专题08 综合探究（3大考点期末真题汇编，吉林专用）七年级数学下学期人教版

**基本信息** 七年级下册数学期末综合探究专题汇编，涵盖平行线、坐标与图形、方程与不等式三大核心探究主题，精选吉林多地期末真题，注重情境化问题设计与分层能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |解答题|34题|平行线性质与判定、坐标变换与动点、方程不等式应用|平行线探究结合台灯伸缩等生活情境，坐标问题融入面积动态计算，方程不等式联系购物快递等实际场景，设置基础证明、变式拓展、开放探究三级梯度|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08 综合探究 目目 考点01 平行线相关探究 1. 【详解】(1)①证明：：AB∥CD, ∴.LBMN=LCNM, :直线1∥FG, .∠MNC=LFGC, :ZBMN ZFGC ②解：如图，作FT‖AB,则∠EFT=∠AEF, :ZAEF B, :ZEFT =B, :AB∥CD,FTIAB, :FTII CD, .∠TFG=LFGC, .∠BMN=∠FGC,∠BMN=, .ZFGC=a, .∠TFG=, :.∠EFG=∠TFG+∠EFT=a+B. 故答案为：o+B, (2)解：如图，延长EF,交CD于点K, M EB :AB∥CD, ∴.∠AEK=∠EKD, 1/45 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠FKH+LKFH+∠FHK=180°，∠FHK+∠FHD=180°， .∠FKH+∠KFH=180°-∠FHK,∠FHD=180°-∠FHK, .∠FKH+∠KFH=∠FHD, .∠KFH=∠FHD-∠FKH, ∠KFH=∠FHD-∠AEF, :∠FHD-∠AEF=30°， .∠KFH=30°， 1∥FG, .∠HFG=LHPN, ∠HPN=0, .∠HFG=0, .∠EFG=180°-30°-0=150-0， .∠EFG的度数为150°-0. (3)解：由(2)得∠EFG=150°-∠HFG, :∠HFG=90°， .∠EFG=150°-90°=60°， 由(1)得∠EFG=LAEF+∠CGF, .LAEF+LCGF=60°， :ER平分∠BEF,GR平分∠FGD, .∠FER=∠BER,LFGR=∠DGR, 设∠FER=∠BER=x,∠FGR=∠DGR=y,则∠BEF=2x,∠FGD=2y, .2x+LAEF=180°，2y+∠CFG=180°， .2x+∠AEF+2y+∠CFG=180°+180°=360°， .2x+2y+60°=360°， x+y=150°， 如图，作RS‖AB,则∠ERS=∠BER=x, 又：AB∥CD, .RS CD, .∠SRG=∠DGR=y, ∠ERG=∠ERS+∠SRG=x+y=150°， 2/45 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 1 :∠HMN=∠ERG, 6 1 .∠HMN=150°×-=25°， 6 .∠HMN的度数为25°. M B E S 2. 【详解】(1)解：：∠1=48°，∠1+∠3=180°-90°=90°， .∠3=90°-48°=42°， 又：a∥b, .∠2=∠3=42°； (2)解：如图2，过点B作BD∥a,则BD∥a∥b, D 1X3 b C 图2 :BD∥a∥b, ∴.∠2+∠ABD=180°，∠1=∠CBD, 又：∠ABD+∠CBD=∠ABC=90°-∠A=60°， .∠2+(60°-∠1=180°， 即∠2-∠1=120°； (3)解：∠1+∠2=120°，理由如下： 由三角形内角和定理可得，∠1+∠2+∠B=180°，而∠B=60°， .∠1+∠2=120°. 3. 【详解】(1)解：如图1， :AB∥DE,BC∥DF, 3/45 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :∠B=LCGE,LD=LCGE, ∠B=∠D. (2)如图2，∠B+∠D=180°，理由如下： :AB∥DE,BC∥DF, ∠B+∠DGB=180°，∠D=∠DGB, :∠B+∠D=180°. (3)综合(1)(2)可得，两边分别平行的两个角相等或互补. 4. 【详解】(1)解：平行于同一条直线的两直线平行： (或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； (2)解：如图，过点C作CFBE, B ---F ∠BCF+∠CBE=I80°， M D W :∠CBE=135°， .∠BCF=45°， :∠BCD=108°， .∠DCF=∠BCD-∠BCF=63°， BF‖MN, ..CF MN, ∠CDM=∠DCF=63°； ABII CD, :∠ABC+∠BCD=180°， ∠BCD=108°， ABC=72°， :∠CBE=135°， 4/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :∠ABE=∠CBE-LABC=63°； (3)解：对，理由如下： .CF BE, ∠BCF+∠CBE=180°， ∠BCF+∠CBA+∠ABE=180°， AB‖CD, :∠ABC+∠BCD=180°， ∠ABC+∠BCF+∠FCD=180°， ∠ABE=∠FCD, .CF MN, ∠CDM=∠DCF, ∠CDM=∠ABE. 5. 【详解】(1)解：过点G作GH∥DF,则LHGD=∠D(两直线平行，内错角相等)， :∠C+∠DFE=90°+90°=180°， :BC∥DF(同旁内角互补，两直线平行)· 又“GHIDF, GH∥BC, .∠BGH=∠B, :∠BGD=∠BGH+∠HGD=∠B+∠D=45°+30°=75°. 故答案为：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行； (2)解：如图，过点G作GH∥DF, B E G ---H .∠HGA=∠BAC=45°，∠HGD=∠D=30°， C(F) D :∠AGD=∠HGA-∠HGD ∠AGD=45°-30°=15°； (3)解：如图①所示，当DE在AC上方时， :AC∥DE, 5145 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .LACD=∠D=30°， .∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-30°=60°； B B C(F C(F) 图① 图② 如图②所示，当DE在AC下方时， AC∥DE, .∠ACD+∠D=180°， .∠ACD=180°-∠D=180°-30°=150°， .∠DCB=360°-∠ACD-∠ACB=360°-150°-90°=120°. 综上所述，∠DCB的度数为120°或60°. 6. 1 【详解】(1)解：①：m=2,∠B4C=60, :∠C0D=∠BAC=1x60°=30， 1 2 2 :OH∥AB, .LC0H=LCAB=60°， .LD0H=LC0H-∠C0D=30°， :MN∥AB,OH∥AB, :.MN∥OH, .∠MD0=180°-LD0H=150°； ②：m=2∠BAC=a°， ∠CoD=∠BAC= 2, :OH∥AB, LCOH=LCAB=&°， ∠DOH=∠COH-∠COD= a°， 2 6/45 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :MN∥AB,OH∥AB, .MN∥OH, ·∠MD0=180°-∠D0H=180°- ° 2 (2)解：①：AE⊥AB, ∴.∠BAE=90°， :∠BAC=60°， .∠CAE=90°-60°=30°， 1 :m=2' E∠C0F=∠CAE=15) 根据解析(1)可知：此时∠D0C=30°， .∠D0F=LD0C+∠C0F=30°+15°=45°； MN∥AB, .∠ACE=LBAC=60°， .LNF0=LACE+∠C0F=60°+15°=75°， 根据解析(1)可知：此时∠MD0=150°， .LMD0+∠NF0=150°+75°=225°； ②LCAE=B°， .∠COF=mLCAE=mB°， :∠BAC=a .LD0C=mLBAC=ma°， ∴.∠DOF=∠DOC+∠COF=ma°+mB°=m(a+β)°； :MN∥AB, LACE=LBAC=a°， :.∠NFO=∠ACE+∠COF=a°+mB°， 过点O作OH∥AB,如图所示： M D -N .LC0H=LBAC=a°， 7/45 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 LD0H=∠C0H-LC0D=a°-ma°， :MN∥AB,OH∥AB, .MN∥OH, .∠MD0=180°-∠D0H=180°-a°+ma°， :.∠MD0+∠NF0=180°-a°+ma°+a°+mβ°=180°+m(a°+β）. 7. 【详解】(1)解：：LACD=LBCE=90°， .∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°， :∠1=∠3（同角的余角相等）， 故答案为：∠1=∠3，同角的余角相等； (2)解：：∠1+∠2=∠2+∠3=90° ∠1+∠2+∠3+∠2=180°， :∠1+∠2+∠3=∠ACB, .∠2+∠ACB=180°， 故答案为：∠2+∠ACB=180°； (3)解：①如图3，当BE∥AD时，作CF∥AD, :BE∥AD,CF∥AD, .BE l AD CF .∠ECF=∠E=45°，LDCF=∠D=30°， .LDCE=∠D+LE=30°+45°=75°， ∠ACE=LACD+∠DCE=90°+75°=165°； H 图3 ②存在， 8/45 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 如图4，当BC∥AD时，∠DCB=∠D=30°， .∠ACE=30°： 图4 如图5，当BE∥AC时，∠ACE=∠E=45°； D 图5 如图6，当AD∥CE时，∠DCE=∠D=30°， .∠ACE=90°+30°=120°； D 图6 如图7，当BE‖CD时，LDCE=LE=45°， ∴∠ACE=90°+45°=135°. D C 图7 B 9/45 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上，当BC∥AD时，∠ACE=30°；当BE∥AC时，LACE=∠E=45°；当AD∥CE时，∠ACE=120°； 当BECD时，∠ACE=135°. 8. 【详解】(1)解：：OP∥EF,∠EFC=80°， ∠P0C=80°， .∠PO0=60°， :∠C00=∠P0C+∠P0Q=140°，∠00F-180°-∠C0Q=40°， :AB∥CD, .∠EQ0=∠C09=140°， .∠AQP=180°-∠PQ0-∠EQ0=10°： (2)解：①由图可得：∠E0F=180°-∠P0E-∠P0C, :∠P0E=60°， .LE0F=120°-∠P0C, :OP∥EF,∠EFC=a, ∴.∠P0C=a, .∠E0F=120°-4， AB∥CD, .LAE0=∠E0F=120°-a,∠BEF=LEFC=a, :EO恰好平分∠AEF, .∠AE0=∠0EF=120°-a, :∠AE0+∠EOF+∠BEF=180°， 120°-a+120°-a+a=180°， 解得：a=60°： ②当点Q在直线EF左侧时， G∠B :OP∥EF,∠EFC=a, ∴.∠POC=a, 10/45 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :∠P00=60°， ∠Q0F=180°-∠P00-∠P0C=120°-， :0G平分∠F00, :∠G0D=∠00F=60°- 2, :AB∥CD, ÷∠AG0=∠G0D=60°-1 , 当点Q在直线EF右侧时， D :OP∥EF,∠EFC=a, .ZPOC =a, :∠PO0=60°， ∴.∠FOQ=∠POQ+∠POC=60°+a, :0G平分∠F00平分， 1 ∠C0G22F00=30°+2a :AB∥CD, ·∠4G0=180°-∠C0G=150°- 28: 综上，∠AG0=60°-7a或150°1。 2 9. 【详解】解：(1)BC∥4，理由如下： :AB⊥1，直线I于点D, ∠ADH=90°， :∠B=90°， ∠B=∠ADH, .BC∥l: (2)解：∠1+∠2=90°，理由： 11/45 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 过点B作直线BN∥L,如图4所示. 因为4∥1g2(己知) 所以BN∥I,(平行于同一直线的两直线平行) 所以∠1=∠ABN,∠2=∠CBN(两直线平行，同位角相等) 因为LABN+∠NBC=∠ABC,∠ABC=90° 所以∠1+∠2=90°； (3)∠E0F=45°，理由如下： E O<B 图3 如图3，过点O作OM∥1，则OM∥12， ∴.∠NEO=∠EOM,∠HFO=∠FOM, .∠NEB=∠1，∠HFB=∠2，∠1+∠2=90°， .∠NEB+∠HFB=90°， :EO和FO分别平分∠NEB、∠HFB, ∴.∠NEO= ∠NEB,∠HFO=∠HFB 2 2 ∠NE0+∠HF0=45°， ∠E0M+∠F0N=45°， 即∠E0F=45°. 10. 【详解】解：(1)①由条件可知：∠1=∠3，依据是：两直线平行，同位角相等； ∠2=∠4，依据是：等量代换； ②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行； 故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换.②同位角相等，两直线平行 (2)如图， 12/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 m 6 03 5 2 n b :∠1=42°， ∠4=∠1=42°， .∠6=180°-42°-42°=96°， mln, .∠2+∠6=180°， .∠2=84°， :∠5=∠7=1802=480， 2 .∠3=180°-48°-42°=90°. 故答案为：84°；90°； 【点晴】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是 解题的关键。 11. 【详解】(1)解：如图，延长CA、DP交于点E, :直线∥12， ∴.∠2=∠4， :∠3=∠1+L4, .∠3=∠1+∠2=22°+33°=55°： E 41 B D ① 13/45 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：∠3=∠1+∠2； 理由：如图，延长CA、DP交于点E, :直线∥12， ∴.∠2=∠4， .∠3=∠1+∠4， .∠3=∠1+∠2； B D ① (3)解：由题可知：∠ABD=40°，∠ACE=45°， 由(2)可知LA=∠ABD+∠ACE=40°+45°=85°； (4)解：当点P在BA的延长线上时，如图，延长PC、BD交于点M, :直线∥12， .∠1=∠CMD, :∠2=∠CMD+∠3， .∠2=∠1+∠3； B 备用图 当点P在AB的延长线上时，如图，延长PD、AC交于点N, :直线∥12， .∠2=∠N, .∠1=∠N+∠3， .∠1=∠2+∠3； 14/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 Ws--- D B 备用图 【点晴】本题考查了平行线之间的拐点问题，解题关键是正确作辅助线，利用平行线的性质与三角形外角 的性质解题，本题涉及到了分类讨论的思想方法. 12. 【详解】解：特殊探究：：∠M0N=90°，∠0AB=60°， :∠ABN=∠M0N+∠0AB=90°+60°=150°， :AD平分∠OAB,BC平分LABN, ∠BAD= ∠0AB=1x60°=30°，∠ABC=∠ABN=1x150°=750， 2 2 2 2 又：LADB+∠BAD=∠ABC, ∠ADB=∠ABC-∠BAD=75°-30°=45°， 故答案为：45； 推理论证：∠ADB的大小不会变，∠ADB=45°，理由如下： :ZABC ZADB+Z BAD .∠ADB=∠BAC-∠BAD, :AD平分∠OAB,BC平分∠ABN, ·∠BAD= 2<0AB,∠BC={ ∠ABN, 2 ∠AD8=48v 2<0AB, LABN=∠A0B+∠0AB=90°+∠0AB, ∠4D8=∠ABN-∠018-号90+∠01B-∠01B=45, 即∠ADB的大小不会变，∠ADB=45°； 拓展探究1：如图2，设AD与BE交于点F, 15/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 N :AE平分∠DAO,BE平分∠DBO, A M 图 :∠DAE=∠OAE=I∠DA0,∠DBE=∠OBE=∠DBO, 2 :AD平分∠OAB,BC平分LABN, 2D0=∠BD-0B,∠A8c=4N, :∠DAE=∠DA0=} ∠OAB, 2 -4 由推理论证可知，∠ADB=45°， :∠AFB=∠AEB+∠DAE=∠ADB+LDBE, :∠AEB+∠0AB=450+1∠DB0 =45+180°-∠0BC 2 =45°+90-∠AB0+乙1BC 2 =135-480-48N =135°-4B0-90+∠010 4 =135°-1∠AB0-22.5°-1∠0AB, 4 ∠AEB=1350-2.50-×90°=67.5， 2 故答案为：67.5； 拓展探究2：LPQG=LD,理由如下： :AD平分∠OAB,BC平分LABN, :∠BAD=∠OAB,∠ABC=∠ABN, 2 2 :∠ABN=∠MON+∠OAB,∠ABC=∠D+∠BAD, ∠D+∠BAD-∠M0N+O1Bl, 2 16/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠D=1∠MoN=a, 1 2 2 :∠OPB与∠OBP的平分线相交于点Q, 208P-号0aP,∠0P8=5<oPB. ∠QBP+∠QP8=<0BP+∠0P8, :∠MON=∠OBP+∠OPB, 208P+<0r8=号MoN-0. 2 :∠PQG=∠QBP+∠QPB, ∠P0G=2&, 1 :ZPOG ZD 【点晴】本题是三角形综合题，考查了角平分线定义、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知识， 本题综合性强，熟练掌握角平分线定义和三角形的外角性质是解题的关键，属于中考常考题型。 13. 【详解】解：探究二：∠APC=LA+∠C，证明如下： 过点P作PE∥AB, ∠APE=∠A. D 图2 :PE∥AB,AB∥CD, .PE∥CD, ∠CPE=LC. .∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C. 探究三：∠APC=∠C-LA,证明如下： 过点P作PE∥AB, B. ∠APE=∠A. B 图3 PE∥AB,AB∥CD, 17/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 PE∥CD, ∠CPE=∠C. :ZAPC ZCPE-ZAPE ZC-ZA. 探究四：若∠APC=LA-∠C,如图点P符合条件， 图4 思维拓展：∠1-∠2+∠3+∠4=180°，证明如下： 过点M作ME∥AB,点N作NF∥CD,如图， E.N ∠1=∠AME.∠FND+∠4=180°， 图5 :AB∥CD, ME∥NF∥AB∥CD, LEMW=∠MNF. .∠2=∠AMF+∠NME=∠I+∠MNF, .∠MNF=∠2-∠1， :∠3=∠CNF+∠MNF, :∠CNF=∠3-∠MNF=∠3-（∠2-∠1=∠3-∠2+∠1， :∠FND+∠4=180°， .∠1-∠2+∠3+∠4=180°. 14. 【详解】(1)证明：如图①，过点P作PQ∥AB, A E B .AB∥CD, 图① 18/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .PQ∥AB∥CD, LAEP=LEPQ,∠PFC=∠FPQ, ∴.∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠PFC; (2)解：如图②，过点P作PQ∥AB, A B ---D :AB∥CD, δ 图② .PQ∥AB∥CD, .∠AEP+∠EPQ=180°，∠FPQ+∠PFC=180°， ∴.∠AEP+∠EPQ+∠FPQ+∠PFC-360°， ∠EPF-∠EPQ+∠FPQ, ∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°； (3)解：如图③，当点P在线段EF左侧时， 由(1)可知，∠EPF=∠AEP+∠PFC, :∠EPF=70°， ∠AEP+∠PFC=70°， :∠PEB=180°-∠AEP,∠PFD=180°-∠PFC, ∴∠PEB+∠PFD=180°-∠AEP+(180°-∠PFC)=360°-（∠AEP+∠PFC)=290°， ·∠PEB、∠PFD的平分线交于点Q, ∠BE0-PEB,∠DrQ=5PFD, ∠BEQ+∠DF0PEB+PFD-∠PEB+∠PFD)=145, 同(1)理可证，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ, LE0F=145°； 如图④，当点P在线段EF右侧时， 由(2)可知，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°， :∠EPF=70°， ∠AEP+∠PFC=290°， :∠PEB=180°-∠AEP,∠PFD=180°-∠PFC, 19/45 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠PEB+∠PFD=180°-∠AEP+(180°-∠PFC)=360°-∠AEP+∠PFC)=70°， :∠PEB、∠PFD的平分线交于点Q, ∠BEQ-PB,DrQ=PrD, ∠BQ+∠Dr0-PiB+PrD-PEB+∠PFD-3S, 2 同(1)理可证，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ, .∠E0F-35°； 综上可知，∠E0F=145°或35°. A E 一B B D 图③ 图④ 目目 考点02 坐标与图形综合探究 15. 【详解】(1)解：：(a+2)2+√b-4=0, .a+2=0,b-4=0, 解得：a=-2,b=4, ·点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是4,0)， 如下图所示， :点C的坐标是(-1,4)， ·点A向右平移-1--2)=1个单位长度，向上平移4-0=4个单位长度得到点C, ·点B向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到点D, 则点D的坐标是(5,4)； 20/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D -3 2 A以 B -543-2-1012345 +2 3 (2)①解：由平移可知，直线AB川CD,且它们之间的距离是4， 由网格可知CD=6, :APCD的面积是)×6×4=12， 2 :△PCD的面积是△PBD的面积的2倍， aPBD的面积是x12=6, 2 S.PD=PBx4=2PB .2PB=6, PB=3, ·点P的横坐标是4-3=1或4+3=7， :点P的坐标是(1,0)或(7,0)； ②解：当点P在点B左侧时， 如下图所示，过点P作PE川AC, 由平移可知AC I BD, ∴.PE‖ACII BD, :LCPE=LPCA=a,∠DPE=∠PDB=B, :∠DPC=LCPE+∠DPE, LDPC=LPCA+∠PDB, 0=a+B; 21/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ED 3 A 入 、PB -543-2-1012345 当点P在点B的右侧时， 如下图所示，过点P作PE‖AC, 由平移可知ACIBD, ∴.PE‖ACII BD, ·∠CPE=LPCA=a,∠DPE=∠PDB=B, :∠DPC=∠CPE-∠DPE, LDPC=∠PCA-LPDB, 0=a-B; 95 × 32 、 A B、P -5-4-3-2-11O12345x 4 5 综上所述，点P在B点左侧时，&+B=0;点P在B点右侧时，a-B=0. 16. 【详解】(1)解：”点A,B的坐标分别为(-1,0)，(3,0)， ·将点A,B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度得C(0,3),D(4,3); .AB=3--1=4,0C=3, ∴AB=CD,AB∥CD, :四边形ABDC的面积为：AB·OC=12; (2)解：存在，：C(0,3),D(4,3), 22/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 CD=4, :三角形DFC的面积是三角形DFB面积的3倍， :BF=ICD=4 3 3 :点B的坐标为(3,0)， 点F的坐标为0-青0即0，成B0可（得0小 (3)解：延长CP交x轴于E点，如图所示： :CD∥AB, B E衣 ∠PCD=LCEO, .∠OPC=∠POE+∠CEO, ∠OPC=∠PCD+∠POB. 17. 【详解】(1)：图中大正方形的面积为2dm2, :图中大正方形的边长为√2dm, :小正方形的对角线的长为√2dm, 故答案为：√2dm;V2dm. (2):点A(1,0),B(0,1), 0A=0B=1, 线段AB的长为VP+1P=√2. 点的位置如图所示， 2 D -1 A -3-2-1) 故答案为：√2 23/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (3):点D的纵坐标为1，BD=2, .D(2,1),D2(-2,1), 点D的位置不唯一，如图所示. D B 故答案为：不唯一；(2，)或(-2,1). 18. 【详解】(1)：将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B, .B0,4 :将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C, C(4,4): (2)B(0,4),C(4,4 .BC=4,BC∥x轴 :A-2,0 三角形ABC的面积-x4x4=8, (3)M(0,m,B(0,4),A-2,0 :BM=m-4,OM=m,OA=2 :三角形AOM与三角形BCM的面积相等 4-42m ：2m-4=m ·当m<0时，2(4-m=-m,解得m=8,不符合题意，应舍去： 当0<m<4时，24-m=m,解得m=,符合图意： .当m>4时，2(m-4)=m,解得m=8,符合题意： 24/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 综上所述，m=8或m=3 (4)如图所示，过点P作PF∥BC,当点P在线段CE上时， :PF∥BC .LCBP=∠BPF :BC∥AE PF∥AE ∴.∠FPA=∠EAP .∠BPA=LBPF+LFPA=LCBP+∠PAE; 如图所示，当点P在射线CE上时， :PF∥BC ∠CBP=∠BPF :BC∥AE .PF∥AE ∴.∠FPA=∠EAP ∠BPA=∠BPF-LFPA=LCBP-LPAE; 综上所述，∠BPA、∠CBP、∠PAE之间的数量关系为LBPA=∠CBP+∠PAE或∠BPA=∠CBP-∠PAE. 19. 【详解】(1)解：由题意可知，将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段 CD,使点A-3,1的对应点为点C,点B(2,1)的对应点为点D, 25/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 则点C的坐标是(-1,3)，点D的坐标是4,3)， 故答案为：（-1,3；（4,3： (2)解：BP⊥CD,证明如下： 由平移的性质可知，AB∥CD,AC∥BD, ∠BAC=45°， .∠DBE=∠BAC=45°， BD平分∠PBE, .∠PBE=2∠DBE=90°，即BP⊥AB, AB∥CD, .BP⊥CD. 1 (3)解：：S三角形8m-3边影0c, S四边形4Bc=AB×yD-yg=5×2=10, P0-x10- 10 3 3 PD=10 又：P在线段CD上运动，点D的坐标是(4,3)， :410、2 -3=3’ (4)解：①如图，当点P在线段CD上时，过点P作PQ∥AC交AB于点Q, A p .∠PAC=∠APQ, 由平移的性质可知AC∥BD, ∴.PQ∥BD, .∠PBD=∠BPQ, .'∠APB=∠APO+∠BPO, ∠APB=∠PAC+∠PBD; ②如图，当点P在CD延长线上时，过点P作PQ∥AC, 26/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 0 P .∠PAC=∠APQ, 由平移的性质可知AC∥BD, .PQ∥BD, .∠PBD=∠BPQ, ∠APB=∠APQ-∠BPQ, .∠APB=∠PAC-∠PBD,即∠PAC=∠PBD+∠APB: 综上可知，∠APB,∠PAC与∠PBD的数量关系为LAPB=LPAC+∠PBD或∠PAC=∠PBD+∠APB. 20. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形，A(2,0),C(6,3), :.0A=2,BC=AD=3, D(2,3), 故答案为：（2,3)； (2):C(6,3), .0B=6, .CD=AB=0B-0A=4, 如图1，当点P在线段AB上时， 图1 1 由题意，Sapc=3 S矩形ABCD' 1 ×2x×3=二×3×4， 2 3 4 ∴x= 3 27/45 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 如图2，当点P在线段AD上时， D B衣 图2 1 由题意，SADCP= 7-2)x4 1 3x4, 1 5 .x= 2’ 踪上所途，满足条件的x的值为或子 (3)如图3， D P A(P) B x 图3 当点P与A重合时，△POD的面积为)0A×AD=x2×3=3, 此时P(2,0), 当点P在CD上且DP=01=2时，：0DP的面积为DP×4D×2x3=3, 此时P'(4,3), 综上所述，满足条件的点P的坐标为2,0)或(4,3). 21. 【详解】(1)：点A到x轴、y轴的距离相等， ∴.2m-2=10-m .m=4, 28/45 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ·点A的坐标为6,6)， 故答案为：（6,6)： (2)如图， YA B 图1 :动点P从原点0出发，以每秒2个单位长度沿x轴的正方向运动， .0P=2t, S.4BP =S.4B0+S.AOP-S.OBP =x4x6+x21x6-1x4x2r 2 =12+2t, 即S=12+2t: (3)如图， A O M B 0 P 图2 由题意，得AQ=t-1, :△ABP的面积是△AQP的面积的2倍， 1 “21-x6x2=12+21, .1=4.5, 7 ∴.AQ=t-1= 719 75 .6+ 6- 221 22 点0的坐标为[？0(3小】 29/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【点晴】本题考查了坐标平面内点的坐标特征，函数解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积，一元一 次方程的应用，数形结合是解答本题的关键。 22. 【详解】(1)解：：Va-4+b-6=0, ∴.a=4,b=6, :点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(0，b), A4,0,C(0,6, ∴.0A=4,0C=6, .点B的坐标为4,6)： (2)点P移动4s时，运动路程为2×4=8个单位， :0C=6,8-6=2, .点P在CB上，距离点C两个单位长度，且P(2,6); (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，则P(0,5)或P(4,5), 当运动到P(0,5时，时间为5÷2=2.5s, 当运动到P(4,5)时，时间为11÷2=5.5(s, 点P移动的时间为2.5s或5.5s; (4):点B的坐标为4,6)， AB=6, ∴.当三角形PAB的面积等于6时，AB边上的高为2， P2,6或P(2,0), :当P(2,6)时，P点运动路程为8，则点P移动的时间为8÷2=4s, 当P(2,0)时，P点运动路程为18，则点P移动的时间为18÷2=9(s, ∴.点P移动的时间为4s或9s 【点晴】本题考查了平面直角坐标系内的动点问题，涉及到了算术平方根和绝对值的非负性、点到坐标轴 的距离、三角形的面积公式和行程问题中的数量关系，解题关键是利用数形结合，正确得到动点运动的路 程或位置并求解。 30/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 23. 【详解】(1)解：√a+2+b-3=0, .a+2=0,b-3=0, .a=-2,b=3, .B-2,3, 根据平移的性质可知：BC∥AD,CD∥AB,C,B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， :AB垂直x轴， CD垂直x轴， .C,D两点的横坐标相同，横坐标都是4， C(4,3): (2)解：B(-2,3),C(4,3), .AB=3,BC=6, :P的速度为每秒2个单位长度， P由A到B需要的时间为：3÷2=1.5（秒）； A到B需要的时间为6÷2=3（秒）： P由A到B,再由B到C需要的时间为1.5+3=4.5（秒）， 当点P在线段BC上运动时，点P的坐标为2t-5,3), 3 5-2t ≤t< 5 .PM= 2】 5 9 21-2<1≤2) (3)解：分以下两种情况讨论： 当点P在线段AB上运动时，点P的坐标为-2,2t), 如图1， 则0s1<3 31/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 、M D 4-3-2-10L12345x -2 图1 :B-2,3,P(-2,21), BP=3-2t, :SAPBE=2,，点E(0,2), 小-2x2=2. 1 解得t=2' P-2,; 当点P在线段BC上运动时，点P的坐标为2t-5,3, 1号奥图2， B D> -4-3-2-1012345x 2 图2 :B-2,3,P(21-5,3, BP=2t-5--2)=2t-3, :E(0,2),M(0,3, ∴.ME=1, :SAPE=2,点E(0,2), 32/45 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷2-x12 解得13， .2t-5=2, 此时P(2,3. 综上所述， 当1=时，P-2训：当=时，P12, 【点晴】本题是动点移动问题，考查了非负数的性质，分类讨论思想，方程思想，解题关键是熟练掌握动 点移动问题 24. 【详解】(1)由题意得：B与P的横坐标之差的绝对值为1个单位，纵坐标之差的绝对值为2个单位或横 坐标之差的绝对值为2个单位，纵坐标之差的绝对值为1个单位， xa-x=1-(-1川=2，yn-yn=|0-2=2,不满足条件； x-x=1-(-2=3,%-yn=0-0=0,不满足条件； x-n=1-0=1,yn-y=0-2=2,满足条件； 则P,可能是点F(0,2): 故答案为：F(0,2); (2):xg-xB=1-4=-3,xB-xB=-1或-2， ①当xB-XR=-1即xB=xB-1=3时，yB-yB=±2， 当yg-yR=2,即yB=yn+2=4时，xg-xA=1-3=-2,yg-yB=3-4=-1, .满足条件，此时P,（3,4); 当yA-yB=-2,即yg=yB-2=0时，xB-xB=1-3=-2,yg-yB=3-0=3, 此时，不满足条件： ②当xR-XR=-2即xR=xB-2=2时，yR-yB=±1， 当yg-yp=1,即yR=yR+1=3时，xg-xR=1-2=-1,yB-yB=3-3=0, 此时，不满足条件： 当yR-yB=-1,即yg=yB-1=1时，xg-xB=1-2=-1,yB-yB=3-1=2, 33/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 满足条件，此时P1(2,1); 综上，P（2,1)或(3,4)； (3)假设P第一次跳马跳到？(1,2)，第二次跳马跳到？(0,0)， 第三次跳马跳到P(1,2),第四次跳马跳到P(0,0), 依此类推，由n为偶数时，与P重合， 则P2、P可能与B重合的是2； 故答案为：P2; (4)做正横跳马时，横坐标增加2，纵坐标增加1： 做正竖跳马时，横坐标增加1，纵坐标增加2； [2a+b=14-1 a+2b=11-0' a=5 解得： b=31 .a+b=8. 【点睛】本题考查的是点的坐标以及二元一次方程组，掌握其规律是解决此题的关键. 25. 【详解】(1)解：当x=1时，1-y=-1,即y=2≠-1； 当x=-1时，-1-y=-1,即y=0; 当x=3时，3-y=-1,即y=4≠2， .点F(-1,0)在方程x-y=-1的图象上. 故答案为：F; (2)①由图象观察，可知两条直线的交点为(1,2)， x=1 .二元一次方程组 2x+y=4 x-y=-1 的解是 y=2 ②如图，有 34/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D 2 A 4Sm=2x2- -210 12345x 1x21 21x1-1 1 >×1×2,2×2A以=47 :S△4DM=2S△4CD, 4M=2x2-3, 2 :A(2,0), ∴M点坐标为(-1,0)或(5,0)； [3x+2y=m+1 (3)①解 2x+y=m-1 [x=m-3 得 (y=-m+5’ .x-y=m-3-(-m+5)=2m-8=2 解得：m=5, ②当t>n时，即t>5 :F-r-=t-(t-π)=π 故答案为：5，π. 26. 【详解】(1)解：：a-4+√b+2=0, a-4=0 1b+2=0 解得a=4,b=-2, 0B=2, 根据题意得0D=AC=6, .BD =BO+OD=8; 35/45 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (2)解：由题意得：当0<t<2时，BP=BD-PD=8-41, 则S-BPXCD=)X8-4)×4=16-810<t<2), 当t>2时，BP=PD-BD=41-8, .Swe-BPxCD-8-16(>2), 2 [16-81(0<t<2) 综上，S=8-160>2) (3)解：当0<t<2时，如图，连接P9, 则5-C2CD_3-x4-3-小x2=6-2, 2 2 则SBnc= PCxBG 2，Sec= PC×QH 2 因为BG=2QH, 所以SBpc=2SPQc, 即16-8t=2(6-2t), 解得：t=1; 当t>2时， 连接PQ, G B O D衣 则S-PCBG,S PCXOH 2 2 因为BG=2QH, 所以SBPc=2SP0c, 所以8t-16=2(6-2), 36/45 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 即8t-16=12-41, 解得：1287 123’ 综上，1三或y 27. 【详解】(1)解：：点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(3,0)， :点A到x轴的距离0A=4;点B到y轴的距离0B=3, 故答案为：4,3； (2)①当点P在线段OA上时， :动点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为1秒， AP=1; 故答案为：t. ②当点P在线段OB上时， :点P从A到O运动的时间为0A÷速度=4÷1=4秒， A0=4,0P=1-4, :0B=3,BP=0B-0P, .BP=3-(t-4)=7-t; 故答案为：7-t. P B ③当点P在线段BC上时， 点P从A到O再到B运动的时间为0A+OB)÷速度=(4+3)÷1=7秒， :点P在BC上的运动时间为1-7， BP=1-7(7<1≤10)； 故答案为：t-7. 37/45 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B P C (3)当点P在线段0A上时(0<1≤4)， S.4BP=7 =AP.0B,Sp=3,0B=3, 2 *1x3=3, 1 解得t=2; 当点P在线段OB上时(4<1≤7)， :Sm=)8P-0A,Sr=3,0A=4,BP=7-1, 1 .。×(7-t)×4=3, 2 11 解得t=2 P B C 当点P在线段BC上时(7<1≤10)， :Sm=)BP-0A,S=30A=4,8P=1-7, 0-x4= 解得1号 y (4)①当k=h,时， 38/45 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据三角形面积公式S=二ah(a为底，这里底都为AB), :h=h2, ∴.S.ABC=SABP; 故答案为：=. ②当h<2h,时， 5.m-xBCxOA-x3x4-6. 当h<2h2时，S。4Bc<2S4BP· 当点P在线段0A上时(0<1≤4)，S.4p=号1x3,由6<2×1x3,解得1>2， .2<t≤4： 当点P在线段08上时（4<1s7),5m-0x4,由6<2x7-0x4,6<47-小，多<7-4 t<5.5,所以4<t<5.5; 当点P在线段8C上7<110,5m方-x4,由6<2x-7刀x4,6<4-7刀，1-7. 2 t>8.5,所以8.5<t≤10. 综上，t的取值范围是2<t<5.5或8.5<t≤10， 28 【详解】(1)解：：点A的坐标是(0,4)， .0A=4, 0C=8, C(8,0), :四边形OABC是矩形，AB=OC=8,BC=OA=4, B(8,4; (2)①由题意得0P=t,BQ=21, .A0=8-21, :PQly轴，OC‖AB, .四边形OAQP是平行四边形， OP=AQ,即1=8-2t, 39/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 8 1= :当=8时， 直线PQly轴； ②：点0到y轴的距离为2个单位长度， A0=2, 8-21=2, t=3; ③0A=4,0C=8, S医道形018c=4×8=32, 由运动知，OP=t,BQ=2t, CP=0C-0P=8-t, .S四边形8CP0= {B0+PC×0A=2+8-)x4=2r+16, :四边形BCPQ的面积是长方形0ABC的面积的 8 5 ∴.2t+16=二×32=20， d t=2, 8-21=4 P2,0),04,4). 29. 【详解】(1)解：：A-4,0),B(2,0),C(0,6, .AB=6,0C=6, 5号4B-0c 2×6x6=18: (2)解：猜想：SAC4B=S。MAB·证明如下： :过点C作直线I平行于x轴，点M为直线I上任意一点， .设点Ma,6, Sn-4B-x66=18. 2 S.CAB=S.M4B 40/45 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：如图1，当点P在x轴上时，设P(x,0),则AP=x+4, 1 S.ACP= 4P.0C=xx+4x6=3x+12, 2 =S6x,5.c=18, Bx+1g-1, 解得：x=-1或x=-7, 点P坐标为(-1,0)或(-7,0)； 如图2，当点P在y轴上时，设P(0,y), VA D P PO B B 图1 图2 则CP=y-6, S0m=cp-0A=)x-61x4=12y-12, 2 2 :5=ac,c=18, 2 2y-以-号1s, 3 21 解得：y=)或y=2 点P坐标为 c的点P的坐标为-0或-70或到0劉 1 综上所述，使得S△4CP= 2 目目 考点03 方程与不等式探究 30. 【详解】解：任务一：设每副象棋的价格是x元，每副围棋的价格是y元， 2x+3y=140 根据题意，得 4x+y=130 41/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 x=25 解得 y=30 答：每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元. 任务二：设购买m副围棋，则购买(80-m副象棋， 根据题意，得25(80-m)+30m≤2250， 解得：m≤50， .m的最大值是50， 答：最多能买50副围棋 任务三：设学校购买10副象棋，a副围棋， 方案一所需费用为：25×10+30×0.9a=27a+250, 方案二所需费用为：60+25×10+30×0.7a=21a+310, 当27a+250<21a+310时，a<10, ∴a<10时，选用方案一购买花费最少； 当27a+250=21a+310时，a=10, :.a=10时，选用两种方案购买花费相同； 当27a+250>21a+310时，a>10, :a>10时，选用方案二购买花费最少 31. 【详解】(1)解：设每个A物块的质量为x克，每个B物块的质量是y克，根据题意得， 4x+7y=400 8x+9y=600 x=30 解得 y=40 答：每个A物块的质量为30克，每个B物块的质量是40克； (2)解：设有m个B物块，则有(30-m)个A物块， 30(30-m+40m≤1000 则{ 30-m≤22 解得8≤m≤10， :m是正整数， 42/45 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∴m=8或m=9或m=10, 即可以有8个B物块或9个B物块或10个B物块. 32. 【详解】(1)解：：6=V36<V37<V49=7, :[37]=6: 故答案为：6： (2)①：[F]=2, 2≤VF<3, .4≤x<9, x可取4,5,6,7,8： 故答案为：4,5,6,7,8： ②：二次根式有意义且[V8-x]-[x-6]=2, 18-x20 .x-6≥0 18-x>x-6 6≤x<12, 6<18-x≤12,0≤x-6<6, .2<√6<18-x≤12<4,0≤Vx-6<V6<3, :[i8-x]=3,「r-6]=1, .V18-x≥3,1≤Vx-6<2, .x≤9且7≤x<10, x=7,8,9 (3)令[va]=l,[b]=a,[]=b,[a]=c,其中，a,b,c,d均为正整数，a,b,c,d均不为1， .1≤a<4,即2≤a≤3， .4≤b<16,即4≤b≤15， 16≤c<225,即16≤c≤50176， .256≤d<501762,即256≤d<501762-1, 43/45 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .d的最小值为256，即需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数为256. 33. 【详解】任务一：解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒 2x+3y=700① 25x+35y=8500② x=200 解这个方程组，得 y=100 答：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒. 廷务二三：分装成m盒精包装，则分装成，2心盒简包装， 任务三：依题意可列出下列不等式： .175-2m≤15， m+-× 23 .15 解得：m≤ :m为正整数， 75-2m为正整数， 3 .m=3. 75-2m=23, 3 分装方案：分装成3盒精包装，23盒简包装 34. a+b=12 【详解】(1)解：由题意可知： (a+2)+4b+4)=36 a=10 解得b=2‘ (2)不足1千克按1千克计算，故3.6千克按4千克计算， 即10+2×4-1=16（元）. 故她需要支付快递费16元. (3)解：设这份特产按x千克计费， 则12+6x-1=72 解得x=11 所以这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克. 44/45 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 45/45可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08 综合探究 ☆5大高频考点概览 考点01平行线相关探究 考点02坐标与图形综合探究 考点03方程与不等式探究 1.(24-25七下吉林吉林蛟河期末)已知直线AB∥CD,点E,G分别在直线AB,CD上，点F是AB与 CD之间任意一点，连接EF,GF.直线I∥FG,分别交AB,CD于点M,N. M N 图1 图3 I)如图1，①求证：∠BMN=∠FGC: ②∠BMN=a∠AEF=B∠EFG= Q B 若 ,则 (用含，”的式子表示)： ②)如图2，在直线CD上取一点H,连接FH交直线I于点P;设∠HPN=0,若∠FHD-∠AEF=30°：求 ∠EFG的度数（用含日的式子表示）： 如图3，在(2的条件下，作ER平分∠EF,GR平分∠PGD·若∠ImG=0,N-名EG. 直接写出∠HMN的度数， 2.(2425七下·吉林吉林第五中学期末)综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背 景开展数学活动，如图，已知两直线a,b,且a∥b,△ABC是直角三角形，∠BCA=90°，∠A=30°，操 作发现： 1/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 12 a ◇3 1◇3 C C 图1 图2 图3 (1)如图1，若1=48°，求∠2的度数： (2)如图2，若∠1的度数不确定，同学们把直线4向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2-∠1=120°，请 说明理由； (3)如图3，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，直接写出∠1与∠2的数量关系. 3.(24-25七下·吉林吉林舒兰第十六中学校期末)某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等” 是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知AB∥DE,BC∥DF,BC与DE 交于点G. C D G 一E D G B B 图1 图2 (I)根据甲同学的作图及题设，求证：∠B=∠D: (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同 学相同，得到∠B≠∠D，根据乙同学的作图，试判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由. (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题. 4.(24-25七下·吉林桦甸)如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合 适的照明角度.图①是这盏台灯的示意图.已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照 明角度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE=135°，BEMN,两支架BC和CD的夹角LBCD=108 如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数呢？小 明解决此问题的思路如下： 2/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B M- -M M M- D D D 图① 图② 图③ I)小明在解决问题时，过点C作CF川BE,则可以得到CF川MN,其理由是 (2)如图②，根据小明的思路求∠CDM和∠ABE的度数： 3)小明在解题中发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和∠BCD的度数无关.小明的说法 对吗？请结合图③说明理由 5.(24-25七下·吉林白城通榆县期末)问题情境： 一副三角尺，∠ACB=∠DFE=90°，∠CAB=∠B=45°，∠D=30,∠DEF=60°.将它们如图1摆放，使点A 与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G,求∠BGD的度数.聪明小组的解法如下： B (Fm C(F) 图1 图2 解：过点G作GH∥DF,则∠HGD=∠D(依据1)， ∠C+∠DFE=90°+90°=180°，∴BC∥DF(依据2). 又：H∥DF,∴.GH∥BC,.∠BGH=∠B ∴.∠BGD=∠BGH+∠HGD=∠B+∠D=45°+30°=75° (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：一； 依据2： (2)问题迁移：将两个三角尺如图2摆放，使点C与点F重合，点A在DF上，点E在BC上，AB与DE相 交于点G,请你用题目中所给的方法，尝试着过点G作GH∥DF,求∠AGD的度数. 3)问题深化：将两个三角尺如图2摆放，两个三角尺的直角顶点F与C重合，若三角尺ABC不动，把三 3/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 角尺DEF绕点C转动一周，在转动过程中，当AC∥DE时，画出图形并直接写出∠DCB的度数. 6.(24-25七下·吉林吉林第七中学期末)已知C为射线AB上方一点，过点C作AB的平行线MN,点O是 线段4C上一点（不与点4，c重合），点D在射线CM上，连接OD,满足∠CO0-m☑B1C(0<m<) M D M D CFEN M D CFEN H----- B B B 图(1) 图(2) 图(3) 1 )如图(1)，过点0作4B的平行线OH,当m=2时， ①若∠BAC=60°，则∠C0D=°，∠C0H=°，∠MD0=: ②若∠BAC=a°，则∠C0D=,∠COH=,∠MD0=°；（用含a的式子表示） ②点B,P在射线CN上，连接4E,OF,满足∠COF=m∠C1E(0<m<) 1 ①如图(2)，当m=2,∠BAC=60,AE⊥AB时，∠DOF=—,∠MD0+∠NF0= ②如图(3)，若∠BAC=a°，∠CAE=B°，则∠D0F=,∠MD0+∠NF0=·.(用含有 m,a,P的式子表示) 7.(2425七下·吉林松原前郭县西部学区·期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方 式叠放在一起，其中∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45° 图1 图2 (1)填空：∠1与∠3的数量关系：；理由是 4/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)直接写出∠2与∠ACB的数量关系： (3)如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两 个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当BE∥AD时.画出图形，并求出∠ACE的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值， 8.(24-25七下·吉林吉林永吉县期末)已知直线AB∥CD,直线EF与AB、CD分别交于点E、F, ∠EFC=a(0<u<90）.将一个直角三角板0P0按如图O所示放置，使点°、0分别在直线41B、CD上， ∠P=90°∠PO0=60°∠PQ0=30°，OP∥EF E(OB 图1 备用图 1)若a=80°，分别求∠00F与∠A0P的度数： (②)将直角三角板OPQ沿AB向右平移. ①如图②，当点Q与点E重合时，若EO恰好平分∠AEF,求a的值： ②作∠FOQ的平分线OG,交直线AB于点G,在整个平移过程中，直接写出∠AG0的度数（用含a的代 数式表示)· 9.(24-25七下·吉林松原前郭县期末)综合与实践 问题情境： 图1 图2 图4 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动.如图1，已知 ”5,直角三角板 中，<B=90 ABC AB⊥ ,将其顶点A放在直线上，并使边 于点D,1C与相交于点H 5/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)试判断 BC与直线的位置关系并说明理由： 操作探究： (2)如图2，将图1中三角板18C的直角顶点B放在平行线之间，两直角边B,CB分别与，相交于 点E,F,得到∠1和∠2，试探究∠1与∠2的数量关系并说明理由： 下面是小明不完整的解答过程，请你补充完整.。 解：1+∠2=90°，理由： N∥l 过点B作直线 如图4所示. 4∥12 因为 (已知) BN∥2 所 所以∠1=∠ABN,∠2= 因为 +∠NBC=∠ABC.∠ABC=90 所以∠1+∠2=90° 深入探究： (3)受小明启发，同学们继续探究下列问题. 在图2中作线段E0和FO,使它们份别平分∠I和∠2的顶角，如图3，请直接写出∠EOF的度数. 10.(2425七下·吉林通化城区四校期末)请解答下列各题： (1)阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与 平面镜所夹的角相等.如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠I=∠2， ∠3=∠4 ①由条件可知：∠1=∠3，依据是，∠2=∠4，依据是_· ②反射光线BC与EF平行，依据是_. (2)解决问题：如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出 的光线n平行于m,且∠1=42°，则∠2=_；∠3= 6/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D a m 3 B E b 图1 图2 1.24-25七下吉林白山抚松县期末村如图①，已知直线化，且5和人，么分别交于4，B两点，和 112 ”分别交于C,D两点， ∠ACP=∠I,∠BDP=∠2，∠CPD=∠3 点P在线段AB上 D北 D ① ② 备用图 (1)若∠1=22，∠2=33°，则∠3= (2)试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由. 3)应用(2)中的结论解答下面的问题： 如图②，点A在B的北偏东40°的方向上，在C的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数. (4)如果点P在直线上且在A,B两点外侧运动（点P和A,B两点不重合），其他条件不变，试探究 ∠1，∠2，∠3之间的关系. 12.2425七下·吉林吉林第九中学期末)【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二 )43 第45页第21题如下：如图， ,1∠MON=90°AB O..）BC 在OM、ON上运动不与点O重合），BC是 ，点”、”分别在、 ∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D. 7/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 【特殊探究】当∠OAB=60°时，∠ADB= 0 【推理论证】随着点A、B的运动，∠ADB的大小会变吗？如果不会，求∠ADB的度数；如果会，请说 明理由； 【拓展探究1】如图2，在图1的基础上分别作∠DAO与∠DBO的平分线，交于点E,则∠AEB=—°： 【拓展探究2】如图3，若将图1中的“∠MON=90°”拓展为一般情况，即∠MON=a,点P是射线OM 反向延长线上的一个动点，连接BP,∠OPB与∠OBP的平分线相交于点Q,延长BQ交直线PM于点G, 试判断∠PQG与∠D的数量关系，并说明理由. 13.24-25七下·吉林吉林丰满区期末)综合与实践：如图，AB∥CD,点P为平面内任意一点，连接 AP,CP 某数学兴趣小组对<4C,∠A∠C 间的数量关系进行了探究学习. 【探究一】当点P在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：∠4PC+∠A+∠C=360°. D B 图1 证明：过点P作PE∥AB, ∴.∠APE+∠A=180° :PE∥AB,AB∥CD, ∴.PE∥CD ∴.∠CPE+∠C=180° .∠APE+∠A+∠CPE+∠C=180°+180° ∴.∠APC+∠A+∠C=360° 【探究二】当点P在如图2所示位置时，猜想∠APC,∠A,∠C之间的数量关系，并给出证明. 8/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图2 【探究三】当点P在如图3所示位置时，请直接写出∠APC,∠A,∠C之间的数量关系，不要求给出证 明 图3 【探究四】若∠APC=∠A-∠C,请在图4中找到一个符合条件的点P,并补全图形，不要求给出证明. D 图4 【思维拓展】当点M,N在如图5所示位置时，请直接写出∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系，不要求 给出证明. 图5 14.2425七下吉林四平铁东区期末)如图：AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点P是AB、 CD之间的一个动点。 A E B A E B R 图① 图② 备用图 (I)如图①，当点P在线段EF左侧时，求证：∠EPF=∠AEP+∠PFC: (②)如图②，当点P在线段EF右侧时，∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系为一： 9/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)若∠PEB、∠PFD的平分线交于点O,且∠EPF=70°，则∠EOF= -B B D 图③ 图④ 15.425七下吉林吉林舒兰第十六中学校期末)如图，在平面直角坐标系中，已知14(@，0），B(60) C(-14）,a,b满足a+2+6-4=0.平移线段4B得到线段CD,使点A与点C对应，点8与点D对 应，连接AC、BD. V本 5 4 3 2 2 5432-11012345元 -5432-11012345元 2 +3 5 备用图 (I)求a,b的值，并直接写出点D的坐标： (②)点P在射线AB(不与点A,B重合)上，连接PC、PD. ①若△PCD △PBD 的面积的倍，求点”的坐标 P 的面积是 设∠PC1=a,2PDB=B.DrC=9.直接写出“，B,0满足的关系武 设 16.(24-25七下·吉林通化辉南县第四中学期末)在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为 -1,0) (3,0) ,现同时将点A,B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A,B的对应点 C,D,连接AC,BD,CD, 10/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D B B 图1 图2 I)直接写出点C,D的坐标并求出四边形ABDC的面积： (②)如图1，在x轴上是否存在一点F,使得三角形DC的面积是三角形DFB面积的3倍，若存在，请求出 点F的坐标：若不存在，请说明理由； )如图2，点P是线段BD上一个动点，连接PC,PO,当点P在线段BD上运动时，请直接写出∠OPC 与∠PCD,∠POB的数量关系. 17.(2425七下·吉林吉林昌邑区·期末)【教材呈现】下图是人教版七年级下册数学教材第42页的部分内容， 探究： 怎样用两个面积为ldm的小正方形拼成一个面积为2dm的大正方形？这个大正方形的 边长是多少？ 如图①，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得4个直角三角形拼在一起，就得到一个 面积为2dm的大正方形. 图① 【问题解决】(1)图①中大正方形的边长为 小正方形的对角线的长为 【拓展应用】如图②，在平面直角坐标系xOy中，已知点4A,0),B(0,): B 图② C1+V2,0) (2)线段AB的长为，请选用合适的工具，描出点 的位置： 11/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若点D的纵坐标为1，且BD=2,请判断：点D的位置 (填“唯一”或“不唯一”)，若唯 一，请说明理由；若不唯一，请写出所有点D的坐标一 18.2425七下·吉林吉林吉化第六中学校期末)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点 A(-2,0) 将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B,再将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C,连接 AB、BC. 图① 图② 图③ (I)直接写出点B、C的坐标： (2)连接AC,如图①，求三角形ABC的面积； 6)连接OC,如图2，点M(0m)在y轴上，若三角形40M与三角形BCM的面积相等，求m的值： ④)如图③，过点C作CE⊥x轴于点E,P是射线CE上的一个动点（点P不与点C、E重合），连接AP、 BP,直接写出LBPA、∠CBP、∠PAE之间的数量关系. 19.24-25七下·吉林白山第九中学·期末)如图①，在平面直角坐标系中，己知 A(-3,1),B(2,1) 将线段AB 先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段CD,使点A的对应点为点C,点B的对应点 为点D,连接ACBD,点P是射线CD上一动点 y 图1 备用图 (1)填空：点C的坐标是一，点D的坐标是 (2)当点P运动到如图①所示的位置时，连接BP,此时BD平分∠PBE,点E是AB延长线上一点，已知 ∠BAC=45°，猜想BP和CD的位置关系并写出证明过程： 12/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B)当点p在线段CD上运动时，若S角0=3S边形0c,求出点p的坐标： 4)点P是射线CD上一动点（点P不与点C、D重合），连接AP、BP,直接写出∠APB、∠PAC与 ∠PBD的数量关系， 20.24-25七下·吉林松原前郭县·期末)如图，四边形ABCD是长方形，边AB在x轴上，AD⊥x轴.已知 2,0 ,点C坐标为 6,3) 点A坐标为 动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 BA-AD-DC向终点C运动，设点P的运动时间为() D A B 备用图 (1)点D坐标为： (②)连接PC,当直线PC将长方形ABCD的面积分为l:2的两部分时，求x的值； 3)连接OP,OD,直接写出三角形OPD的面积为3时，点P的坐标。 21.(24-25七下吉林吉林昌邑区期末)在平面直角坐标系中，第一象限的点A坐标为 2m-2,10-m）.且 点A到x轴、y轴的距离相等. M 图1 图2 备用图 (1)点A的坐标为 (②)如图1，’轴的正半轴上有一 B(0,4),连接AB、01,点P为轴上一动点，动点P从原点O出发， 以每秒2个单位长度沿x轴的正方向运动.设点P的运动时间为秒，△ABP的面积为S,请用含t的式子 13/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 表示S(不要求写t的取值范围)： 3)如图2，在(2)的条件下，过点A作x轴平行线AM,AM交y轴于点C.当点P从原点O出发1秒时， 此时点从点1出发，以每秒1个单位长度在直线4M上运动，当△4BP △AQP 面积是 的面积的2倍时， 请直接写出此时t的值和点Q的坐标。 22.24-25七下：吉林白山抚松县期末)如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐 标为a0,点C的坐标为0,6)，且ab清足4+b-=0,点B在第一象限内，点P从原点出发， 以每秒2个单位长度的速度沿着O一C一B-AO的线路移动. B 备用图 (1)a= ,b= 一，点B的坐标为 (2)当点P移动4s时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标： (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间. (4)在移动过程中，当三角形PAB的面积等于6时，求点P移动的时间， 23.2425七下·吉林白山部分学校期末)在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点 B(a,b) 过点 B作线段BA垂直于x轴，垂足为A,实数a、b满足a+2+b-3=0.D(4,0) 将线段AB向右平移使点 A和点D重合得到线段DC,连接BC与y轴相交于点M,动点P从A点出发，沿折线AB-BC运动，运动 到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒. 14/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 4 4 B M M 2 E 1 D> -4-3-2-1012345x -4-3-2-10L12345x -2 -2 图① 图② (1)求点C的坐标： (2)当点P在线段BC上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段PM的长，并直接写出t的取 值范围； 3)如图②，y轴上有一点 (0,2）,在点P沿折线4B-8C运动过程中是香存在1值，使三角形P85的面积为 2?若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. 24.(2425七下·吉林吉林蛟河·期末)已知整点（横纵坐标都是整数）P在平面直角坐标系内做“跳马运 动”（即中国象棋字型跳跃），例如在图1中，从点A做一次“跳马运动”，可以到点B,也可以到达点 C.设P做一次跳马运动到点P,做第二次跳马运动到点P,做第三次跳马运动到点P,·,如此依次进 行 B Q 2 A 图1 图2 (1)若P(1,0),则P1可能是下列的点 D(-1,2):E(-2,0);F(0,2) (2)已知点P(4,2),P(1,3),则点P1的所有可能坐标为： 乃2B3 (3)若P。(0,0),则、 可能与P重合的是 (4)如图2，点P。(1,0)沿x轴正方向向右上方做跳马运动，若P跳到Q1位置，称为做一次“正横跳 15/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 马”；若P跳到O位置，称为做一次“正竖跳马”.当点P连续做了α次“正横跳马”和b次“正竖跳 马”后，到达点Pm(14,11),求b的值 25.24-25七下吉林吉林第七中学·期末)【课本再现】 人教版七年级下册教材“中曾探充过“以方程-”=0 解为坐标(x的值为横坐标，y的值为纵坐标) 的点的特性”.一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象.在平面直角坐 标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线。 如图，我们在画方程2x+y=4的图象时，可以取点1(2,0)和B(0,利)作出直线B.在国方程-y=-的 图象时，可以取点 (0,1)nD(1,2) 和 作出直线CD 5-4-3-2210 【解决问题】 (1)已知点 (1,-1)F(-1,0)G(3,2 ,则在方程-y=-的图象上的点是 (填“E”“F” 或“G”): (2)请根据这两个二元一次方程的图象，回答下列问题： 2x+y=4 ①二元一次方程组x-y=-1的解是 ②在x轴上是否存在点M,使以A,D,M三点为顶点的三角形的面积为△ACD面积的2倍，若存在，请求 出点M的坐标，若不存在，请说明理由： 【拓展延伸】 [3x+2y=m+1 (3)以关于x,y的方程组2x+y=m-1的解为坐标的点在方程x-y=2的图象上. 16/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①m= ②当>m时，计算：VF-k-小 26.(2425七下·吉林通化城区四校期末)如图，在平面直角坐标系内，纵坐标为a的点A在y轴上，横坐 标为b的点B在x轴上，且口-4+b+2=0. 将点A向右平移6个单位长度至点C,过点C作y轴的平行 线交x轴于点D. BO DBO 图1 图2 图3 (I)求线段BD的长： (②)点P从点D出发，以4个单位长度秒的速度沿射线DB向左运动，设三角形BPC的面积为 (S≠0) 点P运动的时间为t>0)秒，请用含t的式子表示S,并直接写出相应的t的取值范围； (3)在(2)的条件下，点E为AC中点，在点P出发的同时，点Q从点E出发，沿线段EC以1个单位长度 秒的速度向终点C运动，过点B作PC的垂线，点G为垂足，过点O作QH上PC,点H为垂足，当 BG=20H 时，求相应的t值. 27.24-25七下·吉林吉林丰满区期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 0,4),点8的坐标为 (30),点C的坐标为60)，连接4B,4C,动点P在以每秒1个单位长度的速度从点4出发，沿折线 A→0→C运动到点C停止，连接1P,BP.设点P运动时间为 0<t≤10)秒. 17/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (备用图) I)0A=-,OB=· (②)①当点P在线段OA上时，AP=_·(用含t的式子表示) ②当点P在线段OB上时，BP=_·(用含t的式子表示) ③当点P在线段BC上时，BP=_·(用含t的式子表示) 3)当△ABP的面积等于3时，求t的值 ④设点C到直线4B的距离为”，点P到直线4B的距离为么. h ①当4=时 SSa部.（填a之”，。<”或“=”) <2h2 ②当 时，直接写出的取值范围. 28.(2425七下·吉林油田第十二中学期末)如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OC、OA分别 在x轴、y轴上，B点在第一象限，点4的坐标是0,4)，0C=8 (I)直接写出点B、点C的坐标. (②)点P从原点O出发，在边OC上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在 边BA上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设 运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线PQ∥y轴？ 18/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求P、Q两点的坐标 5 ③在整个运动过程中，能否使得四边形BCPQ的面积是长方形OABC面积的8？若能，请直接写出P、Q 两点的坐标；若不能，说明理由. 29.2425七下·吉林四平伊通满族自治县期末)如图，A,B,C三点的坐标分别为 (-4,0）B(2,0) C(0,6) C(0,6)M A B -4,0)0(2,0)右 求三角形MBC的面积S9 ②)过点C作直线平行于”轴，点M为直线上任意一点，试猜想三角形CAB。 的面积 ac0与三角形M1B 的面积.的关系，并证明你的猪想， 3)试在坐标轴上找一点p,使Sc25ac,请直接写出满足条件的点p的坐标. 30.(2425七下·吉林白城通榆县期末)围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史， 围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵.中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，现为全球78个正 式体育项目之一，兼具文化传承与智力竞技双重价值.2008年两种棋类都被列入国家级非物质文化遗产名 录.某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋.根据下表中的素材，探索并完成任 务 如何设计购买方案？ 素材 己知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130 元 19/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 素材 学校购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元. 2 若甲超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折： 素材 方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折.学校购买10副象棋和若干 3 副围棋 问题解决 任务 求每副象棋和围棋的单价 1 任务 求最多能购买多少副围棋？ 2 任务 学校选用哪种方案购买象棋和围棋花费少？ 3 31.(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期末)某校科学小组用弹簧等器材，进行了测量物体质量的实验探索， 刻度尺 实验一：如图，在弹簧下方悬挂钩码，发现弹簧会伸长，记录实验数据如下表： 钩码质量（单位： 80 0 200 400 600 1000 克) 0 弹簧长度（单位： 1 11 12 13 14 15 厘米) 0 20/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 例如：当弹簧下方所挂钩码的质量为200克时，弹簧长度为11厘米， 实验二：在弹簧下方悬挂不同的实验物块，记录实验数据如下表： A物块（单位： B物块（单位： 弹簧长度（单位：厘 次数 个) 个) 米) 第一 4 12 次 第二 13 次 (I)已知每个同类型物块的质量都相同，求出每个A物块和每个B物块的质量分别是多少克； (2)该弹簧的长度伸长到15厘米时就不能继续伸长，实验将不能继续.在某次实验中，弹簧下方悬挂A物 块和B物块共计30个时，符合实验要求，其中A物块不多于22个，那么有多少个B物块？（求出所有情 况) 2,425七下吉林松原前新共部学区期对于实数，我们：定：用行号网表示不大于6的最大 整数， 称[a为a的根整数， 例 .[=3[io]=3 (1)根据规定，计算： [37]: (2)已知x为非负整数，x满足以下方程： []=2 ①若方程 则x的所有取值为_； ②解方程： 8-]-[-6]=2 6)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次，[0]-3→[V]-1, 这时候结果为1.同理对253连续求根整数，至少3次之后结果为1，试求至少需要进行4次连续求根整数 运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数， 33.(2425七下吉林吉林第七中学期末)根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售.同学们了解到该农场在包装草莓 21/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式： 素材 精包装 简包装 二 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决 任务 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少 一 盒？ 任务 现在需要要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完，设 分装成盒精包装，则分装成盒简包装（用含的代数式表示） 任务 在任务二的条件下，每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为05元，若购买包装盒的 成本不能超过15元，请你设计出符合要求的分装方案，并说明理由. 34.(24-25七下·吉林吉林蛟河·期末)综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产， 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 收费标准 计费单位 吉林省内 江浙沪地区 首重 a+2 续重 6 b+4 (表1) 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 目的地：上海 22/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 计量重量：2千克 计量重量：5千克 件数：1 件数：1 总费用：12元 总费用：36元 (表2) 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格十续重×续重运费.首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计 重单位（不足1千克按1千克计算）· 【问题解决】 (I)求a,b的值： (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围. 23/23 专题08 综合探究 5大高频考点概览 考点01 平行线相关探究 考点02 坐标与图形综合探究 考点03方程与不等式探究 ( 考点01 平行线相关探究 ) 1．(24-25七下·吉林吉林蛟河·期末)已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2)； (3)的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题． （1）由平行线的性质，可得，，等量代换，即可证得结论；作，由平行线的性质，可得，，结合已知，等量代换，即可得； （2）延长，交于点，由平行线的性质，可得，，由邻补角，结合已知，等量代换可得，，即可得； （3）由（1）得，由（2）得，结合已知可得，由角平分线的定义可得，，设，，则，，可得，作，由平行线的性质可得，，可得，结合已知，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴． 解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． （3）解：由（2）得， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 2．(24-25七下·吉林吉林第五中学·期末)综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，是直角三角形，，，操作发现： (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，此时发现与又存在新的数量关系，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质． （1）根据平角的定义，平行线的性质进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，平行线的性质以及对顶角相等进行计算即可； （3）根据三角形内角和定理及对顶角的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，过点B作，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即； （3）解：，理由如下： 由三角形内角和定理可得，，而， ∴． 3．(24-25七下·吉林吉林舒兰第十六中学校·期末)某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)两边分别平行的两个角相等或互补 【分析】本题考查了平行线的性质、等量代换等知识点，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到，然后等量代换即可证明； （2）根据两直线平行，内错角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后等量代换即可解答； （3）综合（1）（2）即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， ． （2）如图2，，理由如下： ，， ， ． （3）综合（1）（2）可得，两边分别平行的两个角相等或互补． 4．(24-25七下·吉林桦甸·)如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 5．(24-25七下·吉林白城通榆县·期末)问题情境： 一副三角尺，．将它们如图1摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数．聪明小组的解法如下： 解：过点作，则（依据1）， ，（依据2）． 又，，， ． (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：_____； 依据2：_____． (2)问题迁移：将两个三角尺如图2摆放，使点与点重合，点在上，点在上，与相交于点，请你用题目中所给的方法，尝试着过点作，求的度数． (3)问题深化：将两个三角尺如图2摆放，两个三角尺的直角顶点与重合，若三角尺不动，把三角尺绕点转动一周，在转动过程中，当时，画出图形并直接写出的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． （1）根据平行线的性质解答即可； （2）过点作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）分两种情况：当在上方时；当在下方时，结合平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：过点作，则（两直线平行，内错角相等）， ， （同旁内角互补，两直线平行）． 又， ， ， ． 故答案为：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行； （2）解：如图，过点作， ， ； （3）解：如图①所示，当在上方时， ∵， ∴， ∴； 如图②所示，当在下方时， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 6．(24-25七下·吉林吉林第七中学·期末)已知C为射线上方一点，过点C作的平行线，点O是线段上一点（不与点A，C重合），点D在射线上，连接，满足． (1)如图（1），过点O作的平行线，当时， ①若，则______°，______°，______°； ②若，则______°，______°，______°；（用含的式子表示） (2)点E，F在射线上，连接，，满足． ①如图（2），当，，时，______°，______°； ②如图（3），若，，则______°，______°．（用含有m，，的式子表示） 【答案】(1)①30；60；150；②；；； (2)①45；225；②， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质． （1）①根据平行线的性质进行求解即可； ②先根据角度间的关系求出，然后根据平行线的性质求出从而得出，最后根据平行线的性质求出即可； （2）①先根据垂线的定义求出，得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，得出，最后求出结果即可； ②先求出，，再求出；根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质求出，根据解析（1）的方法求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：此时， ∴； ∵， ∴， ∴， 根据解析（1）可知：此时， ∴； ②∵， ∴， ∵ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 过点O作，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 7．(24-25七下·吉林松原前郭县西部学区·期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，．     (1)填空：与的数量关系：_____；理由是_____； (2)直接写出与的数量关系：_____； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) (3)①图见解析，；②存在，或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中的角度计算，余角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据余角的性质进行解答即可； （2）根据角度之间的关系进行解答即可； （3）①根据题意画出图形，作，利用平行线的性质进行解答即可； ②分别画出图形，利用平行线的性质求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴（同角的余角相等）， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：①如图3，当时，作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②存在， 如图4，当时，， ∴； 如图5，当时，； 如图6，当时，， ∴； 如图7，当时，， ∴．      综上，当时，；当时，；当时，；当时，． 8．(24-25七下·吉林吉林永吉县·期末)已知直线，直线与、分别交于点、，．将一个直角三角板按如图①所示放置，使点、分别在直线、上，，，． (1)若，分别求与的度数； (2)将直角三角板沿向右平移． ①如图②，当点与点重合时，若恰好平分，求的值； ②作的平分线，交直线于点，在整个平移过程中，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)①；②或． 【分析】本题考查利用平行线的性质，角平分线的性质，角度的和差．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据，可得，求出和；根据可得，再根据补角的定义即可求出； （2）①根据题意表示出，再利用平行线的性质表示出和，利用角平分线定义得出，根据平角即可求解；②分情况讨论：当点在直线左侧；当点在直线右侧，根据平行线的性质和角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由图可得： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当点在直线左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当点在直线右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴； 综上，或． 9．(24-25七下·吉林松原前郭县·期末)综合与实践 问题情境： 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图1，已知，直角三角板中，，将其顶点A放在直线上，并使边于点D，与相交于点H． （1）试判断边与直线的位置关系并说明理由； 操作探究： （2）如图2，将图1中三角板的直角顶点B放在平行线之间，两直角边，分别与，相交于点E，F，得到和，试探究与的数量关系并说明理由； 下面是小明不完整的解答过程，请你补充完整． 解：，理由： 过点B作直线，如图4所示． 因为（已知） 所以（______________） 所以，________（______________） 因为________， 所以 深入探究： （3）受小明启发，同学们继续探究下列问题． 在图2中作线段和，使它们分别平分和的顶角，如图3，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行；，两直线平行，同位角相等；；（3） 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据题意得到，即可判定； （2）过点B作直线，根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据角平分线定义及平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵直线于点D， ， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 过点B作直线，如图4所示． 因为（已知） 所以（平行于同一直线的两直线平行） 所以，（两直线平行，同位角相等） 因为， 所以； （3），理由如下： 如图3，过点O作，则， ， ， ， ∵和分别平分， ， ∴， 即． 10．(24-25七下·吉林通化城区四校·期末)请解答下列各题： （1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，． ①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ． ②反射光线与平行，依据是 ． （2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ． 【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）84°；90°； 【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得； （2）根据入射角等于反射角得出∠1=∠4，∠5=∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可． 【详解】解：（1）①由条件可知：∠1=∠3，依据是：两直线平行，同位角相等； ∠2=∠4，依据是：等量代换； ②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行； 故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行． （2）如图， ∵∠1=42°， ∴∠4=∠1=42°， ∴∠6=180°42°42°=96°， ∵m∥n， ∴∠2+∠6=180°， ∴∠2=84°， ∴∠5=∠7=， ∴∠3=180°48°42°=90°． 故答案为：84°；90°； 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 11．(24-25七下·吉林白山抚松县·期末)如图，已知直线，且和，分别交于A，B两点，和，分别交于C，D两点，，点P在线段上． (1)若，则________． (2)试找出之间的等量关系，并说明理由． (3)应用（2）中的结论解答下面的问题： 如图，点A在B的北偏东的方向上，在C的北偏西的方向上，求的度数． (4)如果点P在直线上且在A，B两点外侧运动（点P和A，B两点不重合），其他条件不变，试探究之间的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4)见解析 【分析】（1）延长交于点E，利用两直线平行同位角相等与三角形的外角性质即可求解． （2）延长交于点E，利用两直线平行同位角相等与三角形的外角性质即可求解． （3）由（2）可得即可求解． （4）分类讨论，作辅助线，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点E， ∵直线， ∴， ∵， ∴； （2）解：； 理由：如图，延长交于点E， ∵直线， ∴， ∵， ∴； （3）解：由题可知：， 由（2）可知； （4）解：当点P在的延长线上时，如图，延长交于点M， ∵直线， ∴， ∵， ∴； 当点P在的延长线上时，如图，延长交于点N， ∵直线， ∴， ∵， ∴； 【点睛】本题考查了平行线之间的拐点问题，解题关键是正确作辅助线，利用平行线的性质与三角形外角的性质解题，本题涉及到了分类讨论的思想方法． 12．(24-25七下·吉林吉林第九中学·期末)【课本再现】苏科新版七年级数学下册第章平面图形的认识二第页第题如下：如图，，点、分别在、上运动不与点重合，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． 【特殊探究】当时， ______； 【推理论证】随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； 【拓展探究】如图，在图的基础上分别作与的平分线，交于点，则 ______； 【拓展探究】如图，若将图中的“”拓展为一般情况，即，点是射线反向延长线上的一个动点，连接，与的平分线相交于点，延长交直线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】特殊探究：；推理论证：；拓展探究：；拓展探究：，详见解析 【分析】特殊探究：由三角形的外角性质得，再由角平分线定义得，，然后由三角形的外角性质即可得出结论； 推理论证：由三角形的外角性质得，再由角平分线定义得，，则，然后由三角形的外角性质得，即可得出结论； 拓展探究：由角平分线定义得，，，，则，再由【推理论证】可知，，然后由三角形的外角性质得，即可解决问题； 拓展探究：由角平分线定义得，，再由三角形的外角性质得，进而得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：特殊探究：，， ， 平分，平分， ，， 又， ， 故答案为：； 推理论证：的大小不会变，，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 即的大小不会变，； 拓展探究：如图，设与交于点， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， ， 由推理论证可知，， ， ， ， 故答案为：； 拓展探究：，理由如下： 平分，平分， ，， ，， ， ， ， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线定义、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线定义和三角形的外角性质是解题的关键，属于中考常考题型． 13．(24-25七下·吉林吉林丰满区·期末)综合与实践：如图，，点为平面内任意一点，连接，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：． 证明：过点作， ． ，， ， ． ． ． 【探究二】当点在如图2所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【探究三】当点在如图3所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【探究四】若，请在图4中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明． 【思维拓展】当点在如图5所示位置时，请直接写出，，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【答案】探究二：，见解析；探究三：；探究四：图形见解析；思维拓展： 【分析】本题考查平行线的判定与性质； 探究二：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究三：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究四：根据探究三的结果反方向画图即可； 探究三：过点、分别作作的平行线，根据探究的结果求解即可． 【详解】解：探究二：，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究三: ，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究四: 若，如图点符合条件， 思维拓展: ，证明如下： 过点作，点作，如图， ．， ∵， ， ． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．(24-25七下·吉林四平铁东区·期末)如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求证：； (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______； (3)若、的平分线交于点，且，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，邻补角，找出角度之间的关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可证明结论； （2）过点作，根据平行线的性质，得到，，再结合，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当点在线段左侧时；当点在线段右侧时，根据（1）和（2）所得结论，再结合角平分线的定义分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， ， ， ，， ； （2）解：如图②，过点作， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，当点在线段左侧时， 由（1）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 如图，当点在线段右侧时， 由（2）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 综上可知，或． ( 考点0 2 坐标与图形综合探究 ) 15．(24-25七下·吉林吉林舒兰第十六中学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知，，，、满足．平移线段得到线段，使点与点对应，点与点对应，连接、． (1)求，的值，并直接写出点的坐标； (2)点在射线（不与点，重合）上，连接、． 若的面积是的面积的倍，求点的坐标； 设，，．直接写出，，满足的关系式． 【答案】(1)，，点的坐标为； (2)或； 点在点左侧时，；点在点右侧时，． 【分析】本题主要考查了图形的平移、平行线的性质、平方根的非负性、平方的非负性，解决本题的关键是根据平移的性质确定点的坐标，根据平行线的性质找到角之间的关系． （1）根据平方根的非负性、平方的非负性，求出、的值，再根据点、的坐标之间的关系判断平移的方向和距离，再根据平移的方向和距离求出点的坐标； （2）根据点、的坐标可知，利用网格求出点到线段的距离为，利用三角形的面积公式求出的面积为，根据的面积是的面积的倍，可知的面积是，根据三角形的面积公式即可求出，从而可知点的坐标是或；过点作，由平移可知，所以可得：，根据平行线的性质找角之间的关系即可，本题应分点在点左侧和点在点右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 如下图所示， 点的坐标是， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 则点的坐标是； （2）解：由平移可知，直线，且它们之间的距离是， 由网格可知， 的面积是， 的面积是的面积的倍， 的面积是， ， ， ， 点的横坐标是或， 点的坐标是或； 解：当点在点左侧时， 如下图所示，过点作， 由平移可知， ， ，， ， ， ； 当点在点的右侧时， 如下图所示，过点作， 由平移可知， ， ，， ， ， ； 综上所述，点在点左侧时，；点在点右侧时，． 16．(24-25七下·吉林通化辉南县第四中学·期末)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A，B的对应点C，D，连接，，． (1)直接写出点C，D的坐标并求出四边形的面积； (2)如图1，在x轴上是否存在一点F，使得三角形的面积是三角形面积的3倍，若存在，请求出点F的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图2，点P是线段上一个动点，连接，，当点P在线段上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)，，； (2)存在，或； (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，以及点的平移的规律，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）根据点的平移规律可得、的坐标以及四边形的面积； （2）根据三角形的面积是三角形面积的3倍，得．结合图形即可求出点的坐标； （3）延长交轴于点，利用平行线的性质及三角形外角的定义即可求解． 【详解】（1）解： 点，的坐标分别为，， 将点，分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度得，； ∴， ，， 四边形的面积为：； （2）解：存在，∵，， ， 三角形的面积是三角形面积的3倍， ． 点的坐标为， 点的坐标为即，或即； （3）解：延长交轴于点，如图所示： ， ， ， ． 17．(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期末)【教材呈现】下图是人教版七年级下册数学教材第42页的部分内容． 探究： 怎样用两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 如图①，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形． 【问题解决】（1）图①中大正方形的边长为________，小正方形的对角线的长为________． 【拓展应用】如图②，在平面直角坐标系中，已知点； （2）线段AB的长为________，请选用合适的工具，描出点的位置； （3）若点D的纵坐标为1，且，请判断：点D的位置________（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请写出所有点D的坐标________． 【答案】（1），（2），图见解析（3）不唯一；或 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、两点间的距离公式、点的坐标，正确地描出点的位置是解题的关键． （1）依据题意，由算术平方根的定义即可得出答案； （2）根据勾股定理即可得到结论； （3）根据点的坐标即可得到结论． 【详解】（1）∵图中大正方形的面积为， ∴图中大正方形的边长为， ∴小正方形的对角线的长为． 故答案为：． （2）∵点， ∴， ∴线段的长为． 点的位置如图所示， 故答案为：． （3）∵点的纵坐标为， ∴， ∴点的位置不唯一，如图所示． 故答案为：不唯一；或． 18．(24-25七下·吉林吉林吉化第六中学校·期末)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点．将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B，再将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C，连接、． (1)直接写出点B、C的坐标； (2)连接，如图①，求三角形的面积； (3)连接，如图②，点在y轴上，若三角形与三角形的面积相等，求m的值； (4)如图③，过点C作轴于点E，P是射线上的一个动点（点P不与点C、E重合），连接、，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)8 (3)或． (4)或 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律、三角形面积、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据平移的方式求出点的坐标； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）首先求出，，，然后根据三角形与三角形的面积相等得到，然后分情况讨论求解即可； （4）如图所示，过点P作，根据题意分两种情况讨，然后分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）∵将点O先向上平移4个单位长度，得到对应点B， ∴ ∵将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C， ∴； （2）∵， ∴，轴 ∵ ∴三角形的面积； （3）∵，， ∴，， ∵三角形与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴当时，，解得，不符合题意，应舍去； ∴当时，，解得，符合题意； ∴当时，，解得，符合题意； 综上所述，或． （4）如图所示，过点P作，当点P在线段上时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当点P在射线上时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 综上所述，、、之间的数量关系为或． 19．(24-25七下·吉林白山第九中学·期末)如图①，在平面直角坐标系中，已知．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，连接，点是射线上一动点 (1)填空：点的坐标是_____，点的坐标是_____ (2)当点P运动到如图①所示的位置时，连接，此时平分，点E是延长线上一点，已知，猜想和的位置关系并写出证明过程； (3)当点在线段上运动时，若，求出点的坐标； (4)点P是射线上一动点（点P不与点C、D重合），连接、，直接写出、与的数量关系， 【答案】(1)； (2)，证明见解析 (3) (4)或 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据坐标平移的特点填空即可； （2）由平移的性质可知，，，得到，再结合角平分线的定义，得出，即可得出结论； （3）根据题意得出，进而根据三角形的面积公式求得，结合题意，即可求解； （4）分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在延长线上时，过点作，根据平行线的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，使点的对应点为点C，点的对应点为点D， 则点C的坐标是，点D的坐标是， 故答案为：；； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可知，，， ， ， 平分， ，即， ， ． （3）解：∵，， ∴， ∴， 又∵在线段上运动，点D的坐标是， ∴， ∴． （4）解：①如图，当点在线段上时，过点作交于点， ， 由平移的性质可知， ， ， ， ； ②如图，当点在延长线上时，过点作， ， 由平移的性质可知， ， ， ， ，即； 综上可知，，与的数量关系为或． 20．(24-25七下·吉林松原前郭县·期末)如图，四边形是长方形，边在x轴上，轴．已知点A坐标为，点C坐标为．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，设点P的运动时间为． (1)点D坐标为______； (2)连接，当直线将长方形的面积分为的两部分时，求x的值； (3)连接，，直接写出三角形的面积为3时，点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的应用； （1）利用矩形的性质求出，，可得结论； （2）分两种情形：如图1，当点在线段上时，如图2，当点在线段上时，分别根据将长方形的面积分为的两部分构建方程求解即可； （3）当点与重合时，的面积为3，此时，当点在上且时，的面积为3，此时． 【详解】（1）解：四边形ABCD是矩形，，， ，， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 如图1，当点P在线段上时， 由题意，， ， ， 如图2，当点P在线段上时， 由题意，， ， ， 综上所述，满足条件的x的值为或； （3）如图3， 当点P与A重合时，的面积为， 此时， 当点在上且时，的面积为， 此时， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 21．(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期末)在平面直角坐标系中，第一象限的点坐标为，且点到轴、轴的距离相等． (1)点的坐标为________； (2)如图1，轴的正半轴上有一点，连接、，点为轴上一动点，动点从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴的正方向运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示（不要求写的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作轴平行线，交轴于点．当点从原点出发1秒时，此时点从点出发，以每秒1个单位长度在直线上运动，当的面积是的面积的2倍时，请直接写出此时的值和点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)秒；或 【分析】（1）根据点到轴、轴的距离相等列方程求解即可； （2）根据 求解即可； （3）根据的面积是的面积的2倍列方程求出t的值，进而可求出点Q的坐标． 【详解】（1）∵点到轴、轴的距离相等， ∴ ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）如图， ∵动点从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴的正方向运动， ∴， ∴ ， 即； （3）如图， 由题意，得， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标平面内点的坐标特征，函数解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． 22．(24-25七下·吉林白山抚松县·期末)如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点P移动的时间为或 (4)点P移动的时间为或 【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为5个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度，且； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为2， ∴或， ∴当时，P点运动路程为8，则点P移动的时间为， 当时，P点运动路程为18，则点P移动的时间为， ∴点P移动的时间为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的动点问题，涉及到了算术平方根和绝对值的非负性、点到坐标轴的距离、三角形的面积公式和行程问题中的数量关系，解题关键是利用数形结合，正确得到动点运动的路程或位置并求解． 23．(24-25七下·吉林白山部分学校·期末)在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据非负数之和求出a，b，从而得出B和C点坐标； （2）分析出点P从A到B需要的时间，再求出B到C需要的时间，从而得出用含t表示的长度； （3）分类讨论当点P在线段上，当P在线段运动时，分别求出t值和P点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵P的速度为每秒2个单位长度， ∴P由A到B需要的时间为：（秒）； A到B需要的时间为（秒）； ∴P由A到B，再由B到C需要的时间为（秒）， 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 则，如图1， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 即，如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题是动点移动问题，考查了非负数的性质，分类讨论思想，方程思想，解题关键是熟练掌握动点移动问题． 24．(24-25七下·吉林吉林蛟河·期末)已知整点（横纵坐标都是整数）P在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋字型跳跃）．例如在图1中，从点A做一次“跳马运动”，可以到点B，也可以到达点C．设P0做一次跳马运动到点P1，做第二次跳马运动到点P2，做第三次跳马运动到点P3，…，如此依次进行． （1）若P0（1，0），则P1可能是下列的点 　 　． D（﹣1，2）；E（﹣2，0）；F（0，2） （2）已知点P0（4，2），P2（1，3），则点P1的所有可能坐标为 　 　； （3）若P0（0，0），则、可能与P0重合的是 　 　． （4）如图2，点P0（1，0）沿x轴正方向向右上方做跳马运动，若P跳到Q1位置，称为做一次“正横跳马”；若P跳到Q2位置，称为做一次“正竖跳马”．当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点Pn（14，11），求a+b的值． 【答案】（1）F（0，2）；（2）P1（2，1）或（3，4）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据跳马运动一次，则有2种情况，一种为横坐标之差的绝对值为1个单位，纵坐标之差的绝对值为2个单位；另一种为横坐标之差的绝对值为2个单位，纵坐标之差的绝对值为1个单位可得答案； （2）分类讨论，根据规律求解可得答案； （3）假设第一次跳马跳到（1，2），第二次跳马跳到（0，0），，寻找规律，由n为偶数时，与重合，据此即可求解； （4）根据题意得出方程组，解方程组可得答案． 【详解】（1）由题意得：与的横坐标之差的绝对值为1个单位，纵坐标之差的绝对值为2个单位或横坐标之差的绝对值为2个单位，纵坐标之差的绝对值为1个单位， ，=2，不满足条件； ，，不满足条件； ，，满足条件； 则P1可能是点F（0，2）； 故答案为：F（0，2）； （2）∵，∴或， ①当即时，， 当，即时，，， ∴满足条件，此时P1（3，4）； 当，即时，，， ∴此时，不满足条件； ②当即时，， 当，即时，，， ∴此时，不满足条件； 当，即时，，， ∴满足条件，此时P1（2，1）； 综上，P1（2，1）或（3，4）； （3）假设第一次跳马跳到（1，2），第二次跳马跳到（0，0）， 第三次跳马跳到（1，2），第四次跳马跳到（0，0）， ， 依此类推，由n为偶数时，与重合， 则、可能与重合的是； 故答案为：； （4）做正横跳马时，横坐标增加2，纵坐标增加1； 做正竖跳马时，横坐标增加1，纵坐标增加2； ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是点的坐标以及二元一次方程组，掌握其规律是解决此题的关键． 25．(24-25七下·吉林吉林第七中学·期末)【课本再现】 人教版七年级下册教材中曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 如图，我们在画方程的图象时，可以取点和作出直线．在画方程的图象时，可以取点和作出直线． 【解决问题】 （1）已知点，，，则在方程的图象上的点是______（填“”“”或“”）； （2）请根据这两个二元一次方程的图象，回答下列问题： ①二元一次方程组的解是______； ②在x轴上是否存在点M，使以A，D，M三点为顶点的三角形的面积为面积的2倍，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； 【拓展延伸】     （3）以关于x，y的方程组的解为坐标的点在方程的图象上． ①______； ②当时，计算：______． 【答案】（1）F；（2）①；②或；（3）①5；② 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，解二元一次方程组，二次根式的性质，数形结合是解题的关键． （1）将x的值代入方程，求出y，即可判定； （2）①根据两条直线的交点即为二元一次方程组的解，即可解答； ②先求出的面积，再根据，求出，即可解答． （3）①根据二元一次方程组，可求出，判断出m的值； ②根据m的值，即可求出t的取值范围，化简即可解答． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， ∴点在方程的图象上． 故答案为：；     （2）①由图象观察，可知两条直线的交点为， ∴二元一次方程组的解是． ②如图，有 ，， ∵， ∴， ∵， ∴M点坐标为或； （3）①解， 得， ∴ 解得：， ②当 时，即 ∴． 故答案为：． 26．(24-25七下·吉林通化城区四校·期末)如图，在平面直角坐标系内，纵坐标为a的点A在y轴上，横坐标为b的点B在x轴上，且，将点A向右平移6个单位长度至点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D． (1)求线段的长； (2)点P从点D出发，以4个单位长度/秒的速度沿射线向左运动，设三角形的面积为，点P运动的时间为秒，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点E为中点，在点P出发的同时，点Q从点E出发，沿线段以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，过点B作的垂线，点G为垂足，过点Q作，点H为垂足，当时，求相应的t值． 【答案】(1)8 (2) (3)或1 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）由题意得，求出a、b的值，进而求解； （2）由题意得：，当时，则，即可求解；当时，同理可解； （3）当时，，，，因为，所以，进而求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴， 根据题意得， ∴； （2）解：由题意得：当时，， 则， 当时，， ∴， 综上， ； （3）解：当时，如图，连接， 则， 则，， 因为， 所以， 即， 解得：； 当时， 连接， 则，， 因为， 所以， 所以， 即， 解得：， 综上，或1． 27．(24-25七下·吉林吉林丰满区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点在以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ， ． (2)①当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ②当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ③当点在线段上时， ．（用含的式子表示） (3)当的面积等于3时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①;②;③ (3)或或 (4)①；②或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中动点问题，涉及线段长度的计算、三角形面积公式以及点到直线距离的相关知识．对于每个小问，根据动点的不同位置，利用相应的几何关系和公式进行求解．关键在于根据动点的运动路径和时间，准确确定线段长度的表达式，并结合面积条件列出方程或不等式求解． （1）根据平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系求解即可； （2）①当点在线段上时，根据路程速度时间求解即可；②当点在线段上时，点P在上的运动时间为，，由即可求解；③当点在线段上时，根据点点P在上的运动时间即可求解； （3）分情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （4）①当时，直接根据三角形面积公式判断即可；②当时，，分情况讨论不同情况下t的取值范围． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， 点到轴的距离；点到轴的距离， 故答案为：； （2）①当点在线段上时， 动点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， ； 故答案为：． ②当点在线段上时， 点P从A到O运动的时间为速度秒， ，， ， ， ； 故答案为：． ③当点P在线段上时， 点P从A到O再到B运动的时间为速度秒， 点P在上的运动时间为， （）； 故答案为：． （3）当点P在线段上时（）， ， ，， ， 解得； 当点P在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； 当点在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； （4）①当时， 根据三角形面积公式（a为底，这里底都为）， ， ； 故答案为：． ②当时， ， 当时，． 当点P在线段上时（），，由，解得， ； 当点P在线段上时（），，由，，，，所以； 当点在线段上时()，，由，，，，所以． 综上，t的取值范围是或． 28．(24-25七下·吉林油田第十二中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在x轴、y轴上，B 点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问 题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求P、Q两点的坐标． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)① ②，  ③能；， 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的面积公式，梯形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点的坐标，再利用矩形的性质求出点的坐标； （2）①利用轴得出建立方程求解即可； ②点到轴的距离为个单位长度，则，即可求解； ③先求出矩形的面积，再表示出四边形的面积，进而建立方程求出时间即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ， ∴； （2）①由题意得，， ∴， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ， ∴当时， 直线轴； ②∵点到轴的距离为个单位长度， ∴， ∴， ∴； ③， ， 由运动知，，， ， ， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ， ， ∴， ． 29．(24-25七下·吉林四平伊通满族自治县·期末)如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)18 (2)，证明见解析 (3)点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了点的坐标和三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键思想． （1）由A、B、C三点的坐标求出线段和线段的长度，然后求的面积； （2）设点，然后求的面积，即可得到结论； （3）分情况讨论，点P在x轴上；点P在y轴上，设点P的坐标，然后求出对应的底和高列出与面积有关的方程求点P． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：猜想：．证明如下： ∵过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点， ∴设点， ∴， ∴； （3）解：如图1，当点P在x轴上时，设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 如图2，当点P在y轴上时，设， 则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 综上所述，使得的点P的坐标为或或或． ( 考点0 3 方程与不等式探究 ) 30．(24-25七下·吉林白城通榆县·期末)围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史，围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，现为全球78个正式体育项目之一，兼具文化传承与智力竞技双重价值．2008年两种棋类都被列入国家级非物质文化遗产名录．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．根据下表中的素材，探索并完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元． 素材2 学校购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元． 素材3 若甲超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折； 方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折．学校购买10副象棋和若干副围棋． 问题解决 任务1 求每副象棋和围棋的单价． 任务2 求最多能购买多少副围棋？ 任务3 学校选用哪种方案购买象棋和围棋花费少？ 【答案】任务一：每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元；任务二：50副；任务三：时，选用方案一购买花费最少；时，选用两种方案购买花费相同；时，选用方案二购买花费最少 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． 任务一：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，根据题意得出，再求解即可； 任务二：设购买副围棋，则购买副象棋，根据题意，得，求解即可； 任务三：设学校购买10副象棋，a副围棋，分别求出方案一和方案二所需的费用，再比较即可． 【详解】解：任务一：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元， 根据题意，得， 解得 答：每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元． 任务二：设购买副围棋，则购买副象棋， 根据题意，得， 解得：， 的最大值是50， 答：最多能买50副围棋 任务三：设学校购买10副象棋，a副围棋， 方案一所需费用为：， 方案二所需费用为：， 当时，， 时，选用方案一购买花费最少； 当时，， ∴时，选用两种方案购买花费相同； 当时，， 时，选用方案二购买花费最少 31．(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期末)某校科学小组用弹簧等器材，进行了测量物体质量的实验探索． 实验一：如图，在弹簧下方悬挂钩码，发现弹簧会伸长，记录实验数据如下表： 钩码质量（单位：克） 0 200 400 600 800 1000 弹簧长度（单位：厘米） 10 11 12 13 14 15 例如：当弹簧下方所挂钩码的质量为200克时，弹簧长度为11厘米． 实验二：在弹簧下方悬挂不同的实验物块，记录实验数据如下表： 次数 A物块（单位：个） B物块（单位：个） 弹簧长度（单位：厘米） 第一次 4 7 12 第二次 8 9 13 (1)已知每个同类型物块的质量都相同，求出每个A物块和每个B物块的质量分别是多少克； (2)该弹簧的长度伸长到15厘米时就不能继续伸长，实验将不能继续．在某次实验中，弹簧下方悬挂A物块和B物块共计30个时，符合实验要求，其中A物块不多于22个，那么有多少个B物块？（求出所有情况）． 【答案】(1)每个A物块的质量为30克，每个B物块的质量是40克； (2)可以有8个B物块或9个B物块或10个B物块． 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设每个A物块的质量为x克，每个B物块的质量是y克,根据弹簧长度为12厘米和13厘米时的质量分别为克和克列出方程组，解方程组即可； （2）设有m个B物块，则有个A物块，A物块不多于22个，总质量不超过克列出不等式组，解不等式组求出整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个A物块的质量为x克，每个B物块的质量是y克,根据题意得， 解得 答：每个A物块的质量为30克，每个B物块的质量是40克； （2）解：设有m个B物块，则有个A物块， 则， 解得， ∵m是正整数， ∴或或， 即可以有8个B物块或9个B物块或10个B物块． 32．(24-25七下·吉林松原前郭县西部学区·期末)对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)根据规定，计算： ； (2)已知x为非负整数，x满足以下方程： ①若方程，则x的所有取值为 ； ②解方程：． (3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．同理对253连续求根整数，至少3次之后结果为1．试求至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数． 【答案】(1)6 (2)①4，5，6，7，8；②7，8，9 (3)256 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义列出关于未知数的不等式是本题解题的关键． （1）根据无理数大小的估算方法求解即可； （2）①根据新定义列出关于x的不等式，求解x的整数值即可； ②先求出x的取值范围，估算出和的取值范围，然后代入方程内验证，求得x的整数值； （3）逆向推理，求出四次连续求根整数运算的数的取值范围，求其最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：6； （2）①∵， ∴， ∴， ∴x可取4，5，6，7，8； 故答案为：4，5，6，7，8； ②∵二次根式有意义且， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴且， ∴，8，9； （3）令，，，，其中，a，b，c，d均为正整数，a，b，c，d均不为1， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∴d的最小值为256，即需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数为256． 33．(24-25七下·吉林吉林第七中学·期末)根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决 任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ 任务二 现在需要要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完，设分装成m盒精包装，则分装成 盒简包装(用含m的代数式表示) 任务三 在任务二的条件下，每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元，若购买包装盒的成本不能超过15元，请你设计出符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】任务一：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒；任务二：； 任务三：分装成3盒精包装，23盒简包装． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的应用，根据等量关系列出二元一次方程组，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． 任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可； 任务二：根据精包装每盒2斤，简包装每盒3斤，列出代数式即可； 任务三：根据购买包装盒的成本不能超过15元列出不等式，求出，再根据m为正整数，为正整数，求出．即可． 【详解】任务一：解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒． 解这个方程组，得 答：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒． 任务二：分装成m盒精包装，则分装成盒简包装； 任务三： 依题意可列出下列不等式： ， 解得：， ∵m为正整数，为正整数， ∴．， 分装方案：分装成3盒精包装，23盒简包装． 34．(24-25七下·吉林吉林蛟河·期末)综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b （表1） 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 （表2） 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1) (2)16元 (3)大于10千克且小于等于11千克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，进行求解即可． （2）根据吉林省内收费标准计算即可． （3）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程，再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知： 解得． （2）∵不足1千克按1千克计算，故千克按4千克计算， 即（元）． 故她需要支付快递费16元． （3）解：设这份特产按千克计费， 则 解得． 所以这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 68 / 75 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $