2025年广东省中山市第一中学中考模拟（数学）试卷（二）

2024-2025学年广东中山第一中学中考模拟（数学）试卷（二） 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．下列各数中，是负数的是（　　） A．0 B．－2 C．5 D． 2．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A．33.7×106 B．3.37×106 C．3.37×107 D．0.337×107 3．观察下列各组式子： ①，； ②，； ③，． 可猜想得到：（a≥0，b≥0），上述探究过程体现的数学思想方法是（　　） A．从特殊到一般 B．类比 C．转化 D．公理化 4．（3分）如图中几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．如图，P是线段AB所在直线上的一动点，点C，D在AB的两侧，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，连接PC，PD，分别取PC，PD的中点M，N，连接MN．随着点P的运动，线段MN的长（　　） A．随着点P的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为2 D．保持不变，长为 6．一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8，9，10，9，8，7，10，8．这名运动员射击环数的众数与中位数分别是（　　） A．9环与8环 B．8环与8.5环 C．8.5环与9环 D．8环与9环 7．某中学计划在一个长为26m，宽为20m的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的 地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为300m2，设小道的入口宽度为xm，则根据题意可列方程为（　　） A．（26－2x）（20－x）＝300 B．（26－x）（20－2x）＝300 C．（26＋2x）（20＋x）＝300 D．（26＋x）（20＋2x）＝300 8．小张的爷爷每天坚持锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路漫步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y米与时间t分钟之间关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 9．甲，乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑，白，红，转动转盘时，指针指向的颜色即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．转动两次转盘，其中“一定有黑色”的概率是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，则cos∠DAF的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．因式分解：m2－m＝　 　 ． 12．如果两个相似三角形的周长的比是1：2，那么这两个三角形的面积的比是 　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程x2－x－m＋1＝0没有实数根，则m的取值范围为 　 　 ． 14．计算：　 　 ． 15．已知二次函数的图象开口向上，且经过点（0，1），写出一个符合题意的二次函数的表达式 　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分21分） 16．已知方程，小张同学是这样解方程的： 解：第一步（　 　 ）， 第二步（　 　 ）， －1＝－3第三步（　 　 ）， 显然不成立，故原方程无解． 你认为小张同学的解法对吗？如果不对，请指出错误在第几步，并说明理由；如果对，请在对应的括号中填写每一步的运算依据． 17．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，求证：OD∥BE． 18．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2＋x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线DB上有两点E，F，且DF＝BE． （Ⅰ）求证：四边形AFCE是平行四边形； （Ⅱ）若△ABD是等边三角形，且边长为8，BE＝2，求AE． 20．2024年瑞安市非机动车保有量已达50余万辆，其中电动自行车交通违法行为问题日益凸显，佩戴安全头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害．2024年瑞安交警部门在全市范围开展了安全使用电动车专项治理活动．某校学生在吾悦罗阳大道路口对活动前后电动自行车违法行为进行抽样调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动后吾悦路口电动自行车违法行为统计表 类别 人数 A 60 B a C 20 D 50 合计 250 （1）请确认“活动后吾悦路口电动车违法行为统计表”中，B类别对应人数a的值为　 　 ； （2）治理活动前吾悦路口某时段若约有2万人使用电动自行车，请你估计，专项治理活动前该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数； （3）小明发现，专项治理活动前后C类别人数均为20人，因此认定交警部门开展的此次专项活动没有效果．你认为小明分析数据的方法是否合理？为什么？ 21．消防车是消防救援的主要装备，图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D、B、O在同一直线上，DO可烧着点O放转，AB为云梯的液压杆（长度可以变化），点O，A，C在同一水平线上，OC与地面平行，其中BD可伸缩，云梯OD的最大长度为15m，套管OB的长度不变． （1）在某种工作状态下测得，∠BAC＝45°．∠DOC＝37°，OB＝5m，求OA的长． （2）将云梯OD伸长到最大长度15米，当∠DOC从37°上升到53°时，云梯顶端D的铅直高度升高了多少米？ （参考数据：，，，，，） 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）已知：a＝n2＋1，b＝2n，c＝n2－1 （1）当n＝199时，写出a＋b的值 　 　 （用科学记数法表示结果）； （2）当n＝3时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是 　 　 ．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 23．（14分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数：y1＝mx＋b（m＞0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数：的图象交于A（2，yA），B两点（点A在点B的右侧），过AC的中点D作线段AC的垂线交x轴于点E，交y轴于点F，连接AF，AE，BE． （1）如图1，当b＝4，点D的坐标为（1，5）时，求反比例函数的表达式和B点坐标； （2）如图2，当b＝0，连接BF，S△ABF＝5时，求m的值； （3）当m＝2时，若△AFD∽△BED，求b的值． 参考答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B D B A C C A 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）因式分解：m2－m＝　m（m－1）　 ． 【答案】m（m－1）． 【解答】解：m2－m＝m（m－1） 故答案为：m（m－1）． 12．（3分）如果两个相似三角形的周长的比是1：2，那么这两个三角形的面积的比是 　1：4　 ． 【答案】1：4． 【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：2， ∴它们的相似比为1：2， ∴它们的面积比为1：4，故答案为：1：4． 13．（3分）若关于x的一元二次方程x2－x－m＋1＝0没有实数根，则m的取值范围为 　m　 ． 【答案】m． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2－x－m＋1＝0没有实数根， ∴Δ＜0，即（－1）2－4×1×（－m＋1）＜0， 解得，m，故答案为：m． 14．（3分）计算：　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：原式＝1＋2＝3，故答案为：3． 15．（3分）已知二次函数的图象开口向上，且经过点（0，1），写出一个符合题意的二次函数的表达式 　y＝x2＋1（答案不唯一）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c， ∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0， ∵二次函数图象经过点（0，1），∴c＝1， 当a取1，b取0时，二次函数解析式为y＝x2＋1． 故答案为：y＝x2＋1．（答案不唯一） 三．解答题（共3小题，满分14分） 16．（7分）已知方程，小张同学是这样解方程的： 解：第一步（　等式的性质　 ）， 第二步（　分式的运算　 ）， －1＝－3第三步（　分式的化简　 ）， 显然不成立，故原方程无解． 你认为小张同学的解法对吗？如果不对，请指出错误在第几步，并说明理由；如果对，请在对应的括号中填写每一步的运算依据． 【答案】等式的性质；分式的运算；分式的化简． 【解答】解：根据小张解方程的步骤结合等式的性质，分式的运算法则可知： 依据第一步“等式的性质”或“等式左右两边同时加（减）同一个数，等式仍然成立”． 第二步“分式的运算”或“同分母的分式加减：分母不变，分子相加减”． 第三步“分式的化简”或“分子分母同时乘以（除以）一个不为零的数，分式大小不变．” 故答案为：等式的性质；分式的运算；分式的化简． 17．（7分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，求证：OD∥BE． 【答案】见解答． 【解答】证明：连接AE、OE，如图， ∵AM和DE为⊙O的切线，∴DA＝DE， ∵OA＝OE，∴OD垂直平分AE， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°， ∴AE⊥BE，∴OD∥BE． 18．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2＋x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． 【答案】（1），b＝8.1；（2）8.4km． 【解答】解：（1）由题意可得： 抛物线y＝ax2＋x和直线均经过点（9，3.6）， ∴3.6＝81a＋9，，∴，b＝8.1； （2）由①知：，， ∴， ∴最大值． 当时，则， 解得x1＝12，x2＝3， 又∵由题意可得，若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ∴x1＝12不合题意，舍去； ∴当火箭第二级高度y＝2.4km时，代入数据可得：，∴x＝11.4， 11.4－3＝8.4（km）， ∴这两个位置之间的距离8.4km． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线DB上有两点E，F，且DF＝BE． （Ⅰ）求证：四边形AFCE是平行四边形； （Ⅱ）若△ABD是等边三角形，且边长为8，BE＝2，求AE． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵DF＝BE， ∴OD－DF＝OB－BE，即OF＝OE， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD＝8， ∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， 由（1）可知，四边形AFCE是平行四边形， ∴平行四边形AFCE是菱形，∴AE＝AF＝CD＝CE， ∵△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝8， ∴OB＝OD＝4，∴OE＝OB－BE＝4－2＝2， ∵OA4， ∴AE2． 20．（9分）2024年瑞安市非机动车保有量已达50余万辆，其中电动自行车交通违法行为问题日益凸显，佩戴安全头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害．2024年瑞安交警部门在全市范围开展了安全使用电动车专项治理活动．某校学生在吾悦罗阳大道路口对活动前后电动自行车违法行为进行抽样调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动后吾悦路口电动自行车违法行为统计表 类别 人数 A 60 B a C 20 D 50 合计 250 （1）请确认“活动后吾悦路口电动车违法行为统计表”中，B类别对应人数a的值为　120　 ； （2）治理活动前吾悦路口某时段若约有2万人使用电动自行车，请你估计，专项治理活动前该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数； （3）小明发现，专项治理活动前后C类别人数均为20人，因此认定交警部门开展的此次专项活动没有效果．你认为小明分析数据的方法是否合理？为什么？ 【答案】（1）120； （2）0.88万人； （3）小明分析数据的方法不合理，理由见解析． 【解答】解：（1）a＝250－60－20－50＝120； 故答案为：120； （2）20.88（万人）， 答：估计专项治理活动前该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数为0.88万人； （3）小明分析数据的方法不合理，理由如下： 专项治理活动后违法载人的百分比：100%＝8%， 专项治理活动前违法载人的百分比：100%＝4%， 4%＜8%， 因此交警部门开展的宣传活动有效果． 21．（9分）消防车是消防救援的主要装备，图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D、B、O在同一直线上，DO可烧着点O放转，AB为云梯的液压杆（长度可以变化），点O，A，C在同一水平线上，OC与地面平行，其中BD可伸缩，云梯OD的最大长度为15m，套管OB的长度不变． （1）在某种工作状态下测得，∠BAC＝45°．∠DOC＝37°，OB＝5m，求OA的长． （2）将云梯OD伸长到最大长度15米，当∠DOC从37°上升到53°时，云梯顶端D的铅直高度升高了多少米？ （参考数据：，，，，，） 【答案】（1）1m；（2）3m． 【解答】解：（1）如图2中，过点B作BT⊥OC于点T． 在Rt△OBT中，BT＝OB•sin37°＝53（m），OT＝OB•coD37°＝54， ∵∠BAT＝45°， ∴AT＝BT＝3（m）， ∴OA＝OT－AT＝4－3＝1（m）； （2）云梯顶端D的铅直高度升高的长度＝OD•sin53°－OD•sin37°＝151512－9＝3（m）． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）已知：a＝n2＋1，b＝2n，c＝n2－1 （1）当n＝199时，写出a＋b的值 　4×104　 （用科学记数法表示结果）； （2）当n＝3时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是 　24　 ．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）4×104； （2）24； （3）正确，理由见解析． 【解答】解：（1）a＋b＝（n2＋1＋2n）＝（n＋1）2， 当n＝199时， a＋b＝（199＋1）2＝2002＝40000＝4×104； 当答案为：4×104； （2）∵a＝n2＋1，b＝2n，c＝n2－1， 当n＝3时，a＝32＋1＝10，b＝2×3＝6，c＝32－1＝8， ∴b2＋c2＝100＝a2， ∴这个三角形是直角三角形，且a是斜边， ∴这个三角形的面积是， 故答案为：24； （3）嘉淇的发现正确，理由如下： ∵b2＋c2＝（2n）2＋（n2－1）2＝4n2＋（n2）2－2n2＋1＝（n2＋1）2＝a2， ∴b2＋c2＝a2， ∴当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数． 23．（14分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数：y1＝mx＋b（m＞0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数：的图象交于A（2，yA），B两点（点A在点B的右侧），过AC的中点D作线段AC的垂线交x轴于点E，交y轴于点F，连接AF，AE，BE． （1）如图1，当b＝4，点D的坐标为（1，5）时，求反比例函数的表达式和B点坐标； （2）如图2，当b＝0，连接BF，S△ABF＝5时，求m的值； （3）当m＝2时，若△AFD∽△BED，求b的值． 【答案】（1）反比例函数解析式为，B（－6，－2）； （2）或m＝2； （3）b的值为或． 【解答】解：（1）当b＝4时，一次函数解析式为y1＝mx＋4（m＞0）， ∴C（0，4）， ∵点D（1，5）是AC的中点，且A（2，yA）， ∴， 解得yA＝6， ∴A（2，6）， 把点A（2，6）代入反比例函数解析式得，， 解得，k＝12， ∴反比例函数解析式为， 把点A（2，6）代入一次函数解析式y＝mx＋4（m＞0）得，2m＋4＝6， 解得，m＝1， ∴一次函数解析式为y＝x＋4， 联立反比例函数、一次函数解析式得，， 解得，，， ∴B（－6，－2）； （2）当b＝0时，同理，y1＝mx（m＞0），C（0，0）， ∵点D是AC的中点，且A（2，yA）， ∴点D的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点A（2，yA）在一次函数y1＝mx（m＞0）的图象上，在反比例函数的图象上， ∴2m＝yA，， 解得，，k＝2yA， ∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，，， ∴B（－2，－yA）， 如图所示，过点D作DG⊥x轴于点G， ∵EF⊥AB，， ∴∠ODG＝90°－∠EDG＝∠DEG，OG＝1，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线DE的解析式为y3＝k3x＋b3（k3≠0）， ∴， 解得， ∴直线DE的解析式为， 当x＝0时，，即， ∴， ∴， 整理得，， ∴（yA－1）（yA－4）＝0， 解得，yA＝1或yA＝4， ∴2m＝1或2m＝4， 解得，或m＝2； （3）当m＝2时，一次函数解析式为y1＝2x＋b， 把点A（2，yA）代入得，yA＝4＋b， ∴b＝yA－4，则y1＝2x＋yA－4， ∴C（0，yA－4），则点D（1，yA－2），G（1，0）， ∴DG＝yA－2， 把点A（2，yA）代入得，， ∴k＝2yA， ∴反比例函数解析式为， ∴， 解得，，， ∴， 当y1＝0时，，即设一次函数与x轴交点， ∴， 同理，， ∴EG＝2DG＝2×（yA－2）＝2yA－4， ∴OE＝OG＋EG＝1＋2yA－4＝2yA－3，则E（2yA－3，0）， 设直线DE的解析式为y4＝k4x＋b4（k4≠0）， ∴， 解得，， ∴直线DE的解析式为， 当x＝0时，，即， ∵A（2，yA），，D（1，yA－2），E（2yA－3，0），， ∴，，，， ∵△AFD∽△BED， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 当时，， ∴，，如图所示， 当时，， ∴，，如图所示， ∴若△AFD∽△BED，b的值为或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/18 14:17:17；用户：冯老师；邮箱：frhsherry@126.com；学号：6404527 学科网（北京）股份有限公司 $