专题04 解分式方程与实际应用13大题型培优突破（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 聚焦分式方程解法与实际应用，构建"解法-参数-综合-应用"四层递进体系，渗透换元、建模等思想，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|4题|去分母化整式方程，验根关键|从分式方程概念到解法步骤，夯实基础| |参数问题|8题|分类讨论解的情况（有解/无解/整数解）|结合方程解的性质，深化逻辑推理| |特殊与综合|8题|换元法、新定义转化、不等式综合|拓展解题技巧，培养创新意识| |实际应用|18题|工程/经济/行程等问题建模|从数学模型到现实应用，提升应用意识|

专题04 解分式方程与实际应用的培优突破 题型1解分式方程 题型8分式方程与工程问题 题型2根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（重点） 题型9分式方程与经济问题 题型3根据分式方程解的情况求参数（正负/整数解）（重点） 题型10分式方程与方案选择问题 题型4解可化为分式方程的特殊方程（难点） 题型11分式方程与行程问题 题型5不等式与分式方程综合（难点） 题型12分式方程与和差倍分问题 题型6与解分式方程有关的新定义问题（常考点） 题型13分式方程与其它问题 题型7与解分式方程有关的材料阅读类问题（难点） 题型一 解分式方程（共4小题） 1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）解方程： (1) (2)． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： (1)． (2)． 3．（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期中）在解分式方程时，小丁的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步：检验：当时， 第六步：原分式方程的解为 (1)小丁的解法中第_____步是去分母，这一步的目的是_____，依据是_____； (2)判断小丁的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 题型二 根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（共4小题） 5．（2026八年级下·全国·专题练习）若关于的分式方程有解，求的取值范围． 6．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）已知关于的分式方程无解，求的值． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 题型三 根据分式方程解的情况求参数（正负/整数解）（共4小题） 9．（22-23八年级上·北京石景山·期末）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值． 10．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知关于x的分式方程的解为非负数，求正整数m的值． 11．（24-25八年级下·四川巴中·月考）关于x的分式方程的解是负数，求m的取值范围． 12．（24-25八年级下·重庆·期中）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 题型四 解可化为分式方程的特殊方程（共4小题） 13．（22-23八年级下·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘y得， 解得， 经检验：都是方程的解，当时，，解得， 当时，，解得，经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为________________． (2)模仿上述换元法解方程：． 14．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）在八年级数学下册课本第121页的“阅读与思考”中介绍型式子的因式分解．利用这种因式分解的方法解下列方程： ． 15．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 16．（25-26八年级下·全国·期末）慧慧和龙龙在数学活动课上，对方程的解法进行了讨论．请阅读下面的对话． 龙龙：先通分，再计算可以吗？ 慧慧：可以的，我们再仔细观察观察，有没有其他方法？ 龙龙：我知道了！我们可以把看作一个整体，把原来的方程整理为，这样就可以计算得出，所以，这样我们再计算，就可以解得，最后检验． 慧慧：对啊，你可真聪明！ 请你根据对话的内容解分式方程． 题型五 不等式与分式方程综合（共4小题） 17．（25-26九年级下·福建莆田·开学考试）若关于的分式方程的解不小于2，求的取值范围． 18．（25-26八年级下·全国·周测）若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有正整数解，求满足条件的整数的值． 19．（2026八年级下·全国·专题练习）是否存在整数，使关于的分式方程的解大于且小于2？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 题型六 与解分式方程有关的新定义问题（共4小题） 21．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 22．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 23．（20-21八年级下·江苏宿迁·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 24．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 题型七 与解分式方程有关的材料阅读类问题（共4小题） 25．（23-24八年级下·江苏南京·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 阅读材料一： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … 阅读材料二： 在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式． 如：； 再如：． (1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________； (2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________； (3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：． 26．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 27．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）阅读材料1：已知关于的方程的解是或，不妨约定这种方程为“对称方程”．例如“对称方程”的解是或． 阅读材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设，， ∵对于任意、上述等式均成立，∴解得： 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 根据上述材料，回答下列问题： (1)“对称方程”的解是______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为______． (3)解关于的“对称方程”：（为常数且） 28．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，则=______． (2)解分式方程组：． 题型八 分式方程与工程问题（共3小题） 29．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 30．（2023·山东泰安·模拟预测）为了改善部分经济困难家庭的居住条件，某市计划在一定时间内完成万平方米的保障房建设任务．后来市政府调整了计划，不仅保障房建设任务比原计划增加了，而且还要提前年完成建设任务．经测算，要完成新的计划，平均每年需要比原计划多建设万平方米的保障房，那么按新的计划，平均每年应建设多少万平方米的保障房？ 31．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． (1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ (2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． (3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 题型九 分式方程与经济问题（共3小题） 32．（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知1件乙种农机具比1件甲种农机具多0.5万元，用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共30件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具m件，购买的总费用为W万元，求购买这批农机具最少要用多少万元？ 33．（25-26八年级下·山东济南·期中）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 34．（25-26八年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 题型十 分式方程与方案选择问题（共4小题） 35．（25-26八年级上·河南周口·期末）某县要修一条通往市区的快速通道，招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天需付甲队工程款4万元，付乙队工程款3万元．现有三种施工方案： （Ⅰ）由甲队单独完成这项工程，恰好如期完工；（Ⅱ）由乙队单独完成这项工程，比规定工期多12天；（Ⅲ）由甲、乙两队，剩下的由乙队单独做，也正好能如期完工．方案（Ⅲ）中“”部分被损毁了．小聪同学设规定工期为x天．依题意列出方程：． (1)请将方案（Ⅲ）中“”的部分补充出来； (2)三种施工方案中，哪种方案既能如期完工，又能节省工程款？说明你的理由． 36．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）贵州的花江峡谷大桥以米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天； （方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工． (1)设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要 天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示） (2)请你列方程求出这项工程的规定工期． (3)若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由． 37．（24-25七年级下·浙江金华·期末）随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大．某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成．若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成． (1)求甲、乙两个车间参与生产的工人数． (2)根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）甲，乙两个工程队分别接到千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前天． 乙工程队 方案：计划千米按每天施工千米完成，剩下的千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 题型十一 分式方程与行程问题（共4小题） 39．（25-26八年级下·福建泉州·期中）“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 40．（2026·山西吕梁·一模）随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深蓝分别在北京、重庆指定区域上路试点运行．经测试，长安深蓝的最高车速是北汽极狐阿尔法S的，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？ 41．（2022·广西百色·一模）已知甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多．甲车行驶与乙车行驶所用时间相同， (1)求甲、乙两车的速度； (2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢，两车在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间． 42．（25-26八年级上·河北沧州·期末）长河耀星汉，万马聚狮城，沧州大运河第三届新春灯会将于2026年2月7日至3月8日在园博园举行，佳佳和珍珍相约先去沧州运河博物馆参观，再去园博园看灯会，7号下午2点两人同时从家出发，分别骑自行车到博物馆门口汇合，已知佳佳家和珍珍家到博物馆的距离分别为和． (1)若佳佳每分钟比珍珍每分钟多行，结果同时到达，求佳佳和珍珍的速度分别是多少米/分钟? (2)两人参观博物馆后，同时从博物馆出发去园博园东门，若珍珍骑车速度为千米/时，佳佳骑车速度为千米/时；其中，请判断谁先到达园博园，并说明理由． 题型十二 分式方程与和差倍分问题（共3小题） 43．（25-26八年级下·云南昆明·期中）为了美化校园，学校计划购进一批月季和桂花树进行种植，已知桂花树的单价是月季的2倍，用600元购买桂花树的数量比用400元购买月季的数量少10棵，求桂花树和月季的单价． 44．（25-26九年级下·江苏扬州·阶段检测）随着新能源汽车使用的日益普及，某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，本次购买单枪充电桩花费万元，双枪充电桩花费万元，已知双枪充电桩单价是单枪充电桩单价的倍，若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 45．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司分别有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 题型十三 分式方程与其它问题（共5小题） 46．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） (1)若，，则 ． (2) ．（用含，的式子表示） (3)若，的电阻值是的电阻值的2倍，求，的电阻值． 47．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出1只球，则摸到白球的概率的估计值为_____；（精确到） (2)盒子里白球有_____只； (3)若将个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求的值． 48．（25-26九年级上·山东烟台·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 【采购清单】 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m ① 150 长方形木板 ② 390 (1)请直接写出清单中①，②处的内容（用含的代数式表示），并求的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ 49．（25-26八年级上·福建厦门·期末）某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为． ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 50．（25-26八年级上·广东广州·期末）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解分式方程与实际应用的培优突破 题型1解分式方程 题型8分式方程与工程问题 题型2根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（重点） 题型9分式方程与经济问题 题型3根据分式方程解的情况求参数（正负/整数解）（重点） 题型10分式方程与方案选择问题 题型4解可化为分式方程的特殊方程（难点） 题型11分式方程与行程问题 题型5不等式与分式方程综合（难点） 题型12分式方程与和差倍分问题 题型6与解分式方程有关的新定义问题（常考点） 题型13分式方程与其它问题 题型7与解分式方程有关的材料阅读类问题（难点） 题型一 解分式方程（共4小题） 1．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，再进行求解整式方程，最后进行检验即可． 【详解】（1）解： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2)原方程无解 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：当时，， ∴原方程无解； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：当时，， ∴原方程无解． 3．（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【详解】（1）解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期中）在解分式方程时，小丁的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步：检验：当时， 第六步：原分式方程的解为 (1)小丁的解法中第_____步是去分母，这一步的目的是_____，依据是_____； (2)判断小丁的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】(1)一，化分式方程为整式方程，等式的基本性质 (2)不正确，见解析 【分析】（1）根据题意直接进行求解即可； （2）先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：小丁的解法中第一步是去分母，这一步的目的是化分式方程为整式方程，依据是等式的基本性质； （2）解：不正确， ， 去分母，得， 整理，得， 移项并合并，得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程无解． 题型二 根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（共4小题） 5．（2026八年级下·全国·专题练习）若关于的分式方程有解，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解的条件，掌握分式方程有解的条件是整式方程有解且分母不为零是解题的关键． 先去分母解整式方程，得到的表达式，再根据分式方程有解的条件列出不等式，确定的取值范围． 【详解】解：去分母，得， 整理得，即， 当，即时，， 当且时，分式方程有解， 解得： 则的取值范围是且． 6．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 【点睛】分式无解问题重点是根据最简公分母为求解． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题． （1）原方程化为整式方程，然后代入增根求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化简后的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化简后的整式方程无解两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 方程整理，得． ∵是原分式方程的增根， ∴， 解得． （2）解：， 方程整理，得． 因为原分式方程有增根，所以或， 解得或． ∵不可能是整式方程的根， ∴原分式方程的增根为，所以， 解得． （3）解：， 方程整理，得． ①当时，整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解，则或． 由（2），得． 综上所述，或． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 【答案】 【分析】先对原分式方程进行整理，然后通过去分母化为整式方程求解，再根据分式方程增根的定义，即整式方程的解使原分式方程的分母为，求出对应的的值．本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程增根的定义（使分式方程分母为的根）以及分式方程化为整式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：原方程整理，得，即， 方程两边乘，得， 解得． ∵整式方程的解x是分式方程的增根， 或，即或， 或， 解得或（舍）， 时，方程有增根． 题型三 根据分式方程解的情况求参数（正负/整数解）（共4小题） 9．（22-23八年级上·北京石景山·期末）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值． 【答案】1 【分析】把分式方程化为整式方程，再解出整式方程可得，再由原方程的解为正数，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：原方程可化为：， ． 原方程的解为正数， ， ， ， ， ， ， ∴的取值范围为且， 正整数的值为1． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分母为0的情况． 10．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知关于x的分式方程的解为非负数，求正整数m的值． 【答案】正整数m的值为1或2或4或5 【详解】解：方程两边同乘，得，解得 ∵该分式方程的解为非负数， 且， 解得且， ∴符合要求的正整数m的值为1或2或4或5． 11．（24-25八年级下·四川巴中·月考）关于x的分式方程的解是负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解方程及不等式的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为，整理得，再根据题意列得关于m的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：原方程两边同乘得： 则， 整理得， 原方程的解是负数， 且， ， 且， 解得：且． 12．（24-25八年级下·重庆·期中）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 题型四 解可化为分式方程的特殊方程（共4小题） 13．（22-23八年级下·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘y得， 解得， 经检验：都是方程的解，当时，，解得， 当时，，解得，经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为________________． (2)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，则，据此求解即可； （2）先把方程变形为，再用换元法求解即可． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 故答案为： （2）解：∵， ∴原方程为。 设，原方程可化为， 方程两边同时乘以，得， 解得，， 经检验，都是原方程的解， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 【点睛】本题考查了用换元法解可化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是正确使用换元法． 14．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）在八年级数学下册课本第121页的“阅读与思考”中介绍型式子的因式分解．利用这种因式分解的方法解下列方程： ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解分式方程，将原方程变形为，然后将方程左边裂项，化简为，然后解分式方程即可． 【详解】解：原方程化为：， 则：， 即：， 去分母得：， 可化为：， 所以或， 解得：或， 经检验，或都是原方程的解， 所以原方程的解为：或． 15．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2)，， (3)，． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（25-26八年级下·全国·期末）慧慧和龙龙在数学活动课上，对方程的解法进行了讨论．请阅读下面的对话． 龙龙：先通分，再计算可以吗？ 慧慧：可以的，我们再仔细观察观察，有没有其他方法？ 龙龙：我知道了！我们可以把看作一个整体，把原来的方程整理为，这样就可以计算得出，所以，这样我们再计算，就可以解得，最后检验． 慧慧：对啊，你可真聪明！ 请你根据对话的内容解分式方程． 【答案】 【分析】观察到方程中两个分式的分母存在倍数关系，可以设，将原分式方程转化为关于的一元一次方程，先求出的值，再反解，最后进行检验． 【详解】解：设，方程变形为，解得， ，解得． 经检验，时，，． ∴是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程以及分式方程的检验。解题关键是通过换元将复杂的分式方程转化为易于求解的一元一次方程，最后必须对解进行检验，确保分母不为零． 题型五 不等式与分式方程综合（共4小题） 17．（25-26九年级下·福建莆田·开学考试）若关于的分式方程的解不小于2，求的取值范围． 【答案】且 【分析】先解分式方程，得到，根据方程的解不小于2，得到，由分式有意义的条件，得到，即，从而可求解． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得，， ∵方程的解不小于2， 且， 解得且． 18．（25-26八年级下·全国·周测）若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有正整数解，求满足条件的整数的值． 【答案】或2 【分析】本题考查了一元一次不等式组的无解条件，分式方程的解法及正整数解的限制，掌握不等式组无解的条件，分式方程去分母转化为整式方程的方法，解的限制条件是解题的关键． 先根据不等式组无解的条件确定的取值范围，再解分式方程并结合正整数解和分母不为零的条件，筛选出符合条件的整数． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ， 解得． 将分式方程去分母得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得． ∵分式方程有正整数解，且， 为10的正整约数，即或2或5或10， 解得或或2或7． 当时，， 此时分母，故舍去． ∴的整数值为或2或7 ， ∴满足条件的整数的值是或2． 19．（2026八年级下·全国·专题练习）是否存在整数，使关于的分式方程的解大于且小于2？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由． 【答案】存在，的值为或或或 【分析】本题考查了分式方程的解法、解的范围与分母不为零的条件，以及整数解的确定，掌握解分式方程时要检验分母不为零，结合解的范围列不等式求参数范围是解题的关键． 先去分母解分式方程得到的表达式，再根据解的范围和分母不为零的条件列出不等式，求出的取值范围，最后确定整数的值． 【详解】解：存在． 解分式方程，得． 关于的分式方程的解大于且小于， ，且，，， ，且，，， 为整数， 的值为或或或． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解分式方程，掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先通过解不等式组和分式方程确定a的取值范围，再求得符合条件的a的值，最后求得此题的结果． 【详解】解：由题意得， 解①得：， 解②得：， ∴该不等式组的解集为， ∵该不等式组至少有2个整数解， ∴4， ∴解得， 解分式方程得，， ∵分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∴a的取值范围为且， ∵为整数， ∴为奇数， ∴a可取整数为1，3， ∴或， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 题型六 与解分式方程有关的新定义问题（共4小题） 21．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解． 根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是和解方程 ∴解为， 将代入原方程： ， ， ， ． 22．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 23．（20-21八年级下·江苏宿迁·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）根据题意，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【详解】（1）解：∵分式与为“5阶分式”， ∴， ∴， ∴， 即当满足，时，分式与为“5阶分式”； （2）解：∵正数互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2 阶分式”； （3）解：∵分式与互为“1 阶分式”， ， 去分母，得， 则， ， ， ∴， ∵为正数， ， 解得：． 24．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 题型七 与解分式方程有关的材料阅读类问题（共4小题） 25．（23-24八年级下·江苏南京·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 阅读材料一： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … 阅读材料二： 在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式． 如：； 再如：． (1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________； (2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________； (3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了分式方程求解，读懂材料并且灵活运用是解题关键． （1）根据材料一的规律直接得出答案即可； （2）根据材料一的规律可得，结合已知，即可得出结果； （3）根据材料一的规律可得，进一步求出结果即可． 【详解】（1）解：根据上面材料一的规律，可知 x的方程的解是，， 故答案为：，； （2）根据材料二： ， ，即， ，， ， 故答案为：，； （3）， ，即， ，， 解得：． 26．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 27．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）阅读材料1：已知关于的方程的解是或，不妨约定这种方程为“对称方程”．例如“对称方程”的解是或． 阅读材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设，， ∵对于任意、上述等式均成立，∴解得： 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 根据上述材料，回答下列问题： (1)“对称方程”的解是______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为______． (3)解关于的“对称方程”：（为常数且） 【答案】(1)或 (2) (3)或都是原方程的解． 【分析】此题主要考查分式运算的应用，解分式方程． （1）根据“阅读材料1”的方法求解即可； （2）根据“阅读材料2”的方法求解即可； （3）利用换元法，设设，把原方程整理成的形式，再利用“对称方程”的解法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意或， 解得或， 经检验，或都是原方程的解； 故答案为：或； （2）解： 故答案为：； （3）解：设，则， 则原方程化为，即， 整理得，即， ∴， ∴或， ∴或， 解得或， 经检验，或都是原方程的解． 28．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，则=______． (2)解分式方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阅读材料中的解题方法解答即可； （2）根据阅读材料中的解题方法，用“倒数法”把分式方程组进行变形 ，再利用加减消元法解方程组，最后检验即可． 【详解】（1）解：由，知， ， ， ； （2）解：由，知，， ，即， 得：， 得：， 得：，解得， 把代入得，，解得， 经检验，，是原方程组的解， 原分式方程组的解为． 题型八 分式方程与工程问题（共3小题） 29．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 30．（2023·山东泰安·模拟预测）为了改善部分经济困难家庭的居住条件，某市计划在一定时间内完成万平方米的保障房建设任务．后来市政府调整了计划，不仅保障房建设任务比原计划增加了，而且还要提前年完成建设任务．经测算，要完成新的计划，平均每年需要比原计划多建设万平方米的保障房，那么按新的计划，平均每年应建设多少万平方米的保障房？ 【答案】 按新的计划，平均每年应建设万平方米的保障房 【分析】设出原计划平均每年建设的保障房面积，然后可表示出新计划平均每年建设的保障房面积，根据原计划完成时间比新计划完成时间多年的等量关系列出分式方程，求解后得到新计划平均每年建设的保障房面积． 【详解】解：设原计划平均每年建设万平方米保障房，则新计划平均每年建设万平方米保障房， 根据题意得，， 方程两边同乘，得， 展开并整理得， 因式分解得， 解得，（不符合实际题意，舍去）， 经检验，当时，， 是原分式方程的解， 则新计划平均每年建设面积为（万平方米）． 答：按新的计划，平均每年应建设万平方米的保障房． 31．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． (1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ (2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． (3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 【答案】(1)甲队每天修路200米，乙队每天修路160米 (2) (3)两队至少需要合作5天 【分析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用及一元一次不等式的应用； （1）设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，根据题意列分式方程，求解并检验即可； （2）根据题意求解即可； （3）设两队需要合作t天，根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，由题意得 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米）， 答：甲队每天修路200米，乙队每天修路160米； （2）解：由题意得：； （3）解：设两队需要合作t天，由题意得 解得， 答：两队至少需要合作5天． 题型九 分式方程与经济问题（共3小题） 32．（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知1件乙种农机具比1件甲种农机具多0.5万元，用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共30件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具m件，购买的总费用为W万元，求购买这批农机具最少要用多少万元？ 【答案】(1)购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2.5万元 (2)65万元 【分析】（1）设购买1件甲种农机具需要x万元，则购买1件乙种农机具需要万元，根据用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同，列出分式方程，求解并检验即可得出结论； （2）设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件，根据乙的件数不低于甲件数的一半，列出一元一次不等式求出m的取值范围，根据题意得，根据一次函数的性质及m的取值范围求最小值即可． 【详解】（1）解：设购买1件甲种农机具需要x万元，则购买1件乙种农机具需要万元， 由题意列分式方程得，， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意； 则， 答：购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2.5万元； （2）解：设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件， 由题意列一元一次不等式得，， 解得， ， W随着m的增大而减小， 当时，W有最小值，最小值； 答：购买这批农机具最少要用65万元． 33．（25-26八年级下·山东济南·期中）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】(1)购买1件甲种农机具需万元，购买1件乙种农机具需万元 (2)甲种农机具最多能购买件 【分析】（1）设购买1件甲种农机具需x万元，则购买1件乙种农机具需万元，根据“用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同”列出方程，即可解答； （2）设购买甲种农机具件，则购买乙种农机具件，根据“购买的总费用不超过万元”列出不等式，结合是正整数，即可解答． 【详解】（1）解：设购买1件甲种农机具需x万元，则购买1件乙种农机具需万元， 由题意可得，， 解得， 检验，当时，，故是方程的解， ， 答：购买1件甲种农机具需万元，购买1件乙种农机具需万元； （2）解：设购买甲种农机具件，则购买乙种农机具件， 由题意得，， 解得， 是正整数， 最大能取到6， 答：甲种农机具最多能购买件． 34．（25-26八年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该区域投放了20辆型和30辆型电单车 (2)采购这两种电单车总共需要花费元 【分析】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解． （2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解． 【详解】（1）解：设该区域投放了辆型和辆型电单车． 由题意得：， 解得：， 答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车． （2）解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴总花费为（元）． 答：采购这两种电单车总共需要花费元． 题型十 分式方程与方案选择问题（共4小题） 35．（25-26八年级上·河南周口·期末）某县要修一条通往市区的快速通道，招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天需付甲队工程款4万元，付乙队工程款3万元．现有三种施工方案： （Ⅰ）由甲队单独完成这项工程，恰好如期完工；（Ⅱ）由乙队单独完成这项工程，比规定工期多12天；（Ⅲ）由甲、乙两队，剩下的由乙队单独做，也正好能如期完工．方案（Ⅲ）中“”部分被损毁了．小聪同学设规定工期为x天．依题意列出方程：． (1)请将方案（Ⅲ）中“”的部分补充出来； (2)三种施工方案中，哪种方案既能如期完工，又能节省工程款？说明你的理由． 【答案】(1)合作10天 (2)方案（Ⅲ）既能如期完工，又能节省工程款；理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是关键． （1）由已知，规定工期为x天，则乙队单独完成这项工程需要天，甲的工作效率是，乙的工作效率是，所以表示甲乙两队合作10天完成的工作量，即可得到答案； （2）先解分式方程，得，再分别求出三种方案所需的费用即可． 【详解】（1）解：由已知，规定工期为x天，则乙队单独完成这项工程需要天，甲的工作效率是，乙的工作效率是， 所以表示甲乙两队合作10天完成的工作量，表示乙队单独工作天完成的工作量， 所以方案（Ⅲ）中“”的部分应为：合作10天； （2）解：方案（Ⅲ）既能如期完工，又能节省工程款． 理由：解分式方程， 得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以方案（Ⅰ）需要的工程款为：（万元）； 方案（Ⅱ）不能如期完工，舍去； 方案（Ⅲ）需要的工程款为：（万元）（万元）； 所以方案（Ⅲ）既能如期完工，又能节省工程款． 36．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）贵州的花江峡谷大桥以米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天； （方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工． (1)设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要 天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示） (2)请你列方程求出这项工程的规定工期． (3)若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由． 【答案】(1)x， (2)天 (3)选择方案三，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）根据方案一可知甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期即x天， 根据方案二乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天可知乙队单独完成这项工程需要天； （2）根据方案三可知甲队6天完成的工作量+乙队工期时间完成的工作量，列方程求解即可； （3）根据（2）求出甲乙单独完成这项工程需要的时间，分别求出方案一、三求出需要的工程款，进行比较即可． 【详解】（1）解：∵甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工， ∴甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期， ∵设这项工程的规定工期为x天， ∴甲队单独完成这项工程需要x天， ∵乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天，这项工程的规定工期为x天， ∴乙队单独完成这项工程需要天； 故答案为：x，； （2）解：由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， 答：这项工程的规定工期为天； （3）解：∵这项工程的规定工期为天， ∴甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天， ∵这项工程能如期完工， ∴只能选由甲单独完成或甲乙合作完成，即方案一或方案三， （方案一）甲队单独完成这项工程的费用：（万元）， （方案三） 若由甲乙两队合作做6天 ，剩下的工程由乙队单独做费用为：（万元）， ∵， ∴选方案三， 答：为了节省工程款，同时又能如期完成，应选择方案三． 37．（24-25七年级下·浙江金华·期末）随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大．某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成．若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成． (1)求甲、乙两个车间参与生产的工人数． (2)根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由． 【答案】(1)甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人 (2)选方案一更节省 【分析】此题主要考查分式方程与二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解． （1）设甲车间人，乙车间人，根据题意列出二元一次方程组故可求解； （2）设方案二调配到甲车间人，根据题意列出分式方程，故可求解． 【详解】（1）解：设甲车间人，乙车间人，根据题意得 ， 解得， 答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人； （2）解：设方案二调配到甲车间人，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 方案一费用：（元） 方案二费用：（元） ∵． ∴选方案一更节省． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）甲，乙两个工程队分别接到千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前天． 乙工程队 方案：计划千米按每天施工千米完成，剩下的千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【答案】(1)甲工程队完成施工任务需要天； (2)乙工程队应采取方案，理由见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，结合从第三天开始每天都按第一天施工速度的倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前天列出方程求解即可． （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队完成施工任务需要天； （2）解：乙工程队应采取方案，理由如下： 根据题意得： ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴乙工程队应采取方案． 题型十一 分式方程与行程问题（共4小题） 39．（25-26八年级下·福建泉州·期中）“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 40．（2026·山西吕梁·一模）随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深蓝分别在北京、重庆指定区域上路试点运行．经测试，长安深蓝的最高车速是北汽极狐阿尔法S的，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？ 【答案】长安深蓝的最高车速为公里/时． 【分析】设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时，根据“长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟”列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：长安深蓝的最高车速为公里/时． 41．（2022·广西百色·一模）已知甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多．甲车行驶与乙车行驶所用时间相同， (1)求甲、乙两车的速度； (2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢，两车在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间． 【答案】(1)甲的速度为，乙的速度为 (2)共有次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后 【分析】（1） 设乙车速度为未知数，根据时间相等的条件，结合行程问题中时间路程速度的关系，列分式方程求解即可得到甲乙两车的速度； （2）分情况讨论相遇情况，第一次为出发后相向而行的相遇，根据路程和等于总路程求时间；再计算甲车到达B地后返回，转化为追及问题，计算第二次相遇的时间，判断没有第三次相遇，最终得到结果． 【详解】（1）解：设乙车的速度是，则甲车的速度是， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲车的速度是，乙车的速度是； （2）解：设从出发开始经过小时相遇，分情况讨论： 当甲乙第一次迎面相遇时，两人路程和为， 可得 ， 解得 ，符合行驶条件，即第一次相遇在出发后小时， 计算甲车从A到B的总时间为 ，即时甲车到达B地， 此时乙车行驶的路程为，乙车还未到达A地， 甲车返回时速度为 ， 设从出发到第二次相遇的时间为，，以A为原点建立位置关系，甲车的位置为，乙车的位置为，相遇时位置相等， 因此 ， 化简得， 解得， 乙车到达A地的总时间为， 因此符合题意，即第二次相遇在出发后小时 乙到达A地前，甲车已经返回到达A地，之后两车停止运动，没有第三次相遇． 答：共有2次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后． 42．（25-26八年级上·河北沧州·期末）长河耀星汉，万马聚狮城，沧州大运河第三届新春灯会将于2026年2月7日至3月8日在园博园举行，佳佳和珍珍相约先去沧州运河博物馆参观，再去园博园看灯会，7号下午2点两人同时从家出发，分别骑自行车到博物馆门口汇合，已知佳佳家和珍珍家到博物馆的距离分别为和． (1)若佳佳每分钟比珍珍每分钟多行，结果同时到达，求佳佳和珍珍的速度分别是多少米/分钟? (2)两人参观博物馆后，同时从博物馆出发去园博园东门，若珍珍骑车速度为千米/时，佳佳骑车速度为千米/时；其中，请判断谁先到达园博园，并说明理由． 【答案】(1)佳佳的速度是米/分钟，珍珍的速度是米/分钟 (2)珍珍先到达园博园 【分析】（1）本题属于行程问题，利用两人同时到达即行驶时间相等的等量关系建立分式方程求解，需注意单位统一及分式方程的检验． （2）本题通过因式分解化简两人的速度表达式，设路程为正数，计算两人行驶时间的差，结合的条件判断差的正负，从而确定谁的行驶时间更短，进而判断谁先到达． 【详解】（1）解： 将路程单位统一，， ， 设珍珍的速度为米/分钟，则佳佳的速度为米/分钟 根据两人行驶时间相等，列方程 得 解得 ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 则佳佳的速度为米/分钟， 答：佳佳的速度是米/分钟，珍珍的速度是米/分钟． （2）解： 设博物馆到园博园东门的路程为，其中 珍珍的骑车速度为千米/时， 珍珍的行驶时间 ， 佳佳的行驶时间 ， ， 因为，， 所以，， ， 因此，即 ， 答：珍珍先到达园博园． 题型十二 分式方程与和差倍分问题（共3小题） 43．（25-26八年级下·云南昆明·期中）为了美化校园，学校计划购进一批月季和桂花树进行种植，已知桂花树的单价是月季的2倍，用600元购买桂花树的数量比用400元购买月季的数量少10棵，求桂花树和月季的单价． 【答案】月季的单价为10元，桂花树的单价为20元 【分析】设月季的单价为元，则桂花树的单价为元，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设月季的单价为元，则桂花树的单价为元， 由题意得：，解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合题目要求，即． 答：月季的单价为10元，桂花树的单价为20元． 44．（25-26九年级下·江苏扬州·阶段检测）随着新能源汽车使用的日益普及，某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，本次购买单枪充电桩花费万元，双枪充电桩花费万元，已知双枪充电桩单价是单枪充电桩单价的倍，若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 【答案】单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元 【分析】根据题意，假设单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元，列出分式方程求解即可． 【详解】解：假设单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元， 根据题意，得方程， 化简得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元． 45．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司分别有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 【答案】(1)甲公司有人，乙公司有人 (2)有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有x人，则乙公司有人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合且m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人． 由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲公司有人，乙公司有人． （2）（2）设购买A种物资箱，购买B种物资箱， 由题意，得， 整理，得． 又，且为正整数， ∴，． 答：有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资． 题型十三 分式方程与其它问题（共5小题） 46．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） (1)若，，则 ． (2) ．（用含，的式子表示） (3)若，的电阻值是的电阻值的2倍，求，的电阻值． 【答案】(1) (2) (3)的电阻值是，的电阻值是 【分析】（1）根据题干中的公式计算即可得出结果； （2）根据题干中的公式计算即可得出结果； （3）根据题意得，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：若，，则， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解， 即的电阻值是，的电阻值是． 47．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出1只球，则摸到白球的概率的估计值为_____；（精确到） (2)盒子里白球有_____只； (3)若将个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率估计概率的原理，试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，据此求解即可； （2）已知盒子总球数为20只，由（1）得摸到白球的概率为，进而计算白球数即可； （3）加入个白球后，白球总数为，总球数为，由“摸到白球的概率为”列方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据得：当摸球次数时，摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率的估计值为； （2）解：∵盒子中总共有20只球，由（1）得摸到白球的概率为， ∴白球数量为：（只）； （3）解：由题意得，白球总数变为，盒子中总球数变为， ∵“随机摸出1个球是白球的概率为”， ∴ 解得， 经检验，， ∴是原方程的解， ∴的值为． 48．（25-26九年级上·山东烟台·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 【采购清单】 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m ① 150 长方形木板 ② 390 (1)请直接写出清单中①，②处的内容（用含的代数式表示），并求的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ 【答案】(1)；；10 (2)制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完 【分析】本题考查了分式方程和二元一次方程组的应用： （1）根据“数量总价单价”分别表示出正方形木板和长方形木板的数量，再结合两者数量关系列出分式方程求解； （2）先根据第（1）问算出正方形木板块、长方形木板块，再根据两种木箱的用料，列出方程组求解，就能得到各自的制作数量． 【详解】（1）解：①处为：；②处为：； 由题意得：， 解得：， 经检验可知：是原分式方程的解， 的值为10 （2）解：由（1）可知，； 即正方形木板有15块，长方形木板共有30块， 设制作竖式木箱个，横式木箱个， 由题意得：， 解得：， 答：制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完． 49．（25-26八年级上·福建厦门·期末）某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为． ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 【答案】(1)①甲区域污水的排放总量是100万吨②A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨 (2)甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，分式大小的比较，解题的关键是理解题意． （1）①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据污水处理率列出方程求解即可； ②求出两个区域污水排放量和两个厂可提高的污水处理量，然后列方程求解列出方案，选择合适方案即可； （2）设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为，表示出，然后利用作商法比较大小即可． 【详解】（1）解：①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意； （万吨）， ∴甲区域污水的排放总量是100万吨； ②2026年甲区域污水排放总量为（万吨）， 2026年乙区域污水排放总量为（万吨）， 2026年A厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， 2026年B厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， ， 整理得，， ∵，均为整数， ∴；；；， 共四种方案， 为了提升B厂的污水处理能力，可取，且都符合题意， ∴A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨； （2）解：设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为，则扩建后B厂的污水处理率为， ∵污水处理能力不大于， ∴，且， ∴， 根据题意得， ，， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解，并符合题意， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大． 50．（25-26八年级上·广东广州·期末）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 【答案】(1)需要清水 (2)能达到洗衣目标 (3)二 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案． （1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量； （2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比； （3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案． 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗：把，代入得， ； 第二次漂洗：把，代入得， ； ， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标． （3）解：由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $