专题02二元一次方程组12大题型（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材浙教版

专题02 二元一次方程组 核心概念 1. 二元一次方程 · 定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。 · 一般形式：ax+by=c（a、b、c为常数，a≠0，b≠0）。 · 判断三要素：①两个未知数；②未知数项次数=1；③整式（分母不含未知数）。 · 解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数个解。 2. 二元一次方程组 · 定义：由两个一次方程组成，且共含两个未知数的方程组（整式方程）。 · 标准形式：（a1、a2、b1、b2不全为0）。 · 判断：两个方程、两个未知数、次数均为1、整式。 3. 二元一次方程组的解 · 定义：方程组中两个方程的公共解（同时满足两个方程）。 · 书写：必须用大括号联立。 · 检验方法：将解代入两个方程，两边都相等才是解。 4. 解的三种情况 · 唯一解：（两直线相交）； · 无解：（两直线平行）； · 无数解：（两直线重合）。 5. 三元一次方程组 · 三元一次方程：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程； · 三元一次方程组：由三个一次方程组成，且含有三个未知数的方程组； · 方程组的解：同时满足方程组中所有方程的一组未知数的值。 核心解法：消元法（二元→一元） 1. 代入消元法（适用：有未知数系数为±1） 步骤： · 变形：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个（如：y=ax+b）； · 代入：将表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得一元一次方程； · 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； · 回代：把结果代入变形后的式子，求另一个未知数； · 写解：联立写出方程组的解。 2. 加减消元法（适用：同一未知数系数相等/互为相反数/成倍数） 步骤： · 变形：把两个方程中同一个未知数的系数化为相等或互为相反数（乘最小公倍数）； · 加减：两式相加 / 相减，消去一个未知数，得一元一次方程； · 求解：解一元一次方程，得一个未知数的值； · 回代：代入任一方程，求另一个未知数； · 写解：联立写出解。 3. 方法选择技巧 · 系数1或-1→优先代入法； · 同一未知数系数相等/相反→优先加减法； · 系数不成倍数→先统一系数，再用加减法。 实际应用（列二元一次方程组解应用题） 1. 一般步骤（审→设→列→解→验→答） · 审：找两个等量关系； · 设：设两个未知数（x、y）； · 列：根据等量关系列两个方程，组成方程组； · 解：用代入/加减法解方程组； · 验：检验解是否符合题意（实际意义、方程）； · 答：完整作答。 2. 常见题型 和差倍分、行程（相遇/追及）、工程、配套、利润、几何（周长/面积）、数字问题。 二元一次方程的判断 【例1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可，二元一次方程需满足三个条件：一是含有两个未知数，二是所含未知数的项的次数均为1，三是必须为整式方程． 【详解】解：选项A 中，是分式，该方程不是整式方程，不符合定义； 选项B 中，项的次数为2，不符合次数要求，不符合定义； 选项C 含有两个未知数，所含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程定义； 选项D 中，项的次数为2，不符合次数要求，不符合定义． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，属于二元一次方程的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的判定条件：含有两个未知数，所有未知数的次数都为1，且方程为整式方程，根据条件逐一判断即可． 【详解】解：A选项是二元一次方程； B选项中是分式，方程不是整式方程，不是二元一次方程； C选项中未知数的次数为2，不是二元一次方程； D选项中项的次数为2，不是二元一次方程． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）下列各式中，属于二元一次方程的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足三个条件：为整式方程，仅含两个未知数，含未知数的项的最高次数为1，据此逐一判断选项． 【详解】解：A. 是整式方程，含和两个未知数，所有含未知数的项的次数均为1，符合定义，故此选项符合题意； B. 中项的次数为2，不符合定义，故此选项不符合题意； C. 中是分式，该式不是整式方程，不符合定义，故此选项不符合题意； D. 只含有一个未知数，且的次数为2，不符合定义，故此选项不符合题意． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列各方程中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，含有两个未知数和，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义； B．，只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合定义； C．，不是整式，该方程不是整式方程，不符合定义； D．，项的次数为，是二元二次方程，不符合定义． 二元一次方程的解 【例2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）若，是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入二元一次方程中求出a的值即可． 【详解】解：将代入，得 ， 解得． 【变式2-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）若是方程的一个解，则______． 【答案】 【详解】解：将代入方程，得， 解得． 【变式2-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知是二元一次方程的一组解，则___________ 【答案】 【分析】把代入二元一次方程，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴. 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知是二元一次方程的一组解，则_________． 【答案】2025 【分析】把解代入，再整体代入，即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴． 判断是否是二元一次方程组 【例3】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）下列四个方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组共含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数都是1，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组满足共含2个未知数，所有方程均为整式方程，未知数次数均为1， ∴A选项：方程组含x，y，z共3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B选项：第二个方程中y的次数为2，不是一次，不是二元一次方程组，不符合题意； C选项：方程组共含x，y两个未知数，两个方程都是整式方程，未知数次数都是1，是二元一次方程组，符合题意； D选项：第二个方程中是分式，不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意． 【变式3-1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项中，第一个方程不是整式方程，因此该方程组不是二元一次方程组，符合题意； B选项满足二元一次方程组的定义，不符合题意； C选项满足二元一次方程组的定义，不符合题意； D选项满足二元一次方程组的定义，不符合题意． 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：只有未知数x，所以A不是二元一次方程组 ； B：，不是二元一次方程，所以B不是二元一次方程组； C：两个方程中，含有三个未知数，所以C不是二元一次方程组； D：两个方程中含有，，该方程组含有两个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，所以D是二元一次方程组． 消元法-解二元一次方程组 【例4】（25-26七年级下·浙江金华·期中）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 由得：， 把代入②得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 【变式4-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1)， (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 由①②，得， 把，代入①，得，解得， ∴原方程组的解为， （2）解：将整理，得， 由①②，得， 把，代入①，得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式4-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得， 解得③， 把代入①得， 故方程组的解为； （2）解：， 由得， 解得， 把代入①得， 解得， 故方程组的解为． 【变式4-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 三元一次方程组的定义及解 【例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 【变式5-1】（18-19七年级下·四川遂宁·期中）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法正确消元是解此题的关键． 得出，、、，即可求出z、y、x的值． 【详解】解：， 得：， ， 得：， 得：， 得：， 所以原方程组的解为：． 故选：D． 【变式5-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 【变式5-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键． （1）用代入消元法解三元一次方程组即可； （2）用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②得：， 把④代入①得：，即， 把④、⑤分别代入③得：， 解得：， 把代入④得：， 把代入⑤得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 易错1：判断易错 · 1.含xy项、分母有未知数、只有一个未知数的，都不是二元一次方程； · 2.方程组的解要同时满足两个方程，只满足一个不算。 易错2：计算易错 1.代入消元：漏括号、漏乘常数项； 2.加减消元：系数同号相减、异号相加，符号最容易错； 3.移项、去括号不变号。 易错3：书写易错 1.解必须写成大括号联立形式； 2.应用题只解方程不检验、不写答。 易错4：审题易错 1.找错等量关系，列错方程。 2.忽略实际意义（如数量不能为负、不能为小数）。 已知二元一次方程组的解求参数 【例6】（25-26八年级上·全国·期末）若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是________，________． 【答案】 2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入原方程组，得到关于a和b的方程，求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入方程组， 得 解得 故答案为：，． 【变式6-1】（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于x，y的方程组的解是，其中的值被遮住了，但仍能求出的值是（   ） A．10 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把代入方程求出y的值，再把x、y的值代入即可求出m的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， ∴． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C．9 D．3 【答案】D 【分析】利用方程得到，进而得到的值． 【详解】解：根据题意得，方程组， 得：， 即， 解得， 将代入得：． 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例7】（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知方程组的解满足与互为相反数，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数性质得到x与y的关系，再将方程组相加得，然后 整体代入计算k即可． 【详解】解：∵x与y互为相反数, ∴． 方程组， ，得， 即 由，得， 解得． 【变式7-1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如果关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值为_______ 【答案】 【分析】利用整体思想得到与的关系，再结合已知条件即可求解． 【详解】解：， 得， 关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解， ， 解得 ． 【变式7-2】（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到用含的代数式表示的与，再代入，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解： 【变式7-3】（25-26七年级下·浙江·期中）关于的方程组，若都是正整数，则整数的值为___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到和关于的表达式，根据，都是正整数，结合为整数，即可求出的值． 【详解】解：， 得：③， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ，都是正整数，是整数， 是的正约数，即， 解得：， 当时，，符合是正整数． 二元一次方程组的错解复原问题 【例8】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 【变式8-1】（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 【变式8-2】（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解复原问题，掌握方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解、． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的， ∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得 ，解得； ∵乙看错了方程②中的， ∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得 ，解得； ∴，． 方程组解相同问题 【例9】（25-26七年级下·甘肃武威·阶段检测）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 【变式9-1】（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到，再利用加减消元法运算即可； （2）把代入，得，再运算求解即可． 【详解】（1）解：∵方程组和有相同的解， ∴ ①②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：把，代入，得， 解得， ∴． 【变式9-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题关键． （1）由题意得出并解出即可； （2）把代入方程组求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． （2）解：把代入方程组， 得， 解得， ． 技巧1：代入消元法 1.优先用：有未知数系数为±1时。 2.口诀：变一代入，消元求解，回代写解。 技巧2：加减消元法 1.优先用：同一未知数系数相等/相反/成倍数。 2.口诀：化同系数，加减消元，先求一个，再求另一个。 技巧3：解题通用技巧 1.先看系数再选方法，系数简单用代入，系数整齐用加减。 2.解完一定回代检验，避免算错。 3.应用题：两个等量关系→列两个方程→组成方程组。 二元一次方程组的特殊解法 【例10】（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数据即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 【变式10-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________ ． 【答案】． 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，且 ∴， 解得． 【变式10-2】（25-26八年级上·全国·寒假作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想． （1）仿照小红的方法把②变形得：，把①代入求y，进而求x即可； （2）由①得： ③，再把②变形得到④，再将③代入求出 ，进而代入求值即可． 【详解】（1）解：把②变形得：， ③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解； （2）由①得： ③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入得： ． 【变式10-3】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 二元一次方程组的应用 【例11】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列方程组求出长方形的长宽，再用割补法求阴影部分面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为、宽为， 根据题意得，，解得：， ∴小长方形的长为、宽为， ∴阴影部分的面积是：． 【变式11-1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【答案】(1) (2)需甲车型辆，乙车型辆 【分析】（）根据丙型车需要的运载量除以每一辆丙型汽车运载量即可得出丙型车的数量； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，由题意得，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：丙型车的数量为（辆）， （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； 【变式11-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 【答案】(1)m的值为80，n的值为60； (2)该商场可获利1100元； (3)该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1100元； （3）解：设该商场当日售出A款足球a个，B款足球b个， 根据题意得：， 整理得：， 又∵a、b均为正整数， ∴或或或， ∴该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个； 答：该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 【变式11-3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下： ①若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生； ②型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人； ③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示： 型号 最大载客人数 日租金（元） 请根据上述信息，完成下列任务： (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金． (3)【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由． 【答案】(1) ， (2) 共有种租车方案，最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元 (3) 能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆 【分析】（1）根据若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生；型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人；列二元一次方程组求解； （2）设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆，根据租车的数量是整数，可知共有种租车方案，分别计算出种方案所需费用，通过比较得出最省钱的租车方案； （3）由（2）可知共有种租车方案：分别计算出降价后种租车方案所需租金，得到符合要求的租车方案． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：， 答：型号大巴车最大载客数为人，型号大巴车最大载客数为人； （2）解：设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆， 为整数且， 解得：， 且为整数， 当时，， 当时，， 共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； ， 最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元； （3）解：由（2）可知共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 学校的计划能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆． 三元一次方程组的应用 【例12】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 【答案】 【分析】设、、三种型号盒子的单价分别为元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，利用加减消元法消去，即可得到的值，从而得到答案． 【详解】解：设、、三种型号盒子的单价分别为元，元，元， 由题意得， 得， ∴，即， ∴一个型盒子比一个型盒子贵元． 【变式12-1】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】利用消元法把m， n ，p都用q表示，再代入所求代数式化简，最后根据q为负整数的条件求最小值． 【详解】解：根据题意，得， 将③代入①，得 ，化简得 ， 将代入②，得 ， 解得 ， 将代入③，得 ， 代入， 得， ∵q为负整数， ∴，且q为整数， ∴当q取最大负整数时，取得最小值， ∴最小值为：． 【变式12-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)一共有四种购买方案 (3)该班级共需花费元 【分析】（1）设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只，根据题意列出二元一次方程组，根据，都是正整数，确定方程的整数解，即可求解； （3）设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元，根据题意得出，共需花费，消去字母，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组 核心概念 1. 二元一次方程 · 定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。 · 一般形式：ax+by=c（a、b、c为常数，a≠0，b≠0）。 · 判断三要素：①两个未知数；②未知数项次数=1；③整式（分母不含未知数）。 · 解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数个解。 2. 二元一次方程组 · 定义：由两个一次方程组成，且共含两个未知数的方程组（整式方程）。 · 标准形式：（a1、a2、b1、b2不全为0）。 · 判断：两个方程、两个未知数、次数均为1、整式。 3. 二元一次方程组的解 · 定义：方程组中两个方程的公共解（同时满足两个方程）。 · 书写：必须用大括号联立。 · 检验方法：将解代入两个方程，两边都相等才是解。 4. 解的三种情况 · 唯一解：（两直线相交）； · 无解：（两直线平行）； · 无数解：（两直线重合）。 5. 三元一次方程组 · 三元一次方程：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程； · 三元一次方程组：由三个一次方程组成，且含有三个未知数的方程组； · 方程组的解：同时满足方程组中所有方程的一组未知数的值。 核心解法：消元法（二元→一元） 1. 代入消元法（适用：有未知数系数为±1） 步骤： · 变形：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个（如：y=ax+b）； · 代入：将表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得一元一次方程； · 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； · 回代：把结果代入变形后的式子，求另一个未知数； · 写解：联立写出方程组的解。 2. 加减消元法（适用：同一未知数系数相等/互为相反数/成倍数） 步骤： · 变形：把两个方程中同一个未知数的系数化为相等或互为相反数（乘最小公倍数）； · 加减：两式相加 / 相减，消去一个未知数，得一元一次方程； · 求解：解一元一次方程，得一个未知数的值； · 回代：代入任一方程，求另一个未知数； · 写解：联立写出解。 3. 方法选择技巧 · 系数1或-1→优先代入法； · 同一未知数系数相等/相反→优先加减法； · 系数不成倍数→先统一系数，再用加减法。 实际应用（列二元一次方程组解应用题） 1. 一般步骤（审→设→列→解→验→答） · 审：找两个等量关系； · 设：设两个未知数（x、y）； · 列：根据等量关系列两个方程，组成方程组； · 解：用代入/加减法解方程组； · 验：检验解是否符合题意（实际意义、方程）； · 答：完整作答。 2. 常见题型 和差倍分、行程（相遇/追及）、工程、配套、利润、几何（周长/面积）、数字问题。 二元一次方程的判断 【例1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，属于二元一次方程的（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）下列各式中，属于二元一次方程的是（        ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列各方程中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 二元一次方程的解 【例2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）若，是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【变式2-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）若是方程的一个解，则______． 【变式2-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知是二元一次方程的一组解，则___________ 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知是二元一次方程的一组解，则_________． 判断是否是二元一次方程组 【例3】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）下列四个方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 消元法-解二元一次方程组 【例4】（25-26七年级下·浙江金华·期中）解下列方程组： (1)； (2) 【变式4-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1)， (2)． 【变式4-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【变式4-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 三元一次方程组的定义及解 【例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（18-19七年级下·四川遂宁·期中）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 易错1：判断易错 · 1.含xy项、分母有未知数、只有一个未知数的，都不是二元一次方程； · 2.方程组的解要同时满足两个方程，只满足一个不算。 易错2：计算易错 1.代入消元：漏括号、漏乘常数项； 2.加减消元：系数同号相减、异号相加，符号最容易错； 3.移项、去括号不变号。 易错3：书写易错 1.解必须写成大括号联立形式； 2.应用题只解方程不检验、不写答。 易错4：审题易错 1.找错等量关系，列错方程。 2.忽略实际意义（如数量不能为负、不能为小数）。 已知二元一次方程组的解求参数 【例6】（25-26八年级上·全国·期末）若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是________，________． 【变式6-1】（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于x，y的方程组的解是，其中的值被遮住了，但仍能求出的值是（   ） A．10 B． C．8 D． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C．9 D．3 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例7】（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知方程组的解满足与互为相反数，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如果关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值为_______ 【变式7-2】（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【变式7-3】（25-26七年级下·浙江·期中）关于的方程组，若都是正整数，则整数的值为___________． 二元一次方程组的错解复原问题 【例8】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-1】（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【变式8-2】（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 方程组解相同问题 【例9】（25-26七年级下·甘肃武威·阶段检测）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【变式9-1】（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【变式9-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 技巧1：代入消元法 1.优先用：有未知数系数为±1时。 2.口诀：变一代入，消元求解，回代写解。 技巧2：加减消元法 1.优先用：同一未知数系数相等/相反/成倍数。 2.口诀：化同系数，加减消元，先求一个，再求另一个。 技巧3：解题通用技巧 1.先看系数再选方法，系数简单用代入，系数整齐用加减。 2.解完一定回代检验，避免算错。 3.应用题：两个等量关系→列两个方程→组成方程组。 二元一次方程组的特殊解法 【例10】（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________ ． 【变式10-2】（25-26八年级上·全国·寒假作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 【变式10-3】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组【答案】（1），；（2） 二元一次方程组的应用 【例11】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【变式11-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 【变式11-3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下： ①若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生； ②型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人； ③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示： 型号 最大载客人数 日租金（元） 请根据上述信息，完成下列任务： (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金． (3)【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由． 三元一次方程组的应用 【例12】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 【变式12-1】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（   ） A． B．7 C． D．5 【变式12-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $