专题2 圆柱和圆锥（专项训练）六年级数学暑假专项提升（青岛版）

**基本信息** 聚焦圆柱与圆锥的特征、公式及关系，通过系统性知识梳理与梯度题型训练，培养空间观念与模型意识，实现从概念理解到实际应用的能力突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特征与公式|选择1-3、填空11|侧面展开转化（长方形/扇形）、表面积/体积公式推导（S侧=Ch、V=Sh/1/3Sh）|从组成特征到侧面展开，再到公式推导，形成“特征-展开-量化”逻辑链| |圆柱圆锥关系|选择5、填空7、判断15|等底等高体积3倍关系、等体积条件下底/高转化|以核心关系为基础，拓展至等体积情境下的量纲转换，构建关系网络| |实际应用|解答23-28|不规则容器容积转化（酒瓶倒置）、组合体体积计算（陀螺）|结合生活情境，将抽象公式转化为实际问题模型，体现数学语言表达现实世界的素养|

专题2 圆柱和圆锥 一、圆柱的基本特征 组成：由两个完全相同的圆形底面和一个曲面侧面围成，有无数条长度相等的高（两底面之间的垂直距离）。 侧面展开：沿高展开为长方形，长方形的长 = 圆柱底面周长，宽 = 圆柱的高；底面周长与高相等时，侧面展开为正方形。 二、圆柱的表面积计算 侧面积：S 侧 = 底面周长 × 高 = Ch = 2πrh = πdh 底面积：S 底 = πr² 表面积：S 表 = S 侧 + 2S 底 = 2πrh + 2πr²（无盖圆柱：S 表 = S 侧 + S 底） 三、圆柱的体积计算 核心公式：圆柱体积 = 底面积 × 高 字母公式：V 柱 = Sh = πr²h 四、圆锥的基本特征 组成：由一个圆形底面和一个曲面侧面围成，只有1 条高（顶点到底面圆心的垂直距离）。 侧面展开：沿母线展开为扇形。 五、圆锥的体积计算 核心公式：圆锥体积 = 1/3× 底面积 × 高 字母公式：V 锥 = 1/3Sh = 1/3πr²h 六、圆柱与圆锥的核心关系（等底等高） 圆柱体积是圆锥体积的3 倍； 圆锥体积是圆柱体积的1/3。 七、圆柱与圆锥拓展关系 等体积、等底面积：圆锥的高是圆柱高的3 倍； 等体积、等高：圆锥的底面积是圆柱底面积的3 倍。 一、选择题 1．圆锥的高有（    ）条。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】A 【分析】从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 【详解】因为圆锥只有一个顶点，底面只有一个圆心，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，所以圆锥的高只有1条。 2．一个长方体，长是6cm，宽是4cm，高是3cm。与它等底等高的圆锥的体积是（    ）。 A．72 B．24 C．150.72 D．37.68 【答案】B 【分析】理解“等底等高”的含义，即圆锥的底面积等于长方体的底面积，圆锥的高等于长方体的高。根据圆锥的体积公式，可知等底等高的圆锥体积是长方体（或圆柱）体积的。先求出长方体体积，再计算圆锥的体积即可。 【详解】长方体的底面积： 长方体的体积： 因为圆锥与长方体等底等高，所以圆锥的体积是长方体体积的。 圆锥的体积： 3．一张长方形纸采用四种不同的方式旋转（如图），能得到一个底面直径为20cm，高为8cm的圆柱的旋转方式是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆柱定义：圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。据此逐项分析。 【详解】 A．，旋转后，得到的是底面直径是8×2＝16（cm），高是20cm的圆柱，不符合题意； B．，旋转后，得到的是底面直径是8cm，高是20cm的圆柱，不符合题意； C．，旋转后，得到的是底面直径是20cm，高是8cm的圆柱，符合题意； D．，旋转后，得到的是底面直径是20×2＝40（cm），高是8cm的圆柱，不符合题意。 一张长方形纸采用四种不同的方式旋转（如图），能得到一个底面直径为20cm，高为8cm的圆柱的旋转方式是。 4．如图，把一根长是5dm的圆柱木头切成相等的两段，表面积增加了157cm2。原来这根圆柱木头的体积是（    ）cm3。 A．392.5 B．3925 C．1962.5 D．7850 【答案】B 【分析】把圆柱木头切成相等的两段，表面积增加圆柱的2个底面积；先用增加的表面积除以2，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积V＝Sh，求出原来这根圆柱木头的体积。注意单位的换算：1dm＝10cm。 【详解】5dm＝50cm 157÷2＝78.5（cm2） 78.5×50＝3925（cm3） 5．把一个棱长为4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）立方分米。 A．50.24 B．100.48 C．64 D．128 【答案】A 【分析】正方体削成最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高等于正方体的棱长，根据圆柱的体积公式＝πr2h，代入数据计算求出圆柱的体积。 【详解】3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（立方分米） 所以，这个圆柱的体积是50.24立方分米。 6．在研究圆柱的体积计算方法时，小东把一个底面半径为4厘米、高12厘米的圆柱体，割拼成了一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱体的表面积增加了（    ）。 A．30.14平方厘米 B．48平方厘米 C．75.36平方厘米 D．96平方厘米 【答案】D 【分析】由图可知，表面积增加的是两个长为圆柱的高、宽为圆柱底面半径的长方形。增加的表面积＝圆柱的高×圆柱的半径×2。 【详解】12×4×2 ＝48×2 ＝96（平方厘米） 所以长方体的表面积比原来圆柱体的表面积增加了96平方厘米。 二、填空题 7．圆锥形容器底面直径10厘米，高12分米，装满水后倒入一个底面积为78.5平方厘米的圆柱形容器中，三次恰好倒满，这个圆柱形容器高_________厘米。 【答案】120 【分析】首先根据圆的面积公式：S＝πr2，求出圆锥形容器的底面积（78.5平方厘米），圆锥形容器的底面积和圆柱形容器的底面积相等，圆锥体积是圆柱体积的，说明圆锥和圆柱等底等高。据此解答。 【详解】3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 78.5平方厘米＝78.5平方厘米 12分米＝120厘米 8．一个底面半径为4cm的圆柱形瓶子，侧面有一圈商标纸，刚好包住圆柱的整个侧面。将商标纸剪开后，如图中，可能是图形_________，瓶子的容积为_________mL。 【答案】 C 401.92 【分析】根据圆柱的底面周长（C＝2πr）即为侧面展开图的底边的长即可选择；根据圆柱体积V＝πr2h计算，并根据1cm3＝1mL进行单位换算。 【详解】2×3.14×4 ＝6.28×4 ＝25.12（cm） 即侧面是一边为25.12cm的长方形或平行四边形，因此可能是C图形。 V瓶子＝3.14×42×8 ＝3.14×16×8 ＝50.24×8 ＝401.92（cm3） 401.92cm3＝401.92mL 9．如图，一个瓶子的底面内直径是12cm，里面水的高度是5cm。把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度15cm。这个瓶子的容积是( )mL。 【答案】2260.8 【分析】瓶子容积＝水的体积＋无水部分的容积，观察左右两幅图，瓶子的容积就等于左边的水的体积与右边的无水部分容积的和，由于无水部分是圆柱形，这样就可以将瓶子容积看成底面直径12cm，高（5＋15）cm的圆柱，根据计算出瓶子的容积。 【详解】 10．一个圆柱的侧面积是37.68m，底面半径是3m，它的高是( )m。与它等底等高的圆锥的体积是( )m。 【答案】 2 18.84 【分析】圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高，所以高＝侧面积÷底面圆的周长。等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，求出圆柱的体积÷3，即为圆锥的体积。 【详解】37.68÷（3.14×3×2） ＝37.68÷18.84 ＝2（m） 3.14×3²×2÷3 ＝3.14×9×2÷3 ＝18.84（m3） 11．一个圆柱的底面半径是3cm，高是4cm，它的底面周长是( )cm，侧面积是( )cm2，底面积是( )cm2，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。（π取3.14） 【答案】 18.84 75.36 28.26 131.88 113.04 【分析】先根据“”和“”分别求出圆柱的底面周长和底面积，再根据“”和“”求出圆柱的侧面积和表面积，最后根据“”求出圆柱的体积。 【详解】底面周长：2×3.14×3 ＝6.28×3 ＝18.84（cm） 侧面积：18.84×4＝75.36（cm2） 底面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 表面积：75.36＋28.26×2 ＝75.36＋56.52 ＝131.88（cm2） 体积：28.26×4＝113.04（cm3） 12．李爷爷把一根高为5dm的圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是，圆锥的体积是( )，圆柱的底面积是( )。 【答案】 14 8.4 【分析】根据等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，可知削去部分体积是圆锥的2倍，用削去部分体积除以2求出圆锥体积；再用圆锥体积乘3得到圆柱体积，最后用圆柱体积除以圆柱的高，即可算出圆柱的底面积。 【详解】圆锥的体积：28÷2＝14（dm3） 圆柱的体积：14×3＝42（dm3） 圆柱的底面积：42÷5＝8.4（dm2） 13．一个底面半径为、高为的圆锥形蛋筒（厚度忽略不计），这个蛋筒的容积是( )；每立方厘米冰激凌重，它内部能装( )g冰激凌。 【答案】 251.2 200.96 【分析】圆锥的体积＝，据此求出蛋筒的容积；蛋筒的容积×每立方厘米冰激凌的重量＝冰激凌的总重量。 【详解】×3.14×42×15 ＝×3.14×16×15 ＝3.14×16×15× ＝3.14×16×5 ＝3.14×80 ＝251.2（cm3） 251.2×0.8＝200.96（g） 14．将一张长25.12cm，宽20cm的长方形纸卷成一个圆柱形纸筒（接头不计），所得圆柱形纸筒的底面直径最大是( )cm；如果配上合适的底面，得到圆柱的体积最大是( )cm3。 【答案】 8 1004.8 【分析】要让底面直径最大，用长方形的长作底面周长，根据C＝πd（π取3.14）求出直径；要让体积最大，分别用长、宽作底面周长求出两种圆柱的体积，再取较大值。 【详解】底面直径：25.12÷3.14＝8（cm） 卷法1（长作周长）体积： 3.14×（8÷2）2×20 ＝3.14×42×20 ＝3.14×16×20 ＝1004.8（cm3） 卷法2（宽作周长）体积： 3.14×（20÷3.14÷2） 2×25.12 ＝3.14×（20÷3.14÷2） 2×25.12 ＝3.14×（） 2×25.12 ＝3.14××25.12 ＝800（cm3） 1004.8＞800，所以圆柱的体积最大是1004.8cm3。 三、判断题 15．一个圆柱和圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高为6厘米，则圆锥的高为18厘米。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱的体积计算公式为，圆锥的体积计算公式为。当圆柱和圆锥的体积和底面积都相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。通过假设底面积为具体数值，利用体积公式计算出圆锥的高，再与题干中的数据进行对比验证。 【详解】假设圆柱和圆锥的底面积都是1平方厘米。 圆柱的体积： （立方厘米）。 因为圆柱和圆锥的体积相等，所以圆锥的体积也是6立方厘米。 根据圆锥的体积公式， 求圆锥的高： ＝6×3×1 ＝18（厘米） 计算出的圆锥高为18厘米，与题干相符。 故答案为：√ 16．一个直角三角形绕着最短的一条边快速旋转后，一定能形成一个圆锥。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意可知，直角三角形三条边的长度关系，确定“最短的一条边”是直角边还是斜边。根据直角三角形的性质，斜边最长，因此最短的边一定是直角边。再根据圆锥的定义，以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周可形成圆锥，据此解答。 【详解】根据分析可知： 一个直角三角形绕着最短的一条边快速旋转，也就是绕着一条直角边旋转，则形成的图形一定是圆锥；所以原题说法正确。 故答案为：√ 17．底面积和高都相等的正方体和圆锥，正方体的体积比圆锥的大。( ) 【答案】 √ 【分析】正方体是特殊的长方体，其体积公式为：正方体的体积＝底面积×高；圆锥的体积公式为：体积＝底面积×高×；因为正方体和圆锥的底面积和高都相等，可知这个圆锥的体积等于这个正方体体积的；所以，正方体的体积大于圆锥的体积。 【详解】例如：底面积是3平方米，高是1米； 正方体的体积：3×1＝3（立方米） 圆锥的体积：3×1×＝1（立方米） 3＞1 所以，底面积和高都相等的正方体和圆锥，圆锥的体积等于这个正方体体积的，所以，正方体的体积比圆锥的大。原题说法正确。 故答案为：√ 18．圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱底面直径与高的比是1∶π。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，圆柱侧面展开为正方形，那么圆柱的高等于底面周长。写出底面直径与高的比，根据等量代换，把高代换为底面周长，再化简判断。圆柱的底面周长C＝πd。 【详解】设圆柱的底面直径为，高为。 底面直径与高的比为： 所以，这个圆柱底面直径与高的比是。原题说法正确。 故答案为：√ 19．一个圆柱形橡皮泥高是6厘米，把它捏成一个与圆柱底面半径相同的圆锥，则这个圆锥的高是18厘米。( ) 【答案】 √ 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式，当圆柱和圆锥的体积相等、底面积也相等时，圆锥的高是圆柱高的 3 倍。 【详解】圆柱形橡皮泥捏成圆锥，体积不变，且底面半径相同，则圆柱与圆锥的底面积相等。根据圆柱体积公式 和圆锥体积公式 可知，当体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的 3 倍。 （厘米） 计算结果与题干中圆锥的高 18 厘米相符。 故答案为：√ 20．将圆柱沿着底面的一条直径切成相同的两个半圆柱，得到的半圆柱表面积相当于原来圆柱表面积的一半。( ) 【答案】× 【分析】沿底面直径把它平均切成两半，则圆柱的表面积是增加了2个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积，所以得到的半圆柱的表面积等于原圆柱的表面积的一半与一个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积之和，由此即可判断。 【详解】根据题干分析可得：得到的半圆柱的表面积等于原圆柱的表面积的一半与一个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积之和，原题说法错误。 故答案为× 【点睛】抓住圆柱的切割特点，得出增加的面积是以圆的底面直径和高为边长的两个长方形的面的面积，是解决此类问题的关键。 四、计算题 21．求出下列图形的体积（单位：厘米）。 【答案】（1）565.2立方厘米；（2）100.48立方厘米 【分析】（1）已知圆柱的底面半径是6厘米，高是5厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×62×5即可求出圆柱的体积； （2）已知圆柱和圆锥的底面直径都是4厘米，高都是6厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×（4÷2）2×6即可求出圆柱的体积，用3.14×（4÷2）2×6×即可求出圆锥的体积，最后将两部分相加，即可求出这个立体图形的体积。 【详解】（1）3.14×62×5 ＝3.14×36×5 ＝565.2（立方厘米） 圆柱的体积是565.2立方厘米。 （2）3.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝75.36（立方厘米） 75.36×＝25.12（立方厘米） 75.36＋25.12＝100.48（立方厘米） 这个立体图形的体积是100.48立方厘米。 22．计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】75.36立方厘米；320.28立方厘米 【分析】圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高： 左图是由一个圆柱和圆锥拼成的组合体，分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可求出组合体的体积； 两个一模一样的右图可以拼成一个完整的圆柱，完整圆柱的高是27＋24＝51（厘米）。据此，先求出圆柱的体积，再除以2，即可求出右图的体积。 【详解】（4÷2）2×3.14×5＋×（4÷2）2×3.14×3 ＝4×3.14×5＋×4×3.14×3 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（立方厘米） （4÷2）2×3.14×（27＋24）÷2 ＝4×3.14×51÷2 ＝640.56÷2 ＝320.28（立方厘米） 五、解答题 23．古语有云：“孝子之至，莫大乎尊亲。”学校进行“孝亲敬老”德育实践活动，小明给妈妈买了一个生日蛋糕，蛋糕包装盒的底面直径是20厘米，高是15厘米。用丝带按如图捆扎蛋糕盒，打蝴蝶结用了28厘米的丝带。这条丝带至少长多少厘米？ 【答案】168厘米 【分析】观察图形可知，丝带的长度＝4条底面直径长度＋4条高长度＋蝴蝶结用的长度，据此代入数据计算即可解答。 【详解】4×20＋4×15＋28 =80＋60＋28 =168（厘米） 答：这条丝带至少长168厘米。 24．打陀螺是第五批国家级非物质文化遗产的代表性项目。陀螺一般是用木料打磨而成，如图，打磨这个陀螺至少要用多少立方厘米的木料？如果把这个陀螺装在一个带盖的长方体纸盒中，那么制作这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸？（不计损耗，粘贴及折叠处忽略不计） 【答案】376.8立方厘米；432平方厘米 【分析】求打磨这个陀螺至少要用多少立方厘米的木料，就是求几何体的体积。根据圆柱体积公式V＝πr2h以及圆锥体积公式Vπr2h，分别求出圆柱和圆锥的体积后，再相加即可解答。 如果把这个陀螺装在一个带盖的长方体纸盒中，则该纸盒是一个长、宽至少为8厘米，高为（6.5＋3）厘米的长方体，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即可解答。 【详解】陀螺的体积： 3.14×（8÷2）2×6.5＋×3.14×（8÷2）2×3 ＝3.14×42×6.5＋×3.14×42×3 ＝3.14×16×6.5＋×3.14×16×3 ＝326.56＋50.24 ＝376.8（立方厘米） 纸盒的高：6.5＋3＝9.5（厘米） 纸盒的表面积： （8×8＋8×9.5＋8×9.5）×2 ＝（64＋76＋76）×2 ＝216×2 ＝432（平方厘米） 答：打磨这个陀螺至少要用376.8立方厘米的木料，制作这个纸盒至少需要432平方厘米的纸。 25．一种空心混凝土管道，内直径是4分米，外直径是8分米，一节长15分米，制作50节这样的管道需要多少立方米的混凝土？ 【答案】 28.26立方米 【分析】已知圆环的内、外直径，根据公式：圆环的面积＝外圆面积－内圆面积，计算圆环的面积； 根据公式：空心管道的体积＝圆环的面积×管道长度，最后转换单位。 【详解】4÷2＝2（分米） 8÷2＝4（分米） 圆环的面积： 3.14×（42−22） ＝3.14×12 ＝37.68（平方分米） 1节管道的体积： 37.68×15＝565.2（立方分米） 50节管道的体积： 565.2×50＝28260（立方分米） 28260立方分米＝28.26 立方米 答：制作50节这样的管道需要28.26立方米的混凝土。 26．把一段底面半径是5厘米的圆柱形钢柱全部放入装有水的圆柱形储水桶里，水面没过钢柱并上升了9厘米（水未溢出）；把钢柱竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米。钢柱的体积是多少？ 【答案】1413立方厘米 【分析】根据题意，钢柱拉出水面 8 厘米，水面下降 4 厘米。这说明拉出的这段钢柱的体积等于水面下降部分的水的体积。利用钢柱的底面半径和拉出的高度，根据圆柱的体积，可以计算出拉出的钢柱体积。利用拉出的钢柱体积（也就是下降的水的体积）和水面下降的高度，根据圆柱的底面积，可以求出储水桶的底面积。钢柱全部放入水中时，水面上升 9 厘米，则钢柱的总体积等于上升 9 厘米的水的体积。根据圆柱的体积，利用储水桶的底面积和水面上升的高度，求出钢柱的总体积。 【详解】拉出部分钢柱的体积： （立方厘米） 储水桶的底面积： （平方厘米） 钢柱的总体积（即水面上升 9 厘米的水的体积）： （立方厘米） 答：钢柱的体积是1413立方厘米。 27．传统竹编工艺有着悠久的历史，富含着劳动人民辛勤劳作的结晶。如图，一个高为3分米的圆锥形竹编斗笠，如果将这个斗笠从顶点向下垂直切开。纵切片的面积是9平方分米，这个斗笠的容积是多少立方分米？ 【答案】28.26立方分米 【分析】从顶点向下垂直切开，纵切片是一个底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥高的三角形，三角形面积＝底×高÷2，底＝面积÷高×2，据此求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的容积＝底面积×高×，据此求出这个斗笠的容积。 【详解】9÷3×2 ＝3×2 ＝6（分米） 3.14×（6÷2）2×3× ＝3.14×32×3× ＝3.14×9×3× ＝28.26×3× ＝84.78× ＝28.26（立方分米） 答：这个斗笠的容积是28.26立方分米。 28．如下图，一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，酒瓶里有酒深10厘米，把酒瓶盖拧紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米。（单位：厘米） （1）酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的百分之几？ （2）把这些酒倒入底面直径是4厘米的圆锥形酒杯里，正好倒满20杯，圆锥形酒杯的高是多少厘米？（酒杯的厚度忽略不计） 【答案】（1）50% （2）6厘米 【分析】（1）根据酒瓶正放或倒放时，空气的体积是一样的，即可将正放时的空气部分，替换成倒放时的空气部分，即10厘米高的圆柱，则整个容器，可以看成是一个底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱，其中酒占10厘米，即可算出酒的体积占酒瓶的百分之几。 （2）先计算出酒的体积，然后除以20，即可得出这个圆锥形酒杯一杯的容积。结合圆锥的体积公式：，即可得出酒杯的高度。 【详解】（1）30－20＝10（厘米） 10÷（10＋10）＝50% 答：酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的50%。 （2）8÷2＝4（厘米） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方厘米） 502.4÷20＝25.12（立方厘米） 4÷2＝2（厘米） 25.12×3÷（3.14×22） ＝75.36÷12.56 ＝6（厘米） 答：圆锥形酒杯的高是6厘米。 【点睛】第一题找到前后两种摆放，空气体积相同，将不规则的部分进行等积转化，转化成规则的圆柱体，是解决此题的关键，同时，需要熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 圆柱和圆锥 一、圆柱的基本特征 组成：由两个完全相同的圆形底面和一个曲面侧面围成，有无数条长度相等的高（两底面之间的垂直距离）。 侧面展开：沿高展开为长方形，长方形的长 = 圆柱底面周长，宽 = 圆柱的高；底面周长与高相等时，侧面展开为正方形。 二、圆柱的表面积计算 侧面积：S 侧 = 底面周长 × 高 = Ch = 2πrh = πdh 底面积：S 底 = πr² 表面积：S 表 = S 侧 + 2S 底 = 2πrh + 2πr²（无盖圆柱：S 表 = S 侧 + S 底） 三、圆柱的体积计算 核心公式：圆柱体积 = 底面积 × 高 字母公式：V 柱 = Sh = πr²h 四、圆锥的基本特征 组成：由一个圆形底面和一个曲面侧面围成，只有1 条高（顶点到底面圆心的垂直距离）。 侧面展开：沿母线展开为扇形。 五、圆锥的体积计算 核心公式：圆锥体积 = 1/3× 底面积 × 高 字母公式：V 锥 = 1/3Sh = 1/3πr²h 六、圆柱与圆锥的核心关系（等底等高） 圆柱体积是圆锥体积的3 倍； 圆锥体积是圆柱体积的1/3。 七、圆柱与圆锥拓展关系 等体积、等底面积：圆锥的高是圆柱高的3 倍； 等体积、等高：圆锥的底面积是圆柱底面积的3 倍。 一、选择题 1．圆锥的高有（    ）条。 A．1 B．2 C．3 D．无数 2．一个长方体，长是6cm，宽是4cm，高是3cm。与它等底等高的圆锥的体积是（    ）。 A．72 B．24 C．150.72 D．37.68 3．一张长方形纸采用四种不同的方式旋转（如图），能得到一个底面直径为20cm，高为8cm的圆柱的旋转方式是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 4．如图，把一根长是5dm的圆柱木头切成相等的两段，表面积增加了157cm2。原来这根圆柱木头的体积是（    ）cm3。 A．392.5 B．3925 C．1962.5 D．7850 5．把一个棱长为4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）立方分米。 A．50.24 B．100.48 C．64 D．128 6．在研究圆柱的体积计算方法时，小东把一个底面半径为4厘米、高12厘米的圆柱体，割拼成了一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱体的表面积增加了（    ）。 A．30.14平方厘米 B．48平方厘米 C．75.36平方厘米 D．96平方厘米 二、填空题 7．圆锥形容器底面直径10厘米，高12分米，装满水后倒入一个底面积为78.5平方厘米的圆柱形容器中，三次恰好倒满，这个圆柱形容器高_________厘米。 8．一个底面半径为4cm的圆柱形瓶子，侧面有一圈商标纸，刚好包住圆柱的整个侧面。将商标纸剪开后，如图中，可能是图形_________，瓶子的容积为_________mL。 9．如图，一个瓶子的底面内直径是12cm，里面水的高度是5cm。把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度15cm。这个瓶子的容积是( )mL。 10．一个圆柱的侧面积是37.68m，底面半径是3m，它的高是( )m。与它等底等高的圆锥的体积是( )m。 11．一个圆柱的底面半径是3cm，高是4cm，它的底面周长是( )cm，侧面积是( )cm2，底面积是( )cm2，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。（π取3.14） 12．李爷爷把一根高为5dm的圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是，圆锥的体积是( )，圆柱的底面积是( )。 13．一个底面半径为、高为的圆锥形蛋筒（厚度忽略不计），这个蛋筒的容积是( )；每立方厘米冰激凌重，它内部能装( )g冰激凌。 14．将一张长25.12cm，宽20cm的长方形纸卷成一个圆柱形纸筒（接头不计），所得圆柱形纸筒的底面直径最大是( )cm；如果配上合适的底面，得到圆柱的体积最大是( )cm3。 三、判断题 15．一个圆柱和圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高为6厘米，则圆锥的高为18厘米。( ) 16．一个直角三角形绕着最短的一条边快速旋转后，一定能形成一个圆锥。( ) 17．底面积和高都相等的正方体和圆锥，正方体的体积比圆锥的大。( ) 18．圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱底面直径与高的比是1∶π。( ) 19．一个圆柱形橡皮泥高是6厘米，把它捏成一个与圆柱底面半径相同的圆锥，则这个圆锥的高是18厘米。( ) 20．将圆柱沿着底面的一条直径切成相同的两个半圆柱，得到的半圆柱表面积相当于原来圆柱表面积的一半。( ) 四、计算题 21．求出下列图形的体积（单位：厘米）。 22．计算下面图形的体积。（单位：厘米） 五、解答题 23．古语有云：“孝子之至，莫大乎尊亲。”学校进行“孝亲敬老”德育实践活动，小明给妈妈买了一个生日蛋糕，蛋糕包装盒的底面直径是20厘米，高是15厘米。用丝带按如图捆扎蛋糕盒，打蝴蝶结用了28厘米的丝带。这条丝带至少长多少厘米？ 24．打陀螺是第五批国家级非物质文化遗产的代表性项目。陀螺一般是用木料打磨而成，如图，打磨这个陀螺至少要用多少立方厘米的木料？如果把这个陀螺装在一个带盖的长方体纸盒中，那么制作这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸？（不计损耗，粘贴及折叠处忽略不计） 25．一种空心混凝土管道，内直径是4分米，外直径是8分米，一节长15分米，制作50节这样的管道需要多少立方米的混凝土？ 26．把一段底面半径是5厘米的圆柱形钢柱全部放入装有水的圆柱形储水桶里，水面没过钢柱并上升了9厘米（水未溢出）；把钢柱竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米。钢柱的体积是多少？ 27．传统竹编工艺有着悠久的历史，富含着劳动人民辛勤劳作的结晶。如图，一个高为3分米的圆锥形竹编斗笠，如果将这个斗笠从顶点向下垂直切开。纵切片的面积是9平方分米，这个斗笠的容积是多少立方分米？ 28．如下图，一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，酒瓶里有酒深10厘米，把酒瓶盖拧紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米。（单位：厘米） （1）酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的百分之几？ （2）把这些酒倒入底面直径是4厘米的圆锥形酒杯里，正好倒满20杯，圆锥形酒杯的高是多少厘米？（酒杯的厚度忽略不计） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $