专题03 简易方程（二）（专项训练）五年级数学暑假专项提升（沪教版）

专题03 简易方程（二） 目录概览 题型一、列方程解图形问题 1 题型二、列方程解和倍问题 3 题型三、列方程解差倍问题 4 题型四、列方程解和差问题 6 题型五、列方程解相遇问题 7 题型六、列方程解追及问题 9 题型七、列方程解盈亏问题 10 题型演练 题型一、列方程解图形问题 知识积累 1.常用公式回顾： (1)长方形面积 = ；长方形周长 = 。 (2)三角形面积 = 。 (3)梯形面积 = 。 2.解题步骤： (1)审题：明确已知条件（如面积、周长、边长关系）和要求的问题。 (2)设元：通常设所求的未知量为 。若存在倍数关系，常设“1倍数”或较小的量为 。 (3)找等量关系：根据图形公式建立方程。 ①　例如：已知长方形面积和长，求宽。等量关系为： 。 ②　例如：已知梯形面积、高及上下底倍数关系。设上底为 ，则下底为 ，方程为： 。 (4)求解与检验：解方程后，务必代入原公式检验是否符合题意。 例题讲解 【典例1】一个长方形操场长是20米，面积是360平方米。这个操场的宽是多少米？（请你列方程解答） 举一反三 【变式1-1】看图列方程，并解答。 三角形面积是34.8平方米。 【变式1-2】李奶奶给一块长方形菜地的周围围上篱笆，一共用了66米篱笆，已知菜地的长是25米，宽是多少米？ 【变式1-3】一个梯形的面积是42平方厘米，高是7厘米，下底的长度是上底长度的3倍，这个梯形的下底长多少厘米？（列方程解） 题型二、列方程解和倍问题 知识积累 1.基本数量关系： (1)设较小数（1倍数）为 ，则较大数（几倍数）为 。 (2)等量关系： 。 (3)方程形式： ，即 。 2.解题关键： (1)找准“1倍数”作为标准量设为 。 (2)若题目表述为“A是B的3倍”，则设 为 ，A 为 。 (3)若题目表述为“A比B的3倍多5”，则 A 表示为 。 例题讲解 【典例2】果园里共有梨树和桃树480棵，梨树的棵数是桃树的3倍，梨树有多少棵？ 举一反三 【变式2-1】学校图书馆有故事书和科技书共315本，其中科技书的本数是故事书的4倍，科技书和故事书各有多少本？ 【变式2-2】公园里松树和白杨树一共有234棵。其中，白杨树的数量是松树的数量的2倍，公园里松树和白杨树各有多少棵？ 【变式2-3】“红领巾开心农场”里，种植小组种了黄瓜和西红柿共85棵，西红柿的棵数比黄瓜的3倍还多5棵。黄瓜和西红柿各种了多少棵？（用方程解答） 题型三、列方程解差倍问题 知识积累 1.基本数量关系： (1)设较小数（1倍数）为 ，则较大数（几倍数）为 。 (2)等量关系： 。 (3)方程形式： ，即 。 2.解题关键： (1)同样设“1倍数”为 。 (2)注意区分“谁比谁多”或“谁比谁少”，确保方程左边是 。 (3)若题目表述为“A比B的3倍少12，且A比B多56”，可利用A的两种表达方式列方程： 。 例题讲解 【典例3】小胖的邮票张数比小巧多116张，是小巧邮票张数的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？（列方程解决问题） 举一反三 【变式3-1】列方程解决问题。 一个书架分上、下两层，下层的书的本数是上层的2.5倍，上层的书比下层少36本，这个书架上层和下层各有多少本书？ 【变式3-2】果园里桃树的棵数是梨树的3倍少12棵，桃树比梨树多56棵，果园里桃树和梨树各有多少棵？ 【变式3-3】小明和小红一起上街购物，小明的消费金额是小红的1.5倍，小明比小红多费了37元。小明和小红分别消费了多少元？（列方程解答） 题型四、列方程解和差问题 知识积累 1.基本数量关系： (1)设较小数为 ，则较大数为 。 (2)等量关系： 。 (3)方程形式： ，即 。 (4)或者：设较大数为 ，则较小数为 ，方程为 。 2.解题关键： (1)通常设较小的数为 ，这样表示较大的数时用加法，避免负数思维困扰。 (2)注意单位统一，如千克与克的转换。 例题讲解 【典例4】小巧小亚两人一共写320个字，小巧比小亚多写28个字，两人各写多少个字？ 举一反三 【变式4-1】列方程解决问题。妈妈买了一篮苹果共重3.6千克，回到家后称重发现苹果比篮子重2880克。篮子和苹果各重多少千克？ 【变式4-2】小巧买了一本科技书和一本故事书共用了29元，每本科技书的价格比故事书贵1.6元，每本科技书和故事书各几元？ 【变式4-3】王老师买了一个6千克的哈密瓜和一个8千克的西瓜，共用去63.2元。已知每千克哈密瓜比西瓜贵1.2元，请分别求出哈密瓜和西瓜的单价。 题型五、列方程解相遇问题 知识积累 1.核心公式： (1)基本关系： 。 (2)速度和关系： 。 2.解题关键： (1)明确运动方向：相向而行（面对面）。 (2)明确时间关系：两人运动时间 。 (3)若未同时出发，需先计算先走者的路程，剩余路程再由两者共同完成。 3.环形跑道相遇：背向而行第一次相遇： 。 例题讲解 【典例5】甲乙两人同时从相距480米的两地出发，相向而行，4分钟后在途中相遇，已知甲平均每分钟走65米，乙平均每分钟走多少米？（列方程解答） 举一反三 【变式5-1】列方程解决问题。上海和北京之间的铁路长1485千米。一列货车和一列客车分别从上海和北京同时出发，相向而行。货车平均每小时行75千米，9小时后他们在途中相遇。这列客车的速度是多少？ 【变式5-2】学校环形跑道长250米，小文和小凯从同一地点同时出发，背向而行，50秒后两人第一次相遇；小文的速度是3米/秒，小凯的速度是多少米/秒？（用方程解） 【变式5-3】客车和货车同时从相距530千米的两个车站相对开出，经过4小时还相距110千米，已知客车每小时行70千米，货车每小时行多少千米？ 题型六、列方程解追及问题 知识积累 1.核心公式： (1)基本关系： 。 (2)速度差关系： 。 2.解题关键： (1)明确运动方向：同向而行。 (2)明确时间关系：若同时出发，时间相同；若不同时出发，需注意 。 (3)追上时的状态：快者比慢者多跑的距离等于 （或慢者先跑的路程）。 例题讲解 【典例6】列方程解决问题。小巧以65米/分的步行速度从家里出发去少年宫。出发16分钟后，妈妈发现小巧把一份材料忘在家里了，于是骑车以195米/分的速度去追。妈妈出发后多久能追上小巧？此时小巧离家多少米远？ 举一反三 【变式6-1】小胖和小丁丁赛跑，小胖的速度是7米/秒，小丁丁的速度是5.5米/秒。若小胖在小丁丁后面21米处，与小丁丁同时同向起跑，小胖经过多长时间后可追上小丁丁？ 【变式6-2】客、货两车从甲城去乙城，客车每小时行85千米，货车每小时行68千米，货车先行半小时，客车出发多少小时后可追上货车？ 【变式6-3】小巧步行去少年宫，她平均每分钟走75米，走了8分钟后，爸爸在家发现小巧忘带了东西，立刻骑车以195米/分的速度追赶。爸爸几分钟后在途中追上小巧？（列方程解决问题） 题型七、列方程解盈亏问题 知识积累 1.解题核心： (1)抓住不变量：通常是物品总数或**人数（房间数）**不变。 (2)一般设份数（如房间数、班级数、天数）为 。 2.常见类型与等量关系： (1)类型一：一盈一亏 ①　方案A：每份 个，多 个 总数 = ②　方案B：每份 个，少 个 总数 = ③　方程： (2)类型二：两盈 ①　方案A：每份 个，多 个 总数 = ②　方案B：每份 个，多 个 ( ) 总数 = ③　方程： (3)类型三：一空一满（特殊盈亏） ①　方案A：每间住 人，空 间 人数 = ②　方案B：每间住 人，无床位 人 人数 = ③　方程： 例题讲解 【典例7】列方程解决问题。学校给新生分配寝室，如果每间寝室住6个学生，那么正好空出1间寝室；如果每间寝室住5个学生，那么会有6个学生没有床位。则这批新生有多少人？ 举一反三 【变式7-1】植树节学校购买了一批绿植分给各班，如果每班分8盆，那么正好分完；如果每班分10盆，那么还有7个班没分到。问：这个学校共有几个班？这批绿植共多少盆？（列方程解） 【变式7-2】小巧家买了同样多的桔子和苹果，每天吃6个桔子和4个苹果，吃了几天后，苹果还剩12个，桔子正好吃完。已经吃了几天？苹果和桔子原来共有多少个？ 【变式7-3】“六一”儿童节，我校师生在小剧场举行文艺汇演，剧场安排座位时，如果每排座位坐50人，将会空出5排座位；如果每排座位坐40人，就有200人没有座位。小剧场共有多少排座位？我校师生共有多少人？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 简易方程（二） 目录概览 题型一、列方程解图形问题 1 题型二、列方程解和倍问题 3 题型三、列方程解差倍问题 6 题型四、列方程解和差问题 8 题型五、列方程解相遇问题 11 题型六、列方程解追及问题 13 题型七、列方程解盈亏问题 16 题型演练 题型一、列方程解图形问题 知识积累 1.常用公式回顾： (1)长方形面积 = 长 × 宽；长方形周长 = (长 + 宽) × 2。 (2)三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2。 (3)梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。 2.解题步骤： (1)审题：明确已知条件（如面积、周长、边长关系）和要求的问题。 (2)设元：通常设所求的未知量为 。若存在倍数关系，常设“1倍数”或较小的量为 。 (3)找等量关系：根据图形公式建立方程。 ①　例如：已知长方形面积和长，求宽。等量关系为：长 × 宽 = 面积。 ②　例如：已知梯形面积、高及上下底倍数关系。设上底为 ，则下底为 倍数 × x，方程为：(x + 倍数x) × 高 ÷ 2 = 面积。 (4)求解与检验：解方程后，务必代入原公式检验是否符合题意。 例题讲解 【典例1】一个长方形操场长是20米，面积是360平方米。这个操场的宽是多少米？（请你列方程解答） 【答案】18米 【分析】已知一个长方形操场长是20米，面积是360平方米，求这个操场的宽，根据长方形的面积＝长×宽，可以设这个长方形的宽是x米，据此列方程解答。 【详解】解：设这个长方形的宽是x米。 20x＝360 20x÷20＝360÷20 x＝18 答：这个操场的宽是18米。 举一反三 【变式1-1】看图列方程，并解答。 三角形面积是34.8平方米。 【答案】x＝5.8米 【分析】根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2，代入数据列方程，再根据方程性质2解方程。 【详解】12x÷2＝34.8 6x＝34.8 6x÷6＝34.8÷6 x＝5.8 【变式1-2】李奶奶给一块长方形菜地的周围围上篱笆，一共用了66米篱笆，已知菜地的长是25米，宽是多少米？ 【答案】8米 【分析】根据题意，篱笆的66米是长方形的周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可以设宽是x米，列出方程（25＋x）×2＝66，根据等式的性质1和2解方程。 【详解】解：设宽是x米。 （25＋x）×2＝66 25＋x＝66÷2 25＋x＝33 x＝33－25 x＝8 答：宽是8米。 【变式1-3】一个梯形的面积是42平方厘米，高是7厘米，下底的长度是上底长度的3倍，这个梯形的下底长多少厘米？（列方程解） 【答案】 9厘米 【分析】本题考查梯形的面积公式及列方程解决问题。根据梯形面积公式“面积＝（上底＋下底）×高÷2”，已知面积和高，且下底是上底的3倍，可设上底长度为未知数，表示出下底长度，利用面积公式建立等量关系列出方程，求出上底后再计算下底长度。 【详解】解：设梯形的上底长为x厘米，则下底长为3x厘米。 （x＋3x）×7÷2＝42 4x×7÷2＝42 28x÷2＝42 14x＝42 x＝42÷14 x＝3 3×3＝9（厘米） 答：这个梯形的下底长9厘米。 题型二、列方程解和倍问题 知识积累 1.基本数量关系： (1)设较小数（1倍数）为 ，则较大数（几倍数）为 倍数 × x。 (2)等量关系：较小数 + 较大数 = 总和。 (3)方程形式： ，即 。 2.解题关键： (1)找准“1倍数”作为标准量设为 。 (2)若题目表述为“A是B的3倍”，则设 B 为 ，A 为 。 (3)若题目表述为“A比B的3倍多5”，则 A 表示为 3x + 5。 例题讲解 【典例2】果园里共有梨树和桃树480棵，梨树的棵数是桃树的3倍，梨树有多少棵？ 【答案】360棵 【分析】设桃树有x棵，梨树的棵数是桃树的3倍，则梨树有3x棵，梨树的棵数＋桃树的棵数＝480，列方程：3x＋x＝480，解方程，即可解答。 【详解】解：设桃树有x棵。 3x＋x＝480 4x＝480 x＝480÷4 x＝120 梨树：120×3＝360（棵） 答：梨树有360棵。 举一反三 【变式2-1】学校图书馆有故事书和科技书共315本，其中科技书的本数是故事书的4倍，科技书和故事书各有多少本？ 【答案】故事书63本；科技书252本 【分析】根据“科技书的本数是故事书的4倍”，可以设故事书有x本，则科技书有4x本； 根据“故事书和科技书共315本”可得出等量关系：故事书的本数＋科技书的本数＝故事书和科技书的总本数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设故事书有x本，则科技书有4x本。 x＋4x＝315        5x＝315 x＝315÷5 x＝63            科技书：63×4＝252（本） 答：故事书有63本，科技书有252本。 【变式2-2】公园里松树和白杨树一共有234棵。其中，白杨树的数量是松树的数量的2倍，公园里松树和白杨树各有多少棵？ 【答案】松树78棵；白杨树156棵 【分析】设公园里松树有x棵，白杨树的数量是松树的数量的2倍，则白杨树有2x棵，公园里松树和白杨树一共有234棵，列方程：x＋2x＝234，解方程，即可解答。 【详解】解：设松树有x棵，那么白杨树有2x棵。 x＋2x＝234 3x＝234 x＝234÷3 x＝78 白杨树：78×2＝156（棵） 答：公园里松树有78棵，白杨树有156棵。 【变式2-3】“红领巾开心农场”里，种植小组种了黄瓜和西红柿共85棵，西红柿的棵数比黄瓜的3倍还多5棵。黄瓜和西红柿各种了多少棵？（用方程解答） 【答案】20棵；65棵 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数多几就加几，设黄瓜种了x棵，则西红柿种了（3x＋5）棵，根据种的黄瓜棵数＋种的西红柿棵数＝总棵数，列出方程求出x的值是种的黄瓜棵数，种的黄瓜棵数×3＋5棵＝种的西红柿棵数。 【详解】解：设黄瓜种了x棵。 x＋（3x＋5）＝85 x＋3x＋5＝85 4x＋5＝85 4x＋5－5＝85－5 4x＝80 4x÷4＝80÷4 x＝20 20×3＋5 ＝60＋5 ＝65（棵） 答：黄瓜种了20棵，西红柿种了65棵。 题型三、列方程解差倍问题 知识积累 1.基本数量关系： (1)设较小数（1倍数）为 ，则较大数（几倍数）为 倍数 × x。 (2)等量关系：较大数 - 较小数 = 差。 (3)方程形式： ，即 。 2.解题关键： (1)同样设“1倍数”为 。 (2)注意区分“谁比谁多”或“谁比谁少”，确保方程左边是 大数减小数。 (3)若题目表述为“A比B的3倍少12，且A比B多56”，可利用A的两种表达方式列方程：3x - 12 = x + 56。 例题讲解 【典例3】小胖的邮票张数比小巧多116张，是小巧邮票张数的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？（列方程解决问题） 【答案】小巧：58张；小胖：174张 【分析】设小巧邮票有x张，根据数量关系，小胖的邮票张数＝小巧邮票张数的3倍，小胖的邮票张数－小巧的邮票张数＝116，列出方程，解方程，即可解答。 【详解】解：设小巧有x张邮票，则小胖有3x张邮票。 3x－x＝116 2x＝116 2x÷2＝116÷2 x＝58 小胖的邮票张数：58×3＝174（张） 答：小胖的邮票张数为174张，小巧的邮票张数为58张。 举一反三 【变式3-1】列方程解决问题。 一个书架分上、下两层，下层的书的本数是上层的2.5倍，上层的书比下层少36本，这个书架上层和下层各有多少本书？ 【答案】上层：24本；下层：60本 【分析】设这个书架的上层有x本书，下层的书的本数是上层的2.5倍，下层有2.5x本书，上层的书比下层少36本，即下层书的本数－上层书的本数＝36本，列方程：2.5x－x＝36，解方程，即可解答。 【详解】解：设这个书架上层有x本书，则下层有2.5x本。 2.5x－x＝36 1.5x＝36 x＝36÷1.5 x＝24 下层：24×2.5＝60（本） 答：这个书架上层有24本书，下层有60本书。 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用上层与下层书本数的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 【变式3-2】果园里桃树的棵数是梨树的3倍少12棵，桃树比梨树多56棵，果园里桃树和梨树各有多少棵？ 【答案】桃树90棵，梨树34棵 【分析】将梨树数量设为x棵，那么桃树可以表示为（3x－12）棵或（x＋56）棵。桃树数量是一定的，据此列出方程解题即可。 【详解】解：设梨树有x棵。 3x－12＝x＋56 3x－x－12＋12＝x－x＋56＋12 2x＝68 2x÷2＝68÷2 x＝34 34＋56＝90（棵） 答：果园里桃树有90棵，梨树有34棵。 【点睛】本题考查了简易方程的应用，解题关键是理清数量关系从而列方程。 【变式3-3】小明和小红一起上街购物，小明的消费金额是小红的1.5倍，小明比小红多费了37元。小明和小红分别消费了多少元？（列方程解答） 【答案】小明111元；小红74元 【分析】设小红消费了x元，因为小明的消费金额是小红的1.5倍，所以小明消费了1.5x元。已知小明比小红多消费37元，所以等量关系是：小明消费金额－小红消费金额＝37元，代入未知数得方程：1.5x－x＝37。先计算方程左边，然后依据等式的性质，等式两边同时除以同一个非零数，等式仍然成立即可解答。 【详解】解：设小红消费了x元，小明消费了x元。 1.5x－x＝37 0.5x＝37 0.5x÷0.5＝37÷0.5 x＝74 1.5×74＝111（元） 答：小明消费了111元，小红消费了74元。 题型四、列方程解和差问题 知识积累 1.基本数量关系： (1)设较小数为 ，则较大数为 x + 差。 (2)等量关系：较小数 + 较大数 = 和。 (3)方程形式： ，即 。 (4)或者：设较大数为 ，则较小数为 x - 差，方程为 。 2.解题关键： (1)通常设较小的数为 ，这样表示较大的数时用加法，避免负数思维困扰。 (2)注意单位统一，如千克与克的转换。 例题讲解 【典例4】小巧小亚两人一共写320个字，小巧比小亚多写28个字，两人各写多少个字？ 【答案】小亚写了146个字，小巧写了174个字 【分析】根据题意，可得到等量关系式：小巧写的字＋小亚写的字＝320，由此可设小亚写的字数为x，则小巧写的字数为x＋28人，再根据两人一共写了320个字，列出方程解答。 【详解】解：设小亚写了x个字 x＋（x＋28）＝320 2x ＝320－28 2x ＝292 2x÷2＝292÷2 x＝292÷2 x＝146 146＋28＝174（个） 答：小亚写了146个字，小巧写了174个字。 【点睛】关键是根据题意设出未知数，再找出数量关系等式，列出方程解答。 举一反三 【变式4-1】列方程解决问题。妈妈买了一篮苹果共重3.6千克，回到家后称重发现苹果比篮子重2880克。篮子和苹果各重多少千克？ 【答案】篮子：0.36千克 苹果：3.24千克 【分析】先统一单位，将2880克换算为2.88千克。设篮子重x千克，那么苹果重（x＋2.88）千克。根据篮子的重量＋苹果的重量＝总重量，列出方程，再根据等式的性质1和等式的性质2逐步解方程，求出篮子的重量，再计算苹果的重量。 【详解】2880克＝2.88千克 解：设篮子重x千克，则苹果重（x＋2.88）千克。 x＋（x＋2.88）＝3.6 x＋x＋2.88＝3.6 2x＋2.88＝3.6 2x＋2.88－2.88＝3.6－2.88 2x＝0.72 2x÷2＝0.72÷2 x＝0.36 苹果的重量：0.36＋2.88＝3.24（千克） 答：篮子重0.36千克，苹果重3.24千克。 【变式4-2】小巧买了一本科技书和一本故事书共用了29元，每本科技书的价格比故事书贵1.6元，每本科技书和故事书各几元？ 【答案】故事书13.7元；科技书15.3元 【分析】已知两本书的总价以及价格差，我们可以通过设未知数，利用总价的关系来列方程求解。设故事书的价格为x元，那么科技书的价格就是x＋1.6元，再根据两者总价为29元这个条件来列方程，据此分析。 【详解】解：设每本故事书x元，因为每本科技书的价格比故事书贵1.6元，所以每本科技书（x＋1.6）元。根据“一本科技书和一本故事书共用了29元”，可列方程： x＋（x＋1.6）＝29 x＋x＋1.6＝29 2x＋1.6＝29 2x＋1.6－1.6＝29－1.6 2x＝27.4 2x÷2＝27.4÷2 x＝13.7 那么科技书的价格为：x＋1.6＝13.7＋1.6＝15.3（元） 答：每本故事书13.7元和每本科技书15.3元。 【变式4-3】王老师买了一个6千克的哈密瓜和一个8千克的西瓜，共用去63.2元。已知每千克哈密瓜比西瓜贵1.2元，请分别求出哈密瓜和西瓜的单价。 【答案】 哈密瓜5.2元/千克；西瓜4元/千克 【分析】可以用方程法来解题。假设西瓜的单价为元/千克，那么哈密瓜的单价就是（＋1.2）元/千克。根据“6千克哈密瓜＋8千克西瓜＝63.2元”的总价关系，列出方程6（＋1.2）＋8＝63.2，解这个方程就能求出两种水果的单价。 【详解】解：设西瓜的单价为元/千克，则哈密瓜的单价为（＋1.2）元/千克。 6（＋1.2）＋8＝63.2 6＋7.2＋8＝63.2 14＋7.2＝63.2 14＋7.2－7.2＝63.2－7.2 14＝56 14÷14＝56÷14 ＝4 4＋1.2＝5.2（元/千克） 答：哈密瓜单价为5.2元/千克，西瓜单价为4元/千克。 题型五、列方程解相遇问题 知识积累 1.核心公式： (1)基本关系：甲的路程 + 乙的路程 = 总路程。 (2)速度和关系：(甲速 + 乙速) × 相遇时间 = 总路程。 2.解题关键： (1)明确运动方向：相向而行（面对面）。 (2)明确时间关系：两人运动时间 相同。 (3)若未同时出发，需先计算先走者的路程，剩余路程再由两者共同完成。 3.环形跑道相遇：背向而行第一次相遇：甲路程 + 乙路程 = 跑道周长。 例题讲解 【典例5】甲乙两人同时从相距480米的两地出发，相向而行，4分钟后在途中相遇，已知甲平均每分钟走65米，乙平均每分钟走多少米？（列方程解答） 【答案】55米 【分析】设乙平均每分钟走x米，根据等量关系：甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝总路程列出方程65×4＋4x＝480，解出方程即可得到乙的速度。 【详解】解：设乙平均每分钟走x米。 65×4＋4x＝480 260＋4x＝480 260＋4x－260＝480－260 4x＝220 4x÷4＝220÷4 x＝55 答：乙平均每分钟走55米。 举一反三 【变式5-1】列方程解决问题。上海和北京之间的铁路长1485千米。一列货车和一列客车分别从上海和北京同时出发，相向而行。货车平均每小时行75千米，9小时后他们在途中相遇。这列客车的速度是多少？ 【答案】 90千米/时 【分析】货车和客车同时出发、相向而行，属于相遇问题。找到题中的等量关系：“速度和相遇时间总路程”。设客车的速度为未知数，根据等量关系代入已知数据列出方程并求解。 【详解】解：设这列客车的速度是千米/时。 答：这列客车的速度是千米/时。 【变式5-2】学校环形跑道长250米，小文和小凯从同一地点同时出发，背向而行，50秒后两人第一次相遇；小文的速度是3米/秒，小凯的速度是多少米/秒？（用方程解） 【答案】2米/秒 【分析】在环形跑道上，两人从同一地点背向而行，第一次相遇时两人所跑路程之和等于跑道一圈的长度。设小凯的速度为x米/秒，根据小文的速度×行走的时间＋小凯的速度×行走的时间＝跑道长度，列出方程并解方程，即可求出小凯的速度。 【详解】解：设小凯的速度为 x米/秒。 50×3＋50x＝250 150＋50x＝250 150＋50x－150＝250－150 50x＝100 50x÷50＝100÷50 x＝2 答：小凯的速度是2米/秒。 【变式5-3】客车和货车同时从相距530千米的两个车站相对开出，经过4小时还相距110千米，已知客车每小时行70千米，货车每小时行多少千米？ 【答案】35千米 【分析】设货车每小时行驶x千米；根据路程＝速度×时间；客车每小时行驶70千米，4小时行驶70×4千米；货车每小时行驶x千米，4小时行驶4x千米，客车行驶的路程＋货车行驶的路程＋110千米＝两个车站的距离，列方程：70×4＋4x＋110＝530，解方程，即可解答。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米。 70×4＋4x＋110＝530 280＋4x＋110＝530 4x＋390＝530 4x＋390－390＝530－390 4x＝140 4x÷4＝140÷4 x＝35 答：货车每小时行驶35千米。 题型六、列方程解追及问题 知识积累 1.核心公式： (1)基本关系：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离差。 (2)速度差关系：(快速 - 慢速) × 追及时间 = 初始距离差。 2.解题关键： (1)明确运动方向：同向而行。 (2)明确时间关系：若同时出发，时间相同；若不同时出发，需注意 时间差。 (3)追上时的状态：快者比慢者多跑的距离等于 出发时的间距（或慢者先跑的路程）。 例题讲解 【典例6】列方程解决问题。小巧以65米/分的步行速度从家里出发去少年宫。出发16分钟后，妈妈发现小巧把一份材料忘在家里了，于是骑车以195米/分的速度去追。妈妈出发后多久能追上小巧？此时小巧离家多少米远？ 【答案】 8分钟；1560米 【分析】由题可知：二人路程相等，路程＝速度×时间，妈妈骑车的时间＋16分钟＝小巧行走的时间，妈妈的速度×妈妈所用时间＝小巧的速度×小巧所用时间；设妈妈出发x分钟后能追上小巧，列出方程求解；妈妈的速度×所用时间＝小巧与家的距离。 【详解】解：设妈妈出发x分钟后能追上小巧。 195x＝65（x＋16） 195x＝65x＋1040 195x－65x＝65x－65x＋1040 130x＝1040 130x÷130＝1040÷130 x＝8 195×8＝1560（米） 答：妈妈出发后8分钟能追上小巧，此时小巧离家1560米远。 举一反三 【变式6-1】小胖和小丁丁赛跑，小胖的速度是7米/秒，小丁丁的速度是5.5米/秒。若小胖在小丁丁后面21米处，与小丁丁同时同向起跑，小胖经过多长时间后可追上小丁丁？ 【答案】14秒 【分析】设小胖经过x秒后可以追上小丁丁，根据路程＝速度×时间，x秒小胖跑了7x米；x秒小丁丁跑了5.5x米，小胖跑的路程＝小丁丁跑的路程＋21米，列方程：7x＝5.5x＋21，解方程，即可解答。 【详解】解：设小胖经过x秒后可以追上小丁丁。 7x＝5.5x＋21 7x－5.5x＝21 1.5x＝21 x＝21÷1.5 x＝14 答：小胖经过14秒后可以追上小丁丁。 【变式6-2】客、货两车从甲城去乙城，客车每小时行85千米，货车每小时行68千米，货车先行半小时，客车出发多少小时后可追上货车？ 【答案】2小时 【分析】设客车出发x小时后可追上货车；客车每小时行85千米，x小时行85x千米；货车每小时行68千米；货车先行半小时，用货车行驶的速度×0.5小时，求出货车半小时行驶的路程，再求出x小时行驶的路程，即68x千米，先行半小时的路程＋货车x小时行驶的路程＝客车x小时行驶的路程，列方程：68×0.5＋68x＝85x，解方程，即可解答。 【详解】解：设客车出发x小时后可追上货车。 68×0.5＋68x＝85x 34＋68x＝85x 85x－68x＝34 17x＝34 x＝34÷17 x＝2 答：客车出发2小时后可追上货车。 【点睛】本题考察方程的实际应用，根据路程、速度、时间三者的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 【变式6-3】小巧步行去少年宫，她平均每分钟走75米，走了8分钟后，爸爸在家发现小巧忘带了东西，立刻骑车以195米/分的速度追赶。爸爸几分钟后在途中追上小巧？（列方程解决问题） 【答案】5分钟 【分析】速度×时间＝路程，设爸爸x分钟后在途中追上小巧，此时小巧走了（8＋x）分钟，根据小巧的速度×小巧走的时间＝爸爸的速度×追赶的时间，列出方程解答即可。 【详解】解：设爸爸x分钟后在途中追上小巧。 （8＋x）×75＝195x 600＋75x＝195x 600＋75x－75x＝195x－75x 120x＝600 120x÷120＝600÷120 x＝5 答：爸爸5分钟后在途中追上小巧。 题型七、列方程解盈亏问题 知识积累 1.解题核心： (1)抓住不变量：通常是物品总数或**人数（房间数）**不变。 (2)一般设份数（如房间数、班级数、天数）为 。 2.常见类型与等量关系： (1)类型一：一盈一亏 ①　方案A：每份 个，多 个 总数 = ②　方案B：每份 个，少 个 总数 = ③　方程：ax + m = bx - n (2)类型二：两盈 ①　方案A：每份 个，多 个 总数 = ②　方案B：每份 个，多 个 ( ) 总数 = ③　方程：ax + m = bx + n (3)类型三：一空一满（特殊盈亏） ①　方案A：每间住 人，空 间 人数 = ②　方案B：每间住 人，无床位 人 人数 = ③　方程：a(x - k) = bx + m 例题讲解 【典例7】列方程解决问题。学校给新生分配寝室，如果每间寝室住6个学生，那么正好空出1间寝室；如果每间寝室住5个学生，那么会有6个学生没有床位。则这批新生有多少人？ 【答案】66人 【分析】由题可知，分配的新生总人数不变，设学校寝室有x间，根据第一种分配方案（每间住6人，空1间），学生人数可表示为6（x－1）；根据第二种分配方案（每间住5人，6人无床位），学生人数可表示为5x＋6；根据新生总人数相等列出方程并求解，求出寝室间数，进而求出新生总人数。 【详解】解：设学校寝室有x间。 6（x－1）＝5x＋6 6x－6＝5x＋6 6x－6＋6＝5x＋6＋6 6x＝5x＋12 6x－5x＝5x＋12－5x x＝12 6（x－1）＝6×（12－1）＝6×11＝66 答：这批新生有66人。 举一反三 【变式7-1】植树节学校购买了一批绿植分给各班，如果每班分8盆，那么正好分完；如果每班分10盆，那么还有7个班没分到。问：这个学校共有几个班？这批绿植共多少盆？（列方程解） 【答案】 35个，280盆 【分析】本题考查列方程解决实际问题。解题的关键在于抓住不变量，即这批绿植的总盆数是不变的。题目中班级数量未知，适合设班级数量为未知数 。根据第一种分配方案，每班8盆正好分完，总盆数表示为；根据第二种分配方案，每班10盆还有7个班没分到，说明只有个班分到了绿植，总盆数表示为。利用总盆数相等这一等量关系列出方程，求出班级数，进而求出绿植总盆数。 【详解】解：设这个学校共有个班。 绿植总盆数： （盆） 答：这个学校共有35个班，这批绿植共280盆。 【变式7-2】小巧家买了同样多的桔子和苹果，每天吃6个桔子和4个苹果，吃了几天后，苹果还剩12个，桔子正好吃完。已经吃了几天？苹果和桔子原来共有多少个？ 【答案】已经吃了6天，苹果和桔子原来共有72个。 【分析】设已经吃了x天，则桔子吃了6x个，苹果吃了4x个，吃的苹果个数加上苹果剩下的个数等于吃的桔子的个数，据此列方程求出吃的天数；用每天吃的桔子个数乘吃的天数就是桔子原来的个数，据此即可求解。 【详解】解：设已经吃了x天。 6x＝4x＋12   6x－4x＝4x＋12－4x 2x＝12 2x÷2＝12÷2        x＝6         6×6×2 ＝36×2 ＝72（个）       答：已经吃了6天，苹果和桔子原来共有72个。 【变式7-3】“六一”儿童节，我校师生在小剧场举行文艺汇演，剧场安排座位时，如果每排座位坐50人，将会空出5排座位；如果每排座位坐40人，就有200人没有座位。小剧场共有多少排座位？我校师生共有多少人？ 【答案】 45排；2000人 【分析】根据题意，师生总人数和剧场座位排数是不变的，可设剧场共有x排座位；若“每排座位坐50人，将会空出5排座位”，则师生人数可用50×剧场座位排数，再减去5排空座位5×50＝250人得到，所以等式左边为50x－5×50；若“每排座位坐40人，就有200人没有座位”，则师生人数可用40×剧场座位排数，再加上200人得到，所以等式右边为40x＋200。据此列出方程，解答即可。 【详解】解：设剧场共有x排座位。 50x－5×50＝40x＋200 50x－250＝40x＋200 50x－250＋250＝40x＋200＋250 50x＝40x＋450 50x－40x＝40x＋450－40x 10x＝450 10x÷10＝450÷10 x＝45 40×45＋200 ＝1800＋200 ＝2000（人） 答：小剧场共有45排座位，我校师生共有2000人。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $