精品解析：河南郑州市中牟县锐瀚高级中学2025-2026学年下学期第一次月考高二数学（甲卷）

中牟锐瀚高中2025-2026学年下学期第一次月考 高二数学（甲卷） （考试时间：120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，， 则. 故选：D 2. 设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（ ） A. 2.1 B. 1.1 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由平均变化率的定义计算． 【详解】 故选：A． 3. 函数在处的导数值为（ ） A. 12 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由基本函数导数公式结合题设可得答案. 【详解】对函数求导，可得，则在处的导数值为. 4. 函数的极小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】可知， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以极小值为. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数与单调性求解即可. 【详解】. 令，即 ，解得或. 所以函数的单调递增区间为和. 6. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义分别代入计算可得结果. 【详解】将3代入直线方程可得， 易知切线的斜率为，所以； 因此与分别为. 故选：A 7. 已知函数，则的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则进行求解. 【详解】. 故选：D 8. 若函数在处切线的斜率，则实数的值等于（    ）. A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出值. 【详解】函数，求导得， 由函数在处切线的斜率，得， 所以. 二、多项选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可. 【详解】，， ，. 故选：BC. 10. 下列函数在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】逐一判断各选项对应函数在其定义域内的单调性，即可判断选项正误. 【详解】对于A，当时，函数在R上单调递增，因，则函数在R上单调递增，故A正确； 对于B，当时，函数在上单调递增，因，则 在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，函数在上单调递增，因，则在上单调递增，又为奇函数， 则在R上单调递增，故C正确； 对于D，函数在R上单调递减，故D错误. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的最大值为 C. 的一个极大值点为 D. 的一个减区间为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导函数的图像与大小比较可得的单调性，进而分析出极值进行分析即可． 【详解】对A，由的部分图像并不能确定在恒成立，故A错误； 对B，由图只能得出的部分区间单调性，最大值不一定为，故B错误； 对C，由图可知，且在左右两侧左正右负，故为的一个极大值，故C正确； 对D，当时，，所以在上单调递减，故D正确． 故选：CD． 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 函数 的导函数为_______ 【答案】 【解析】 【详解】令，则. 13. 函数在处的导数值为________ 【答案】 【解析】 【分析】求出导数，代入求解即可. 【详解】，. 14. 设函数，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的定义求出，再将代入计算即可. 【详解】解:因为 =， ∴， ∴． 故答案为：1 四、解答题：(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15. 分别求下列函数的导数： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，分别对两个函数求导即可 【小问1详解】   ，  ， 因此 . 【小问2详解】   . 16. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数求导公式与复合函数链式求导法则计算即可； （2）先用对数求导法求得幂指函数的导数，再结合复合函数求导法则计算即可； （3）利用乘积求导法则，结合对数函数的复合求导法则计算. 【小问1详解】 由于，所以，定义域为. 【小问2详解】 由于，所以，定义域为. 【小问3详解】 由于，所有，定义域为. 17. 已知曲线 . （1）求曲线在点 处的切线方程； （2）求曲线过点 的切线方程. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先求函数导数，计算点处的切线斜率，利用点斜式得切线方程； （2）分点是切点和不是切点两种情况，设切点坐标，结合导数的几何意义与两点斜率公式求解切点，进而得到切线方程. 【小问1详解】 已知函数，求导得 ， 则曲线在点处的切线斜率 ， 由点斜式可得切线方程为 ， 整理得 . 【小问2详解】 分两种情况讨论： ① 当切点为时，由（1）得切线方程为 ； ② 当切点不为时，设切点为 ，其中， 则切线斜率 ， 又切线过点，故， 因此有， 化简得， 整理得 ，解得（舍去）， 此时切线斜率 ，切线方程为，即， 综上，过点的切线方程为 或. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程﹔ （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）；（2）单调增区间为，单调减区间为，极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由导函数，求出切线斜率，由点斜式得切线方程，整理即得； （2）由导函数可得得的解，列表确定的正负，得的单调区间与极值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，又 所以切线方程为. 即 （2） 可得或. 令，得或；令，得. 当变化时，，的变化情况如下表： x 1 + 0 0 + 单调递增↗ 3 单调递减↘ 单调递增↗ 所以，的单调增区间为，单调减区间为 当时，有极大值，并且极大值为 当时，有极小值，并且极小值为． 19. 已知函数 . （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，无单调递减区间 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据基本初等函数求导法则计算导数； （2）结合定义域分析导数符号得到单调区间； （3）根据单调性求解闭区间上的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为， ； 【小问2详解】 将导数通分整理得：  ， 分母，对分子配方得， 由可知分子恒大于，因此在上恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间； 【小问3详解】 由（2）可知在上单调递增， 因此在闭区间上也单调递增，最值在区间端点处取得： ， ， 因此在上的最大值为 ，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中牟锐瀚高中2025-2026学年下学期第一次月考 高二数学（甲卷） （考试时间：120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（ ） A. 2.1 B. 1.1 C. 2 D. 0 3. 函数在处的导数值为（ ） A. 12 B. 6 C. 4 D. 8 4. 函数的极小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 6. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则的导数（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在处切线的斜率，则实数的值等于（    ）. A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 二、多项选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的最大值为 C. 的一个极大值点为 D. 的一个减区间为 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 函数 的导函数为_______ 13. 函数在处的导数值为________ 14. 设函数，若，则______． 四、解答题：(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15. 分别求下列函数的导数： （1） （2） 16. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） 17. 已知曲线 . （1）求曲线在点 处的切线方程； （2）求曲线过点 的切线方程. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程﹔ （2）求的单调区间和极值. 19. 已知函数 . （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最大值与最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $