专题04平行四边形（4大考点期末真题汇编，吉林专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 聚焦平行四边形4大高频考点，汇编吉林多地期末真题，覆盖性质、判定、中位线及综合应用，梯度设计适配期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|对角性质、中位线计算等|结合跷跷板情境考查中位线（如26题）| |填空题|10题|角平分线与平行四边形结合、坐标综合等|融入尺规作图（如8题作角平分线）| |解答题|25题|判定与性质证明、矩形结合等|分层设计，从基础证明（如13题证线段相等）到探究性问题（如36题中点四边形形状探究）|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04平行四边形 目目 考点01 平行四边形的性质 1. 【答案】C 2. 【答案】A 3. 【答案】B 4. 【答案】D 5. 【答案】C 6. 【答案】C 7. 【答案】B 9 【答案】16 9. 【答案】4 10. 【答案】（⑤，4） 11. 【答案】37 12. 【答案】2cm 13. 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， ÷AD=CB,AD‖CB, 1/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠DAE=∠BCF, 在△ADE和△CBF中， AD=CB ∠DAE=∠BCF AE=CF ·△ADE≌△CBF(SAS), ·∠AED=∠CFB, :∠DEF+∠AED=∠BFE+∠CFB=180°， ·∠DEF=∠BFE, :DE‖BF, 14. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ·AD=BC,ADIBC, ·∠ADE=∠CBF BE=BF+EF ,DF=DE+EF,BE=DF. ·BF+EF=DE+EF, :BF=DE. 在△ADE和△CBF中， AD=CB,∠ADE=∠CBF,BF=DE. ·△ADE≌△CBF(SAS). (2)四边形AFCE是菱形，理由如下. 连接AC,交BD于O, D B ·:△ADE≌△CBF, ·AE=CF,∠AED=∠BFC. 又：∠AED+∠AEF=180°，∠BFC+∠EFC=180°， ·∠AEF=∠EFC. AECF. 2117 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ·四边形AFCE是平行四边形， :四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, ·四边形ABCD是菱形 ·AC⊥BD :四边形AFCE是菱形， 15. 【详解】：四边形ABCD是平行四边形， ADI‖BC,AD=BC, ∠DAC=∠BCA :DF⊥AC,BE⊥AC, ∴.∠AFD=∠BEC=90, .△ADF≌△CBE(AAS), :BE=DF 16. 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC, .∠OAE=∠OBC,∠OCB=∠E, :点O是AB的中点， ..0A=0B, :△A0E≌△B0C(AAS), .AE=BC. 17. 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.BA//CD,AB=CD=9cm, .∠DEA=∠EAB, :AE平分∠DAB, ∴.∠DAE=∠EAB, ∴.∠DAE=∠DEA, .DE=AD=6cm, .CE=CD-DE=9-6=3 (cm). 3/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用平行四边形的性 质. 18. 【详解】：四边形ABCD是平行四边形， .AB//DC,AB=DC, ∴.∠BAE-∠DCF, 在△AEB和△CFD中， AB=CD ∠BAE=∠DCF AE-CF .△AEB≌△CFD(SAS), .BE=DF. 【点晴】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键， 目目 考点02 平行四边形的判定 19. 【答案】B 20. 【答案】D 21. 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 22. 【答案】她的作图方法正确，证明见解析 23. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB‖CD,AB=CD, CD=DE, :AB=DE, ∴四边形ABDE是平行四边形： (2)解：由(1)得：四边形ABDE是平行四边形， :BF=EF, 4/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :四边形ABCD是平行四边形， ..OB=0D, ·.OF是△BDE的中位线， .DE=20F, CD=DE, :CE=2DE, ∴CE=40F=8. 24. 【详解】证明：：BE‖AC,CE‖DB, :四边形OBEC是平行四边形， :四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且BO=OD,AO=OC, :.四边形ABCD是平行四边形： AB=AD, .平行四边形ABCD是菱形； .AC⊥BD,∠C0B=90°， ·.平行四边形OBEC是矩形. 25. 【详解】证明：：AD⊥AC,BC⊥AC, .∠CAD=∠BCA=90°，AD‖BC 在Rt△CAD与Rt△ACB中， (AB=CD AC=CA· :Rt△CAD≌Rt△ACB(HL), ∴AD=BC, :.四边形ABCD是平行四边形. 【点晴】此题考查平行四边形的判定，关键是根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答 目目 考点03 中位线 26. 【答案】B 27. 5/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】C 28. 【答案】A 29. 【答案】C 30. 【答案】4 31. 【答案】20米 32. 【答案】3n 33. 【答案】9 34. 【答案】18 35. 【详解】(I)证明：延长DE至点G,使GE=DE,连接CG,如图， B :点D、E分别是△ABC的边AB与AC的中点， AE=CE,AD=BD, 在△ADE和△CGE中， AE=CE ∠AED=∠CEG DE-EG ÷△ADE≌△CGE(SAS), ·AD=CG,∠DAE=∠GCE, :BD=CG,BDCG, :四边形DBCG是平行四边形， DG‖BC,DG=BC 6/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :DEI‖BC且DE=DG=BC: (2)证明：：P是BD的中点，M是DC的中点， :.PM=BC, :P是BD的中点，N是AB的中点， PN=AD, AD=BC, :PM=PN, ÷∠PMN=∠PNM; (3)解：连接BD,取BD的中点P,连接PM、PN,如图2， 图2 :M是DC中点，N是AB中点，AD=BC, :PM=BC=AD=PN,PNII AD,PMIBE. .∠PMN=∠PNM, :∠ADC+∠DCB=236°， :∠A+∠ABC=360°-（∠ADC+∠DCB)=360°-236°=124°， :PNIAD,PMI‖BE, :∠PNB=∠A,∠PMN=∠E, 在△ENB中，∠E+∠ABC+∠ENB=180o, :∠E=180°-∠ABC-∠PNM-∠PNB=180°-∠ABC-∠E-∠A ÷2E=180°-（∠A+∠ABC)=180°-124°=56°， ÷∠E=28°， 故答案为：28°. 36. 【详解】(1)①：在四边形ABCD中E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点. ∴EH是△ABD的中位线，FG是△CBD的中位线， 7117 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :EH BD,EH=BD,FG BD,FG=BD, .EH=FG,EH‖FG :.四边形EFGH的形状为平行四边形： 同理可得，EF是△BAC的中位线， .EF‖AC :AC⊥BD ·EH⊥EF :四边形EFGH的形状为矩形； ②：EF是△BAC的中位线， :EF=专AC AC=BD :EH=EF :.四边形EFGH的形状为菱形； ③：AC=BD,AC⊥BD 由以上可得，EH⊥EF,EH=EF :四边形EFGH的形状为正方形： (2):在四边形ABCD中E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点. ∴EH是△ABD的中位线，FG是△CBD的中位线， :EH BD,EH=BD,FG BD,FG=BD, ·EH=FG,EHI‖FG :.四边形EFGH的形状为平行四边形； (3):AC=4,BD=5, 由(1)得，EF=AC=2,EH=专BC=2.5,四边形EFGH的形状为矩形 四边形EFGH的面积为EH·EF=2.5×2=5; (4)如图所示，连接FH,，EG交于点O 8/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :四边形EFGH的形状为菱形 :EG1FH,0F=专FH=,∠EF0=克∠EFG=30° :.0E=EF :EF2=0E2+0F2 EF2=(3EP)2+()2 :EF=(负值舍去) :AC=2EF=23. 【点晴】此题考查了菱形的性质和判定，矩形的判定，正方形的判定，勾股定理，三角形中位线的性质和 判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点. 37. 【详解】(1)解：要使平行四边形OEMF是矩形， .∠AOB=90°， AC⊥BD, 故答案为：AC⊥BD; (2)解：四边形OEMF是菱形 证明：在矩形ABCD中，OA=OB, :点M是AB的中点，MEBD,MFAC, :.ME-OB,MF-OA, .ME=MF, :四边形OEMF是平行四边形， ·.四边形OEF是菱形； (3)解：MF+OA=ME, 理由：在矩形ABCD中，OA=OB, 9/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MEBD,MFAC, .四边形OEMF是平行四边形， ∴.MF=EO, ∴.∠OAB=∠OBA=∠EMA, .EA=EM, .MF=OE, ∴.MF+OA=MME 【点晴】本题主要考查了特殊的四边形的性质和判定，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本 题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别 38. 【详解】(1)证明：：D、E分别是边AB、AC的中点， DEBC且DE=BC. ·DEICF, 又：CF=号BC, ·DE=CF, ·四边形CDEF是平行四边形； (2)解：：DEBC ·四边形CDEF与△DBC的高相等， 设四边形CDEF中，CF边上的高为h, 又：CF=BC, SADBC=BC·h=CF,h=8, :点D为AB的中点， S△4Bc=2S△DBc=16, 故答案是：16. 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理，平 行四边形的判定和性质是解题的关键. 39. 【详解】试题分析：(I)根据BE,CF是△ABC的中线可得EF是△ABC的中位线，P,Q分别是BG, 10/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CG的中点可得PQ是△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EFBC且EF-BC,PQIBC且PQ专 BC,进而可得EF‖PQ且EF=PQ,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论； (2)根据平行四边形的性质可得GE=GP,再根据P是BG的中点可得BG=2PG,利用等量代换可得答案. 试题解析：(1)：BE、CF是△ABC的中线，EF是△ABC的中位线， :EFBC且EF=BC, :P、Q分别是BG、CG的中点，∴PQ是△BCG的中位线， PQBC且PQ=BC, :.EFPQ且EF=PQ, :四边形EFPQ是平行四边形； (2)BG=2GE, :四边形EFPQ是平行四边形，∴.GP=GE, :P是BG中点，∴BG=2PG, .BG=2GE. 目目 考点04 平行四边形的判定与性质 40. 【答案】C 41. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB‖CD,AB=CD, CD=DE, :AB=DE “四边形ABDE是平行四边形； (2)解：由(1)得：四边形ABDE是平行四边形， :BF=EF, :四边形ABCD是平行四边形， :.OB=0D, .OF是△BDE的中位线， .DE=20F,CEOF 11/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD=DE, :CE=2DE, :CE=40F. 故答案为：CE‖OF且CE=40F. 42. 【详解】(1)解：：CF=BE, ·.CF+CE=BE+CE,即EF=BC :四边形ABCD是平行四边形， ·AD‖BC,AD=BC, AD‖EF,AD=EF, “四边形AEFD为平行四边形， 又：AE⊥BC于点E, .∠AEF=90°， :四边形AEFD为矩形 (2)解：：四边形AEFD为矩形，OE=4, 0D=0E=4, .AF=DE=0D+OE=4十4=8. :AB=6,BF=10, .AB2+AF2=62+82=36+64=100,BF2=102=100, AB2+AF2=BF2, .△ABF是直角三角形，且∠BAF=90°. :S△4BF=专AB·AF=专BF,AE, 专×6×8=×10×AE, 解得AE=号 又：四边形AEFD是矩形，DF=AE, :DF=号 【点晴】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理逆定理以及三角形面积公式， 熟练掌握这些知识的内在联系和应用方法是解题的关键。 12/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 43. 【详解】(1)证明：O为AD的中点， A0=D0, :四边形ABCD是平行四边形， .ABI CD, ∴∠BAO=∠EDO, 又：∠A0B=∠D0E, :△AOB≌△DOE(ASA), AB=DE,又AB‖DE, ·四边形ABDE是平行四边形， (2)证明：：四边形ABDE是平行四边形 .BD=AE, :四边形ABCD是平行四边形 :AB=CD, AB2+AE2=BC2. :CD2+BD2=BC2, .∠BDC=90°， ∠BDE=90°， .平行四边形ABDE是矩形； (3)解：如图，过点O作OF⊥DE于点F, A B E D :四边形ABDE是矩形， :DE=AB=4.OD=AD,OB=0E=BE,AD=BE, :.OD=OE, OF⊥DE, 13/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..DF=EF=DE=2, “.OF为△BDE的中位线， OF=BD=6. :四边形ABCD是平行四边形， :CD=AB=4, CF=CD十DF=6, 在Rt△0CF中，由勾股定理得：0C=VCF2+0F=62+(V6)=V42, 即0C的长为y42. 44. 【详解】(1)证明：：DE⊥BC, ÷∠DFB=90°， :∠ACB=90°， ·∠ACB=∠DFB, ·ACIDE, :MNAB,即CEAD, :四边形ADEC是平行四边形， ·CE=AD; (2)解：四边形BECD是菱形， 理由如下：：D为AB中点， :AD=BD, CE=AD, BD=CE, BDICE, 四边形BECD是平行四边形， :∠ACB=90°，D为AB中点， ·CD=BD, :四边形BECD是菱形； (3)解：当∠A=45°或AC=BC时，四边形BECD是正方形， 14/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 理由：∠ACB=90°，∠A=45°， ·∠ABC=45°， 由(2)可知，四边形BECD是菱形， ·∠ABC=∠CBE=45o, ·∠DBE=90°， :.四边形BECD是正方形 或：当AC=BC时，：∠ACB=90°， .∠A=∠ABC=45°， 由(2)可知，四边形BECD是菱形， ·∠ABC=∠CBE=45°， ·∠DBE=90°， :.四边形BECD是正方形， 45. 【详解】(1)证明：：□ABCD, ·ADBC,AD=BC, ·∠ADB=∠CBD. ·∠ADE=∠CBF. 在△ADE和△CBF中， AD=BC ∠ADE=∠CBF DE-BF ÷△ADE≌△CBFSAS) :AE=CF,∠AED=∠CFB. ·AE CF, ·四边形AFCE是平行四边形； (2)解：：BD⊥AD,AB=5,BC=AD=3, ÷BD=VAB2-AD2=V52-32=4, 连接AC交EF于O, 15/17 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 B ·D0=OB=BD=2, :四边形AECF是平行四边形， :E0=OF=专EF, DE=BF, 设DE=BF=X, ·EF=2x+4, EF-AF=2, ·AF=2x+2, AF2=AD2+DF2, (2x+2)2=32+(4+x2, :x=V7 (负值舍去)， ·DE的长为V万. 46. 【详解】(1)证明：：四边形ACFD是平行四边形， .AC‖DF,AC=DF, AB=FE, AC-AB=DF-FE,即BC=DE, :.四边形BCED是平行四边形； (2)解：由(1)可知，BC=DE=6,四边形BCED是平行四边形， .BD CE, ∠DBN=∠CNB, :BN平分∠DBC, ∠DBN=∠CBN, ∴∠CBN=∠CNB, ∴CN=CB=6, 16/17 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CN的长为6. 47. 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°， ·AC⊥BC, :DE⊥BC, ACI DE, :四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上， AD‖lCE, ·四边形ACED是平行四边形， :∠ACE=90°， :四边形ACED是矩形. (2)解：：四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形， AE=CD=AB,AF=EF-=CF=DF-5, :∠ABC=60°， :△ABE是等边三角形， ·∠AEB=60°， :△CEF是等边三角形， ·BF⊥AE,AB=AE=BE=2CE=2CF=2X5=10, :∠AFB=90°，AF=专AE=专×10=5， :BF=VAB2-AF2=V102-52=55, :BF的长是55. 17/17可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04平行四边形 ☆4大高频考点概览 考点01平行四边形的性质 考点02平行四边形的判定 考点03中位线 考点04平行式变形的判定与性质 目目 考点01 平行四边形的性质 1.(24-25八下·吉林吉林丰满区期末)如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=90°，则∠B的度数 为() D A.45° B.120° C.135° D.150° 2.(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，口ABCD中，DC=5,CB=3,以A为圆心，AD 长为半径画弧，交边AB于点E,则BE的长为() D E B A.2 B.3 C.4 D.5 3.(24-25八下·吉林辽源期末)在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=110°，则∠B的度数是() A.35° B.55 C.70 D.90° 4.(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学.期末)如图，口ABCD中，∠D=25°，则∠A=() A D B 1/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.50° B.65° c.115° D.155° 5.(24-25八下·吉林吉林吉化第九中学校·期末)在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A,B,D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是() YA D (4) A.（3,7) B.（7,2 c.(7,3 D.(2,7 6.(24-25八下·吉林吉林第五中学.期末)如图，口ABCD的周长为36cm,△ABC的周长为28cm,则对 角线AC的长为() D B A.8cm B.9cm C.10cm D.12cm 7.(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学.期末)如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的 平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB=5,则AE的长为() A F E A.4 B.8 C.6 D.10 8.(24-25八下，吉林白城通榆县·期末)如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AD于点 区，再分别以点B,E为圆心，大于BE长为半径面圆哑交于点R,连接AF并延长交BC于点G.若 AB=10,BE=12,则AG的长为 2/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B G 9.(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)如图，口ABCD中，BE平分∠ABC,交AD于点E, BC=7,DE=3,则AB的长为 E 10.24-25八下·吉林白山浑江区第九中学期末)如图，口ABCD的顶点A0,4,B(-3,0,以点B为 圆心，AB长为半径画弧，交BC于点B,分别以点A,B为圆心，以大于A正的长为半径画弧，两弧在 ∠ABE的内部相交于点F,画射线BF交AD于点G,则点G的坐标是 G 11.(24-25八下·吉林桦甸)如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若 ∠EAD=53°，则∠BCE=度. E A D B C 12.(24-25八下，吉林吉林永吉县期末)如图，在平行四边形ABCD中，BC-8cm,AB=6cm,BE平分 ∠ABC交AD边于点E,则线段DE的长度为一： 3/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B4 13.24-25八下·吉林四平伊通县期末)已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两个点，且 AE=CF.求证：DE‖BF. 14.(2425八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的点， 且BE=DF,连接AE,CF. (I)求证△ADE≌△CBF: (2)连接AF,CE,若AB=AD,判断四边形AFCE的形状，并说明理由. 15.(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，在口ABCD中，分别过点B,D作AC的垂线，垂足为E, F.求证：BE=DF. 16.(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)如图，在口ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并 延长，交DA的延长线于点E,求证：AE=BC, 17.24-25八下·吉林辽源·期末)如图，在口ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E,AD=6C,AB=9C, 求EC的长. 4/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(24-25八下·吉林四平铁西区期末)己知：如图，E,F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF,连 接BE,DF,求证：BE=DF A D E 目目 考点02 平行四边形的判定 19.24-25八下，吉林白城通榆县期末)如图，在△ABC中，M,N分别是边AB,AC上的点，延长MN 至点P,连接PC,∠P+∠BCP=180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三 种不同的方案： 甲：添加BM=PC: 乙：添加BM‖PC; 丙：添加MP=BC. 则正确的方案() A.只有甲、乙才对 B.只有乙、丙才对 C.只有甲、丙才对 D.甲、乙、丙都对 20.(2425八下·吉林通化辉南县第四中学期末)一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平 行四边形的是() A.88°，108°，88° B.88°，104°，108 C.88°，92°，92 D.88°，92°，88 5/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.24-25八下·吉林吉林第七中学校期末)如图，已知△ABC,分别以C,A为圆心，AB,BC的长为 半径作弧，两弧交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形的依据是， C 22.(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校期末)在学习了平行四边形的判定后，月月同学想到了一个探究 题：如图1，己知△ABC,利用尺规作图法在图2中画出口ABCD 她的作法如下：①作∠ABC的平分线BM; ②以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线BM于点N,作射线AN: ③以点A为圆心，BC长为半径画弧，交射线AN于点D,连接CD: 故四边形ABCD为所求. DIN 图1 图2 你认为她的作图方法是否正确，如果正确请帮她证明四边形ABCD是平行四边形，如果不正确请说明理由， 23.2425八下·吉林吉林舒兰第十六中学期末)如图，已知口ABCD,AC、BD相交于点O,延长CD到 点E,使CD=DE,连接AE. F B (I)求证：四边形ABDE是平行四边形： (2)连接BE,交AD于点F,连接OF,若OF=2,则CE=、 24.(24-25八下·吉林桦甸)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且BO=OD,AO=OC, AB=AD,BE‖AC,CE‖DB.求证：四边形OBEC是矩形. 6/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.24-25八下·吉林吉林永吉县期末)如图，AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形 ABCD是平行四边形. 目目 考点03 中位线 26.(24-25八下·吉林白城通榆县期末)如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC, 跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E、F分别为AB、AC的中点)，若EF=35Cm,则点B距离地面 的高度为() A.80cm B.70cm C.60cm D.50cm 27.24-25八下.吉林吉林舒兰第十六中学.期末)在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5.D是AC边中点， E是AB边中点，下列结论中，正确的是() A.∠A=30°B.∠C=90° C.BD=2.5 D.ED=2.5 28.24-25八下·吉林吉林第三十二中学校期末)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点， FD⊥AB交CB的延长线于点F.若AF=3,CF=7,则DE的长为() 7/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B A.2 B.3 C.3.5 D.4 29.(24-25八下·吉林敦化期末)如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，己知DE=3,则 BC的长为() D A.3 B.4 C.6 D.5 30.24-25八下·吉林白山浑江区第九中学期末)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若 DE=2,则BC= D E 31.(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学期末)如图，校园内有一块等边三角形的空地ABC,己知M,N 分别是边AB,AC的中点，量得MN=4米，若想把四边形BCNM用围栏围成一个花园，则需要围栏的长 是一 32.(24-25八下·吉林辽源·期末)如图，在图(1)中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点， 在图2)中，A2、B2、C2分别是△A1BC1的边BC1、C1A1、A1B1的中点，，按此规律，则第n个图 8/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 形中平行四边形的个数共有 个 C A (1) (2) (3) 33.(24-25八下·吉林吉林吉化第九中学校期末)如图，平行四边形ABCD的周长为20.AC=8,对角线 AC,BD相交于点O,点E是BC的中点.则△COE的周长为 D 34.(24-25八下·吉林吉林第七中学校期末)如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别 是AB,CD的中点，AD=BC,∠PEF=18°，则∠PFE的度数是 F D B E A 35.(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)【教材呈现】： (I)如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE‖BC, 且DE=二BC,对此，我们可以用演绎推理给出证明. D 图① 图② 图③ 9/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【结论应用】 (2)如图②，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点， 求证：∠PMN=∠PNM; (3)如图③，四边形ABCD中，AD=BC,M是DC中点，N是AB中点，连接NM,延长BC、NM交 于点E:若∠D+∠DCB=236°，则∠E的大小为 36.(24-25八下·吉林吉林丰满区期末)综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学 兴趣小组通过作图、测量、猜想得出结论：原四边形对角线的数量关系和位置关系对中点四边形的形状有 着决定性作用.以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究. 在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点. 探究一 探究二 探究三 探究四 题设：如图1，AC 题设：如图2，AC 题设：如图3， 题设：如图4， 和BD不相等，AC 和BD不相等， AC=BD,AC和 AC=BD, 和BD不垂直. AC⊥BD BD不垂直. AC⊥BD 结论：四边形 结论：四边形 结论：四边形 结论：四边形 EFGH的形状为平 EFGH的形状为① EFGH的形状为 EFGH的形状为 行四边形. ② ③ B D 图1 图2 图3 图4 (1)① ② ③ (2)如图1，请完成探究一的证明. (3)如图2，AC⊥BD,若AC=4,BD=5,则四边形EFGH的面积为 4)如图3，AC=BD,连接FH,若FH=3,∠EFG=60°，则AC= 37.24-25八下·吉林桦甸)阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点M是AB边上 的一点，过点M分别作ME‖BD,MF‖AC交直线AC,BD于点E,F,显然四边形OEMF是平行四边形. 10/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D D B 图1 图2 图3 I)当对角线AC,BD满足 时，四边形OEMF是矩形. (②)如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并 写出证明过程. 3)如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA,ME,MF三条 线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由. 38.2425八下·吉林桦甸)如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，延长BC至点F,使得 CTBC,连结CD、DE、EP. 1)求证：四边形CDEF是平行四边形. (2)若四边形CDEF的面积为8，则△ABC的面积为 39.(24-25八下·吉林吉林第十三中学·期末)如图，△ABC的中线BE,CF相交于点G,已知P,Q分别是 BG,CG的中点. (1)求证：四边形EFPQ是平行四边形： (2)请判断BG与GE的数量关系，并证明. 目目 考点04 平行四边形的判定与性质 40.24-25八下·吉林白山浑江区第九中学期末)如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D 11/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作DE⊥AC于点E,连接CD,过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F.若AB=1O,则EF的长为 () B A.2.5 B.4 C.5 D.8 41.24-25八下，吉林吉林第七中学校期末)如图，己知平行四边形ABCD,AC,BD相交于点O,延长CD 到点E,使CD=DE,连接AE. E A (1)求证：四边形ABDE是平行四边形： (2)连接BE,交AD于点F,连接OF,则CE与OF的关系为 42.24-25八下·吉林敦化期末)如图，在.ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连 接DF,AF与DE交于点O. D B (1)求证：四边形AEFD为矩形： (2)若AB=6,OE=4,BF=10,求DF的长. 43.24-25八下·吉林四平铁西区期末)如图，在平行四边形ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交 CD的延长线于点E,连接AE,BD 12/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E D (I)求证：四边形ABDE是平行四边形： (②)若AB+AE2=BC,求证：四边形ABDE是矩形： 3)在(2)条件下，连接OC.若AB=4,BD=2V6,请直接写出OC的长. 44.24-25八下·吉林敦化期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MNAB,D为 AB边上一点，过点D作DE⊥BC,垂足为F,交直线MN于E,连接CD,BE. D I)求证：CE=AD: (2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由： 3)在满足（2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明你的理由， 45.24-25八下·吉林通化辉南县第四中学期末)如图，在口ABCD中，E,F是直线BD上的两点， DE=BF. (I)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)若AD⊥BD,AB=5,BC=3,且EF-AF=2,求DE的长. 46.24-25八下·吉林吉林第九中学期末)如图，在口ACFD中，点B,E分别在AC,DF上， AB=FE,AF分别交BD,CE于点M,N. 13/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B ()求证：四边形BCED是平行四边形： (2)已知DE=6,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长. 47.(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB=90°，过点D作 DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接AE交CD于点F. D B C (1)求证：四边形ACED是矩形： (②)连接BF,若∠ABC=60°，CF=5,求BF的长 14/14 专题04 平行四边形 4大高频考点概览 考点01 平行四边形的性质 考点02 平行四边形的判定 考点03中位线 考点04平行式变形的判定与性质 考点01 平行四边形的性质 1．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)如图，在平行四边形中，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，，即可求的度数． 此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，且， ∴， ∴， 故选：C． 2．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作一条线段等于已知线段， 根据平行四边形的性质得，再根据题意得，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 根据题意，得， ∴． 故选：A． 3．(24-25八下·吉林辽源·期末)在平行四边形 中，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)如图，中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据行四边形的性质可得，再利用平行线的性质，即得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 故选D． 5．(24-25八下·吉林吉林吉化第九中学校·期末)在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由、坐标可求得的长，根据平行四边形的一组对边平行且相等，即可得出结论． 【详解】解：，的坐标分别是，， ， 四边形为平行四边形， ，且， 点纵坐标与点纵坐标相同，都为，点横坐标为：， 点坐标为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及坐标与图形性质，掌握平行四边形的一组对边平行且相等是解题的关键． 6．(24-25八下·吉林吉林第五中学·期末)如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为平行四边形对边相等，所以周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）＝36，则AB+BC＝18，而△ABC的周长＝AB+BC+AC＝28，即可求出AC的长． 【详解】解：∵▱ABCD的周长是36cm， ∴AB+BC＝18cm， ∵△ABC的周长是28cm， ∴AB+BC+AC＝28cm， ∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+BC）＝28﹣18＝10（cm）． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键． 7．(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学·期末)如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　)   A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：设AG与BF交点为O， ∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO， ∴∠BAO=∠FAO， ∴△ABO≌△AFO（SAS）， ∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º， ∵AB=5， ∴， ∵AF∥BE， ∴∠FAO=∠BOE， 又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴AO=EO， ∴AE=2AO=8， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 8．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)如图，在中，以点A为圆心，为半径画圆弧交于点E，再分别以点B，E为圆心，大于长为半径 画圆弧交于点F，连接并延长交于点G．若，， 则 的长为___． 【答案】16 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识．先证明是等腰三角形，设交于点．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】证明：连接，设交于点，由作图可知，平分， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ； 由作图可知：，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， ． 故答案为：16． 9．(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)如图，中，平分，交于点E，，则AB的长为________．    【答案】4 【分析】根据平行四边形的性质可得、，利用线段间的数量关系可得,由平行线及角平分线可得、得出，即即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，BE平分， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边求边长等知识点，理解题意、结合图形、综合运用这些知识点是解题关键． 10．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)如图，的顶点，)，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，画射线交于点G，则点G的坐标是______．    【答案】 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得，由四边形是平行四边形，可得，从而得出，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 11．(24-25八下·吉林桦甸·)如图，在平行四边形中，过点的直线，垂足为，若，则______度． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质证明 再利用平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的两组对边平行”是解本题的关键． 12．(24-25八下·吉林吉林永吉县·期末)如图，在平行四边形ABCD中，BC=8cm，AB=6cm，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段DE的长度为_____． 【答案】2cm． 【详解】试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AE∥BC，AD=BC=8cm， ∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=6cm， ∴DE=AD﹣AE=8﹣6=2（cm）. 13．(24-25八下·吉林四平伊通县·期末)已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据平行四边形的性质证明得到，再由等角的补角相等得到，即可证明平行． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 14．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，． (1)求证； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用证明三角形全等； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，又， ， ． 在和中， ． ． （2）四边形是菱形，理由如下． 连接，交于O， ．， ． 又， ． ． 四边形是平行四边形． 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． ． 四边形是菱形． 15．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)如图，在中，分别过点B，D作的垂线，垂足为E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握证三角形全等，是解题的关键． 首先根据平行四边形的性质得到，，求出，然后证明出，即可得到． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由线段中点的定义得到，据此可证明，进而可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴． 17．(24-25八下·吉林辽源·期末)如图，在ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=6cm，AB=9cm，求EC的长． 【答案】3cm 【分析】首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BACD，AB=CD=9cm， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴DE=AD=6cm， ∴CE=CD-DE=9-6=3（cm）． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用平行四边形的性质． 18．(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】证明见解析． 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 考点02 平行四边形的判定 19．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（    ） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 【答案】B 【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解： ， ， 甲：添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形为平行四边形； 乙：添加后，满足两组对边平行，能证明四边形为平行四边形； 丙：添加后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形为平行四边形； 综上可知，只有乙、丙才对， 故选B． 20．(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学·期末)一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（    ） A．88°，108°，88° B．88°，104°，108° C．88°，92°， 92° D．88°，92°，88° 【答案】D 【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形,根据所给的三个角的度数可以求出第四个角,然后根据平行四边形的判定方法验证即可. 【详解】两组对角分别相等的四边形是平行四边形,故B不是; 当三个内角度数依次是88°,108°,88°时,第四个角是76°,故A不是; 当三个内角度数依次是88°,92°, 92°时,第四个角是88°,而C中相等的两个角不是对角，故C不对; D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形. 故选D. 【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质定理以及四边形内角和等于360°，熟练掌握平行四边形的对角相等，是解题的关键． 21．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了尺规基本作图-作线段等于已知线段，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【详解】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 22．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)在学习了平行四边形的判定后，月月同学想到了一个探究题：如图1，已知，利用尺规作图法在图2中画出． 她的作法如下：①作的平分线； ②以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点N，作射线； ③以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点D，连接； 故四边形为所求． 你认为她的作图方法是否正确，如果正确请帮她证明四边形是平行四边形，如果不正确请说明理由． 【答案】她的作图方法正确，证明见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，理解作图过程，熟练掌握平行四边形的判定是解答的关键．方法正确，证明，即可． 【详解】答：她的作图方法正确， 证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 23．(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)如图，已知，、相交于点O，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，连接，若，则_____． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．(24-25八下·吉林桦甸·)如图，四边形的对角线相交于点，且，，，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的对角线相交于点，且， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴平行四边形是菱形； ∴，， ∴平行四边形是矩形． 25．(24-25八下·吉林吉林永吉县·期末)如图，，，且，求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查平行四边形的判定，关键是根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答． 考点03 中位线 26．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：分别为的中点，， ， 点距离地面的高度为． 故选：B． 27．(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)在中，，，．D是边中点，E是边中点，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理．根据勾股定理逆定理，可得 ，再由直角三角形的性质，三角形中位线定理，可得，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ，故A，B选项错误； ∵D是边中点，E是边中点， ∴，，故C选项正确；D选项错误； 故选：C 28．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键．根据D是的中点，，可以得到，进而求出，再由三角形中位线定理，即可求出． 【详解】解： D是的中点，，， 是的垂直平分线， , ，， ， D，E分别是，的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 29．(24-25八下·吉林敦化·期末)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有，从而求出． 【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点． ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE， ∵DE＝3， ∴BC＝2×3＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 30．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)如图，在中，D、E分别为的中点，若，则_____________． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形中位线定理．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵在中，D、E分别为的中点，， 是的中位线， ． 故答案为：4． 31．(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学·期末)如图，校园内有一块等边三角形的空地，已知M，N分别是边，的中点，量得米，若想把四边形用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是______． 【答案】20米 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质． 根据三角形的中位线等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，据此求解即可． 【详解】解：∵M，N分别是边的中点，米， ∴是的中位线， ∴米， ∵是等边三角形， ∴米， ∴米， ∴篱笆的长（米）． 故答案为：20米． 32．(24-25八下·吉林辽源·期末)如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有______个． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理等知识点，根据中位线定理先确定它们是平行四边形，然后在图（1）中，可证出有3个平行四边形；在图（2）中，可证出有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个，熟练掌握三角形的中位线定理的性质是解决此题的关键． 【详解】在图（1）中，、、分别是的边、、的中点， ∴， ， ∴四边形是平行四边形，共有3个． 在图（2）中，分别是的边的中点， 同理可证：四边形、、、、、是平行四边形，共有6个． … 按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个， 故答案为：． 33．(24-25八下·吉林吉林吉化第九中学校·期末)如图，平行四边形的周长为20．，对角线，相交于点，点是的中点．则△COE的周长为_________． 【答案】9 【分析】根据题意和平行四边形的性质得，，根据点E是BC的中点，得，即可得． 【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长是20， ∴，， ∵点E是BC的中点，O是AC的中点，， ∴，，， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是掌握这些知识点． 34．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．    【答案】18． 【详解】试题分析：根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=18°，∴∠PEF=∠PFE=18°．故答案为18． 考点：三角形中位线定理． 35．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)【教材呈现】： （1）如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：； （3）如图，四边形中，，M是中点，N是中点，连接，延长交于点E：若，则的大小为______． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，四边形的内角和等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． (1)延长至点G，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； (2)根据教材呈现中的结论，得出，，再利用，即可得出结论； (3)连接，取的中点P，连接，得出，进而求出，由，， 得，，根据三角形的内角和以及等量代换即可求解． 【详解】(1)证明：延长至点G，使，连接，如图， 点D、E分别是的边与的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 且； (2)证明：是的中点，M是的中点， ， 是的中点，N是的中点， ， ， ， ； (3)解：连接，取的中点P，连接，如图2， 是中点，N是中点，， ，，， ， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 36．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量、猜想得出结论：原四边形对角线的数量关系和位置关系对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 在四边形中，分别是的中点． 探究一 探究二 探究三 探究四 题设：如图1，和不相等，和不垂直． 题设：如图2，和不相等，． 题设：如图3，，和不垂直． 题设：如图4，，． 结论：四边形的形状为平行四边形． 结论：四边形的形状为①___________． 结论：四边形的形状为②___________． 结论：四边形的形状为③___________． (1)①______．②_______．③_____． (2)如图1，请完成探究一的证明． (3)如图2，，若，，则四边形的面积为_______． (4)如图3，，连接，若，，则________． 【答案】(1)矩形；菱形；正方形 (2)证明见解析 (3)5 (4) 【分析】（1）根据题意得到是的中位线，是的中位线，得到，，证明出四边形的形状为平行四边形；然后由逐步证明出，得到四边形的形状为矩形；由得到，证明出四边形的形状为菱形；进而由，可得四边形的形状为正方形； （2）据题意得到是的中位线，是的中位线，得到，，证明出四边形的形状为平行四边形； （3）由三角形中位线的性质得到，，然后根据矩形的性质求解即可； （4）如图所示，连接，交于点O，由菱形的性质得到，，，得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）①∵在四边形中分别是的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴， ∴四边形的形状为平行四边形； 同理可得，是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴四边形的形状为矩形； ②∵是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴四边形的形状为菱形； ③∵， ∴由以上可得，， ∴四边形的形状为正方形； （2）∵在四边形中分别是的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴， ∴四边形的形状为平行四边形； （3）∵，， 由（1）得，，，四边形的形状为矩形 ∴四边形的面积为； （4）如图所示，连接，交于点O ∵四边形的形状为菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去） ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，矩形的判定，正方形的判定，勾股定理，三角形中位线的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 37．(24-25八下·吉林桦甸·)阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作MEBD，MFAC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形． (1)当对角线，满足______时，四边形是矩形． (2)如图，若四边形是矩形，且是的中点，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程． (3)如图，在四边形为矩形的条件下，若点是边延长线上的一点，此时，，三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)菱形，证明见解析 (3)MF+OA=ME，证明见解析 【分析】（1）由矩形的判断方法即可； （2）由三角形的中位线判断出ME=MF，得到邻边相等平行四边形是菱形； （3）先判断出四边形OEMF是平行四边形，再由平行四边形的性质得到EA=EM，即可． 【详解】（1）解：要使平行四边形OEMF是矩形， ∴∠AOB=90°， ∴AC⊥BD， 故答案为：AC⊥BD； （2）解：四边形OEMF是菱形． 证明：在矩形ABCD中，OA=OB， ∵点M是AB的中点，MEBD，MFAC， ∴ME=OB，MF=OA， ∴ME=MF， ∵四边形OEMF是平行四边形， ∴四边形OEMF是菱形； （3）解：MF+OA=ME， 理由：在矩形ABCD中，OA=OB， ∵MEBD，MFAC， ∴四边形OEMF是平行四边形， ∴MF=EO， ∴∠OAB=∠OBA=∠EMA， ∴EA=EM， ∵MF=OE， ∴MF+OA=ME 【点睛】本题主要考查了特殊的四边形的性质和判定，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别． 38．(24-25八下·吉林桦甸·)如图，在中，、分别是边、的中点，延长至点，使得，连结、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形的面积为，则的面积为______ ． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得且．再由，可得，即可求证； （2）根据，可得四边形与的高相等，设四边形，CF边上的高为，再由，可得，然后根据点D为AB的中点，即可求解． 【详解】（1）证明： 、分别是边、的中点， ∴且． ∴， 又， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， 四边形与的高相等， 设四边形中，CF边上的高为， 又， ， ∵点D为AB的中点， ∴． 故答案是：16． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 39．(24-25八下·吉林吉林第十三中学·期末)如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点．   （1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；     （2）请判断BG与GE的数量关系，并证明．     【答案】（1）证明见解析；（2）BG＝2GE. 【详解】试题分析：（1）根据BE，CF是△ABC的中线可得EF是△ABC的中位线，P，Q分别是BG，CG的中点可得PQ是△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥BC且EF=BC，PQ∥BC且PQ=BC，进而可得EF∥PQ且EF=PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论； （2）根据平行四边形的性质可得GE=GP，再根据P是BG的中点可得BG=2PG，利用等量代换可得答案． 试题解析：（1）∵BE、CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC且EF＝BC， ∵P、Q分别是BG、CG的中点，∴PQ是△BCG的中位线， ∴PQ∥BC且PQ＝BC， ∴EF∥PQ且EF＝PQ， ∴四边形EFPQ是平行四边形； （2）BG＝2GE， ∵四边形EFPQ是平行四边形，∴GP＝GE， ∵P是BG中点，∴BG＝2PG， ∴BG＝2GE. 考点04 平行四边形的判定与性质 40．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由直角三角形斜边中线的性质推出，判定四边形是平行四边形，得到． 【详解】中，点D是斜边的中点， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 故选：C． 41．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)如图，已知平行四边形相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，则与的关系为______． 【答案】(1)见解析 (2)且 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，,再由，可得，即． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：且． 42．(24-25八下·吉林敦化·期末)如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用已知条件得出线段相等关系，结合平行四边形的性质得到对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再依据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）完成证明． （2）根据矩形性质求出相关线段长度，借助勾股定理逆定理判断三角形形状，再利用三角形面积公式求出的长，进而得到的长． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形． （2）解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且． ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识的内在联系和应用方法是解题的关键． 43．(24-25八下·吉林四平铁西区·期末)如图，在平行四边形中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形； (3)在（2）条件下，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证，得，再证四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的 性质得出，，得出，然后证，即可得出结论； （3）过点O作于点F，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （3）解：如图，过点O作于点F， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 44．(24-25八下·吉林敦化·期末)如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 (3)当或时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 45．(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学·期末)如图，在中，E，F是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到． （1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 46．(24-25八下·吉林吉林第九中学·期末)如图，在中，点B，E分别在AC，DF上，分别交于点M，N． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，连接，若平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为6． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论；（2）由（1）得：，，再由平分，得到，再得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的长为6． 47．(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学·期末)如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $