三中学期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E为AD的中 点.若AC=8,BD=6,则OE的长为() D E A.5 B.4 C.3 D. 2 21.(24-25八下·吉林松原前郭县四校·期末)如图，在平面直角坐标系中放置一菱形0ABC,己知 ∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1,将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻 转2024次，点B的落点依次为B,B2,B,,…,则B24的坐标为() B B 6 B,(B,B4) A.(1020,0 2699V3 C.(1350,0 2701V5 B D 2’2 2’2 22.(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作 DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,OH=4,则菱形ABCD的面积为() 6/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.24V万 B.48 C.72 D.96 23.(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，菱形0ABC,O为坐标原 点，点C在x轴上，A的坐标为-3,4)，则顶点B的坐标是() y个 B A-3,4) C 0 A.（-5,4 B.（-6,3) C.（-8,4) D.（2,4 24.(24-25八下·吉林吉林第五中学期末)如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，分别以点A和B为圆心，以 B的长为半径作弧，两弧相交于点M和N,作直线MN,交AD于点E,连接CE,若AB=2m, 大于 则CE的长为cm. D C E M不 25.(24-25八下·吉林吉林丰满区期末)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,E是CD上一动点，连 接BE,则BE的最小值为一· D B 26.(2425八下·吉林白城通榆县期末)如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AD于点 7/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E,再分别以点B,E为圆心，大于BE长为半径画圆弧交于点F,连接并延长交BC于点G.若 AB=10,BE=12,则AG的长为· G 27.(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学期末)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点0， ∠ADC=60°，AO=2,以O为坐标原点，AC与BD所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy,则点D的 坐标为 B D 28.(24-25八下·吉林四平伊通县.期末)若菱形的两条对角线的长是6cm和8cm,那么这个菱形的周长是 cm. 29.(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,H为 AD边中点，菱形ABCD的周长为48，则OH的长等于 30.(24-25八下吉林敦化期末)如图，两条笔直的公路4、相交于点O,村庄C的村民分别在两条公路的 旁边各建一个加工厂B,D.已知四边形OBCD是菱形，村庄C到公路的距离为4km,则村庄C到公路Z 的距离是 km C村 D 31.(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P 8/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 为AB边上一动点（不与点A,B重合），PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.若AC=8,BD=6,则EF的 最小值为。 D 32.(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学期末)如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120°，E是AB的 中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 B 33.(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A,B的坐标 分别为(-3,0)，(2,0)，点D在y轴上，则点C的坐标是 y 34.(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，在ABC中，AB=BC,0是AC的中点，连接BO并延长至 点D,使OD=OB,连接AD,CD. B D (I)求证四边形ABCD是菱形. (2)若AC=5,BD=3,则菱形ABCD的面积为 35.(2425八下·吉林桦甸)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，且B0=OD,A0=OC, 9/17 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 AB=AD,BE∥AC,CE∥DB.求证：四边形OBEC是矩形. A D 36.(24-25八下·吉林吉林第十三中学期末)如图，在Rt△ABC中，LB=90°，AB=8,BC=6,点D是 AB边上的一个动点，连接CD,作CE∥AB,作AE∥CD,连接DE交AC于点O. B D (1)求证：0D=0E; (2)若四边形ADCE是菱形，求菱形ADCE的面积. 37.(2425八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的点， 且BE=DF,连接AE,CF, E (I)求证ADE≌CBF; (2)连接AF,CE,若AB=AD,判断四边形AFCE的形状，并说明理由. 38.(24-25八下吉林松原前郭县南部学区期末)在平行四边形ABCD中，AB=4,AC=6,BD=2√万. 请判定四边形ABCD是哪种特殊的平行四边形？并说明理由， O B 10/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 39.(24-25八下·吉林辽源期末)我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的 衣帽架变化为不同的形状.如图2，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）变化成四 边形ABCD.解决下列问题 图1 图2 (I)四边形ABCD的形状是 ，理由是 (2)若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂，∠BAD=60°，则橡皮筋AC会不会 断裂？请说明理由.（参考数据：√5≈1.732） 40.(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE∥BD, DE∥AC. (I)求证：四边形0CED是矩形： (2)连接BE,若AC=2,BD=2√2，求BE的长. 41.(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于 点O,AC=6,BD=8,AB=5. (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)求四边形ABCD的面积. 目目 考点03 正方形性质与判定 42.(24-25八下·吉林桦甸)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A-3,0), B(2,-3,则正方形ABCD的面积是() 11/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.13 B.20 C.25 D.34 43.(24-25八下·吉林吉林第九中学期末)如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得 到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角的度数为() a A.90° B.45° C.30° D.22.5 44.(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学期末)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,以O为顶点的 正方形OEGF的两边OE,OF分别交正方形的边AB、BC于点M、N.记△AOM的面积为S,△CON的面积为 S2,若正方形的边长AB=10、S,=16,则S,的大小为 45.(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2， 顶点A在x轴上，顶点D在y轴上，∠DA0=60°，则点C的坐标为 12/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D 46.(24-25八下·吉林白城通榆县期末)如图，在正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD边上的点，AF与 DE交于点M,N为AE上一点，连接MN,若AF=DE·则下列结论：①DF=CE;②AF⊥DE;③ LAEB=∠AED;④若AB=16,点N为AE的中点，CF=3DF,则MN=I0.其中一定正确的结论是 (请将正确的结论的序号填在横线上) N B 47.(24-25八下·吉林吉林永吉县期末)如图，以边长为2的正方形CDEF的对角线交点0为端点引两条互 相垂直的射线，分别与正方形CDEF的边交于A、B两点，则线段AB的最小值为· A B F 48.(2425八下·吉林松原前郭县四校·期末)如图所示，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为5，O为 正方形ABCD的中心，则图中重叠部分的面积是 D CG 49.(24-25八下·吉林吉林第十三中学·期末)如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上 的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=°. 13/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 M 目目 考点04 特殊四边形综合 50.(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)菱形、矩形、正方形共有的性质是() A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.一条对角线平分一组内角 51.(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县期末)下列说法正确的是() A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.矩形的对角线互相垂直 D.菱形的对角线相等 52.(24-25八下·吉林吉林第七中学校期末)在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是() ① 矩形 ③ 平行四边形 正方形 ② 菱形 ④ A.①，对角相等 B.③，有一组邻边相等 C.②，对角线互相垂直 D.④，有一个角是直角 53.(24-25八下·吉林四平伊通县期末)顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必是(） A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.无法确定 54.(24-25八下·吉林敦化期末)下列说法中正确的是() A.四边相等的四边形是正方形 B.一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 55.(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD,AB=V5, 14/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 AC=2,以BD为边作正方形BEFD,则正方形BEFD的周长为 56.(24-25八下·吉林吉林第九中学期末)某中学门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、 紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE=MN,准备在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种 植红色花草，在形如Rt△MEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种 花草的价格如表： 红色花 品种 黄色花草 紫色花草 草 价格（元/米2） 60 80 120 H A 红 E 黄 紫 解答下列问题： (I)若AE=1米，则AH=米，EH=米，EM=米； (2)若买花草所需的费用为1520元，试求AE的长. 57.(24-25八下·吉林吉林龙潭区期末)在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB=10, 点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B,BE与AC交于点F D B. 图① 图② (I)如图①，连接CD、B'C,若DB'∥BC,则： 15/17 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ①求证：四边形BDB'E为菱形： ②△BFC的形状为 (2)如图②，若DB'与BC不平行，则△CEF的周长为· 58.(24-25八下·吉林敦化期末)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,，连 接DF,AF与DE交于点O. D B E (1)求证：四边形AEFD为矩形； (2)若AB=6,OE=4,BF=10,求DF的长 59.(24-25八下·吉林敦化期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB,D为AB边 上一点，过点D作DE⊥BC,垂足为F,交直线MN于E,连接CD,BE, D M E (1)求证：CE=AD; (②)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足(2)的条件下，当ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明你的理由 60.(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一 动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点. A B M D E (1)求证：四边形PMEN是平行四边形； (②)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形； (3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由. 16/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17/17学科网 专题05 目目 考点01 矩形性质与判定 1. 【答案】B 2. 【答案】A 3. 【答案】A 4. 【答案】2.4 5. 【答案】3-√5 6. 【答案】75 1. 【答案】y=-x+10/y=10-x 8. 【答案】25 9. 【答案】1 10. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠B=∠C=90°，AD‖BC, ∴.∠DAE=∠AEB, :DF⊥AE, .∠AFD=90°， ∴.∠AFD=∠B AD=AE, www.zxxk.com 让教与学更高效 特殊平行四边形 1/18 耐学科网 www.zxxk.com .△ADF≌AEAB(AAS ∴.DF=AB AB=CD, .DF=CD. (2)解：由(1)得△ADF≌△EAB, .AE AD, :AD=10, ∴.AE=10, 在Rt△ABE中，AB=6, :BE=AE2-AB2=8, :四边形ABCD是矩形， .BC=AD=10,DC=AB=6, .EC=BC-BE=10-8=2, 在Rt△CDE中，DE=VCD2+EC2=√36+4=2W10 11. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD, :C,D,F共线， .AB∥FD :∠BDC=90, .BD⊥CF, BF=BC, :CD=FD, :AB=FD, 四边形ABDF是平行四边形， 又：∠BDF=180°-∠BDC=90°， .平行四边形ABDF是矩形； (2)解：：四边形ABDF是矩形， .AB=DF, 2/18 让教与学更高效 函学科网 :四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,BC=AD=5, .AB=DF=CD=3, CF=DF+CD=3+3=6, 在RtABDC中，BC=5,CD=3, BD=VBC2-CD2=V52-32=4, :AB∥CF, 四边形ABCF的面积=BD(4B+CF)=方 12. 【详解】(1)证明：：O为AD的中点， A0=D0, 四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, .LBAO=∠ED0, 又：∠AOB=∠DOE, :△AOB≌△DOE(ASA), .AB=DE,又ABI DE, .四边形ABDE是平行四边形， (2)证明：：四边形ABDE是平行四边形 .BD =AE, :四边形ABCD是平行四边形 .AB=CD AB2+AE2=BC2, :CD2+BD2 BC2, .∠BDC=90°， .∠BDE=90°， .平行四边形ABDE是矩形： (3)解：如图，过点O作OF⊥DE于点F, www zxx k.com 4×3+6)=18. 3/18 让教与学更高效 学科网 www.zxxk.com B E R D :四边形ABDE是矩形， 1 .DE=AB=4,OD=AD,OB=OE=BE,AD=BE, 2 .0D=0E, OF⊥DE, :DF=EF=DE=2, OF为BDE的中位线， a0r=号8n=6, :四边形ABCD是平行四边形， .CD AB=4, .CF=CD+DF=6, 在R△0CF中，由勾股定理得：0C=CF2+0F2=62+(6) 即0C的长为√42. 13. 【详解】证明：：DEAC,CE∥DB, :四边形DOCE是平行四边形， :四边形ABCD是矩形， D0=8D,c0-54C,8D=4c, .D0=C0, :平行四边形DOCE是菱形. 14. 【详解】(1)证明：：LACB=90°， AC⊥BC, :DE⊥BC, 4/18 让教与学更高效 √42， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC∥DE, :四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上， AD∥CE, :四边形ACED是平行四边形， :∠ACE=90°， :四边形ACED是矩形. (2)解：：四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形， .AE=CD=AB,AF=EF=CF=DF=5, :∠ABC=60°， △ABE是等边三角形， ∠AEB=60°， △CEF是等边三角形， .BF L AE,AB AE BE 2CE =2CF=2x5=10, 1 ∠4FB=90°，AF=2AE=2x10=5, .BF=VAB2-AF2=V102-52=5√3， .BF的长是5√5. 15. 【详解】(1)证明：：折叠， .Z DBE ZCBD :四边形ABCD为矩形， .BC∥AD, .LEDB=∠CBD, LDBE=∠BDE, .BE =DE ∴△BED是等腰三角形； (2)解：：四边形ABCD为矩形， ∴.CD=AB=4, :折叠， ∠DC'E=∠C=∠A=90°，C'D=CD=AB=4, 5/18 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又LDEC'=LAEB, .△DEC'≌ZBEA(AAS), .C'E=AE, 设DE=x,则：CE=AE=8-x, 在Rt△DCE中， DE2=CE2+CD2, 即：x2=42+(8-x)2, 解得：x=5; DE=5, S,D=DE·AB=,×5x4=0 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题.熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，以及等腰三角形的判定和全等 三角形的判定和性质，利用勾股定理解三角形是解题的关键. 16. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD, .∠OCB=∠OBC=30°， .AB=4, ..AC=2AB=8, 由勾股定理得：BC=√AC2-AB2=√⑧2-42=4√5， ·.矩形ABCD的面积=AB×BC=4×45=16V5. 【点睛】本题考查了含30°直角三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，能熟 记矩形的对角线相等且平分是解此题的关键 17. 【详解】解：(1)由折叠知AE=FE,∠BFE=∠A, E是边AD的中点， .DE=AE, .DE=FE, 又：ABCD是矩形， 6/18 丽学科网 www.zxxk.com .∠D=∠A=∠BFE=90°， :.∠D=∠EFG=90°， 又.EG=EG .Rt△EFG≌Rt△EDG(HL). (2)△EFG≌△EDG, ..FG=DG=3, 设CG-x, 则BF=AB=DC=3一X, BG=6-x 在Rt△BCG中 (6-x)2=(2V6)2+x2 .36-12x+x2=24+x2, ∴.12x=12, 解得：x=1 即CG=1. 【点晴】本题考查的是三角形全等的判定与性质，轴对称的性质， 上知识是解题的关键， 目目 考点02 菱形性质与判定 18. 【答案】D 19. 【答案】D 20. 【答案】D 21. 【答案】C 22. 【答案】B 7/18 让教与学更高效 矩形的性质，勾股定理的应用，掌握以 的学科网 23. 【答案】C 24 【答案】√6 25 【答案】25 26. 【答案】16 27. 【答案】(25,0 28 【答案】20 29. 【答案】6 30. 【答案】4 31 【皆1号 32 【答案】25 33 【答案】(5,4) 34. 【详解】(1)证明：：AB=BC, .0B1AC,0A=0C, 0B=0D, www.zxxk.com 点O是AC中点， 8/18 让教与学更高效 丽学科网 www.zxxk.com :四边形ABCD是平行四边形， 又AB=BC, :平行四边形ABCD是菱形： (2)解：：四边形ABCD是菱形， S菱形ABcD=)ACBD三 5x3=15 1 15 故答案为：2 35. 【详解】证明：BE∥AC,CE∥DB, .四边形OBEC是平行四边形， :四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且BO=OD,AO=OC, .四边形ABCD是平行四边形； AB=AD, .平行四边形ABCD是菱形； .AC⊥BD,∠C0B=90°， .平行四边形OBEC是矩形. 36. 【详解】(1)证明：：CE∥AB,AE∥CD, .四边形ADCE是平行四边形， .OD=OE (2)解：：四边形ADCE是菱形， .AD=CD, 设AD=CD=x,则BD=8-x, 在Rt△BCD中，BC2+BD2=CD2,BC=6, 62+(8-x)2=x2, 25 解得：x= 4 即AD=4 25 :菱形4DCE的面积为AD×BC=25×6=75 4 2 37. 9/18 :教与学更高效 命学科网 www.zxxk com 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC, :.∠ADE=∠CBF BE=BF+EF,DF=DE+EF,BE=DF :BF EF DE +EF, :BF =DE. 在ADE和CBF中， AD=CB,∠ADE=∠CBF,BF=DE. △ADE≌△CBF(SAS. (2)四边形AFCE是菱形，理由如下. 连接AC,交BD于O, A D :△ADE≌ACBF, .∴.AE=CF,∠AED=∠BFC 又：∠AED+∠AEF=180,∠BFC+∠EFC=180°， :∠AEF=∠EFC. .AE∥CF. :四边形AFCE是平行四边形. :四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, ·四边形ABCD是菱形. .AC⊥BD. :四边形AFCE是菱形. 38. 【详解】解：四边形ABCD时菱形，理由如下： :四边形ABCD是平行四边形，AC=6,BD=2√7， o1=4C=3o8=号Bn=i 10/18 教与学更高效 丽学科网 www.zxxk.com :0A2+0B2=32+(7)2=16,AB2=42=16, .0A2+0B2=AB2 :△A0B是直角三角形， .AC⊥BD 又：四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD时菱形. 39. 【详解】(1)解；：原来的框架是正方形， .AB=CD=AD=BC, .四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）， 故答案为：菱形；四条边相等的四边形是菱形； (2)解：AC不会断裂，理由如下： 设扭动后对角线的交点为O,如下图： :∠BAD=60°，AD=AB=20cm, :△ABD为等边三角形， :BD=AB =20cm, :四边形ABCD是菱形是菱形 =BD =10cm AC ..A0=AB2-BO2 =103cm, .AC=2A0=20V3≈34.64cm, 34.64<36, ·AC不会断裂. 40. 【详解】(1)证明：：CEBD,DE∥AC, ·四边形OCED是平行四边形， 11/18 :教与学更高效 丽学科网 www zxxk.com :四边形ABCD是菱形， AC⊥BD, ∠D0C=90°， :平行四边形OCED是矩形. (2)解：如图，连接BE D:四边形ABCD是菱形， A0=0C= 2 AC=1, 四边形OCED是矩形 ED=OC=1,∠BDE=90° :在RteBDE中，由勾股定理得：BE=VBD2+DE2=2V) 41 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，AC=6, 01=0c=54C-3,0n=oD-号D=4 0A=3,0B=4,AB=5, ∴.OA2+OB2=AB2, .AOB是直角三角形，且∠A0B=90°， AC⊥BD, ∴.平行四边形ABCD是菱形； (2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形， ∴.S菱形HBCD=7AC·BD=7×6×8=24 目目 考点03 正方形性质与判定 42. 【答案】D 43 【答案】B 44. 12/18 让 +12=9=3. BD=8, 教与学更高效 命学科网 【答案】9 45. 【答案】(3,1+V⑤) 46. 【答案】①②④ 47. 【答案】√ 48. 【等案】宁 49. 【答案】45 目目 考点04 特殊四边形综合 50. 【答案】C 51. 【答案】B 52 【答案】A 53. 【答案】A 54. 【答案】D 55. 【答案】16 56. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， .AB=AD=4米， 由题意可知，Rt△AEH≌Rt△DHG, w.zxxk com 13/18 让教与学更高效 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=DH=1米， .AH=AD-DH=4-1=3(米)， 在Rt△AEH中，由勾股定理得：EH=√AE2+AH=V1P+32=√0（米）， 由题意可知，Rt△MEH≌RtAOHG, .EM =HO :四边形MNPQ为正方形， .MN=MQ=AE=1米， 设EM=HQ=x米， 在Rt△MEH中，由勾股定理得：EH2=EM2+HM2, 即0=x2+(x+1)2,整理得：2x2+2x-9=0, 朝得：5=1+西.上亚（不合题色，舍去， 2 2 故答案为：3,0，-1+9 2 (2)解：设AE的长为y米， 由题意得：( 4网44》-ymy-15, 2 整理得：y2-2y-3=0, 解得：=3，y2=-1（不合题意，舍去)， 答：AE的长为3米. 57. 【详解】(I)①证明：由折叠得B'D=BD,B'E=BE,∠B'DE=∠BDE, :DB'∥BC, ∠B'DE=∠BED, ∠BDE=∠BED, .BD BE :B'D B'E BD BE, :四边形BDB'E为菱形 ②解：：△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点， 14/18 丽学科网 www.zxxk.com AC=BC,∠ACB=90°，CD=BD=AD=5AB, :∠B=LA=45°，∠DCA=LDCB=∠ACB=45° B'D=BD,∠DB'E=∠B=45°， .CD=BD,LDCA=∠DB'E=45°， LDCB'=∠DB'C, :∠DCB'-∠DCA=∠DB'C-LDB'E, ∠FCB'=∠FB'C, :CF =B'F, △B'FC是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形， (2)解：如图②，连接CD、B'C, B CD=BD B'D, 图② :∠DCB'=∠DB'C, :∠DCA=∠DB'E=45°， LDCB'-∠DCA=LDB'C-∠DB'E, :ZFCB'=ZFB'C :CF =B'F :CF EF B'F +EF B'E =BE, :CF +EF +CE =BE +CE=BC .AB=AC2+BC2=2BC=10, .BC=5V2, ∴.CF+EF+CE=5V2, aCEF的周长为5√2， 故答案为：5√2. 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质、 15/18 让教与学更高效 翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 质、菱形的判定、勾股定理等知识，推导出∠FCB'=∠FB'C是解题的关键. 58. 【详解】(1)解：：CF=BE, .CF +CE BE +CE,EF BC. :四边形ABCD是平行四边形， .AD BC,AD =BC, .AD EF AD=EF, 四边形AEFD为平行四边形. 又AE⊥BC于点E, ∴∠AEF=90°， .四边形AEFD为矩形. (2)解：：四边形AEFD为矩形，OE=4, .0D=0E=4, .AF=DE=0D+0E=4+4=8. AB=6,BF=10, .AB2+AF2=62+82=36+64=100,BF2=102=100, .AB2+AF2 =BF2, .△ABF是直角三角形，且∠BAF=90°. S.AwE=1AB-AF=1BF.AE, 2 2 “2x6x8=x10x4E, 、1 2 解得AE=24 5 又：四边形AEFD是矩形，DF=AE, &DF-号 【点晴】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理逆定理以及三角形面积公式， 熟练掌握这些知识的内在联系和应用方法是解题的关键。 59. 【详解】(1)证明：：DE⊥BC, ∠DFB=90°， 16/18 命学科网 :∠ACB=90°， ∠ACB=∠DFB, .AC∥DE, :MN∥AB,即CE∥AD, :四边形ADEC是平行四边形， :CE=AD; (2)解：四边形BECD是菱形， 理由如下：：D为AB中点， :AD BD, CE AD .BD =CE :BD∥CE, :.四边形BECD是平行四边形， ∠ACB=0°，D为AB中点， :CD =BD .四边形BECD是菱形； (3)解：当∠A=45°或AC=BC时， 理由：∠ACB=90°，∠A=45°， .∠ABC=45°， 由(2)可知，四边形BECD是菱形， .∠ABC=∠CBE=45°， ∠DBE=90°， :四边形BECD是正方形， 或：当AC=BC时，：∠ACB=90°， .∠A=∠ABC=45°， 由(2)可知，四边形BECD是菱形， .∠ABC=LCBE=45°， .∠DBE=90°， .四边形BECD是正方形. 60 www.zxxk.com 让教与学更高效 四边形BECD是正方形， 17/18 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)：M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， .ME,NE是△DPC的中位线， .ME∥PC,EN∥PD, .四边形PMEN是平行四边形； (2)当AP=5时，在Rt△PAD和RtAPBC中， AP=BP ∠A=∠B, AD=BC .△PAD≌△PBC, .DP=CP, :M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， :NE PM IPD,ME=PN =IPC, 2 .PM =ME EN PN, .四边形PMEN是菱形； (3)四边形PMEN可能是矩形， 若四边形PMEN是矩形，则∠DPC=90 设PA=x,PB=10-x, DP=V16+x2,CP=16+(10-x)2. DP2+CP2 DC2 16+x2+16+(10-x)2=102 x2-10x+16=0 x=2或x=8. 故当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形. 【点晴】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，勾股定理的逆定理， 掌握矩形和菱形的性质是关键 18/18