专题02 实数及其运算（4大考点期末真题汇编，吉林专用）七年级数学下学期人教版

**基本信息** 专题汇编聚焦实数及其运算，覆盖无理数认识、估算、平方根立方根综合、实数运算4大高频考点，整合吉林多校期末真题，基础巩固与能力提升梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12题|无理数识别（如第1题辨析实数类型）、大小比较（如第23题最小实数判断）|基础题为主，直接考查概念辨析| |填空|18题|无理数估算（如第13题正方形边长接近整数）、性质应用（如第29题相反数与非负性结合）|设置开放题（如第14题比√2大的整数）| |解答|16题|平方根立方根综合（如第18题平方根立方根与整数部分计算）、实数运算（如第45题混合运算）|融入跨情境应用（如第17题作差法比较与方案选择），多校期末真题适配复习|

丽学科网 专题02 目目 考点01 无理数的认识 1. 【答案】C 2. 【答案】A 3. 【答案】D 4. 【答案】D 5. 【答案】B 6. 【答案】B 7. 【答案】B 8. 【答案】B 9 【答案】C 10 【答案】B 11. 【答案】B 12. 【答案】B 目目 考点02 无理数的估算 13. 【答案】3 w.zxxk.com 让教与学更高效 实数及其运算 1/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 14. 【答案】3（答案不唯一） 15. 【答案】9 16. 【答案】10 17. 【详解】(1)：16<23<25， .4<23<5, .1<6-V23<2, 那么√23的整数部分是4,6-√23的小数部分是6-√23-1=5-√23， 故答案为：4；5-√23； (2)2-√23-(-3)=5-√23， :√23<5， .5-√23>0， .2-√23>-3， 故答案为：>； (3)设1块A型钢板的面积为m,1块B型钢板的面积为n, 其中m>n>0, 则方案一中钢板的总面积为4m+8n,方案二中钢板的总面积为3m+9n, 那么4m+8n-(3m+9n)=4m+8n-3m-9n=m-n>0, 则从省料的角度考虑，应该选方案二. 目目 考点03 算术平方根及立方根综合 18. 【详解】解：：2a-1的平方根是±1， .2a-1=1,解得：a=1, :3a+b-1的立方根是2， 2/13 列学科网 www.zxxk 3a+b-1=3+b-1=8,解得：b=6, .9<10<16, .√9<10<√16，即3<√10<4， .√10的整数部分为3，即c=3, a+2b+c=1+2×6+3=16,16的算术平方根为4， .a+2b+c的算术平方根为4. 19. 【详解】(1)解：6=V36<V37<√49=7， [37]=6: 故答案为：6； (2)①：[]=2， 2≤V<3, .4≤x<9, .x可取4,5,6,7,8； 故答案为：4,5,6,7,8； ②：二次根式有意义且[8-x]-[V-6]=2, [18-x20 x-6≥0 18-x>x-6 .6≤x<12, .6<18-x≤12,0≤x-6<6, 2<√6<18-x≤12<4,0≤Vx-6<V6<3, :[i8-x=3,「x-6=1, .V18-x≥3,1≤Vx-6<2, .x≤9且7≤x<10, .x=7,8,9; 3/13 com 让教与学更高效 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (3)令[Va=l,[6]=a,[vc]=b,[a]=c,其中，a,b,c,d均为正整数，a,b,c,d均不为1， .1≤a<4,即2≤a≤3， .4≤b<16,即4≤b≤15， .16≤c<225,即16≤c≤50176， ∴.256≤d<501762,即256≤d<501762-1, ∴.d的最小值为256，即需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数为256. 20. 【详解】解：：2a+1的算术平方根是5， 2a+1=25, 解得：a=12. :10+3b的平方根是±4， 10+3b=16, 解得：b=2. c是V19的整数部分，而4<√19<5， .C=4, ·3a-2b+c=36-2×2+4=36, :3a-2b+c的平方根为±6. 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练 掌握这些基本运算是解题关键， 21. 【详解】(1)解：2a+3的平方根是±3， .2a+3=32. .a=3. .c是√6的整数部分， c=2. :3b-2c的立方根是2，， ·.3b-2c=3b-4=23. b=4. a=3,b=4,c=2; 4/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2).a=3,b=4,C=2, .0+6b-c=3+6×4-2=25. .a+6b-c的算术平方根是5. 【点晴】此题考查了平方根、立方根、无理数的估算等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键 22. 【答案】< 23. 【答案】A 24. 【答案】D 25. 【答案】D 26. 【答案】A 27. 【答案】-4 28. 【答案】10 29. 【答案】12 30.(24-25七下·吉林吉林第七中学期末)9的算术平方根是， 【答案】3 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出. 【详解】：32=9， .9算术平方根为3. 故答案为：3. 【点晴】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键 31. 【详解】(1)解：√2x+4y-5+2x-2+y=0,V2x+4y-5≥0,2x-2+y20 5/13 命学科网 www .zxxk.com 2x+4y-5=0① 2x-2+y=0② 由①-②得，3y-3=0, 解得y=1, 将y=1代入①得，2x+4-5=0, 解得x=2 y=1 (2)解：： y=1 .4x+y=4×5+1=3, .4x+y的平方根为±√5 32. 【详解】(1)解：：V2x+4y-5+2x-2+y=0,V2x+4y [2x+4y-5=0 .由题意得： 2x-2+y=0 2y=1: 解得：x (2)解：当x=2y=1时，2x+y=2×2+1=2, 2 :2的平方根是±√2， .2x+y的平方根是±√2 33. 【详解】(1)解：：2x+5≥0 :2子且x为整氨 :满足输入条件的x最小值是-2， 故答案为：-2 (2)解：√2x+5≥4 .2x+5≥16 6/13 让教与学更高效 5≥0,2x-2+y20, 丽学科网 www.zxxk.com 11 .x≥ 2 :x≥ 2’且x为整数： .当x=6时，y有最小值 .√2x+5=√2x6+5=V17 输出y的最小值是√7； 故答案为：√7 √2x+5≥7 (3)解：根据题意得 √2x+5<V5I 2x+5≥49 即 2x+5<51' 解得22≤x<23, 又：x为整数， .x为22 34. 【详解】(1)：2x+7的立方根是3， .2x+7=33=27, 解得：x=10, .25的算术平方根是x-5y, x-5y=V25=5, :x=10, .y=1; (2)x-y=10-1=9,±√5=±3， .x-y的平方根为3 【点晴】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握立 是解决本题的关键. 35. 【详解】（1)解：m=-√2+2=2-√2， 7/13 让教与学更高效 方根、算术平方根、平方根的定义 丽学科网 www.zxxk.com 故答案为：2-√2； (2)解：“m=2-√2， 则m+1=2-√2+1=3-√2>0，m-1=2-√2-1=1-V2<0, m+1+m-1=m+1+1-m=2; 答：m+1+m-1的值为2； (3)解：2c+d与Vd2-16互为相反数， .2c+d+Vd2-16=0, .|2c+d=0,且Va2-16=0, 即2c+d=0且d2-16=0, 解得：c=-2,d=4,或c=2,d=-4, ①当c=-2,d=4时， 所以2c-3d=2×-2)-3×4=-16,无平方根. ②当c=2,d=-4,时， .2c-3d=2×2-3×-4=16, .2c-3d的平方根为±4， 答：2c-3d的平方根为±4. 【点晴】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义， 关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义. 36. 【答案】B 37. 【答案】日-03 38. 【答案】-2 39. 【答案】-4 40. 8/13 让教与学更高效 非负数的性质及平方根的意义，解题的 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：：一只蜗牛从点A沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点B,点表示-√5， m=2-5, 故答案为：2-V3; (2)解：2c+4与√d-4互为相反数， .2c+4+Vd-4=0, 2c+4=0,d-4=0, 解得：c=-2,d=4, .2c+3d=2×-2+3×4=8, 2c+3d的立方根为2. 41. 【详解】(1)解：：+3的立方根是2，b-1的算术平方根为3， .a+3=8,b-1=9, 解得：a=5,b=10, c2=16, ∴C=±4； (2):c<0,则c=-4, :a=5,b=10, 3a-b+c=15-10-4=1, .3a-b+c的平方根是±1. 【点晴】本题考查立方根，算术平方根，平方根.熟练掌握相关概念，是解题的关键。 42. 【详解】(1)解：：a+2的立方根是2， ∴a+2=8, 解得：a=6, .3a+b-1的算术平方根是4， ∴.18+b-1=16, 解得：b=-1, a=6,b=-1; 9/13 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：3a-b-3=3×6-（-1-3=16, ±√3a-b-3=±V16=±4， .3a-b+c的平方根为±4. 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解 题的关键。 43. 【详解】解：由题意可知：ab=1,c十d=0,e=±√2，f=64, “e2=(仕2)2=2，F=64=4. ++e+=+0+2+4=6时. 【点晴】本题主要考查了倒数，相反数，绝对值，算术平方根和立方根，熟知相关知识是解题的关键。 目目 考点04 实数的运算 44. 【答案】4√5 45. 【详解】解：-27+-4)+2-1-2 =-3+4+√2-1-√2 =0 46. 【详解】解：原式=2V5-2+2-2V3+3=3. 47. (2)依次计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减. 【详解】(1)解：（-12+V4--8-(-3 =1+2-（-2-9 =1+2+2-9 =-4; (2)V(-4-64+1-V2 10/13 耐学科网 =√2-1. 48. 【详解】解3-22+(-2+(-27） =8-2W2. 49. 【详解】解：6+(--+8》 50. 【详解】解：原式=2-31 22+1=3-2=1. 51. 【详解】原式=2+(-2)+V3=√5. 52. 【详解】√-3)2--64+V7(7-1) =14-√7. 53. 【详解】解：原式=-2+2-√5+3+√3 =3， 54. 【详解】解：6-V2-2+27-(-1)22 www.zxxk.com =4-4+√2-1 =3-2√2+2+3 =4+1-3-4 =-2 =3-(-4+7-√7 =3+4+7-V万 4-(2-V2)+3-(-) =4-2+V2+3+1 11/13 教与学更高效 学科网 www.zxxk.com =6+√2. 55. 【详解】解：⑧+8-1-2-V2 =2√2+2-√2+1-√2 =3. 56. 【详解】解：原式=-1+4+√2+3-√2 =3+3+V2-√2 =6 57. 【详解】解：8+v4+V-3)2+3-10 =-2+2+3+V10-3 =V10. 58. 【详解】(1)解：由M(a,b)表示这两个数的平均数可知，M(2022,2024)= 由maxa,b)表示这两个数中更大的数可知， max2023,2024=2024: 故答案为：2023；2024； (2)解：由maxa,b)表示这两个数中更大的数，当a≥b时，maxa,b)=a; 及max{-2x+5,-1}=-2x+5, -2x+5≥-1，解得x≤3； 「M(4x+y,y)=max(0,1 (3)解：根据材料中的定义，结合 M(5-2x,1=M(x,x-2y)' M(4x+,y)=4x+y+y=2x+y,max(0,1=1, 2 2x+y=1, 12/13 让教与学更高效 2022+2024 2 =2023； 当a<b时，maxa,b)=b; 学科网 www.zxxk.com M15-2x1=5-2+1=3-x,Mxx-2列=+-2y=x-y, 2 2 3-x=x-y,即2x-y=3, 联立方程组得 2x+y=1 2x-y=3 x=1 解得 y=-1 【点晴】本题考查新定义的相关运算，涉及解不等式及解方程组，读懂题意， 义列出相关方程组或不等式求解是解决问题的关键. 13/13 让教与学更高效 根据题中各问条件，按照定 专题02 实数及其运算 4大高频考点概览 考点01 无理数的认识 考点02 无理数估算 考点03算术平方根及立方根综合 考点04实数运算 ( 考点01 无理数的认识 ) 1．(24-25七下·吉林吉林第五中学·期末)下列实数中，无理数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是理解无理数是无限不循环小数这一本质特征，能够区分无理数与有理数． 根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称；依次分析各选项，判断其是否为无限不循环小数，进而确定无理数． 【详解】解：无理数是指无限不循环小数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称． 选项是负整数，属于有理数． 选项是整数，属于有理数． 选项是无限不循环小数，符合无理数的定义，属于无理数． 选项，是正整数，属于有理数． 故选：C． 2．(24-25七下·吉林吉林吉化第六中学校·期末)有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数：再取算术平方根为， 最后输出，即可求出的值． 【详解】解：的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为， 是无理数， 则输出， 的值是． 故选：A． 3．(24-25七下·吉林白城通榆县·期末)下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：由无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数， 故选：D． 4．(24-25七下·吉林吉林永吉县·期末)下列各数是无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，掌握无理数的概念是解题的关键．根据无理数的概念即可求解． 【详解】解：0、、都是有理数，是无理数， 故选：D． 5．(24-25七下·吉林桦甸·)在实数，，，，中，无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是正确理解无理数的几种形式． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 共个无理数， 故选：． 6．(24-25七下·吉林吉林舒兰第十六中学校·期末)下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C．3.14 D．0.010010001 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数，即可作答． 【详解】解：A、是分数，是有理数，不是无理数，故该选项是错误的； B、是无限不循环小数，是无理数，故该选项是正确的； C、3.14是有限小数，不是无理数，故该选项是错误的； D、0.010010001是有限小数，不是无理数，故该选项是错误的； 故选：B 7．(24-25七下·吉林吉林第九中学·期末)下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 8．(24-25七下·吉林通化城区四校·期末)在，，0，四个实数中，是无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：，，是有理数； 是无理数． 故选B． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 9．(24-25七下·吉林松原前郭县·期末)下列实数，，，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据无理数的三种形式求解． 【详解】解：=3， ∴无理数为：3π，，，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 10．(24-25七下·吉林四平伊通满族自治县·期末)在﹣1，π，，﹣中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：π，是无理数，共2个， 故选B． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 11．(24-25七下·吉林通化辉南县第四中学·期末)在实数，，，，3.14，无理数有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】无理数是指无限不循环小数，其中包含开方开不尽的二次根式、还有π的式子等等，根据定义即可得出答案． 【详解】解：根据定义可得：和是无理数， 故选B． 【点睛】本题主要考查的是无理数的定义，属于基础题型．理解无理数的定义是解题的关键． 12．(24-25七下·吉林四平铁西区·期末)大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的面积，无理数的大小比较，计算即可． 【详解】设大正方形的边长为a，中正方形的边长为b，小正方形的边长为c， 根据题意，得， 故， ∵ ∴中正方形的可能值为， 故选B． ( 考点0 2 无理数的估算 ) 13．(24-25七下·吉林吉林舒兰第十六中学校·期末)已知一个正方形的面积为8，那么与它的边长最接近的整数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和无理数的估算．根据正方形的面积公式求出边长为，再估算的范围即可． 【详解】解：设这个正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， ∵ ∴ ∴最接近的整数是， 即一个正方形的面积为8，那么与它的边长最接近的整数是， 故答案为：． 14．(24-25七下·吉林四平铁东区·期末)写出一个比大的整数______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较、算术平方根，熟练掌握无理数的估算是解题关键．根据可得，再计算算术平方根可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 15．(24-25七下·吉林桦甸·)已知a，b是两个连续的整数，且，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了估计无理数的大小，掌握比较无理数的方法是解决问题的关键． 根据a，b是两个连续的整数，且，即可求得a，b的值，再代入代数式求解即可． 【详解】解：∵，a，b是两个连续的整数， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：9． 16．(24-25七下·吉林白山抚松县·期末)已知 a、b是两个连续的整数，且a＜＜b，则 2a＋b ＝________． 【答案】10 【详解】∵a＜＜b， a、b是两个连续的整数, ∴a=3，b=4， ∴2a＋b=10. 故答案为10. 17．(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期末)阅读下面的材料，并完成相应的任务． 【概念理解】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即： 例如：比较与2的大小． 又则 ，． 【完成任务】请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是________，的小数部分是________． （2）比较大小：________； 【迁移应用】（3）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】（1）；；（2）；（3）方案二 【分析】本题考查了无理数的整数部分、小数部分求解以及作差法比较大小的应用，解题的关键是熟练运用作差法和无理数的估算方法． （1）先通过无理数的范围确定的整数部分，再根据整数部分求的小数部分； （2）用作差法比较与的大小，计算差值并判断正负； （3）设1块型钢板的面积为，1块型钢板的面积为，其中， 分别表示出两种方案的用料面积，再用作差法比较大小，判断哪种方案省料． 【详解】（1）∵， ， ， 那么的整数部分是，的小数部分是， 故答案为：；； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3）设1块型钢板的面积为，1块型钢板的面积为， 其中， 则方案一中钢板的总面积为，方案二中钢板的总面积为， 那么， 则从省料的角度考虑，应该选方案二． ( 考点0 3 算术平方根及立方根综合 ) 18．(24-25七下·吉林吉林吉化第六中学校·期末)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】本题主要考查了已知一个数的平方根，立方根，求这个数，无理数的估算，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，以及用夹逼法估算无理数的步骤． 根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再根据无理数的估算，求出c的值，将a、b、c的值代入计算，最后求出其算术平方根即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是2， ∴，解得：， ∵， ∴，即， ∴的整数部分为3，即， ∴，16的算术平方根为4， ∴的算术平方根为4． 19．(24-25七下·吉林松原前郭县西部学区·期末)对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)根据规定，计算： ； (2)已知x为非负整数，x满足以下方程： ①若方程，则x的所有取值为 ； ②解方程：． (3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．同理对253连续求根整数，至少3次之后结果为1．试求至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数． 【答案】(1)6 (2)①4，5，6，7，8；②7，8，9 (3)256 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义列出关于未知数的不等式是本题解题的关键． （1）根据无理数大小的估算方法求解即可； （2）①根据新定义列出关于x的不等式，求解x的整数值即可； ②先求出x的取值范围，估算出和的取值范围，然后代入方程内验证，求得x的整数值； （3）逆向推理，求出四次连续求根整数运算的数的取值范围，求其最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：6； （2）①∵， ∴， ∴， ∴x可取4，5，6，7，8； 故答案为：4，5，6，7，8； ②∵二次根式有意义且， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴且， ∴，8，9； （3）令，，，，其中，a，b，c，d均为正整数，a，b，c，d均不为1， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∴d的最小值为256，即需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数为256． 20．(24-25七下·吉林桦甸·)已知的算术平方根是的平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 21．(24-25七下·吉林通化城区四校·期末)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的算术平方根是 【分析】（1）根据平方根、无理数的估算、立方根分别求出a、b、c的值即可； （2）先求出的值，求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴． ∴． ∴c是的整数部分， ∴． ∵的立方根是2，， ∴． ∴． ∴； （2）∵， ∴． ∴的算术平方根是5． 【点睛】此题考查了平方根、立方根、无理数的估算等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．(24-25七下·吉林吉林永吉县·期末)比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】对于两个正数，可通过比较平方后结果的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此求解. 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴ . 23．(24-25七下·吉林吉林丰满区·期末)下列实数中最小的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵，约为1.414，是正数；，约为3.1416，是正数， ∴， ∴最小的数是：． 故选：A． 24．(24-25七下·吉林白山部分学校·期末)4的算术平方根是（   ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义；如果一个数x的平方等于，那么数x叫做a的平方根，可以表示为，其中正的平方根叫做a的算术平方根，据此可得答案． 【详解】解：∵算术平方根为非负数，且， ∴4的算术平方根是2， 故选：D． 25．(24-25七下·吉林四平伊通满族自治县·期末)下列各式中，正确的是 (    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根、立方根的定义逐项求解判断即可． 【详解】A、，此选项错误； B、，此选项错误； C、，此选项错误； D、，此选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根、立方根的定义是解答的关键，特别要注意算术平方根与平方根的区别． 26．(24-25七下·吉林通化辉南县第四中学·期末)下列式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A. =−2，正确； B. 原式=−，错误； C. 原式=|−3|=3，错误； D. 原式=6，错误， 故选A 27．(24-25七下·吉林吉林第九中学·期末)若是的算术平方根，是的立方根，则______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，即可得出结果，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∴， ∵是的立方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．(24-25七下·吉林吉林丰满区·期末)用电器的功率、电路中的电流及用电器的电阻满足，当，时，______． 【答案】10 【分析】本题考查平方根的应用，把，代入，再用平方根的定义求解即可． 【详解】把，代入， 得， 整理，得， 解得：（负值舍去） 故答案为：10． 29．(24-25七下·吉林吉林舒兰第十六中学校·期末)若m，n为实数，且与互为相反数，则的值为______． 【答案】12 【分析】根据相反数的定义得出，然后根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性，得出m、n的值，然后代入数据求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， 把代入得：． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，算术平方根的非负性和绝对值的非负性，根据题意得出，是解题的关键． 30．(24-25七下·吉林吉林第七中学·期末)9的算术平方根是_____． 【答案】3 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 31．(24-25七下·吉林白山部分学校·期末)已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，求一个数的平方根，解二元一次方程组等知识点． （1）先根据算术平方根和绝对值的非负性得到方程组，再解二元一次方程组即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ 由①②得，， 解得， 将代入①得，， 解得 ∴； （2）解：∵ ∴， ∴的平方根为． 32．(24-25七下·吉林吉林第五中学·期末)已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是非负数的性质、平方根，熟记绝对值、算术平方根的非负性是解题的关键． （1）根据绝对值、算术平方根的非负性列出二元一次方程组，解方程组求出x、y； （2）把x、y的值代入，根据平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴由题意得：， 解得：； （2）解：当时，， ∵2的平方根是， ∴的平方根是． 33．(24-25七下·吉林吉林第七中学·期末)一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的最小值是______； (2)输出的最小值是______； (3)若，求满足题意的x值． 【答案】(1) (2) (3)22 【分析】本题考查了算术平方根，解一元一次不等式． （1）根据算术平方根的非负性求解即可； （2）根据题意得到求出，得到当时，y有最小值，然后代数求解即可； （3）根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，且x为整数； ∴满足输入条件的最小值是， 故答案为： （2）解： ∴ ∴ ∵，且x为整数； ∴当时，y有最小值 ∴ ∴输出y的最小值是； 故答案为： （3）解：根据题意得， 即， 解得， 又∵x为整数， ∴x为22． 34．(24-25七下·吉林四平铁东区·期末)已知：的立方根是3，25的算术平方根是，求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据立方根的定义求得x的值，再根据算术平方根的定义求得y值； （2）先计算的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵25的算术平方根是， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键． 35．(24-25七下·吉林通化辉南县第四中学·期末)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据互为相反数的和为0列式，再根据非负数的意义求出c、d的值，然后分情况求平方根即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴； 答：的值为2； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 即且， 解得：，，或，， ①当，时， 所以，无平方根． ②当，，时， ∴， ∴的平方根为， 答：的平方根为． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义． 36．(24-25七下·吉林白山第九中学·期末)9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是立方根的意义，根据立方根的意义可得答案. 【详解】解：的立方根是， 故选：B 37．(24-25七下·吉林桦甸·)的立方根是______． 【答案】/ 【分析】本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：的立方根是． 故答案为：． 38．(24-25七下·吉林白山部分学校·期末)的立方根是__________． 【答案】-2 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 39．(24-25七下·吉林白城通榆县·期末)计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 40．(24-25七下·吉林白城通榆县·期末)如下图，一只蜗牛从点沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点，点表示．设点所表示的数为． (1)实数的值为______； (2)若在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数．求的立方根． 【答案】(1)； (2)的立方根为． 【分析】本题考查了数轴表示数，非负数的性质，立方根的意义，解题关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义． （1）根据在数轴上表示的数进行解答即可； （2）根据非负数的意义，以及立方根的意义，进行解答． 【详解】（1）解：∵一只蜗牛从点沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点，点表示， ∴， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴ ， ∴， 解得：， ∴， ∴的立方根为． 41．(24-25七下·吉林松原前郭县·期末)已知的立方根是2，的算术平方根为3， (1)分别求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根，平方根和算术平方根的定义进行求解即可； （2）先求出的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根为， ∴，， 解得：，， ∵， ∴； （2）∵，则， ∵，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查立方根，算术平方根，平方根．熟练掌握相关概念，是解题的关键． 42．(24-25七下·吉林吉林蛟河·期末)已知的立方根是2，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：， ， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 43．(24-25七下·吉林松原前郭县西部学区·期末)已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋的值． 【答案】6.5 【分析】由题意可得：ab＝1，c＋d＝0，e＝±，f＝64，所以e2＝(±)2＝2，＝=4，再将已知数值代入要求的式子即可． 【详解】解：由题意可知：ab＝1，c＋d＝0，e＝±，f＝64， ∴e2＝(±)2＝2，＝=4. ∴ab＋＋e2＋＝＋0＋2＋4＝6． 【点睛】本题主要考查了倒数，相反数，绝对值，算术平方根和立方根，熟知相关知识是解题的关键． ( 考点0 4 实数的运算 ) 44．(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期末)计算： ______． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，先求出算术平方根、化简绝对值、求出立方根，再进行实数的加减混合运算即可，熟练掌握算术平方根、立方根是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 45．(24-25七下·吉林白山部分学校·期末)计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求一个数的立方根，算术平方根以及化简绝对值，正确化简计算每一项是解题的关键． 分别计算立方根，算术平方根，绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： 46．(24-25七下·吉林吉林蛟河·期末)计算：． 【答案】3 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行去括号和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 47．(24-25七下·吉林白山抚松县·期末)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了算术平方根与立方根等知识，解题关键是牢记运算法则． （1）依次计算乘方、算术平方根、立方根、平方运算，再加减； （2）依次计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ． 48．(24-25七下·吉林吉林舒兰第十六中学校·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握实数的性质是解题的关键．先根据实数的性质去绝对值，然后化简即可． 【详解】解： ． 49．(24-25七下·吉林吉林永吉县·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．先根据算术平方根的性质，乘方，立方根的性质化简，再计算即可求解． 【详解】解： 50．(24-25七下·吉林通化辉南县第四中学·期末)计算： 【答案】 【分析】题目主要考查求一个数的算术平方根及立方根，熟练掌握求解方法是解题关键． 先计算算术平方根和立方根，然后计算加减法即可． 【详解】解：原式． 51．(24-25七下·吉林吉林丰满区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算立方根，算术平方根，绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】原式． 52．(24-25七下·吉林吉林吉化第六中学校·期末)计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算算术平方根和立方根，实数的运算，然后计算加减． 【详解】 ． 53．(24-25七下·吉林四平伊通满族自治县·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根定义、绝对值的性质、算术平方根的定义分别化简，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式     ． 54．(24-25七下·吉林白城通榆县·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算算术平方根、绝对值、立方根和乘方，再去括号计算加减法即可． 【详解】解： ． 55．(24-25七下·吉林通化城区四校·期末)计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别根据算术平方根、立方根和绝对值的意义化简各项后再合并即可． 【详解】解： ． 56．(24-25七下·吉林白山第九中学·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方和绝对值，再算加减． 【详解】解∶原式 57．(24-25七下·吉林桦甸·)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．根据立方根、算术平方根和绝对值的性质化简，再合并即可求解． 【详解】解： ． 58．(24-25七下·吉林白山第九中学·期末)对于两个数，我们定义：①表示这两个数的平均数，例如； ②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；例如：．根据以上材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)已知，求的取值范围； (3)已知 ，求和的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中材料的定义直接求解即可得到答案； （2）根据表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；列出不等式求解即可得到答案； （3）由题中材料的定义直接求解即可得到答案，结合列出二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由表示这两个数的平均数可知，； 由表示这两个数中更大的数可知， ； 故答案为：；； （2）解：由表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；及， ，解得； （3）解：根据材料中的定义，结合， ，, , ,, ,即, 联立方程组得, 解得． 【点睛】本题考查新定义的相关运算，涉及解不等式及解方程组，读懂题意，根据题中各问条件，按照定义列出相关方程组或不等式求解是解决问题的关键． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数及其运算 4大高频考点概览 考点01 无理数的认识 考点02 无理数估算 考点03算术平方根及立方根综合 考点04实数运算 ( 考点01 无理数的认识 ) 1．(24-25七下·吉林吉林第五中学·期末)下列实数中，无理数是（   ） A． B．0 C． D． 2．(24-25七下·吉林吉林吉化第六中学校·期末)有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B．2 C． D． 3．(24-25七下·吉林白城通榆县·期末)下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 4．(24-25七下·吉林吉林永吉县·期末)下列各数是无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 5．(24-25七下·吉林桦甸·)在实数，，，，中，无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 6．(24-25七下·吉林吉林舒兰第十六中学校·期末)下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C．3.14 D．0.010010001 7．(24-25七下·吉林吉林第九中学·期末)下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 8．(24-25七下·吉林通化城区四校·期末)在，，0，四个实数中，是无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 9．(24-25七下·吉林松原前郭县·期末)下列实数，，，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．(24-25七下·吉林四平伊通满族自治县·期末)在﹣1，π，，﹣中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．(24-25七下·吉林通化辉南县第四中学·期末)在实数，，，，3.14，无理数有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．(24-25七下·吉林四平铁西区·期末)大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　） A．1 B． C． D．3 ( 考点02 无理数的估算 ) 13．(24-25七下·吉林吉林舒兰第十六中学校·期末)已知一个正方形的面积为8，那么与它的边长最接近的整数是__________． 14．(24-25七下·吉林四平铁东区·期末)写出一个比大的整数______． 15．(24-25七下·吉林桦甸·)已知a，b是两个连续的整数，且，则______． 16．(24-25七下·吉林白山抚松县·期末)已知 a、b是两个连续的整数，且a＜＜b，则 2a＋b ＝________． 17．(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期末)阅读下面的材料，并完成相应的任务． 【概念理解】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即： 例如：比较与2的大小． 又则 ，． 【完成任务】请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是________，的小数部分是________． （2）比较大小：________； 【迁移应用】（3）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ ( 考点0 3 算术平方根及立方根综合 ) 18．(24-25七下·吉林吉林吉化第六中学校·期末)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 19．(24-25七下·吉林松原前郭县西部学区·期末)对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)根据规定，计算： ； (2)已知x为非负整数，x满足以下方程： ①若方程，则x的所有取值为 ； ②解方程：． (3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．同理对253连续求根整数，至少3次之后结果为1．试求至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中最小的整数． 20．(24-25七下·吉林桦甸·)已知的算术平方根是的平方根是是的整数部分，求的平方根． 21．(24-25七下·吉林通化城区四校·期末)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 22．(24-25七下·吉林吉林永吉县·期末)比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 23．(24-25七下·吉林吉林丰满区·期末)下列实数中最小的是（    ） A． B．0 C． D． 24．(24-25七下·吉林白山部分学校·期末)4的算术平方根是（   ） A． B．3 C．1 D．2 25．(24-25七下·吉林四平伊通满族自治县·期末)下列各式中，正确的是 (    ) A． B． C． D． 26．(24-25七下·吉林通化辉南县第四中学·期末)下列式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 27．(24-25七下·吉林吉林第九中学·期末)若是的算术平方根，是的立方根，则______． 28．(24-25七下·吉林吉林丰满区·期末)用电器的功率、电路中的电流及用电器的电阻满足，当，时，______． 29．(24-25七下·吉林吉林舒兰第十六中学校·期末)若m，n为实数，且与互为相反数，则的值为______． 30．(24-25七下·吉林吉林第七中学·期末)9的算术平方根是_____． 31．(24-25七下·吉林白山部分学校·期末)已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 32．(24-25七下·吉林吉林第五中学·期末)已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 33．(24-25七下·吉林吉林第七中学·期末)一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的最小值是______； (2)输出的最小值是______； (3)若，求满足题意的x值． 34．(24-25七下·吉林四平铁东区·期末)已知：的立方根是3，25的算术平方根是，求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 35．(24-25七下·吉林通化辉南县第四中学·期末)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 36．(24-25七下·吉林白山第九中学·期末)9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 37．(24-25七下·吉林桦甸·)的立方根是______． 38．(24-25七下·吉林白山部分学校·期末)的立方根是__________． 39．(24-25七下·吉林白城通榆县·期末)计算：_______． 40．(24-25七下·吉林白城通榆县·期末)如下图，一只蜗牛从点沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点，点表示．设点所表示的数为． (1)实数的值为______； (2)若在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数．求的立方根． 41．(24-25七下·吉林松原前郭县·期末)已知的立方根是2，的算术平方根为3， (1)分别求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 42．(24-25七下·吉林吉林蛟河·期末)已知的立方根是2，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 43．(24-25七下·吉林松原前郭县西部学区·期末)已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋的值． ( 考点0 4 实数的运算 ) 44．(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期末)计算： ______． 45．(24-25七下·吉林白山部分学校·期末)计算：． 46．(24-25七下·吉林吉林蛟河·期末)计算：． 47．(24-25七下·吉林白山抚松县·期末)计算： (1) (2) 48．(24-25七下·吉林吉林舒兰第十六中学校·期末)计算： 49．(24-25七下·吉林吉林永吉县·期末)计算：． 50．(24-25七下·吉林通化辉南县第四中学·期末)计算： 51．(24-25七下·吉林吉林丰满区·期末)计算：． 52．(24-25七下·吉林吉林吉化第六中学校·期末)计算：． 53．(24-25七下·吉林四平伊通满族自治县·期末)计算：． 54．(24-25七下·吉林白城通榆县·期末)计算：． 55．(24-25七下·吉林通化城区四校·期末)计算：． 56．(24-25七下·吉林白山第九中学·期末)计算： 57．(24-25七下·吉林桦甸·)计算：． 58．(24-25七下·吉林白山第九中学·期末)对于两个数，我们定义：①表示这两个数的平均数，例如； ②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；例如：．根据以上材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)已知，求的取值范围； (3)已知 ，求和的值． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $