专题04 几何小实践（专项训练）四年级数学暑假专项提升（沪教版）

**基本信息** 以垂直和平行的概念认知为起点，通过“知识积累-例题示范-变式训练”三阶体系，系统构建几何操作与应用能力，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂直的特征|1典例+3变式|定义判断法、生活实例迁移法|从垂直定义（相交成直角）到符号表示，再到生活应用（黑板、三角尺）| |画垂线|1典例+3变式|“一贴二移三画四标”四步法（分直线上/外点）|工具准备→操作步骤→规范标注，形成程序性知识| |点到直线的距离|1典例+3变式|垂线段最短原理、实际测量法|垂线段定义→距离概念→应用（跳远成绩、引水管道）| |平行的特征及性质|1典例+3变式|同一平面内永不相交判断法、平行线间距离处处相等|平行定义→符号表示→传递性与距离性质| |画平行线|1典例+3变式|“一贴二靠三移四画”平移法|工具配合（三角尺+直尺）→操作步骤→精准作图|

专题04 几何小实践 目录概览 题型一、垂直的特征 1 题型二、画垂线 2 题型三、点到直线的距离 3 题型四、平行的特征及性质 4 题型五、画平行线 5 题型演练 题型一、垂直的特征 知识积累 1.定义：两条直线相交成 时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的 ，这两条直线的交点叫做 。 2.符号表示：如果直线 与直线 互相垂直，记作 ，读作“ ”。 3.特征判断： (1)判断两条直线是否垂直，关键是看它们相交成的角是不是 （或直角）。 (2)在同一平面内，过一点有且只有 条直线与已知直线垂直。 4.生活中的垂直： (1)黑板的长边和短边互相 。 (2)三角尺的两条直角边互相 。 例题讲解 【典例1】沿着图中的各图中的虚线折一折，两条折痕互相垂直的图形有（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 举一反三 【变式1-1】下图是运动会中四名运动员掷铅球的情况，（    ）的成绩最好。 A．小瑞 B．小辉 C．小杰 D．小明 【变式1-2】下图中有( )组平行线，线段AC与线段BD( )（填“互相平行”或“互相垂直”）。 【变式1-3】在同一平面内，与直线AB的距离是3厘米的直线有( )条。 题型二、画垂线 知识积累 1.工具准备：画垂线主要使用 （或量角器）和直尺。 2.过直线上一点画垂线步骤： (1)一贴：将三角尺的一条直角边与已知直线 。 (2)二移：沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知 。 (3)三画：沿三角尺的另一条直角边画一条直线。 (4)四标：画上 ，并标明垂足。 3.过直线外一点画垂线步骤： (1)方法同上，关键在于移动三角尺时，要保证直角边经过直线 的那个点。 (2)注意：画出的垂线线段通常要穿过已知直线，并向两端适当 （视题目要求而定，若画垂线段则止于垂足）。 例题讲解 【典例2】过B点画出已知直线的垂线。 举一反三 【变式2-1】在下图中画出点A到直线l的垂直线段。 【变式2-2】过点作线段的垂线。 【变式2-3】过P点分别画出直线a和直线b的垂线。 题型三、点到直线的距离 知识积累 1.垂线段：从直线外一点到这条直线所画的 线段，叫做这点到直线的垂线段。 2.距离的定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的 ，叫做这点到直线的距离。 3.重要性质： (1)从直线外一点到这条直线所画的所有线段中， 最短。 (2)简单概括为： 。 4.实际应用： (1)测量跳远成绩时，是从落地点到起跳线画 线段来测量的。 (2)要从河边引水到村庄，为了节省水管，应沿着村庄到河边的 方向铺设管道。 例题讲解 【典例3】小明想把大街上的自来水管道接到家，怎样接比较合适？画出示意图来。 举一反三 【变式3-1】从学校到对面的马路有四条小路，量得这四条小路分别是482米、246米、330米、467米，其中有一条小路与马路是垂直的。学校到对面马路的距离是( )米。理由：( )。 【变式3-2】体育课上练习跳远。小明在点A处起跳，落在了点B处。要测量他的跳远成绩，应该测量哪一段的长度，请你在下图中画出来。 【变式3-3】下图是学校平面图的一部分。A点有一个水龙头，要从此处挖一条排水沟连接到下水道，怎样挖长度最短？画一画。 题型四、平行的特征及性质 知识积累 1.定义：在同一个平面内， 的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2.符号表示：如果直线 与直线 互相平行，记作 ，读作“ ”。 3.关键要素： (1)前提条件：必须在“同一平面”内。 (2)状态：永不相交（无论延伸多长）。 4.平行线间的距离： (1)两条平行线之间的 线段长度都相等。 (2)也就是说，平行线之间的距离处处 。 5.传递性：如果直线 平行于直线 ，直线 平行于直线 ，那么直线 直线 。 例题讲解 【典例4】画与已知直线距离是4厘米的平行线，一共可以画( )条。 举一反三 【变式4-1】如下图，与直线a互相垂直的是直线( )，与直线e互相平行的是直线( )。 【变式4-2】一张纸上画了三条直线a、b、c，a⊥b，b∥c，那么直线a( )c。 【变式4-3】有三条直线，它们的位置关系是：a∥b，b∥c，且a与b的距离是1厘米，b与c的距离是3厘米，则a与c的距离是( )厘米或( )厘米。 题型五、画平行线 知识积累 1.工具准备：通常使用 和 配合画图。 2.画法步骤（推平行线法）： (1)一贴：将三角尺的一条直角边与已知直线 。 (2)二靠：将直尺紧靠三角尺的另一条直角边（作为轨道）。 (3)三移：固定直尺不动，沿直尺平移三角尺，直到三角尺的原直角边经过已知 （或到达指定位置）。 (4)四画：沿三角尺的直角边画出直线。 例题讲解 【典例5】过点作射线的平行线，作射线的垂线。 举一反三 【变式5-1】过点A做直线a的平行线；过点A做直线b的垂线。 【变式5-2】经过点O分别画出直线a的平行线和直线b的垂线。 【变式5-3】（1）过点P画射线OA的垂线； （2）过点P画射线OB的平行线。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 几何小实践 目录概览 题型一、垂直的特征 1 题型二、画垂线 3 题型三、点到直线的距离 5 题型四、平行的特征及性质 8 题型五、画平行线 10 题型演练 题型一、垂直的特征 知识积累 1.定义：两条直线相交成 直角 时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的 垂线，这两条直线的交点叫做 垂足。 2.符号表示：如果直线 与直线 互相垂直，记作 ，读作“ 垂直于 ”。 3.特征判断： (1)判断两条直线是否垂直，关键是看它们相交成的角是不是 90度（或直角）。 (2)在同一平面内，过一点有且只有 一 条直线与已知直线垂直。 4.生活中的垂直： (1)黑板的长边和短边互相 垂直。 (2)三角尺的两条直角边互相 垂直。 例题讲解 【典例1】沿着图中的各图中的虚线折一折，两条折痕互相垂直的图形有（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直；注意垂直是相交的一种特殊形式，据此即可解答。 【详解】根据分析可知： 图①两条折痕互相垂直。 图②两条折痕互相平行。 图③两条折痕互相垂直。 图④两条折痕互相垂直。 沿着图中的各图中的虚线折一折，两条折痕互相垂直的图形有①③④。 故答案为：C 举一反三 【变式1-1】下图是运动会中四名运动员掷铅球的情况，（    ）的成绩最好。 A．小瑞 B．小辉 C．小杰 D．小明 【答案】B 【分析】根据题意，从图中可以看出，代表投掷距离的点（越高表示距离越远）中，先给四名运动员掷铅球的情况由高到低排序，选出所对应的点最高的，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 四名运动员掷铅球的情况由高到低排序： 小辉＞小杰＞小明＞小瑞 小辉的成绩最好。 故答案为：B 【变式1-2】下图中有( )组平行线，线段AC与线段BD( )（填“互相平行”或“互相垂直”）。 【答案】 两/2 互相垂直 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线互相平行；当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直。据此解答。 【详解】观察图可知：线段AD与线段BC互相平行，线段AB与线段DC互相平行，所以图中有两组平行线。线段AC与线段BD互相垂直。 【变式1-3】在同一平面内，与直线AB的距离是3厘米的直线有( )条。 【答案】2 【分析】 从平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做平行线间的距离。与直线AB的距离是3厘米的直线如图： 【详解】在同一平面内，与直线AB的距离是3厘米的直线有（2）条。 【点睛】熟记平行线间的距离定义是解题关键。 题型二、画垂线 知识积累 1.工具准备：画垂线主要使用 三角尺（或量角器）和直尺。 2.过直线上一点画垂线步骤： (1)一贴：将三角尺的一条直角边与已知直线 重合。 (2)二移：沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知 点。 (3)三画：沿三角尺的另一条直角边画一条直线。 (4)四标：画上 直角符号，并标明垂足。 3.过直线外一点画垂线步骤： (1)方法同上，关键在于移动三角尺时，要保证直角边经过直线 外 的那个点。 (2)注意：画出的垂线线段通常要穿过已知直线，并向两端适当 延长（视题目要求而定，若画垂线段则止于垂足）。 例题讲解 【典例2】过B点画出已知直线的垂线。 【答案】 【详解】方法：用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线。 作图如下： 举一反三 【变式2-1】在下图中画出点A到直线l的垂直线段。 【答案】见详解 【分析】根据过直线上或直线外一点作垂线的步骤：首先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；接着沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上最后沿三角尺的另一条直角边画一条线段，并画上垂直符号；据此方法可画出垂直线段。 【详解】如图： 【变式2-2】过点作线段的垂线。 【答案】见详解 【分析】过A点画BC的垂线：把三角板的一条直角边与BC重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向BC画直线即可。 【详解】 【点睛】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 【变式2-3】过P点分别画出直线a和直线b的垂线。 【答案】见详解 【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，据此作图即可。 【详解】如图： 题型三、点到直线的距离 知识积累 1.垂线段：从直线外一点到这条直线所画的 垂直 线段，叫做这点到直线的垂线段。 2.距离的定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的 长度，叫做这点到直线的距离。 3.重要性质： (1)从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段 最短。 (2)简单概括为：垂线段最短。 4.实际应用： (1)测量跳远成绩时，是从落地点到起跳线画 垂直 线段来测量的。 (2)要从河边引水到村庄，为了节省水管，应沿着村庄到河边的 垂直 方向铺设管道。 例题讲解 【典例3】小明想把大街上的自来水管道接到家，怎样接比较合适？画出示意图来。 【答案】见详解 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短； 从小明家向大街边（离小明家较近的一边）作垂线交大街边于一点，从小明家到这点的距离最近，这样接比较合适，据此解答即可。 【详解】根据分析画图如下： 举一反三 【变式3-1】从学校到对面的马路有四条小路，量得这四条小路分别是482米、246米、330米、467米，其中有一条小路与马路是垂直的。学校到对面马路的距离是( )米。理由：( )。 【答案】 246 点到直线的所有线段中，垂线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。比较四条小路长度大小，找出最短的那条小路即可。 【详解】482米＞467米＞330米＞246米，则学校到对面马路的距离是246米。理由：点到直线的所有线段中，垂线段最短。（说法不唯一，合理即可） 【变式3-2】体育课上练习跳远。小明在点A处起跳，落在了点B处。要测量他的跳远成绩，应该测量哪一段的长度，请你在下图中画出来。 【答案】见详解 【分析】测量时，以后面脚印的脚后跟（B点）与起跳线的垂线段的长度作为他的跳远成绩。 【详解】从后面脚印的脚后跟（B点）作起跳线的垂线段即可。 【变式3-3】下图是学校平面图的一部分。A点有一个水龙头，要从此处挖一条排水沟连接到下水道，怎样挖长度最短？画一画。 【答案】见详解 【分析】过A点做下水道的垂线就是A点（水龙头）到下水道最近的距离。 过A点做下水道的垂线，我们可以借助三角尺，先用一把三角尺的一条直角边与下水道直线重合，沿着这条直线平移三角尺，当A点与三角尺的另一边重合时，沿着三角尺的另一边画直线，并标出直角符号； 【详解】根据分析，画图如下： 题型四、平行的特征及性质 知识积累 1.定义：在同一个平面内，不相交 的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2.符号表示：如果直线 与直线 互相平行，记作 ，读作“ 平行于 ”。 3.关键要素： (1)前提条件：必须在“同一平面”内。 (2)状态：永不相交（无论延伸多长）。 4.平行线间的距离： (1)两条平行线之间的 垂直 线段长度都相等。 (2)也就是说，平行线之间的距离处处 相等。 5.传递性：如果直线 平行于直线 ，直线 平行于直线 ，那么直线 平行于 直线 。 例题讲解 【典例4】画与已知直线距离是4厘米的平行线，一共可以画( )条。 【答案】2 【分析】同一平面内画与已知直线平行的直线可以画无数条，但画与已知直线距离4厘米的平行线，只能在已知直线的上面和下面各画一条。据此解答即可。 【详解】如图所示： 画与已知直线距离是4厘米的平行线，一共可以画2条。 举一反三 【变式4-1】如下图，与直线a互相垂直的是直线( )，与直线e互相平行的是直线( )。 【答案】 c和e c 【分析】根据垂直和平行的性质：在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直，不相交的两条直线叫做平行线，据此判断即可。 【详解】由分析知：与直线a互相垂直的是直线c和e，与直线e互相平行的是直线c。 【变式4-2】一张纸上画了三条直线a、b、c，a⊥b，b∥c，那么直线a( )c。 【答案】⊥ 【分析】 在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行，在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，互相平行的两条直线垂直于同一条直线。如图：。 【详解】如图： 所以直线a⊥c。 【变式4-3】有三条直线，它们的位置关系是：a∥b，b∥c，且a与b的距离是1厘米，b与c的距离是3厘米，则a与c的距离是( )厘米或( )厘米。 【答案】 2 4 【分析】根据平行线间距离的定义，当三条直线都平行时，a与c的位置有两种可能：位于b的同侧或两侧，分别计算两种情况下的距离即可。 【详解】根据分析可知： a与b的距离为1厘米，c与b的距离为3厘米，a与c的距离为两距离之差：3－1＝2（厘米） a与c的距离为两距离之和：3＋1＝4（厘米） 有三条直线，它们的位置关系是：a∥b，b∥c，且a与b的距离是1厘米，b与c的距离是3厘米，则a与c的距离是2厘米或4厘米。 题型五、画平行线 知识积累 1.工具准备：通常使用 三角尺 和 直尺 配合画图。 2.画法步骤（推平行线法）： (1)一贴：将三角尺的一条直角边与已知直线 重合。 (2)二靠：将直尺紧靠三角尺的另一条直角边（作为轨道）。 (3)三移：固定直尺不动，沿直尺平移三角尺，直到三角尺的原直角边经过已知 点（或到达指定位置）。 (4)四画：沿三角尺的直角边画出直线。 例题讲解 【典例5】过点作射线的平行线，作射线的垂线。 【答案】见详解 【分析】过点O作射线AB的平行线：把三角板的一边靠紧射线AB，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与射线AB重合的一边经过点O时，沿这边画直线就是过点O作的射线AB的平行线。 过点O作射线AC的垂线：把三角板的一直角边靠紧射线AC，沿这射线AC滑动三角板，当另一直角边经过点O时，沿这条直角边画的直线就是过点O作的射线AC的垂线； 【详解】 举一反三 【变式5-1】过点A做直线a的平行线；过点A做直线b的垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）画已知直线的平行线的步骤：固定三角尺，将一条直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺使直线外的点在三角尺的直角边上；沿着这条直角边画出另一条直线。 （2）过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】 【变式5-2】经过点O分别画出直线a的平行线和直线b的垂线。 【答案】见详解 【分析】画过O点的直线a的平行线：①把三角板的一条直角边和直线a完全重合，将直尺紧贴三角板的另一条直角边，固定直尺不动； ②把三角板沿着直尺平移，直到原本和a重合的直角边经过点O，沿着这条直角边画直线，得到的就是所求的平行线。 画过O点的直线b的垂线：① 把三角板的一条直角边和直线b完全重合，沿着直线b平移三角板，让三角板的另一条直角边刚好经过点O； ② 沿着这条经过O点的直角边画直线，和直线b相交，在交点处标注直角符号，得到的就是所求的垂线。 【详解】如图： 【变式5-3】（1）过点P画射线OA的垂线； （2）过点P画射线OB的平行线。 【答案】见详解 【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线； 过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 【详解】 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $