专题04 平面内的两条直线7大考点（期末真题汇编，湖南专用）七年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 本试卷汇编湖南多地七年级期末真题，聚焦平面内两条直线的7个核心考点，通过光的折射、平移现象等真实情境设计问题，兼顾基础辨析与动态综合应用，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约25题|位置关系、平移、平行线性质与判定、垂线距离|结合光的折射（考点01）、平移在水槽/三角板中的应用（考点02），基础概念辨析与图形识别| |解答题|约15题|综合应用、角度计算|动态旋转（如三角板旋转求角度）、多结论证明（如平行线性质与判定综合），体现分层设计与核心素养|

专题04 平面内的两条直线 高频考点概览 考点01平面内两条直线的位置关系 考点02平移——图形变换 考点03平行线的性质 考点04 平行线的判定 考点05 垂线与距离 考点06 平行线性质与判定的综合应用 考点07 角度计算综合 考点01 平面内两条直线的位置关系 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列说法正确的有（   ） ①同位角相等：②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，平行线的性质，平行公理，平面内两直线的位置关系，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：同位角不一定相等，故①错误； 对顶角相等，故②正确； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误； 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；故④正确； 故选B． 2．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在同一平面内，如果直线与相交，且直线与平行，则这三条直线中所有交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查相交线，平行线．根据题意画图即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴这三条直线中所有交点的个数为个． 故选：C． 3．（24-25七年级下·湖南·期末）如图，已知直线，则A，B，C三点在同一直线上，理由是________． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】该题主要考查了“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，正确理解题意即可解答； 根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，即可解答； 【详解】解：∵直线，都过点A，且， 又∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴A，B，C三点在同一直线上． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 4．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 5．（24-25七年级下·湖南·期末）如图，与是一对（    ） A．对顶角 B．内错角 C．同旁内角 D．同位角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的鉴别．利用对顶角定义“有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角”判断即可． 【详解】解：如图，与是一对对顶角， 故选：A． 6．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】此题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角对选项进行判断即可求解． 【详解】解：A. 与是同旁内角，说法正确； B. 与是邻补角，原说法错误； C. 与是内错角，原说法错误； D. 与是同旁内角，原说法错误； 故选：A． 7.（24-25七年级下湖南娄底·期末）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了内错角的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断． 【详解】解：由内错角的定义可知：只有选项D中的与是内错角． 故选：D． 8.（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练运用这些定义解决问题是本题的关键．由对顶角、邻补角，角平分线的定义，余角和补角进行依次判断即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 当时，，故①正确； 平分， ， ， 不一定等于， 不一定是的平分线，故②不正确； 平分， ， ，故③正确 ，故④正确 故其中正确的结论为①③④． 故选：C． 9.（24-25七年级下·湖南娄底双峰·期末）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为______． 【答案】64 【分析】本题考查对顶角性质及角的和差运算，解题关键是熟练掌握对顶角的性质． 利用对顶角性质相等得出，再根据角的和差代入计算即可． 【详解】由对顶角相等可知：， ∵， ∴， 故答案为：64． 考点02 平移——图形变换 1.（24-25七年级下·湖南湘西·期末）是字节跳动基于云雀模型开发的人工智能．它能够处理多种自然语言任务，包括文本生成、知识问答、推理计算、阅读理解等，以高效准确的表现为用户提供帮助．平移如图所示的图标，能得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后图形的大小，形状，方向都不变，只是位置发生改变，进行判断即可． 【详解】解：由题意，平移如图所示的图标，能得到的图形是 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖南·期末）现实生活中，下列现象不属于平移的是（   ） A．电梯的升降 B．火车在平直的铁轨上行驶 C．飞机起飞前在跑道上滑行 D．卫星绕地球飞行 【答案】D 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的定义直接判断即可，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键． 【详解】解：、电梯的升降，属于平移，不符合题意； 、火车在平直的铁轨上行驶，属于平移，不符合题意； 、飞机起飞前在跑道上滑行，属于平移，不符合题意； 、卫星绕地球飞行，不属于平移，符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 4.（24-25七年级下·湖南邵阳新邵县·期末）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是：熟知平移的性质与周长的计算．根据平移的性质可得，即可以通过等量代换求出． 【详解】解：由题意得： 根据平移的性质得： ∴四边形的周长为： 故选：B． 5.（24-25七年级下·湖南常德·期末）如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么五边形的周长是__________． 【答案】30 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，，，再由题意可得，由此计算即可得解，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平移的性质可得：，，， ∵的周长是， ∴， ∴五边形的周长是， 故答案为：． 6.（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿着的方向平移到直角三角形DEF的位置．已知，，，，平移的距离为3，则阴影部分的面积为_______． 【答案】15 【分析】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键． 由可得，即可求解． 【详解】解：平移距离为3， ， 由平移得 ， ， ， ． 故答案为：15． 7．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴部分的面积之和为7，则直角三角板的面积为________． 【答案】7 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得到，则，再根据图形之间的关系，结合三块阴影部分的面积之和为7，进行求解即可． 【详解】解；由平移的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：7． 8.（24-25七年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，将周长为的沿向左平移个单位长度得到，连接，，交于点，有下列结论：，；；四边形的周长是；．其中正确结论有________（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移前后对应线段相等且相互平行或在同一直线上，可知，；根据两直线平行同位角相等可证；根据平移的距离可知四边形的周长是；根据平移前后的两个图形是全等图形，可知，从而可证． 【详解】解：根据平移的性质可知，，， ， 故正确； 由可知， ， ， ， 故正确； 的周长是， ， 由知， ， ， 平移的距离为个单位长度， ， ， ， 四边形的周长是， 故正确； 由知， ， ， ， 故正确． 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 考点03 平行线的性质 1．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线c与直线a、b都相交，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质等知识点．先根据对顶角的性质求出的度数，再平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳汨罗·期末）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板的应用，平行线的性质，根据题意得，再根据平行线的性质得，再根据可得答案． 【详解】解：如答图， 由题意，得， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，再由即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，使得点D，C分别落在、的位置上，与的交点为G，，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】此题考查平行线的性质以及折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由平行线的性质得到由折叠可知求出和即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠可知 ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为： 5．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知，将直角三角形如图放置，若，则______． 【答案】/130度 【分析】过作，即可得到，依据平行线的性质，即可得到的度数，进而得出的度数． 本题考查了平行线的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过作， ∵， ∴， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·湖南永州·期末）为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安装了如图1所示的激光灯，图2是光线位于初始位置时的平面示意图，其中、是直线上的两个发射点，已知初始时，，现光线绕点以2度/秒的速度顺时针旋转，同时光线绕点以2.5度/秒的速度逆时针旋转，若旋转秒后与第一次平行，则此时的值为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，解题的关键是根据时，得出．根据当时，，建立等式即可求解． 【详解】解：设旋转时间为秒后，， 由题意得：， ， 解得：， 故答案为：20． 7.（24-25七年级下·湖南湘西·期末）如图所示为羽毛球正手发球的示意图，球拍所在直线与手臂所在直线平行；已知发球时，球拍与水平方向的夹角，则手臂与竖直方向所成的角___________． 【答案】/60度 【分析】本题考查的是平行线的性质，由题意可得：，，可得，结合，进一步可得答案. 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 8．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，光线点为延长线上的一点，若，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等．利用数形结合的思想是解题关键．由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·湖南·期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点C的位置始终不变），当时，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：当点A在点C左侧时，当点A在点C右侧时，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，，； 如图，当点A在点C左侧时， ∵， ∴， ∴； ②如图，当点A在点C右侧时， ∵， ∴， ∴． 综上分析可知：或． 故答案为：或． 10．（24-25七年级下·湖南·期末）如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 11.（24-25七年级下·湖南·期末）（1）【问题情境】如图①，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质可得的度数是__________； （2）【问题迁移】如图②，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下，当点P在线段上时，如图③；当点P在的延长线上时，如图④．请直接写出与，之间的数量关系，无需证明． 【答案】（1）.；（2），理由见解析；（3）点P在线段OB上时，；点P在BD的延长线上时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，理解题意、作出适合的辅助线是解题关键． （1）根据平行线的性质进行计算，即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质得、，即可求解； （3）点P在线段OB上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解；点P在BD的延长线上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ，， ， ， ． （2）如图，过点作， ，，， ， ，， ． （3）点P在线段上时，如图， 过点作， ，，， ， ，， ． 点P在的延长线上时，如图， 过点P作， ，， ， ，， ． 12.（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键． （1）过点作，则，根据平行线的性质可知，，进而可求解； （2）①过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结果； ②过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结论． 【详解】（1）解：过点作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， 即， 故答案为：． （2）①， 理由如下：过点作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， 理由如下：过点作，则， ∴ ∵ ∴ ∴． 考点04 平行线的判定 1.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，点是延长线上一点，在下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C．且平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和角平分线的定义，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定逐一分析即可． 【详解】A. ，根据内错角相等，两直线平行，有，不符合题意； B. ，根据同位角相等，两直线平行，有，不符合题意； C. ∵平分，∴，∵，∴，∴，符合题意； D. ，根据同旁内角互补，两直线平行，有，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线性质，是解此题的关键． 根据平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行同旁内角互补解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖南湘西·期末）如图，若，，则___________． 【答案】/110度 【分析】先依据，利用平行线的判定定理得出直线，再根据平行线的性质以及对顶角相等求出的度数．本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握同旁内角互补，两直线平行以及两直线平行，同位角相等、同旁内角互补等性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ，，   ∴ （ 故答案为： ． 4．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，在中，平分交于点D，，则______度． 【答案】60 【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定与性质，先求出，再证明，根据平行线的性质求出结论即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， 故答案为：60． 5．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，点M、N、T和点P、Q、R分别在同一直线上，且，．求证：． 请把下列证明过程补充完整： 证明：∵， 又∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∴________∥_______（________）． ∴（______）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴_______//______（______）． ∴（_____）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据“同位角相等，两直线平行”判断出，得到，再根据“内错角相等，两直线平行”判断出，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】证明：∵， 又∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∴(同位角相等，两直线平行)． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴(内错角相等，两直线平行)． ∴（两直线平行，内错角相等）． 6.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）填空，请将证明过程补充完整． 如图，已知，，，求． 解：因为（已知）， 所以（______）． 又因为（已知）， 所以（______）， 所以______（内错角相等，两直线平行）， 所以（______）． 因为（已知）， 所以（等式的性质）． 【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质．由得到，又由得，证得，得到，由得到答案． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为（已知）， 所以（等式的性质）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补． 7．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图，为射线上一点，为射线上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及判定进行证明即可； （2）由得到，结合，得到，再由即可得到． 【详解】（1）证明：∵， （2）解：∵， ， ∴，， ∵， ． 8．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，已知，，点E，G分别在，上，连结，，延长和交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行线的性质，可知同位角，代换可得，利用内错角相等两直线平行即可证明； （2）根据平行线的性质可知，，再利用平角定义求解即可． 【详解】（1）解：证明：，理由如下： ， ， ， ， ； （2），， ，， ， ， ， ． 9．（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，，分别平分和． (1)求证：． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，，从而得出，根据平行线的判定得出结论即可； （2）根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵分别平分和（已知）， ∴，， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）解：∵（已知） ∴（角平分线的性质） 又∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 10．（24-25七年级下·湖南·期末）如图，在四边形中，，，点分别在上，． (1)判断与的大小关系，并说明理由． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键． （1）由得到，由，得到，从而，进而即可解答； （2）由求得，根据平分得到，从而，进而即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）如图，已知，与互补，且与互余． (1)试问：吗？请说明理由； (2)请判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1），得到，推出与互补，即可得出结论； （2）设与交于点P，互余关系，平行的性质，得到，进而得到，，得到，即可； （3）平角的定义求出，角平分线的定义求出，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与互补，     ∴与互补 ∴． （2）设与交于点P． ∵与互余     ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴． 12（24-25七年级下·湖南·期末）如图，已知，．    (1)证明：； (2)若， ①，求的度数； ②求证： 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，证明是关键． （1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证； （2）①先根据角的和差可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．②证明，由，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）①解：，， ， 由（1）已证：， ， ． ②∵， ∴， ∴， ∵． ∵． ∴ 13.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知和相交于点． (1)如图（1），试说明的理由； (2)如图（2），点P是线段上一点，连结．试说明式子成立的理由； (3)如图（3）若点M是射线上一点，作直线于点与的平分线相交于点N，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余以及三角形的外角性质，熟记上述的性质是解题的关键． （1）根据对顶角相等以及题目给出的条件可得，再根据平行线的判定方法可得； （2）过点P 作，可知，再根据两直线平行，内错角相等证明即可； （3）分类讨论:①当点在点、之间时②当点在点、之外时,过点 N 作，则,再根据平行的性质以及角平分线的性质等解答即可． 【详解】（1）（1）证明：∵，，， ， ； （2）过点P 作， , 则, , ; （3）解：①当点在点、之间时， 如图 所示，过点 N 作， ， 则， ， 又直线 且、分别是与的平分线， ， ; ②当点在点、之外时，如图所示， 同理可求得。 综上所述，为或． 考点05 垂线与距离 1．（24-25七年级下·湖南·期末）如图，，，所以与重合，推理的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点只能作一条直线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了直线外一点到直线的垂线，掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可求解． 【详解】解：，，则与重合，推理的理由在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C ． 2.（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）下列叙述中，正确的是（    ） A．内错角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．旋转不改变图形的形状和大小 【答案】D 【分析】本题考查几何基本概念，包括内错角、平行公理、垂直直线的性质以及旋转的性质，根据内错角、平行公理、垂直直线的性质以及旋转的性质逐一分析各选项的正确性． 【详解】选项A：内错角相等的前提是两直线平行，若两直线不平行，则内错角不相等．因此A错误． 选项B：平行公理指出“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．若点在直线上，则无法作平行线，而题目未明确“一点”在直线外，故B的表述不严谨，错误． 选项C：在平面几何中，垂直于同一直线的两条直线平行需满足“同一平面内”的条件．选项未说明此条件，若在空间中结论不成立，因此C错误． 选项D：旋转是图形的全等变换，仅改变位置，不改变形状和大小．D正确． 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）下列说法错误的是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有两条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，垂线的性质，垂线段最短，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据平行线的判定，垂线的性质，垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、内错角相等，两直线平行，说法正确，故本选项不符合题意； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，说法正确，故本选项不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，故本选项符合题意； D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·湖南·期末）过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键．根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 只有B选项符合题意， 故选：B ． 5.（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角相等，由垂线的定义得到，则可求出的度数，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6.（24-25七年级下·湖南·期末）如图，直线，直线c与直线a，b分别交于点P，Q，于点P，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质：“两直线平行，内错角相等”可得，再根据垂直的定义可得，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7．（24-25七年级下·湖南·期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 8．（24-25七年级下·湖南·期末）有甲，乙，丙，丁四位同学准备从斑马线上的点处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是乙，理由是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】此题考查了垂线段的性质．直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短．据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，最先通过马路的是乙同学，原因是垂线段最短， 故选：A． 9.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键，根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 【详解】解：过点C作于点，    ∵，， ∴，即， ∴， ∵D为边上一动点，， ∴的最小值为的长4， ∴正方形的面积的最小值为 故选：． 10.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上存在点P，记的长度为d，则d的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键． 根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵点A到直线的距离为3， ∴d的最小值为3， ∴d的值不可能是2，故A选项符合题意； 当时，射线上存在满足条件的两个点P，故B，C选项不符合题意； 当时，射线上存在满足条件的一个点P，故D选项不符合题意； 故选：A． 11.（24-25七年级下·湖南·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（     ） A．线段的长是点C到直线的距离 B．线段的长是点到直线 的距离 C．、、 三条线段中，PB 最短 D．线段的长是点P到直线a的距离 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解题的关键． 根据点到直线的距离判断A、B、D选项；根据垂线段最短判断C选项． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故选项A正确，不合题意； B、应是线段的长是点到直线 的距离，而不是，故选项B不正确，符合题意； C、、、 三条线段中，垂线段最短，即最短，选项C正确，不合题意； D、线段的长是点P到直线a的距离，选项D正确，不合题意； 故选：B． 12．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，在中，，直线是的对称轴，点到点的距离为，点到直线的距离是，的周长为，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，由轴对称的性质可得，结合的周长，据此即可求解． 【详解】解：∵直线是的对称轴， ， ∵，的周长， ∴， 则点到直线的距离是， 故选：C． 13.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）下列说法正确的有（   ） ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②两条平行线的所有公垂线段都相等 ③由，可得 ④正方形是轴对称图形，且有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角，平行线间的距离，不等式的性质，轴对称图形．根据对顶角，平行线间的距离，不等式的性质，轴对称图形，逐一分析进行判断，即可． 【详解】解：①错误：对顶角需满足两边互为反向延长线，仅公共顶点且相等不充分．例如，同一顶点的相等角可能为同位角而非对顶角． ②正确：平行线间距离处处相等，所有公垂线段长度均相等． ③错误：由无法确定．若，如，，则成立，但，故不等式不恒成立． ④正确：正方形对称轴包括两条对角线和两条对边中点连线，共4条． 故选：B． 14.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知，，，则与间的距离是________． 【答案】5 【分析】本题主要考查两平行线间的距离，理解两平行线间的距离的概念是解题的关键． 与间的距离就是的长度，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意得：与间的距离就是的长度， ∵，， ∴与间的距离是5， 故答案为：5． 15.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）在同一平面内，已知直线，若直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，则直线与直线之间的距离为_______． 【答案】7或3 【分析】本题考查了平行线间的距离，分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：如图，直线在直线与直线外时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 如图，直线在直线与直线之间时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 综上所述，与之间的距离为或， 故答案为：7或3． 16.（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（   ） A．的大小 B．线段的长度 C．的周长 D．的面积 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，得到随着点P的移动，点到的距离不变，即可得出的面积不变，判断即可． 【详解】解：∵直线，点P在直线m上移动， ∴点与直线的距离保持不变， ∵A，B是直线n上的两个定点， ∴点到的距离不变， ∴的面积不变，故D正确； 的大小，线段的长度，的周长都随着点的移动而变化； 故选D． 17.（23-24七年级下·湖南·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义以及角的和差倍分计算，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）先根据角平分线的定义算出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案； （2）现在根据角度的比例设出未知数，再根据角平分线的定义和垂直的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴可设 ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的度数为． 18.（23-24七年级下·湖南·期末）如图，直线和交于点，射线，在的内部． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，垂线定义． （1）根据根据对顶角相等得，进而利用角的和差即可得解； （2）根据对顶角及邻补角定义得，，进而利用角平分线定义及垂直得，，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分，， ∴，， ∴． .19.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，直线点在直线m上，点C在直线n上，且，．求： (1)直线m与直线n的距离； (2)点A到的距离； (3)点D到的距离． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，点到直线的距离： （1）根据平行线间的距离解答，即可； （2）根据点到直线的距离解答，即可； （3）设点D到的距离为h，根据，解答即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴直线m与直线n的距离为； （2）解∶ ∵，， ∴点A到的距离为； （3）解∶设点D到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点D到的距离为． 20.（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，，于点G． (1)若，求的度数； (2)若，试问与相等吗？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再证出，根据平行线的性质可得，，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（24-25七年级下·湖南·期末）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是平行线的判定与性质、角平分线的相关计算、垂线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）根据证明后，由两直线平行，内错角相等得，再结合并进行等量代换后即可根据同旁内角互补，两直线平行证； （2）结合（1）题得，再由平分得，再由可得． 【详解】（1）解：与平行，理由如下：            （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 考点06 平行线性质与判定的综合应用 1．（24-25七年级下·湖南·期末）如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 【答案】(1)90 (2)①；②20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第（2）②问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系， ②动点问题，先画出图形，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ， 故答案为：90； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； ②如图2，当射线旋转到时，旋转至,延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 未旋转前，， ， ， 解得：； 当与在直线同侧且平行时， 由，得， 故答案为：20或80． 2.（24-25七年级下·湖南湘西·期末）某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图所示，，，，，灯射线从开始绕点逆时针旋转，同时，灯从开始绕点顺时针旋转．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒，且满足． (1)填空：___________，___________； (2)设旋转时间为秒（），当时，求的值． (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在，， 【分析】（1）利用绝对值和平方数非负性，列方程求解、； （2）分、在不同侧的情况，依据平行线性质列角度等式求； （3）设转动时间，用表示相关角，结合推导表达式，根据定值条件确定与 ． 本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的性质、角度的动态计算与定值探究，熟练掌握平行线性质及通过分类讨论、用变量表示角度来分析定值问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴且 解得， 故答案为：，． （2）解：当、都在的右侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 当在的左侧，都在的右侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 当、都在的左侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 综上，当时，求的值为或或； （3）解：在转动过程中，存在一点，使得为定值， 理由：设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， ∵， ∴, ∴， ∴当时，在转动过程中，存在一点F，使得k为定值， 此时， ． 3.（24-25七年级下·湖南永州·期末）在放学回家的路上，小亮同学发现地面上有一块矩形的玻璃片碎成了两块（形如图1），为防止碎玻璃伤害行人，他小心地捡起碎玻璃准备放入路边的垃圾分类收集点时，爱思考的小亮同学又发现这碎玻璃与数学课上学习过的“猪蹄模型”很相似，于是尝试用“猪蹄模型”的研究方法去探究其中角之间的关系． (1)在图2中，证明． (2)针对此问题，小亮同学进行了深入探究，感受到数学探究的乐趣，现在重现小亮的探究过程，并请你解决以下问题． 【探究1】小亮同学在“猪蹄模型”的基础上画出了图3，发现图3中、、、也存在着某种数量关系，请你写出这四个角之间的数量关系，并写出证明过程． 【探究2】小亮同学进一步探究，画出了图4，请问这五个角之间是否存在某种数量关系，如果有，请写出数量关系并予以证明；如果没有，请说明理由． 【探究3】小亮同学突发奇想：“若是摔碎的玻璃上有个角（如图5），那么这些角之间有什么数量关系呢？”请你做出一个猜想，直接写出你猜想的这个角的数量关系，并说一说为什么可以这样猜想． 【答案】(1)见解析 (2)探究1：，见解析；探究2：，见解析；探究3：当n为奇数时，；当n为偶数时，，见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）过点B作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； （2）探究1：过点F作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； 探究2：过点J作的平行线，由平行线得到，，然后结合证明即可； 探究3：①当n为奇数时，由，是找到规律求解即可；②当n为偶数时，同①即可得． 【详解】（1）证明：过点B作的平行线，如图2 则由题意知 ∴， ∵ ∴； （2）探究1：、、、数量关系为：． 理由如下：过点F作的平行线，如图3 则由题意知 ∴， ∵ ∴； 探究2：、、、、数量关系为 理由如下：过点J作的平行线，如图4 则由题意知 ∴， ∵ ∴； 探究3：①当n为奇数时，． 理由：由（1）知：当时，； 当时，；．．．．， 由此，可猜想当n为奇数时． ②当n为偶数时， 理由：由（2）知：当时，； 当时，；．．．．， 由此，可猜想当n为偶数时． 4.（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时的值为9或27 (3)存在某一时刻，使得，此时的值为9或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 分现况情况讨论： 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时的值为9或27； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 5.（24-25七年级下·湖南郴州·期末）将两块三角板按如图所示进行摆放，其中，，，，边与重合． (1)如图，点在边上滑动的同时，点在射线上滑动，滑动过程中，三角板不动，连接． ①若，试说明； ②若，试说明为定值． (2)如图，将图中的绕点顺时针旋转度（），当的平分线与的一边垂直时，求旋转角的度数． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)或或 【分析】（）①证明即可求证；②过点作，由平行公理的推论可得，进而由平行线的性质得到，即可求证； （）分、和三种情况，分别画出图形，根据角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，旋转的定义，掌握角平分线的判定和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； （2）解：的平分线与的一边垂直分三种情况： ①如图，当交于点时，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为； ②如图，当交于点时，即， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为； ③如图，当交的延长线于点时，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为； 综上所述，当的平分线与的一边垂直时，旋转角的度数为或或． 考点07 角度计算综合 1.（24-25七年级下·湖南·期末）阅读材料，完成问题． 三角形的内角和 小学的时候，我们就知道三角形的内角和是，学习了平行线之后，可以用如下方法推导证明出“三角形内角和等于．” 方法一：如图①，已知：，求证：．证明：如图②，过点作直线， ， ，． ， ． 方法二：……． 【发现】（1）方法一是用平行线的性质将三角形内角和问题转化为一个平角，这体现了数学中的______思想； 【探究】（2）请类比方法一，用平行线的性质，换一种方法推导出三角形内角和． 【延伸】（3）如图③，，是，之间一点，平分，点在上，连接，，且．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）转化；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）从证明过程中可以体现转化的思想； （2）延长至，过点作，利用平行线的性质结合平角的定义证明即可； （3）过点作，过点作，根据平行线的性质结合角的和差计算证明即可． 【详解】解：（1）方法一是用平行线的性质将三角形内角和问题转化为一个平角，这体现了数学中的转化思想， 故答案为：转化； （2）延长至，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 过点作，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图1，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿的方向平移得到线段，点是线段上一个动点（不与两点重合），连接． (1)试说明； (2)如图2，连接，过点作直线． ①当时，在直线上取点，使得，画出图形，并求出与之间的数量关系； ②如图3，直线上有一点，满足，则在点运动的过程中，请直接写出面积的最大值以及此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②面积的最大值为6；的度数为 【分析】（1）过点P作，根据平移的性质和平行线的性质即可证明结论； （2）①分两种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质求解即可； ②先确定点P到直线l的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点P作， 将线段沿的方向平移得到线段， ， ， ， ， ； （2）①当在外部时，如图所示， ， ， 由平移的性质得，， ， ， ， ， ； 当在内部时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 综上，与之间的数量关系为或； ②过点D作，如图所示， ， 点P到直线l的距离就是线段的长， ， 点P到直线l的最大距离就是线段的长，此时，作于点G，如图所示， 由平移的性质得：，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键 3.（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行探究活动． 活动主题 关于三角板的数学思考 工具 三角板、量角器、直尺等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 相关信息 三位同学各测量的度数一次，求得的平均值为，然后又各测量的度数一次，求出其平均值． 将一个三角板，）放在互相平行的直尺和之间，并使直角顶点在直尺上，顶点在直尺上． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)第一小组选择三位同学各测量一次，再以三次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是___________；图1中___________度； (2)请你帮第一小组想一想，当摆成___________度时，才能确保； (3)在图2中，当改变直尺的位置时（始终保持直角顶点在上），点在上保持不动，同学们发现点的位置会随着直角顶点的位置的变化而变化．请你猜想：的值是否会发生改变？如果不变，它们的和是多少度？请说明理由． 【答案】(1)减少误差； (2) (3)不变， 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，垂直的定义，角度的和差，误差； （1）多次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是减少误差；根据图1可得，据此求解即可； （2）根据列方程求解即可； （3）在右边作，则，，， 再根据得到固定不变． 【详解】（1）解：多次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是减少误差； 图1中， 故答案为：减少误差；154； （2）解：由图可得， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：在右边作， ∴， ∵互相平行的直尺和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴固定不变． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 专题04 平面内的两条直线 ☆高频烤点概览 考点01平面内两条直线的位置关系 考点02平移—图形变换 考点03平行线的性质 考点04平行线的判定 考点05垂线与距离 考点06平行线性质与判定的综合应用 考点07角度计算综合 目目 考点01 平面内两条直线的位置关系 1.(24-25七年级上·湖南衡阳·期末)下列说法正确的有() ①同位角相等：②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线 的位置关系有相交和平行两种. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(24-25七年级下·湖南娄底期末)在同一平面内，如果直线a与b相交，且直线Q与c平行，则这三条 直线中所有交点的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(24-25七年级下·湖南期末)如图，己知直线AB∥1，AC∥1，则A,B,C三点在同一直线上，理由是 B 4. (24-25七年级下·湖南娄底期末)平面内三条直线的交点个数可能有() A.1个或3个 B.2个或3个 C.1个或2个或3个 D.0个或1个或2个或3 5.(24-25七年级下·湖南期末)如图，∠2与∠4是一对() D Q4 B A.对顶角 B.内错角 C.同旁内角 D.同位角 6.(24-25七年级下，湖南岳阳·期末)如图，直线a截直线b,c,下列说法正确的是() 1/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 A.∠1与∠2是同旁内角 B.∠1与∠3是同旁内角 C.∠2与∠3是同位角 D.∠3与∠4是内错角 7.(24-25七年级下湖南娄底期末)下列各图中，∠1与∠2是内错角的是() 8.(24-25七年级上·湖南衡阳·期末)如图，直线AB,CD相交于点0,0E⊥AB,0D⊥0F，,OB平分 ∠D0G,给出下列结论：①当∠A0F=60°时，∠D0E=60°；②0D为∠E0G的平分线；③与∠BOD相等 的角有3个；④LC0G=∠A0B-2LE0F,其中正确的结论为() A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 9.(24-25七年级下·湖南娄底双峰期末)如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平 行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光 的折射.若∠ABE=45°，∠CBD=19°，则∠DBF的度数为 A 、C G 目目 考点02 平移一一 图形变换 1.(24-25七年级下·湖南湘西·期末)DeepSeek是字节跳动基于云雀模型开发的人工智能.它能够处理多种 自然语言任务，包括文本生成、知识问答、推理计算、阅读理解等，以高效准确的表现为用户提供帮助.平 2/23 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 移如图所示的DeepSeek图标，能得到的图形是() B. D. 2.(24-25七年级下·湖南期末)现实生活中，下列现象不属于平移的是() A.电梯的升降 B.火车在平直的铁轨上行驶 C.飞机起飞前在跑道上滑行 D.卫星绕地球飞行 3.(24-25七年级下·湖南娄底期末)如图，将三角形ABC平移一定的距离得到三角形A'B'C',则下列结 论中不一定正确的是() A.AA'∥BB B.44'=BB' C.∠ACB=∠A'B'C D.BC=B'C' 4.(24-25七年级下·湖南邵阳新邵县·期末)如图，将ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF,若ABC的周 长为18cm,则四边形ABFD的周长为() D A.16cm B.22cm C.18cm D.20cm 5.(24-25七年级下·湖南常德·期末)如图，将ABC向右平移7cm得到△DEF,如果ABC的周长是16cm ,那么五边形ABEFD的周长是 cm 3/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 6.(24-25七年级下湖南郴州期末)如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿着BC的 方向平移到直角三角形DEF的位置.已知∠B=90°，AB=6,BC=8,DH=2,平移的距离为3，则阴影 部分的面积为 D 7.(24-25七年级下·湖南衡阳·期末)如图，直线1上摆放着两个大小相同的直角三角板ABC和DEC,将 三角板DEC沿直线1向左平到如图所示的位置，使点E落在AB上的点E处，点P为AC与E'D'的交点.图 中三块阴部分的面积之和为7，则直角三角板ABC的面积为 E B C'C D'D 8.(24-25七年级下·湖南张家界·期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，将周长为16的ABC沿BC向左 平移4个单位长度得到△DEF,连接AD,AB,DF交于点O,有下列结论：①AC∥DF,AC=DF: ②DF⊥AB;③四边形ACED的周长是24；④S阳边形4CFo=S医边形BEDo·其中正确结论有 (填序号). B 目目 考点03 平行线的性质 1.(24-25七年级下·湖南岳阳期末)如图，直线c与直线a、b都相交，若a∥b,∠1=55°，则∠2=() 4/23 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 b A.65° B.55 C.60° D.45 2.(24-25七年级下·湖南岳阳汨罗·期末)将一副三角尺（厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边 互相平行，则图中∠1的度数为() IadhalaladladadalhadhadhudhaC mmmmmmmmmmm A.100° B.105° C.115° D.120 3.(24-25七年级上·湖南衡阳期末)如图，已知直线AB∥CD,EF平分∠CEB,若∠2=70，则∠1的度 数为() B D A.40° B.50° C.60 D.70° 4.(24-25七年级上湖南衡阳期末)如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，使得点D,C分 别落在D、C的位置上，ED与BC的交点为G,∠EFG=55°，则∠2-∠1的度数为· -----D B G D 5.(24-25七年级下·湖南邵阳·期末)如图，已知a∥b,将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1= 5/23 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25七年级下·湖南永州期末)为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安装了如图1所示的激光灯， 图2是光线位于初始位置时的平面示意图，其中C、D是直线AB上的两个发射点，已知初始时 ∠ACE=50°，∠CDF=140°，现光线EC绕点C以2度/秒的速度顺时针旋转，同时光线FD绕点D以2.5度 /秒的速度逆时针旋转，若旋转t秒后EC与FD第一次平行，则此时t的值为· A D 图1 图2 7.(24-25七年级下·湖南湘西·期末)如图所示为羽毛球正手发球的示意图，球拍所在直线☑与手臂所在直线 b平行(a‖b；己知发球时，球拍与水平方向1的夹角∠1=30°，则手臂与竖直方向m所成的角∠2= 8.(24-25七年级下·湖南怀化期末)光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折 射现象.如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底 C处，光线点D为AB延长线上的一点，若∠1=70°，∠2=50°，则∠DBC的度数为 空气B人2 M 6/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(24-25七年级下，湖南期末)一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若固定三角板DCE,改 变三角板ABC的位置（其中点C的位置始终不变），当AC∥DE时，则∠BCE的度数为 N45 D30° 10. (24-25七年级下·湖南期末)如图，已知AB∥CD,BC平分∠ABD,交AD于点E. B D (1)求证：∠1=∠3； (2)若AD⊥BD于点D,∠CDA=28°，求∠3的度数. 11.(24-25七年级下·湖南·期末)(1)【问题情境】如图①，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求 ∠APC的度数.小明的思路是：过点P作PE∥AB,通过平行线性质可得∠APC的度数是 ； (2)【问题迁移】如图②，AB∥CD,点P在射线OM上运动，记∠PAB=a,LPCD=B,当点P在B, D两点之间运动时，∠APC与，B之间有何数量关系？请说明理由； (3)【联想拓展】在(2)的条件下，当点P在线段OB上时，如图③；当点P在BD的延长线上时，如图 ④.请直接写出∠APC与，B之间的数量关系，无需证明. A B D B PD\M 图① 图② dP B D P M 图③ 图④ 12.(24-25七年级上湖南衡阳·期末)“抖空竹”是国家级非物质文化遗产.“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： 7/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图2 D E 图3 图4 (I)如图2，若AB川CD,∠EAB=75°，∠ECD=110°，求∠E的度数. (2)【拓展延伸】已知AB∥CD,点E为AB,CD之外任意一点. ①如图3，探究∠BED与∠B,∠D之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究∠CDE与∠B,∠BED之间的数量关系，请直接写出结果. 目目 考点04 平行线的判定 1.(24-25七年级下·湖南邵阳期末)如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中，能判定AB∥CD的是 () D B A.∠1=∠3 B.∠5=∠B C.∠1=∠4且AC平分∠DAB D.∠D+∠BCD=180° 2.(24-25七年级下.湖南永州期末)如图，己知AB∥CD,CD∥EF,LA=125°，则∠E的度数为() A B D E A.50° B.55° C.60° D.65 3.(24-25七年级下·湖南湘西期末)如图，若∠1+∠2=180°，∠3=70°，则∠4= 8/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 d 2 b 4.(24-25七年级下·湖南郴州期末)如图，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,∠2=∠3=30°， 则1=度. A 2 B D C 5.(24-25七年级下·湖南邵阳·期末)如图，点M、N、T和点P、Q、R分别在同一直线上，且∠1=∠3， ∠P=∠T,求证：∠M=∠R. o R 3 M 请把下列证明过程补充完整： 证明：：∠1=∠3， 又：∠1=∠2（对顶角相等)， .∠2=∠3（等量代换）. ∠PNM=∠T(). 又：∠P=∠T(已知)， .∠PNM=∠P(等量代换). .∠M=∠R(). 6.(24-25七年级下·湖南邵阳·期末)填空，请将证明过程补充完整. 如图，己知EF∥AD,∠1=∠2，LBAC=70°，求∠AGD. 9/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B E 解：因为EF∥AD(已知)， 所以∠2=∠3()· 又因为∠1=∠2（已知)， 所以∠1=∠3( 所以 (内错角相等，两直线平行)， 所以∠BAC+∠AGD=180°()· 因为LBAC=70°（已知）， 所以∠AGD=110°（等式的性质）. 7.(24-25七年级下·湖南岳阳期末)如图，E为射线AB上一点，F为射线DC上一点，连接AF,DE, AB∥CD,∠A=∠D B (I)求证：AF∥ED; (2)若∠AFD-∠A=50°，求∠BED的度数. 8.(24-25七年级下·湖南株洲期末)如图，已知AB∥CD,∠A=∠C,点E,G分别在AB,CD上，连 结DE,BG,延长AD和BG交于点F. F E B (I)求证：AF∥BC; (2)若DE∥BF,∠A+∠F=110°，求∠EDG的度数. 10/23 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 9.(24-25七年级下，湖南永州期末)如图，DE∥BC,DF,BE分别平分∠ADE和∠ABC. B (I)求证：DF∥BE. (2)若LABC=70°，求∠DEB的大小 10.(24-25七年级下·湖南期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BD⊥CD,点E、F分别在 BC、CD上，EF⊥CD D 2 B (1)判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由 (2)若LA=100°，BD平分∠ABC,求∠ADC的度数. 11.(24-25七年级下·湖南娄底期末)如图，已知AB∥CD,∠1与∠CFB互补，且∠1与∠D互余. E B D (I)试问：CE∥BF吗？请说明理由； (②)请判断BF与DE的位置关系，并说明理由； (3)若ED平分∠BEF,∠1=60°，求∠CEF的度数 12(24-25七年级下·湖南期末)如图，已知∠1+∠BDE=180°，∠2+∠4=180°. 11/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 E 4 A D B C (I)证明：AD∥EF; (2)若∠3=90°， ①∠4=140°，求∠BAC的度数； ②求证：∠FED-LBAC=90° 13.(24-25七年级下·湖南株洲·期末)己知AD和BE相交于点C,∠BAC=LACB,LEDC=LDCE. D 图(1) 图(2) 图(3) (I)如图(1)，试说明AB∥DE的理由； (②)如图(2)，点P是线段BC上一点，连结AP,试说明式子LAPE=∠BAP+∠CED成立的理由； (3)如图(3)若点M是射线BA上一点，作MH⊥直线AD于点H,∠ADE与∠AMH的平分线相交于点N, 求∠DNM 目目 考点05 垂线与距离 1.(24-25七年级下·湖南·期末)如图，MN⊥NP,ON⊥NP,所以MN与ON重合，推理的理由是() M A.两点确定一条直线 B.过一点只能作一条直线 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短 2.(24-25七年级下·湖南岳阳·期末)下列叙述中，正确的是() A.内错角相等 B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 12/23 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C.垂直于同一条直线的两条直线平行 D.旋转不改变图形的形状和大小 3.(24-25七年级下·湖南株洲期末)下列说法错误的是() A.内错角相等，两直线平行 B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C.过一点有两条直线与己知直线垂直 D.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 4.(24-25七年级下·湖南·期末)过直线1外一点P画1的垂线CD,下列各图中，三角尺操作正确的是() D B D 5.(24-25七年级下·湖南岳阳·期末)如图，直线AB,CD相交于点O,E01CD,垂足为O,∠A0E=30° ,则∠DOB的度数为() D B A.30° B.40° C.50° D.60° 6.(24-25七年级下·湖南期末)如图，直线a∥b,直线c与直线a,b分别交于点P,Q,PM⊥c于点P, 若∠1=52°，则∠2的度数是() 13/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M A.38 B.48 C.52 D.64° 7.(24-25七年级下·湖南期末)数学源于生活，寓于生活，用于生活.下列各选项中能用“垂线段最短” 来解释的现象是() 起 月 A. 测量跳远成绩跳 月 B.木板上弹墨线 B 线 B C.弯曲河道改直 D.两钉子固定木条 8.(24-25七年级下·湖南期末)有甲，乙，丙，丁四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走路 线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是乙，理由是() 甲 乙 丙 A.垂线段最短 B.两点之间，线段最短 C.平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 D.两点确定一条直线 9.(24-25七年级下·湖南株洲期末)如图，在ABC中，AB=12,ABC的面积为24，D为AB边上的动 点，连接CD,以CD为边向左侧作正方形CDEF,则正方形CDEF面积的最小值为() B D 14/23 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.12 B.16 C.20 D.24 10.(24-25七年级下湖南株洲期末)如图，AB=6,点A到直线BC的距离为3，若在射线BC上存在点P, 记AP的长度为d,则d的值不可能是() 6 B A.2 B.3 C.5 D.7 11.(24-25七年级下·湖南期末)如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB1a,垂 足是B,PA⊥PC,则下列不正确的语句是() -a A.线段PC的长是点C到直线PA的距离 B.线段AC的长是点A到直线PC的距离 C.PA、PB、PC三条线段中，PB最短 D.线段PB的长是点P到直线a的距离 12.(24-25七年级下·湖南湘潭·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线DE是△ABD的对称轴， 点D到点B的距离为25cm,点D到直线AC的距离是7cm,△ACD的周长为56cm,则点A到直线BC的距 离是() /D B A.25cm B.21cm C.24cm D.7cm 13.(24-25七年级下·湖南株洲期末)下列说法正确的有() ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②两条平行线的所有公垂线段都相等 ③由a<b,可得a+兮<3动+号 ④正方形是轴对称图形，且有4条对称轴 15/23 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.(24-25七年级下·湖南邵阳·期末)如图，己知AD∥BC,CE=5,CF=8,则AD与BC间的距离是 A B 15.(24-25七年级下·湖南株洲期末)在同一平面内，已知直线a∥b∥c,若直线a与直线b之间的距离为 5cm,直线b与直线c之间的距离为2cm,则直线a与直线c之间的距离为cm. 16.(24-25七年级下·湖南郴州期末)如图，点P在直线m上移动，A,B是直线n上的两个定点，直线 m∥n.对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是() B A.∠APB的大小B.线段PA的长度C.△APB的周长 D.△APB的面积 17.(23-24七年级下·湖南期末)如图，已知直线AB、CD相交于点O,0E⊥AB,点O为垂足，0F平分 ∠A0C. D (1)若∠A0F=64°，求∠C0E的度数； (2)若∠AOF:LC0E=3:2,求∠E0F的度数. 18.(23-24七年级下·湖南期末)如图，直线AB和CD交于点0，射线OE,0F在∠A0D的内部. 16/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若∠B0D=50°，∠C0E=115°，求∠A0E的度数： (2)若OE平分∠AOD,OF⊥CD,LB0D=,求LEOF的度数（用含a的式子表示）· 19.(24-25七年级下·湖南株洲期末)如图，直线m∥n,点A、B、D在直线m上，点C在直线n上，且 4CB=90,CD L AB,BC=5,BD=4,CD=3,AD=,求： C B D A (1)直线m与直线n的距离： (2)点A到CD的距离； (3)点D到BC的距离. 20.(24-25七年级下·湖南郴州期末)如图，∠1=∠C,BE⊥DF于点G. A B X3 C E D (1)若∠B=36°，求∠3的度数： (②)若LB+LBEC=180°，试问∠B与∠C相等吗？为什么？ 21.(24-25七年级下·湖南·期末)如图，已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°. A 3( C B D (I)AD与EC平行吗？请说明理由. (2)若DA平分LBDC,DA⊥FA于点A,∠I=70°，求∠FAB的度数. 17/23 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 平行线性质与判定的综合应用 1. (24-25七年级下湖南期末)如图，点P为直线外一点，过点P作直线CD∥AB.现将一个含30°角的 三角板EFG按如图1放置，使点F、E分别在直线AB、CD上，且点E在点P的右侧，∠G=90°，∠EFG=30 ,设∠GFB=a(0<a<90). G 30 B 图1 图2 备用图 (I)填空：∠DEG+∠BFG=_° (2)若∠CEF的平分线EH交直线AB于点H,如图2. ①当EH∥FG时，求a的度数； ②在①的条件下，将三角板EFG绕点E以每秒1°的转速进行顺时针旋转，同时射线PC绕点P以每秒4°的 转速进行顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止转动，同时三角板EFG也停止转动.在旋转过程中，当t= 秒时，CP∥EG. 2.(24-25七年级下·湖南湘西·期末)某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋 转探照灯.假定河两岸是平行的，如图1所示，AB∥CD,PQ1AB,PQ⊥CD,∠MPQ=∠NQP=30°， 灯P射线从PM开始绕P点逆时针旋转，同时，灯Q从QN开始绕Q点顺时针旋转.若灯P、灯Q转动的速 度分别是a度/秒、b度/秒，且满足a+b-5+(b-2)2=0. D 图1 图2 备用图 (1)填空：a= b= (2)设旋转时间为t秒(0≤t≤100)，当PM∥QN时，求t的值， (3)如图2，若两灯同时转动，在灯Q射线到达QD之前，两灯射出的光束交于点E,点F在射线PB上，且 LPQE=k·4PEF,则在转动过程中，是否存在一点F,使得k为定值？若存在，请求出∠QEF的度数和k的 值；若不存在，请说明理由， 3.(24-25七年级下·湖南永州期末)在放学回家的路上，小亮同学发现地面上有一块矩形的玻璃片碎成了 两块（形如图1），为防止碎玻璃伤害行人，他小心地捡起碎玻璃准备放入路边的垃圾分类收集点时，爱思 18/23 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 考的小亮同学又发现这碎玻璃与数学课上学习过的“猪蹄模型很相似，于是尝试用“猪蹄模型”的研究方法去 探究其中角之间的关系。 >D E<2 43>F 图1 图2 图3 G 图4 图5 (1)在图2中，证明∠1+∠3=∠2. (2)针对此问题，小亮同学进行了深入探究，感受到数学探究的乐趣，现在重现小亮的探究过程，并请你解 决以下问题 【探究1】小亮同学在“猪蹄模型”的基础上画出了图3，发现图3中∠1、∠2、∠3、∠4也存在着某种数量 关系，请你写出这四个角之间的数量关系，并写出证明过程 【探究2】小亮同学进一步探究，画出了图4，请问这五个角之间是否存在某种数量关系，如果有，请写出 数量关系并予以证明；如果没有，请说明理由 【探究3】小亮同学突发奇想：“若是摔碎的玻璃上有nn≥3)个角（如图5），那么这些角之间有什么数量 关系呢？”请你做出一个猜想，直接写出你猜想的这n(n≥3)个角的数量关系，并说一说为什么可以这样猜 想 4.(24-25七年级下·湖南怀化期末)除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平 行.小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇.经咨询相关工作人员了解到以 下信息：如图1，两岸所在直线AB与CD平行，即AB∥CD,P灯射出的光线PE从PC开始以6°/秒顺时针 旋转，同时Q灯射出的光线QF从QA开始4°/秒逆时针旋转，且Q灯在P灯的正对面.设QF的旋转时间为 t秒 A 图1 备用图 图2 (I)在PE首次到达PD之前，是否存在某一时刻，使得PE∥QF？若存在，请求出时间t的值，若不存在， 请说明理由； 19/23 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (②)在PE首次到达PD之前，是否存在某一时刻，使得PE⊥QF？若存在，请求出时间t的值，若不存在， 请说明理由； (3)零点时刻，CD岸边P灯熄灭，AB岸边Q灯同时发出两束光线QF和QH,如图2，光线QF从QA开始 绕点Q以4°/秒逆时针旋转，光线QH从QB开始绕点Q以6°/秒顺时针旋转，在射线QH旋转一周的时间内， 是否存在某一时刻，使得QH⊥QF？若存在，请求出时间t的值，若不存在，请说明理由。 5.(24-25七年级下·湖南郴州期末)将两块三角板按如图1所示进行摆放，其中∠ACB=∠EDF=90°， ∠BAC=∠ABC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°，边AB与DF重合. D (D)A◇ G ◇ B(F) B(F B(F) 图1 图2 图3 备用图 (I)如图2，点D在边AB上滑动的同时，点F在射线CB上滑动，滑动过程中，三角板ABC不动，连接AE, ①若∠CFD=15°，试说明AB∥EF; ②若AE∥CF,试说明∠AED+∠BFD为定值， (2)如图3，将图1中的△DEF绕点B顺时针旋转C度(0<a<180),当∠DEF的平分线EG与ABC的一 边垂直时，求旋转角a的度数 目目 考点07 角度计算综合 1.(24-25七年级下·湖南期末)阅读材料，完成问题 三角形的内角和 小学的时候，我们就知道三角形的内角和是180°，学习了平行线之后，可以用如下方法推导证明出“三角形 内角和等于180°.” 方法一：如图①，己知： ABC,求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：如图②，过点A作直线DE∥BC, D ,DE∥BC, B 图① 图② ∠DAB=∠B,∠EAC=∠C. 20/23 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∠BAC+∠B+∠C=180°. 方法二：… 【发现】(1)方法一是用平行线的性质将三角形内角和问题转化为一个平角，这体现了数学中的 思 想； 【探究】(2)请类比方法一，用平行线的性质，换一种方法推导出三角形内角和. 【延伸】(3)如图③，AB∥CD,G是AB,CD之间一点，FG平分∠EFD,点H在FG上，连接EG, EH,且∠1=∠2.请写出∠EHG与∠G的数量关系，并说明理由. M B G D 图③ 2.(2425七年级下·湖南株洲·期末)如图1，已知线段AB=6,点C是线段AB外一点，连接AC, ∠CAB=α(90°<a<I80).将线段AC沿AB的方向平移得到线段BD,点P是线段AB上一个动点（不与 AB两点重合)，连接PC,PD. D D B D 图1 图2 D 图2（备用图） 图3 (I)试说明∠CPD=∠PCA+∠PDB: (2)如图2，连接CD,过点C作直线1∥PD. ①当a=120°时，在直线1上取点Q,使得∠CDP=2∠QDC,画出图形，并求出∠BDP与∠BDQ之间的数 量关系： 21/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②如图3，直线1上有一点0，满足0C=2,则在点P运动的过程中，请直接写出。0PC面积的最大值以及 此时∠BDP的度数（用含a的式子表示）· 3.(24-25七年级下·湖南娄底期末)在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行探究活动. 活 动 关于三角板的数学思考 主 题 工 三角板、量角器、直尺等 具 活 动 第一小组 第二小组 过 程 模 M 型 B 抽 象 图2 图1 将一个三角板 相 三位同学各测量∠1的度数一次，求得∠1 ABC∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°， 关 的平均值为26°，然后又各测量∠2的度 )放在互相平行的直尺MN和PQ之 信 数一次，求出其平均值. 息 间，并使直角顶点A在直尺MN上，顶 点C在直尺P9上. 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)第一小组选择三位同学各测量∠1一次，再以三次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的 是 ；图1中∠2= 度； (2)请你帮第一小组想一想，当∠1摆成 度时，才能确保∠2=3∠1； (3)在图2中，当改变直尺MN的位置时（始终保持直角顶点A在MN上），C点在PQ上保持不动，同学们 22/23 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 发现B点的位置会随着直角顶点A的位置的变化而变化.请你猜想：∠MAB+∠BCP的值是否会发生改变？ 如果不变，它们的和是多少度？请说明理由 23/23