精品解析：上海市崇明区上海师范大学附属崇明正大中学五四制）2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025学年第二学期八年级阶段练习卷 时间：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 1. 对任意实数x，点P(x，x2－2x)一定不在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】根据点在平面直角坐标系中各个象限坐标的符号特点解答即可，注意分情况讨论． 解：（1）当0＜x＜2时，x＞0，x2-2x=x（x-2）＜0，故点P在第四象限； （2）当x＞2时，x＞0，x2-2x=x（x-2）＞0，故点P在第一象限； （3）当x＜0时，x2-2x＞0，点P在第二象限． 故对任意实数x，点P可能在第一、二、四象限，一定不在第三象限， 故选C． 2. 在平面中，下列命题为真命题的是 A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 四边相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．因此，分别根据矩形、菱形、正方形的判定作出判断得即可 【详解】解：A、根据四边形的内角和得出，四个角相等的四边形即四个内角是直角，故此四边形是矩形，故此命题是真命题； B、只有对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此命题不是真命题； C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此命题不是真命题； D、四边相等的四边形是菱形，故此命题不是真命题． 故选A． 【点睛】题目主要考查命题真假的判断及矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题关键． 3. 在中，对角线相交于点O，下列判断中错误的是（ ） A. 若，则为矩形 B. 若平分，则为菱形 C. 若，则为菱形 D. 若，则为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、菱形的判定方法即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ， A、时，，则平行四边形为矩形，故本选项不符合题意； B、平分时，，，所以平行四边形为菱形，故本选项不符合题意； C、选项中，不能得出为菱形，故本选项符合题意； D、时，，且，所以平行四边形为正方形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，中，G是三角形的重心，，，，则的长是（　　） A. B. 5 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点H，先由重心的性质得到，再由勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，延长BG交AC于点H， ∵点G是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得： ， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质及其应用问题和勾股定理，解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 5. 小明和小颖同学交流学习心得，小明发现将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿着图③中的虚线剪下，就能得到一个特殊的图形．这个特殊的图形是（ ） A. 矩形 B. 三角形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、剪纸问题；由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：据折叠方法可知：所得到图形的条边都是所剪直角三角形的斜边，并且相等，根据四条边相等的四边形是菱形可得这个图形是菱形． 故选：C． 6. 嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围是___. 【答案】-1<a< 【解析】 【分析】点P（a+1，a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则点P（a+1，a﹣3）在第四象限，符号为（+，﹣）． 【详解】依题意得P点在第四象限，∴，解得：﹣1＜a＜． 故答案为﹣1＜a＜． 【点睛】本题考查了第一象限的点关于x轴对称的点在第四象限，要学会发散性思考，可以由此题联想到更多的点关于某一坐标轴对称的性质． 8. 如果点，，点C在y轴上，且的面积是5，则C点坐标_________． 【答案】或 【解析】 【分析】设点C的坐标为，求出的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：设点C的坐标为， ∵，， ∴， 由题意得：，解得：或， ∴点C的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的是三角形的面积、坐标与图形性质等知识点，正确表示出的长、灵活运用三角形的面积公式是解题的关键． 9. 已知点A(x，4)到原点的距离为5，则点A的坐标为______． 【答案】(3，4)或(-3，4) 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式便可直接解答． 【详解】解：∵点A（x，4）到原点的距离是5，点到x轴的距离是4， ∴5=，解得x=3或x=-3． A的坐标为（3，4）或（-3，4）． 故答案填：（3，4）或（-3，4）． 【点睛】本题考查了勾股定理以及点的坐标的几何意义，解题的关键是明确横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离． 10. 如图，，是四边形的外角，若，，则的度数为______． 【答案】##180度 【解析】 【分析】根据多边形内角和得到，根据，可知的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 11. 如图，在四边形中，与相交于点，若再添加一个条件，可判定四边形为平行四边形．请从①；②；③这三个条件中选取一个作为添加条件．你选择的条件是______．（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：选择③， ∵，， ∴四边形为平行四边形； 而选择①或②都只有一组对边相等，也无法证明三角形全等得其他边、角的关系， 故选择③能判定四边形为平行四边形． 故答案为：③． 12. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点作，，且，，则__． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可证明四边形、为平行四边形，可证明，再利用面积的和差可得出四边形和四边形的面积相等，由已知条件即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ，， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行四边形为平行四边形，②两组对边分别相等四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等四边形为平行四边形，④两组对角分别相等四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分四边形为平行四边形． 13. 已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC=AB，再根据正方形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵B=60°，AB=BC ∴△ABC是等边三角形 ∴AC=AB=4 ∴正方形ACEF的周长=4×4=16． 故答案为16． 【点睛】题考查菱形与正方形的性，熟练掌握性质定理是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，规定以下两种变化： ①．如；②． 根据以上规定：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给规定进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴． 15. 有下列说法：①有序数对对应的点一定在第一象限；②若表示有理数，则点一定在第三象限；③若，则点一定在第一象限或第三象限；④若，则点表示原点其中，正确的是______（填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，以及坐标轴上点的坐标特征，逐一判断每个说法的正确性即可. 【详解】解：① 由平方的非负性可知，，则；由绝对值的非负性可知，， ∴当时，在第一象限，当时，在 轴上，不符合题意； ② 由平方的非负性可知，，则，无法判定正负， ∴点所在位置无法判断，不符合题意； ③ ，则，此时点在第一象限，或，此时点在第三象限，符合题意； ④ ，则，点在轴上，或，点在轴上，或，点表示原点，不符合题意． 16. 如图，在中，是三角形的中位线．若的周长为，则的周长为______． 【答案】36 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得到，，，进而可知的周长． 【详解】解：∵是三角形的中位线， ∴，D为中点，E为中点， ∴， ∴的周长的周长， ∴的周长． 17. 如图，在直角坐标系中，点B（-2，3），点C在x轴负半轴， OB=BC，点M为△OBC的重心，若将△OBC绕点O旋转90°， 则旋转后三角形的重心的坐标为___________ 【答案】（1，2）或（-1，-2）或（-1，-2）或（1，2） 【解析】 【分析】先根据重心的性质求得重心M的坐标，再分△OBC绕点O顺时针旋转90°时和△OBC绕点O逆时针旋转90°时，利用全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵OB=BC，点M为△OBC的重心， ∴BM⊥x轴， ∵点B的坐标为（-2，3）， ∴点M的坐标为（-2，1）， ①当△OBC绕点O顺时针旋转90°时， 过点M作MD⊥x轴于点D，过点M1作M1E⊥y轴于点E， ∠MOE+∠M1OE=90°，∠MOD+∠MOE=90°， ∴∠MOD=∠M1OE， 又∵MO=M1O， ∴Rt△MOD≌Rt△M1OE， ∴OD=OE=2，MD=M1E=1， ∴点M1的坐标为（1，2）； ②当△OBC绕点O逆时针旋转90°时， 同理可得点M2的坐标为（-1，-2）； 故答案为：（1，2）或（-1，-2）． 【点睛】本题考查了重心的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，数形结合是解题的关键． 18. 在菱形中，E、F分别是、边上的两点，连接、、，平分．若，，的周长为15，线段的长为 _______ ． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，过A作于M，于N，于H，由角平分线的性质推出，判定，推出，由菱形的性质推出，平分，由菱形的面积公式得到，因此，判定，推出，得到的周长，判定和是等边三角形，得到，得到，由勾股定理求出、，即可得到的长． 【详解】解：连接，过A作于M，于N，于H，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵菱形的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴和是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、计算题：本大题共8小题，共78分． 19. 如图，在中，分别为边的中点，连接． （1）求证：． （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，，，  ， 、分别为、的中点，  ∴，，   在和中，    ； （2） 解：若，则四边形是菱形．  证明：在平行四边形中，，，，分别为边，的中点，  且，  四边形是平行四边形， 又，  是直角三角形，且， 是的中点，  ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据四边形的性质可知，，，结合、分别为边、的中点，这样就具备了全等三角形判定中的，由此可证得结论； （2）先根据平行四边形的性质，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形是平行四边形，然后根据直角三角形中，是斜边上的中线，得到，即可得出四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知矩形，点B是的中点，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平行线的性质得，再证明，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形，结合对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】略 21. 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明四边形是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到，，利用矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到，利用lx 面积公式得到，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 矩形的周长为22， ， 四边形是菱形， 即， 四边形的面积为10， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． 22. 如图所示，在矩形中，cm，cm，点P从A开始沿边以4m/s的速度运动，点Q从C开始沿边以2m/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s． （1）当时，求P，Q两点之间的距离． （2）当为何值时，线段与互相平分? （3）当为何值时，四边形的面积为矩形面积的． 【答案】（1）cm （2）4s （3）3s 【解析】 【分析】（1）当t=2秒时，表示出QC，AP的长，利用勾股定理求出PQ的长即可． （2）根据线段AQ与DP互相平分，则四边形APQDA为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解出即可． （3）用t表示出四边形APQD的面积，再求出矩形面积的进而得出即可． 【小问1详解】 解：连接PQ，过D点P作PE⊥DQ于点E，如图所示： ∵AB=24cm，BC=10cm，点P从A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，点QA从C开始沿CD边2cm/s的速度移动， ∴当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm， ∴DQ=24-QC=20cm，则EQ=12cm， ∴(cm)， ∴P，Q两点之间的距离cm． 【小问2详解】 ∵AP=4t，DQ=24-2t， 当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时， 则AP=DQ，即4t=24-2t， 解得：t=4， 故t为4s时，线段AQ与DP互相平分． 【小问3详解】 ∵P在AB上， ∴ ， ， ， 解得：， ∴t为3秒时，四边形APQD的面积为矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理的应用，根据运动速度得出QC以及AP的长是解题关键． 23. 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． （1）【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． （2）【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 【答案】（1） （2），证明见解析；8 【解析】 【分析】（1）根据“可等垂四边形”的定义得到是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形和矩形的性质，推导线段和的数量关系； （2）利用“一线三垂直”模型证明，根据全等三角形的性质从而得到线段间的和差关系； 结合等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理先求出的长度，再利用等腰三角形的性质求出． 【小问1详解】 解： 证明：如图（1），过点作于点，则， ∵矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴； ∵四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】在第（2）问的第小问利用“一线三垂直”模型证明三角形全等是解题的关键． 24. 图①，图②都是4×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，且点A，B均在格点上． （1）在图①中以AB为对角线画出一个矩形，使矩形的另外两个顶点也在格点上，且所画的矩形不是正方形； （2）在图②中以AB为对角线画出一个菱形，使菱形的另外两个顶点也在格点上，且所画的菱形不是正方形； （3）图①中所画的矩形的面积为　 　；图②中所画的菱形的周长为　 　． 【答案】 （1） 如图①所示，矩形ACBD即为所求； （2）如图②所示，菱形AFBE即为所求； （3）8，4． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质画图即可； （2）根据菱形的性质画图即可； （3）根据矩形的面积公式和菱形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：（1）略． （2）略． （3）矩形ACBD的面积=2×4=8；菱形AFBE的周长=4×=4， 故答案为8，4． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图．熟记矩形和菱形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在． 25. 在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 【答案】（1） （2） （1）中结论仍然成立， 证明：如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设与交于点H， 同理可得， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据菱形的性质结合，可证明，都是等边三角形，然后利用证明，得到，，延长交于，由，可求出，即，即可证明结论； （2）结论仍然成立，根据题意作出图形，证明过程与（1）类似． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于H，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证是等边三角形， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 26. 如图，四边形是平行四边形，，，点的坐标为，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，两个点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点就停止运动．运动时间为秒． （1）分别求点和点的坐标； （2）当点运动的时间为秒时，在平面直角坐标系中找到一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． （3）设点运动的时间为秒，求当为何值时，的面积是． 【答案】（1）， （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）作轴于，利用含角的直角三角形的长，得到点的坐标，再利用平行四边形的性质求解； （2）先求出点的坐标，再根据平行四边形的性质确定点的位置，最后根据平行四边形的性质求出点的所有坐标； （3）使用割补法将的面积表示出来，然后用含的代数式将线段的长度表示出来，代入求解． 【小问1详解】 解：作轴于， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 四边形是平行四边形，的坐标为， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：当时，，点与点重合，如图所示， ①，此时， ∴，即； ②，此时， ∴，即； ③， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴轴，轴， 又∵点的坐标为， ∴， 则的坐标为或或． 【小问3详解】 解：由题意知：， 如图所示：过点作于点，过点作轴于点， ， ∵四边形是平行四边形，， ∴，则， ∴， ， ， ∴， 化简，得， 解得， 当时，的面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级阶段练习卷 时间：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 1. 对任意实数x，点P(x，x2－2x)一定不在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平面中，下列命题为真命题的是 A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 四边相等的四边形是正方形 3. 在中，对角线相交于点O，下列判断中错误的是（ ） A. 若，则为矩形 B. 若平分，则为菱形 C. 若，则为菱形 D. 若，则为正方形 4. 如图，中，G是三角形的重心，，，，则的长是（　　） A. B. 5 C. D. 7 5. 小明和小颖同学交流学习心得，小明发现将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿着图③中的虚线剪下，就能得到一个特殊的图形．这个特殊的图形是（ ） A. 矩形 B. 三角形 C. 菱形 D. 正方形 6. 嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围是___. 8. 如果点，，点C在y轴上，且的面积是5，则C点坐标_________． 9. 已知点A(x，4)到原点的距离为5，则点A的坐标为______． 10. 如图，，是四边形的外角，若，，则的度数为______． 11. 如图，在四边形中，与相交于点，若再添加一个条件，可判定四边形为平行四边形．请从①；②；③这三个条件中选取一个作为添加条件．你选择的条件是______．（填序号） 12. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点作，，且，，则__． 13. 已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______． 14. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，规定以下两种变化： ①．如；②． 根据以上规定：______． 15. 有下列说法：①有序数对对应的点一定在第一象限；②若表示有理数，则点一定在第三象限；③若，则点一定在第一象限或第三象限；④若，则点表示原点其中，正确的是______（填序号）． 16. 如图，在中，是三角形的中位线．若的周长为，则的周长为______． 17. 如图，在直角坐标系中，点B（-2，3），点C在x轴负半轴， OB=BC，点M为△OBC的重心，若将△OBC绕点O旋转90°， 则旋转后三角形的重心的坐标为___________ 18. 在菱形中，E、F分别是、边上的两点，连接、、，平分．若，，的周长为15，线段的长为 _______ ． 三、计算题：本大题共8小题，共78分． 19. 如图，在中，分别为边的中点，连接． （1）求证：． （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 20. 如图，已知矩形，点B是的中点，．求证：四边形是菱形． 21. 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 22. 如图所示，在矩形中，cm，cm，点P从A开始沿边以4m/s的速度运动，点Q从C开始沿边以2m/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s． （1）当时，求P，Q两点之间的距离． （2）当为何值时，线段与互相平分? （3）当为何值时，四边形的面积为矩形面积的． 23. 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． （1）【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． （2）【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 24. 图①，图②都是4×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，且点A，B均在格点上． （1）在图①中以AB为对角线画出一个矩形，使矩形的另外两个顶点也在格点上，且所画的矩形不是正方形； （2）在图②中以AB为对角线画出一个菱形，使菱形的另外两个顶点也在格点上，且所画的菱形不是正方形； （3）图①中所画的矩形的面积为　 　；图②中所画的菱形的周长为　 　． 25. 在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 26. 如图，四边形是平行四边形，，，点的坐标为，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，两个点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点就停止运动．运动时间为秒． （1）分别求点和点的坐标； （2）当点运动的时间为秒时，在平面直角坐标系中找到一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． （3）设点运动的时间为秒，求当为何值时，的面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $