专题8 长方体和正方体（专项训练）五升六年级数学暑假专项提升（青岛版）

**基本信息** 聚焦长方体和正方体，构建“概念-公式-应用-易错”完整体系，提炼标准解题步骤与高频易错点，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特征与公式|含选择6、填空8、解答6等|特征对比法、场景分析法、排水法、切拼规律总结、六步解题法|从棱长/面/顶点特征到棱长总和、表面积（含特殊场景）、体积（含通用公式）、容积，延伸至不规则体积与切拼问题，形成递进式知识链|

专题8 长方体和正方体 一、长方体和正方体的基本特征 （一）长方体特征 1. 面：共6个面，相对的面完全相同（形状相同、面积相等）；一般都是长方形，特殊情况有2个相对的面是正方形。 2. 棱：共12条棱，相对的棱长度相等；12条棱分为3组，分别为长、宽、高，每组各4条，长度分别相等。 3. 顶点：共8个顶点。 4. 长宽高定义：相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高。 （二）正方体特征 1. 面：共6个面，所有面都是完全相同的正方形，面积全部相等。 2. 棱：共12条棱，所有棱长度全部相等。 3. 顶点：共8个顶点。 4. 从属关系：正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。 （三）棱长总和公式（必考） 1. 长方体棱长总和：棱长总和 =（长＋宽＋高）×4 变形公式：长=棱长总和÷4－宽－高 2. 正方体棱长总和：棱长总和 = 棱长×12 变形公式：棱长=棱长总和÷12 二、长方体和正方体的表面积 （一）表面积定义 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 （二）标准表面积公式 1. 长方体表面积：S =（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 2. 正方体表面积：S = 棱长×棱长×6 （三）特殊表面积题型（高频考点） 实际生活中物体不一定有6个面，需要根据场景减少对应面的面积： 1. 无盖鱼缸、水池、抽屉：只算5个面（少上面） 2. 通风管、烟囱、排水管：只算4个侧面（无上下底面） 3. 贴瓷砖、粉刷墙壁：扣除门窗面积，只算需要涂刷的面 核心原则：题目求什么面，就计算什么面，不盲目套公式。 三、体积与体积单位 （一）体积定义 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 （二）常用体积单位 立方厘米（）、立方分米（）、立方米（） 单位换算： 、、 （三）体积计算公式 1. 长方体体积：V = 长×宽×高 2. 正方体体积：V = 棱长×棱长×棱长 3. 通用体积公式（长方体、正方体通用）：V = 底面积×高 变形公式：底面积=体积÷高、高=体积÷底面积 四、容积与容积单位 （一）容积定义 容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。 区别：体积是物体外部空间大小，容积是容器内部可容纳空间大小，所有容器体积＞容积（有壁厚）。 （二）常用容积单位 升（L）、毫升（mL） 单位换算： 、、 （三）容积计算方法 计算公式和体积一致，但计算容积需要测量物体内部的长、宽、高。 五、不规则物体体积计算（排水法） 适用场景：石块、水果、零件等不规则物体，无法直接用公式计算体积。 1. 完全浸没：不规则物体体积 = 上升水的体积 2. 公式：体积=容器底面积×水面上升高度 3. 原理：物体占据水的空间，使水面上升，排开水的体积等于物体体积。 六、切拼正方体/长方体变化规律（重难点） 1. 拼接：两个长方体/正方体拼在一起，表面积减少（减少2个贴合面的面积），体积不变。 2. 切割：把一个长方体/正方体切开，表面积增加（增加2个切面面积），体积不变。 核心结论：切拼物体，总体积永远不变，表面积一定改变。 七、单元标准解题步骤 第一步：审题，判断题型（棱长、表面积、体积、容积、排水法、切拼问题）； 第二步：区分场景，判断是否为完整6个面，确定计算面的数量； 第三步：选择对应公式，统一单位（单位不同先换算）； 第四步：代入数据列式计算； 第五步：检验公式、单位、计算是否正确； 第六步：规范书写答语。 八、常考易错知识点总结 1. 单位易错：体积、容积单位混淆，计算前必须统一单位，不统一直接算全部出错； 2. 表面积易错：生活实际题直接套6面公式，忘记无盖、通风管等少面情况； 3. 概念易错：混淆体积和容积，体积看外部、容积看内部，容器体积一定大于容积； 4. 切拼易错：拼接表面积增加、切割表面积减少记反，忽略体积不变规律； 5. 公式易错：棱长总和、表面积、体积公式混淆，长方体高的反向求解出错； 6. 排水法易错：物体未完全浸没时，不能用排水法公式计算体积。 一、选择题 1．小红要用彩纸做一个笔筒的模型，求需要多少彩纸，应该计算笔筒的（    ）。 A．侧面积 B．表面积 C．侧面积和一个底面积 D．底面积 2．从甲、乙两个相同的长方体中挖去一个相同的小长方体，剩下部分的图形中（    ）。 A．甲的体积和表面积大于乙的体积和表面积 B．甲的体积和表面积小于乙的体积和表面积 C．甲的表面积小于乙的表面积，体积相等 D．无法确定它们的表面积和体积的大小 3．星光小学举办“阳光体育”运动会，需制作一批长方体灯罩（如图，无上、下底面）。制作10个这样的灯罩至少需要（    ）cm2的材料。（接头不计） A．1800 B．2250 C．2025 D．18000 4．下面的图形中（    ）是正方体的展开图。 A． B． C． D． 5．寒露过后天气由凉转寒，部分地区有吃花糕的习俗。切糕师傅用三种不同的方法分别将其切成两个完全一样的小切糕块。两个小切糕块的表面积总和分别比原来增加了24平方分米、12平方分米和16平方分米。原来切糕的表面积是（    ）平方分米。 A．104 B．26 C．52 D．以上都不对 6．篆刻艺术是民间一种传统技艺，五年级学生要篆刻二十四节气印章，现有一个长方体木块的表面积是96平方厘米，底面是面积为12平方厘米的正方形。在它的上面粘了一个正方体木块，正方体的四个顶点正好落在长方体底面各边的中点（如图）。这个组合体的表面积是（    ）平方厘米。 A．108 B．120 C．126 D．132 二、填空题 7．从同一个方向观察一个正方体最多能看到( )个面。 8．将如图摆成一个较大的正方体，至少还需要( )个相同的小正方体。 9．1000立方厘米＝( )立方分米    6立方米＝( )立方分米    36立方分米＝( )升 2升＝( )毫升    3500毫升＝( )升    5升＝( )立方分米 10．《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米，老师要用纸把2本《新华字典》包起来，要求包装方法最省纸，那么需要包装纸至少( )平方厘米。 11．小明有9块棱长为4厘米的正方体积木，他用这些积木搭了一个正方体，搭这个正方体用了( )块积木，搭的这个正方体的表面积是( )平方厘米。如果选用7块积木搭一个长方体，搭的这个长方体的表面积是( )平方厘米。 12．一个长方体木箱，彤彤从左面看，看到一个长4分米、宽3分米的长方形；乐乐从后面看，看到一个长8分米、宽4分米的长方形。如果从上面看，可以看到一个长( )分米、宽( )分米的长方形。 13．下图是两块同样的长方体木块，其中一个长方体的体积是( )立方厘米。如果把它们拼成表面积最小的长方体，那么拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 14．有一个长方体玻璃容器，长，宽，高。向这个容器内倒水，当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，水的体积是( )。 三、判断题 15．一个长方体体积的大小也就是看这个长方体包含多少个体积单位。( ) 16．长方体相交于一点的三条棱的长度之和是这个长方体棱长总和的。( ) 17．一根2米长的圆柱形木料，锯成3段后，增加了6个底面。( ) 18．饮料瓶上写有“净含量：350mL”的字样，350mL表示饮料瓶的容积。( ) 19．三个完全相同的正方体拼成一个长方体，长方体的长和宽都是4米，那么长方体的表面积是224平方米。( ) 20．长方体（不含正方体）的12条棱中，最多可以出现8条长度相等的棱。( ) 四、计算题 21．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）         22．求几何体的体积。（单位：cm） 五、解答题 23．同学们想知道一块石头的体积，小明和几位同学找来一个长方体水箱，并倒入3分米深的水。水箱长8分米，宽6分米。然后把这块石头完全浸没在水中（水未溢出），此时水深5.5分米。这块石头的体积是多少立方分米？ 24．张亮想按照如图方式，在盒子上扎根带子，另外要剩25厘米用来打蝴蝶结。张亮需要的带子长多少厘米？ 25．如图，一个正方体玻璃容器（无盖）的棱长是2分米。向容器中倒入5升水，再把一个土豆没入水中。这时量得容器内水深14厘米。土豆的体积是多少？（玻璃的厚度忽略不计） 26．世园会中“草坪剧场”上搭建的特色帐篷四周喷绘有世界各国的国花，作为文化互动展示区。帐篷设计尺寸如下图，请算一算，每顶帐篷四周的喷绘面积有多少平方米？ 27．外卖给我们的生活带来了很大的便利，这种便利离不开外卖人员的辛苦付出。淘气的叔叔是一个外卖骑手，下图是他的外卖保温包的示意图，做一个这样的保温包至少需要多少平方厘米的材料？（重叠部分忽略不计） 28．张大航用烤箱做了奶奶爱吃的小正方体蛋糕作为生日礼物，每个小蛋糕的棱长为8厘米（如图），然后他想把小蛋糕放入图中的礼品盒中，装饰好再送给奶奶。请你帮他解决下面的问题吧。 （1）礼品盒中最多能放（    ）块小蛋糕。 （2）他用彩纸包装了礼品盒，至少需要多少彩纸？ （3）他用彩带捆扎礼盒，用多长的彩带？（打结处用了20厘米） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 长方体和正方体 一、长方体和正方体的基本特征 （一）长方体特征 1. 面：共6个面，相对的面完全相同（形状相同、面积相等）；一般都是长方形，特殊情况有2个相对的面是正方形。 2. 棱：共12条棱，相对的棱长度相等；12条棱分为3组，分别为长、宽、高，每组各4条，长度分别相等。 3. 顶点：共8个顶点。 4. 长宽高定义：相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高。 （二）正方体特征 1. 面：共6个面，所有面都是完全相同的正方形，面积全部相等。 2. 棱：共12条棱，所有棱长度全部相等。 3. 顶点：共8个顶点。 4. 从属关系：正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。 （三）棱长总和公式（必考） 1. 长方体棱长总和：棱长总和 =（长＋宽＋高）×4 变形公式：长=棱长总和÷4－宽－高 2. 正方体棱长总和：棱长总和 = 棱长×12 变形公式：棱长=棱长总和÷12 二、长方体和正方体的表面积 （一）表面积定义 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 （二）标准表面积公式 1. 长方体表面积：S =（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 2. 正方体表面积：S = 棱长×棱长×6 （三）特殊表面积题型（高频考点） 实际生活中物体不一定有6个面，需要根据场景减少对应面的面积： 1. 无盖鱼缸、水池、抽屉：只算5个面（少上面） 2. 通风管、烟囱、排水管：只算4个侧面（无上下底面） 3. 贴瓷砖、粉刷墙壁：扣除门窗面积，只算需要涂刷的面 核心原则：题目求什么面，就计算什么面，不盲目套公式。 三、体积与体积单位 （一）体积定义 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 （二）常用体积单位 立方厘米（）、立方分米（）、立方米（） 单位换算： 、、 （三）体积计算公式 1. 长方体体积：V = 长×宽×高 2. 正方体体积：V = 棱长×棱长×棱长 3. 通用体积公式（长方体、正方体通用）：V = 底面积×高 变形公式：底面积=体积÷高、高=体积÷底面积 四、容积与容积单位 （一）容积定义 容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。 区别：体积是物体外部空间大小，容积是容器内部可容纳空间大小，所有容器体积＞容积（有壁厚）。 （二）常用容积单位 升（L）、毫升（mL） 单位换算： 、、 （三）容积计算方法 计算公式和体积一致，但计算容积需要测量物体内部的长、宽、高。 五、不规则物体体积计算（排水法） 适用场景：石块、水果、零件等不规则物体，无法直接用公式计算体积。 1. 完全浸没：不规则物体体积 = 上升水的体积 2. 公式：体积=容器底面积×水面上升高度 3. 原理：物体占据水的空间，使水面上升，排开水的体积等于物体体积。 六、切拼正方体/长方体变化规律（重难点） 1. 拼接：两个长方体/正方体拼在一起，表面积减少（减少2个贴合面的面积），体积不变。 2. 切割：把一个长方体/正方体切开，表面积增加（增加2个切面面积），体积不变。 核心结论：切拼物体，总体积永远不变，表面积一定改变。 七、单元标准解题步骤 第一步：审题，判断题型（棱长、表面积、体积、容积、排水法、切拼问题）； 第二步：区分场景，判断是否为完整6个面，确定计算面的数量； 第三步：选择对应公式，统一单位（单位不同先换算）； 第四步：代入数据列式计算； 第五步：检验公式、单位、计算是否正确； 第六步：规范书写答语。 八、常考易错知识点总结 1. 单位易错：体积、容积单位混淆，计算前必须统一单位，不统一直接算全部出错； 2. 表面积易错：生活实际题直接套6面公式，忘记无盖、通风管等少面情况； 3. 概念易错：混淆体积和容积，体积看外部、容积看内部，容器体积一定大于容积； 4. 切拼易错：拼接表面积增加、切割表面积减少记反，忽略体积不变规律； 5. 公式易错：棱长总和、表面积、体积公式混淆，长方体高的反向求解出错； 6. 排水法易错：物体未完全浸没时，不能用排水法公式计算体积。 一、选择题 1．小红要用彩纸做一个笔筒的模型，求需要多少彩纸，应该计算笔筒的（    ）。 A．侧面积 B．表面积 C．侧面积和一个底面积 D．底面积 【答案】C 【分析】笔筒顶部开口，无需覆盖顶部，仅需计算侧面和底部的面积。据此解答。 【详解】A．只算侧面，缺少底面，无法制作笔筒。 B．表面积含两个底面，笔筒无顶部无需两个底面。 C．侧面积加一个底面积，正好覆盖笔筒所需的侧面和底面，符合题意。 D．只算底面积，缺少侧面，无法制作笔筒。 因此，应该计算笔筒的侧面积和一个底面积。 2．从甲、乙两个相同的长方体中挖去一个相同的小长方体，剩下部分的图形中（    ）。 A．甲的体积和表面积大于乙的体积和表面积 B．甲的体积和表面积小于乙的体积和表面积 C．甲的表面积小于乙的表面积，体积相等 D．无法确定它们的表面积和体积的大小 【答案】C 【详解】体积：甲剩下的体积＝原来甲的体积－小长方体的体积，乙剩下的体积＝原来乙的体积－小长方体的体积。 甲表面积：把小长方体的后面向前平移补在甲的前面，把小长方体的左面向右平移补在甲的右面，把小长方体的下面向上平移补在甲的上面，正好补全甲长方体的6个面，所以，甲长方体表面积不变； 乙表面积：把小长方体的下面向上平移补在乙的上面，正好补全乙长方体的6个面，但同时也增加了前后和左右4个面的面积，所以剩下的图形表面积＝乙长方体的表面积＋小长方体前后左右面的面积。 综上，甲剩下的体积＝乙剩下的体积，甲的表面积小于乙的表面积。 3．星光小学举办“阳光体育”运动会，需制作一批长方体灯罩（如图，无上、下底面）。制作10个这样的灯罩至少需要（    ）cm2的材料。（接头不计） A．1800 B．2250 C．2025 D．18000 【答案】D 【分析】由图知，这个灯罩侧面由4个相同的长方形组成，可看作长方形的长为30cm，宽为15cm，根据长方形面积＝长×宽，可求出一个侧面长方形的面积，再乘4得到一个灯罩的侧面积，最后用一个灯罩的侧面积乘10，即可得到制作10个灯罩所需材料的面积。 【详解】30×15＝450（cm2） 450×4＝1800（cm2） 1800×10＝18000（cm2） 4．下面的图形中（    ）是正方体的展开图。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在正方体展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个； 在正方体展开图中不会包含“田”字形、“七”字形、“凹”字形，由此即可选择。 【详解】 是正方体的展开图。 5．寒露过后天气由凉转寒，部分地区有吃花糕的习俗。切糕师傅用三种不同的方法分别将其切成两个完全一样的小切糕块。两个小切糕块的表面积总和分别比原来增加了24平方分米、12平方分米和16平方分米。原来切糕的表面积是（    ）平方分米。 A．104 B．26 C．52 D．以上都不对 【答案】C 【分析】第一种切法增加了两个面，增加的面积和上下底面面积相同；第二种切法增加的面积和左右两个侧面的面积相同；第三种切法增加的面积和前后两个面的面积相同。所有增加的面积即长方体六个面的面积，从而求出切糕的表面积。 【详解】24＋12＋16＝52（平方分米） 故答案为：C。 6．篆刻艺术是民间一种传统技艺，五年级学生要篆刻二十四节气印章，现有一个长方体木块的表面积是96平方厘米，底面是面积为12平方厘米的正方形。在它的上面粘了一个正方体木块，正方体的四个顶点正好落在长方体底面各边的中点（如图）。这个组合体的表面积是（    ）平方厘米。 A．108 B．120 C．126 D．132 【答案】B 【分析】正方体每个面的面积等于面积为12平方厘米正方形面积的一半，组合体表面积＝长方体表面积＋正方体4个面的面积。 【详解】12÷2＝6（平方厘米） 96＋6×4 ＝96＋24 ＝120（平方厘米） 故答案为：B。 二、填空题 7．从同一个方向观察一个正方体最多能看到( )个面。 【答案】三/3 【分析】观察正方体时，观察角度不同，可见面的数量不同：视线正对正方体的单个面时，仅能看到1个面；视线正对正方体的单条棱时，能看到相邻的2个面；视线正对正方体的单个顶点时，能看到相邻的3个面。 【详解】由分析可知，从同一个方向观察一个正方体最多能看到三个面。 8．将如图摆成一个较大的正方体，至少还需要( )个相同的小正方体。 【答案】5 【分析】先确定能摆成的最小的大正方体需要的小正方体总数，再数出已有的小正方体数量，用总数减去已有的数量，即可求出还需要的数量。 【详解】2×2×2－3 ＝8－3 ＝5（个） 9．1000立方厘米＝( )立方分米    6立方米＝( )立方分米    36立方分米＝( )升 2升＝( )毫升    3500毫升＝( )升    5升＝( )立方分米 【答案】 1 6000 36 2000 3.5 5 【分析】根据1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，大单位换算成小单位时乘进率，小单位换算成大单位时除以进率，据此解答。 【详解】1000÷1000＝1（立方分米） 所以1000立方厘米＝1立方分米。 6×1000＝6000（立方分米） 所以6立方米＝6000立方分米。 36立方分米＝36升 2×1000＝2000（毫升） 所以2升＝2000毫升。 3500÷1000＝3.5（升） 所以3500毫升＝3.5升。 5升＝5立方分米 10．《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米，老师要用纸把2本《新华字典》包起来，要求包装方法最省纸，那么需要包装纸至少( )平方厘米。 【答案】536 【分析】要使包装纸最少，就要让面积最大的两个面重叠在一起，包装成一个长是10厘米，宽是13厘米，高是3×2＝6厘米的长方体。要求包装纸的面积就是求这个长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】3×2＝6（厘米） （10×13＋10×6＋13×6）×2 ＝（130＋60＋78）×2 ＝（190＋78）×2 ＝268×2 ＝536（平方厘米） 11．小明有9块棱长为4厘米的正方体积木，他用这些积木搭了一个正方体，搭这个正方体用了( )块积木，搭的这个正方体的表面积是( )平方厘米。如果选用7块积木搭一个长方体，搭的这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 8 384 480 【分析】（1）正方体是由小正方体组成的，其块数需满足棱长×棱长×棱长（即某个整数的立方）。即看哪个数的立方是9以内且最接近9的。 （2）正方体表面积＝6×棱长×棱长。每个小积木边长4厘米，8块积木搭成的正方体棱长为2个小积木边长（2×4厘米），先求棱长，再代入公式计算表面积。 （3）长方体块数＝长×宽×高，7是质数，只能分解为1×1×7。因此，只能搭成一竖排或一横排。每个小积木边长4厘米，则长方体长＝7×4厘米，宽4厘米，高4厘米，再代入长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2中计算即可。 【详解】（1）因为正方体块数需为整数的立方，13＝1，23＝8，33＝27，9块中最大立方数为8，小明搭这个正方体用了8块积木。 （2）2×4＝8（厘米） 6×8×8 ＝48×8 ＝384（平方厘米） （3）4×7＝28（厘米） （28×4＋28×4＋4×4）×2 ＝（112＋112＋16）×2 ＝（224＋16）×2 ＝240×2 ＝480（平方厘米） 12．一个长方体木箱，彤彤从左面看，看到一个长4分米、宽3分米的长方形；乐乐从后面看，看到一个长8分米、宽4分米的长方形。如果从上面看，可以看到一个长( )分米、宽( )分米的长方形。 【答案】 8 3 【分析】左面视图的长和宽对应长方体的高和宽，后面视图的长和宽对应长方体的长和高，所以两个视图中重复的棱长即为长方体的高，剩余两条边分别是长方体的长和宽；上面视图的长和宽对应长方体的长和宽。 【详解】从左面看，看到一个长4分米、宽3分米的长方形，从后面看，看到一个长8分米、宽4分米的长方形，重复的棱长是长方体的高，所以长方体的高是4分米，宽是3分米、长是8分米。从上面看到的长方形的长和宽对应长方体的长和宽，即长8分米、宽3分米。 13．下图是两块同样的长方体木块，其中一个长方体的体积是( )立方厘米。如果把它们拼成表面积最小的长方体，那么拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 60 148 【分析】①根据“长方体的体积＝长×宽×高”计算即可； ②将面积最大的两个面相拼，再根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算。 【详解】4×3×5 ＝12×5 ＝60（立方厘米） 将长5厘米、宽4厘米的两个面拼接可得表面积最小的长方体； 3＋3＝6（厘米） 所以拼接成的长方体长为6厘米、宽为4厘米、高为5厘米。 （6×4＋6×5＋4×5）×2 ＝（24＋30＋20）×2 ＝（54＋20）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 14．有一个长方体玻璃容器，长，宽，高。向这个容器内倒水，当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，水的体积是( )。 【答案】640 【分析】当水的高度是8cm时，容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面（左右）是正方形。根据长方体的体积＝长×宽×高解决。 【详解】10×8×8＝640（） 三、判断题 15．一个长方体体积的大小也就是看这个长方体包含多少个体积单位。( ) 【答案】 √ 【分析】计量体积要用体积单位，判断一个物体体积的大小，就是看它包含多少个体积单位。 【详解】物体所占空间的大小叫做物体的体积。计量体积要用体积单位，一个长方体体积的大小，就是看这个长方体包含多少个体积单位。包含的体积单位数量越多，体积越大。 所以原题说法：√ 16．长方体相交于一点的三条棱的长度之和是这个长方体棱长总和的。( ) 【答案】× 【分析】长方体相交于一个顶点的三条棱分别是长、宽、高。根据长方体棱长总和＝长宽高之和×4。可知将长方体棱长总和平均分成4份，相交于一点的三条棱的长度之和是其中的1份，根据分数的意义即可确定是这个长方体棱长总和的几分之几。 【详解】长方体相交于一个顶点的三条棱是长方体的长、宽、高。长方体的棱长总和等于长、宽、高之和的4倍。因此，三条棱长度之和是棱长总和的。原题说法错误。 故答案为：× 17．一根2米长的圆柱形木料，锯成3段后，增加了6个底面。( ) 【答案】× 【分析】锯成3段，锯两下，每锯一下，就增加2个底面，依此类推。 【详解】据分析可知，一根2米长的圆柱形木料，锯成3段后，锯了两下，增加了4个底面。 故答案为：× 18．饮料瓶上写有“净含量：350mL”的字样，350mL表示饮料瓶的容积。( ) 【答案】√ 【分析】容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积。有容积的物体，它的体积一般比容积大（只有当容器壁比较薄，可以忽略不计时，体积和容积才相等）。这个饮料瓶的净含量是350mL，是指它能容纳350mL的饮料，而不是它所占空间的大小。 【详解】饮料瓶上写有“净含量：350mL”的字样，350mL表示饮料瓶的容积。 所以原题说法正确。 故答案为：√ 19．三个完全相同的正方体拼成一个长方体，长方体的长和宽都是4米，那么长方体的表面积是224平方米。( ) 【答案】√ 【分析】如下图，把三个完全相同的正方体拼成一个长方体，如果长方体的长和宽都是4米，则长方体的高是（4×3）米； 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出长方体的表面积，据此判断。 如图： 【详解】长方体的高：4×3＝12（米） 长方体的表面积： （4×4＋4×12＋4×12）×2 ＝（16＋48＋48）×2 ＝112×2 ＝224（平方米） 原题说法正确。 故答案为：√ 20．长方体（不含正方体）的12条棱中，最多可以出现8条长度相等的棱。( ) 【答案】√ 【分析】长方体（不含正方体）一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。长方体有12条棱，相对的棱长度相等。如图一，当长、宽、高都不相等时，长方体的12条棱中4条长、4条宽和4条高的长度分别相等；如图二，当长、宽、高中宽和高相等时，会出现8条长度相等的棱。 【详解】当长方体的长、宽、高都不相等时，相对的4条棱长度相等；当长方体的长、宽、高中有两个相等时，会出现8条长度相等的棱；当长、宽、高都相等时，长方体就变成了正方体。即长方体（不含正方体）的12条棱中，最多可以出现8条长度相等的棱。原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 21．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）         【答案】604cm2；840cm3；198cm2；135cm3 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）；长方体的体积＝长×宽×高，据此解答即可。 【详解】（1） 长方体的表面积是，体积是。 长方体的表面积是，体积是。 22．求几何体的体积。（单位：cm） 【答案】126cm3 【分析】如下图，把右上角补完整，补成一个完整的大长方体，那么几何体的体积等于一个长10cm、宽3cm、高5cm的大长方体的体积减去一个长4cm、宽3cm、高（5－3）厘米的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。 【详解】如图： 10×3×5－4×3×（5－3） ＝10×3×5－4×3×2 ＝150－24 ＝126（cm3） 几何体的体积是126cm3。 五、解答题 23．同学们想知道一块石头的体积，小明和几位同学找来一个长方体水箱，并倒入3分米深的水。水箱长8分米，宽6分米。然后把这块石头完全浸没在水中（水未溢出），此时水深5.5分米。这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】120立方分米 【分析】水上升部分的体积就是石头的体积。用现在水的深度减去原来水的深度算出水上升的高度，再根据长方体的体积＝长×宽×高解决。 【详解】 ＝ （立方分米） 答：这块石头的体积是120立方分米。 24．张亮想按照如图方式，在盒子上扎根带子，另外要剩25厘米用来打蝴蝶结。张亮需要的带子长多少厘米？ 【答案】77厘米 【分析】根据图形可知，所需带子的长度等于2条长棱＋两条宽棱＋4条高棱＋打结用的25厘米。由此列式解答。 【详解】12×2＋8×2＋3×4＋25 ＝24＋16＋12＋25 ＝40＋12＋25 ＝52＋25 ＝77（厘米） 答：张亮需要的带子长77厘米。 25．如图，一个正方体玻璃容器（无盖）的棱长是2分米。向容器中倒入5升水，再把一个土豆没入水中。这时量得容器内水深14厘米。土豆的体积是多少？（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】0.6立方分米 【分析】5升＝5立方分米，14厘米＝1.4分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，用2×2×1.4即可求出水和土豆的体积和，再减去水的体积，即可求出土豆的体积。 【详解】5升＝5立方分米    14厘米＝1.4分米 2×2×1.4－5 ＝5.6－5 ＝0.6（立方分米） 答：土豆的体积是0.6立方分米。 26．世园会中“草坪剧场”上搭建的特色帐篷四周喷绘有世界各国的国花，作为文化互动展示区。帐篷设计尺寸如下图，请算一算，每顶帐篷四周的喷绘面积有多少平方米？ 【答案】30平方米 【分析】观察图形可知：帐篷的下部是长3米、宽3米、高2.5米的长方体，求每顶帐篷四周的喷绘面积也就是求长方体前、后、左、右四个侧面的面积和。因为长方体的长等于宽，所以四个侧面都是长3米、宽2.5米的长方形。根据长方形的面积＝长×宽，用3×2.5先求出1个侧面的面积，再乘4即可求出每顶帐篷四周的喷绘面积。 【详解】3×2.5×4 ＝7.5×4 ＝30（平方米） 答：每顶帐篷四周的喷绘面积有30平方米。 27．外卖给我们的生活带来了很大的便利，这种便利离不开外卖人员的辛苦付出。淘气的叔叔是一个外卖骑手，下图是他的外卖保温包的示意图，做一个这样的保温包至少需要多少平方厘米的材料？（重叠部分忽略不计） 【答案】10138平方厘米 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（50×37＋50×37＋37×37）×2即可求出做一个这样的保温包至少需要的材料面积。 【详解】（50×37＋50×37＋37×37）×2 ＝（1850＋1850＋1369）×2 ＝5069×2 ＝10138（平方厘米） 答：做一个这样的保温包至少需要10138平方厘米的材料。 28．张大航用烤箱做了奶奶爱吃的小正方体蛋糕作为生日礼物，每个小蛋糕的棱长为8厘米（如图），然后他想把小蛋糕放入图中的礼品盒中，装饰好再送给奶奶。请你帮他解决下面的问题吧。 （1）礼品盒中最多能放（    ）块小蛋糕。 （2）他用彩纸包装了礼品盒，至少需要多少彩纸？ （3）他用彩带捆扎礼盒，用多长的彩带？（打结处用了20厘米） 【答案】（1）2； （2）1300平方厘米； （3）130厘米 【分析】（1）先分别求出礼品盒长、宽、高最多能放小蛋糕的块数，再用乘法计算出礼品盒中最多能放小蛋糕的块数； （2）长方体的长为20厘米、宽为15厘米、高为10厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出彩纸的面积； （3）由图可知，彩带的总长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处彩带的长度，据此解答。 【详解】（1）15÷8≈1（块） 10÷8≈1（块） 20÷8≈2（块） 2×1×1＝2（块） 所以，礼品盒中最多能放2块小蛋糕。 （2）（20×15＋20×10＋15×10）×2 ＝（300＋200＋150）×2 ＝650×2 ＝1300（平方厘米） 答：至少需要1300平方厘米彩纸。 （3）20×2＋15×2＋10×4＋20 ＝40＋30＋40＋20 ＝130（厘米） 答：用130厘米的彩带。 【点睛】掌握长方体的表面积公式与棱长之和公式是解答题目的关键。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $