精品解析：河南郑州市中牟县锐瀚高级中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学（甲卷）

中牟锐瀚高中2025-2026学年下学期期中考试 高二数学（甲卷） （考试时间：120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 函数在处的导数值为（ ） A. -2 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先利用基本初等函数的求导公式求出函数的导函数，再将代入导函数计算即可得到结果. 【详解】根据幂函数求导规则：对（为常数），有，且常数的导数为0. 对 求导可得：   ， 将代入导函数，得 . 2. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】的导函数为，， 将代入导函数，得 ， 即曲线在处的切线斜率为2. 3. 从 3 名男生、2 名女生中任选 1 人，不同的选法种数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】从 3 名男生、2 名女生中任选 1 人，选法有 种. 4. 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数（      ） A. 15 B. 9 C. 7 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条， 由分步乘法计数原理可得从A村经过B村去C村不同的路线的条数有条. 故选：A 5. 的值为（ ） A. 60 B. 40 C. 35 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数与组合数公式直接计算即可得解. 【详解】. 故选：B. 6. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（）， 令，得，所以含项的系数为． 故选：D． 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率的乘法公式计算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：B 8. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，解得． 二、多项选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可. 【详解】，， ，. 故选：BC. 10. 下列问题中哪些是排列问题（ ） A. 从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法 B. 从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法 C. 平面内有共4个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条 D. 平面内有共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，从全班40人中选出3人，有明确的职务，即选出的元素有顺序，故是排列问题，故A正确； 对于B，从全班40人中选出3人参加某项活动，选出的元素无顺序，故是组合问题，即B不符合题意； 对于C，以4个点中的2个点为端点的有向线段，显然有顺序，故是排列问题，故C正确； 对于D，以4个点中的2个点为端点的线段无顺序，故是组合问题，即D不符合题意. 11. 下列问题中的ξ是离散型随机变量的是（ ） A. 某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ B. 某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ C. 体积为1 000 cm3的球的半径长为ξ D. 射手对目标进行一次射击，所得分数为ξ（击中得1分，未击中得0分） 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查离散型随机变量的判定，核心依据是：离散型随机变量的所有可能取值可以按一定次序一一列举出来，且取值具有随机性. 【详解】 选项A：表示一天内经过大桥的该品牌轿车辆数，可能取值为0，1，2，…， 可一一列举，属于离散型随机变量，正确； 选项B：表示歌曲一天内的点击次数，可能取值为0，1，2，…， 可一一列举，属于离散型随机变量，正确； 选项C：体积为的球的半径可由公式唯一确定， 是固定值，不是随机变量，错误； 选项D：表示射手一次射击的得分，可能取值为0（未击中）、1（击中）， 可一一列举，属于离散型随机变量，正确. 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 函数 的导函数为_______ 【答案】 【解析】 【详解】令，则. 13. 的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用排列数与组合数的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据排列数与组合数的计算公式，可得. 14. 某台机床生产同一种零件，在小时内生产出的次品数为，其分布列分别为： 0 1 2 3 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用分布列的期望与方差的公式，准确计算，即可求解. 【详解】由随机变量的分布列，可得， 所以. 四、解答题：(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15. 一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球． （1）从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中至多含有1个黑球，有多少种取法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接利用组合，即可求解； （2）根据条件，直接利用组合，即可求解； （3）根据条件，利用分类计数原理和组合，即可求解. 【小问1详解】 因为口袋内共有个球，所以从口袋内取出的3个小球，共有种取法. 【小问2详解】 因为口袋内有7个白球和2个黑球，所以从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，有种取法. 【小问3详解】 因为口袋内有7个白球和2个黑球，从口袋内取出3个球，其中不含黑球有种， 由（2）知从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，有种取法， 所以从口袋内取出3个球，使其中至多含有1个黑球，有种取法. 16. 已知二项式. （1）求展开式通项. （2）求第3项. （3）求展开式第3项的二项式系数和第3项的系数. 【答案】（1）（） （2） （3）二项式系数为，第3项的系数为 【解析】 【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. （2）令求得第项. （3）根据二项式系数和系数的知识求得正确答案. 【小问1详解】 二项式展开式的通项公式为（）. 【小问2详解】 当时，第项为. 【小问3详解】 由（2）得第项的二项式系数为.系数为. 17. 设随机变量X的分布列为，求： X 1 2 3 4 P a 2a 3a 4a （1）和； （2）. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率之和为求得，进而求得和. （2）根据互斥事件概率加法公式求得. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得. 18. 某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． （1）从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； （2）如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 【答案】（1）0.86 （2） 【解析】 【分析】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件，根据全概率公式求解即可； （2）根据条件概率公式求解即可． 【小问1详解】 设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件， 由题可知，， 则． 【小问2详解】 ． 19. 已知函数. （1）求函数的导函数； （2）求函数的单调区间； （3）求函数的极值. 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为 （3）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）利用导数的运算法则和常见函数的导数，即可求解； （2）利用导数与函数单调性的关系，即可求解； （3）利用函数的单调性和极值的定义，即可求解. 【小问1详解】 因为，则. 【小问2详解】 易知的定义域为，， 由，得到，解得，由，得到，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取到极小值，极小值为，无极大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中牟锐瀚高中2025-2026学年下学期期中考试 高二数学（甲卷） （考试时间：120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 函数在处的导数值为（ ） A. -2 B. 2 C. 3 D. 4 2. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 从 3 名男生、2 名女生中任选 1 人，不同的选法种数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 4. 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数（      ） A. 15 B. 9 C. 7 D. 16 5. 的值为（ ） A. 60 B. 40 C. 35 D. 20 6. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 5 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列问题中哪些是排列问题（ ） A. 从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法 B. 从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法 C. 平面内有共4个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条 D. 平面内有共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条 11. 下列问题中的ξ是离散型随机变量的是（ ） A. 某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ B. 某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ C. 体积为1 000 cm3的球的半径长为ξ D. 射手对目标进行一次射击，所得分数为ξ（击中得1分，未击中得0分） 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 函数 的导函数为_______ 13. 的值为________ 14. 某台机床生产同一种零件，在小时内生产出的次品数为，其分布列分别为： 0 1 2 3 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差为______. 四、解答题：(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15. 一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球． （1）从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中至多含有1个黑球，有多少种取法？ 16. 已知二项式. （1）求展开式通项. （2）求第3项. （3）求展开式第3项的二项式系数和第3项的系数. 17. 设随机变量X的分布列为，求： X 1 2 3 4 P a 2a 3a 4a （1）和； （2）. 18. 某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． （1）从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； （2）如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 19. 已知函数. （1）求函数的导函数； （2）求函数的单调区间； （3）求函数的极值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $