25.2.4一元二次方程根与系数的关系（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过复习求根公式导入，引导学生观察根的形式特征，从已学的求根公式自然过渡到探究两根和积与系数的关系，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于通过求根公式推导和因式分解法双重验证，培养学生的推理意识和运算能力，设置不解方程求根和积、已知一根求另一根等分层训练，强化模型意识。课堂总结清晰梳理定理公式及应用步骤，助力学生理解数学本质，提升解题技能，也为教师提供结构化的教学方案。

第二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.4 根与系数的关系 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能运用该关系不解方程求出两根之和与两根之积. 通过求根公式推导和因式分解法验证，经历根与系数关系的探究过程，培养学生观察、归纳、推理的能力. 体会数学知识的内在联系，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生的探究兴趣. 新课引入 思考 上节课我们学习了一元二次方程的求根公式，谁能说一说求根公式是什么？它的适用条件是什么？ 对于一元二次方程 ，当 时，方程有两个实数根： 求根公式直接给出了根与系数的关系，那么除了这种形式，两个根的和、积与系数之间有没有更简洁的关系呢？ 这就是本节课我们学习的主题——一元二次方程根与系数的关系 求根公式使用条件 求根公式 3 新知探究 利用求根公式推导根与系数的关系 探究 请同学们仔细观察求根公式中 和 的形式，它们有什么共同特点？ 两个根分别是 “” 和 “” 的形式 其中 ， 分母相同，分子有所差异. 如果我们把这两个根相加、相乘，会得到什么结果？ 4 新知探究 推导过程： ①两根之和 ①两根之积 分子部分的计算可利用 5 知识小结 根与系数的关系 对于一元二次方程 ，当 时，两个根 与系数 有如下关系： 强调：这个关系叫做一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.注意它的适用条件是 ，即方程有两个实数根 6 新知巩固 根与系数的关系 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）； （2）． 【分析】先找出，，，再根据，，代值计算即可. 【详解】（1）∵，，， ∴， ； （2）∵，，， ∴， ． 7 新知探究 利用因式分解法验证根与系数的关系 我们还可以用另一种方法来验证这个关系. 探究 如果一元二次方程 的两个根是 和 ，那么方程的左边可以分解成什么形式？ 由于方程的两个根是 和 ，因此左边可以分解为： 把右边的式子展开，然后比较左右两边的系数，看看能得到什么结论？ 展开 8 新知探究 比较： ， 所以对应项的系数相等，即： 变形后得到： ，与之前的结论一致。 这种方法更具一般性，即使在后续学习中遇到没有实数根的一元二次方程，这个关系仍然成立（此时根为复数）。 9 新知巩固 因式分解法解方程 若将一元二次方程 写成因式分解形式 ，展开后得到 ，根据系数对应关系，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【分析】利用因式分解法的“系数对应关系”解决问题。 【解析】方程 与展开式 对应项系数相等： 一次项系数：，即 ，因此 A 错误，B 正确； 常数项：，即 ，因此 C、D 错误。 10 求根与系数的关系 教材例题 （2）； 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 ， 的和与积： （1）； （3）． ①先将方程化为一元二次方程的一般形式. 再利用根与系数的关系(韦达定理). ③直接代入公式、求两根的和与积. 解：（1） ． 11 求根与系数的关系 教材例题 （2）； 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 ， 的和与积： （1）； （3）． （2） ． （3）方程化为 所以 ． 12 巩固训练1 不解方程求两根之和与两根之积 若，（）是一元二次方程的根，则（　　） A. 7 B. -7 C. 10 D. -10 【分析】利用一元二次方程（）的两根之和等于，即可求出的值． 【详解】∵，（）是一元二次方程的根 ∴． 故选：A． 13 巩固训练1 不解方程求两根之和与两根之积 变式题 1.若一元二次方程 的两个实数根为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 解： , ，代入公式得： ，故选 A。 2.已知、是一元二次方程的两个实数根,则等于( ) A. B. C. D. 解：是一元二次方程的两个实数根 故选:B. 14 巩固训练2 已知方程的一根求另一个根 已知关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则另一个根是（　　） A. B. C. D. 【分析】设方程的另一个为根为 ，则利用根与系数的关系得到 ，然后解一次方程即可． 【详解】设方程的另一个为根为 ， 根据根与系数的关系得到 ， 解得 ， 即方程的另一个根为 ． 故选：D． 15 巩固训练2 已知方程的一根求另一个根 变式题 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（ ） A. B. C. D. 【详解】∵是一元二次方程的一个根， 另一根设为， ∴， 解得：，即． 故选：C． 16 巩固训练3 已知两根求一元二次方程 写出一个以为两根的一元二次方程__________． 【分析】根据根与系数的关系：两根之和＝，两根之积＝，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程． 【详解】∵， ∴方程为： 故答案为：． 17 巩固训练3 已知两根求一元二次方程 变式题 请写出一个根为3，另一个根满足的一元二次方程． 【详解】∵一个根为3，方程另一个根满足 设另一个根为1， ∴，， ∴以3和1为两根的一元二次方程为． 故答案为：． 18 巩固训练3 十字相乘法解简单一元二次方程 变式题 已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 解：∵， ∴， ∴两根分别为和， 即两直角边长为2和3， ∴面积， 故选：D 19 课堂总结 本节课你学到了什么？ 20 感谢聆听! 21 $