专题04 几何小实践（专项训练）五年级数学暑假专项提升（沪教版）

**基本信息** 以13类题型系统整合体积与容积知识，通过“知识积累-例题讲解-举一反三”三阶训练，构建从概念到应用的空间观念培养体系，突出几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何小实践|13题型，每题型1典例+3变式|涵盖分割填补法、排水法等8类核心方法，强调公式推导与实际应用结合|从体积定义、单位认识到长方体正方体特征，再到体积表面积计算、组合体及不规则物体体积，形成概念-公式-应用的递进逻辑|

专题04 几何小实践 目录概览 题型一、体积的认识 1 题型二、立方厘米、立方分米、立方米 3 题型三、长方体与正方体的认识 5 题型四、长方体与正方体的体积 7 题型五、组合体的体积 9 题型六、正方体、长方体的展开图 11 题型七、正方体、长方体的表面积 13 题型八、立体图形的切拼 17 题型九、容积及容积单位的认识 20 题型十、体积与容积单位间的进率及换算 22 题型十一、长方体、正方体的容积 24 题型十二、不规则物体的体积算法 26 题型十三、*体积与质量 29 题型演练 题型一、体积的认识 知识积累 1.定义：物体所占 空间 的大小叫做物体的体积。 2.特性： (1)所有的物体都有体积，无论其形状如何。 (2)两个物体如果形状不同，但所占空间大小相同，则它们的体积 相等。 3.比较方法： (1)对于形状规则的物体，可以通过计算比较。 (2)对于形状不规则或难以直接计算的物体，可以通过 排水法 或切割拼补等方法间接比较。 例题讲解 【典例1】笑笑帮助老师整理讲桌上一摞歪了的练习本，把它们摆放整齐（如图）。在这个过程中，这摞练习本的体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】笑笑帮助老师整理讲桌上一摞歪了的练习本，把它们摆放整齐（如图）。在这个过程中，它的形状发生了变化，但它所占空间的大小不变，所以体积不变，据此选择。 【详解】笑笑帮助老师整理讲桌上一摞歪了的练习本，把它们摆放整齐（如图）。在这个过程中，这摞练习本的体积不变。 故选择：C 【点睛】此题考查了对体积的认识，明确物体所占空间的大小是体积。 举一反三 【变式1-1】佳佳用同一块橡皮泥先捏成一个正方体，又捏成一个球，体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 【答案】C 【分析】根据题意，可知捏成正方体与球用的是同一块橡皮泥，所以它们的体积相等，据此解答即可。 【详解】佳佳用同一块橡皮泥先捏成一个正方体，又捏成一个球，体积不变； 故答案为：C 【点睛】本题较易，解答本题的关键是抓住同一块橡皮泥体积不变。 【变式1-2】用相同数量的硬币分别垒成下面的形状，如图，它们的体积（    ）。 A．①最大 B．②最大 C．③最大 D．①和③一样大 【答案】D 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积；1元硬币的体积比1角硬币的体积大，那么用相同数量的硬币垒成的形状中，②的体积最小；①和③都是用一样多的1元硬币垒出来的，虽然形状不同，但体积相等。 【详解】因为1元硬币的体积比1角硬币的体积大，所以①和③的体积比②大； 又因为①和③都是用相同数量的硬币垒成的，虽然形状不同，但体积都是用一枚1元硬币的体积乘硬币的数量得到，所以①和③的体积一样大。 故答案为：D 【变式1-3】1千克的棉花和1千克的铁块，重量相等，体积也相等。( ) 【答案】× 【详解】因为1千克棉花和1千克铁块的质量都是1千克，所以它们的重量相等。体积是指物体所占空间的大小，由于棉花和铁块是不同物质，棉花比较松散，铁块比较紧密，在质量相等时，1千克棉花所占的空间大于1千克铁块所占的空间，即体积不相等。综上所述，重量相等但体积不相等，故原题说法错误。 故答案为：× 题型二、立方厘米、立方分米、立方米 知识积累 1.常用体积单位： (1)棱长为 1厘米 的正方体，体积是 1 立方厘米，记作 。 (2)棱长为 1分米 的正方体，体积是 1 立方分米，记作 。 (3)棱长为 1米 的正方体，体积是 1 立方米，记作 。 2.生活参照： (1)一个手指尖的体积大约是 1 。 (2)一个粉笔盒的体积大约是 1 。 (3)一个洗衣机包装箱的体积大约是 1 。 例题讲解 【典例2】3.2cm³＝( )dm³       0.8m³＝( )cm³      120dm³＝( )m³ 【答案】 0.0032 800000 0.12 【分析】把3.2cm³换算成dm³数，用3.2除以进率1000得0.0032 dm³；把0.8m³换算成cm³数，用0.8乘进率1000000得800000cm³；把120dm³换算成m³数，用120除以进率1000得0.12m³； 【详解】3.2cm³＝0.0032dm³       0.8m³＝800000cm³      120dm³＝0.12m³ 故答案为：0.0032；800000；0.12 【点睛】此题考查体积单位的换算，把高级单位换算成低级单位，就乘单位间的进率，把低级单位换算成高级单位，就除以单位间进率。 举一反三 【变式2-1】填入合适的体积单位。 一台冰箱的体积约是2( )；一部国产华为手机的体积约是92( )。 【答案】 立方米/m3 立方厘米/cm3 【分析】根据物体的体积单位和大小数据的认识可知：1立方米大约是一台洗衣机的大小，所以计量冰箱的体积用“立方米”作单位比较合适；1立方厘米大约是一粒花生的大小，所以计量手机的体积用“立方厘米”做单位比较合适。 【详解】一台冰箱的体积约是2立方米；一部国产华为手机约是92立方厘米。 【变式2-2】1立方分米＝( )立方厘米       35.42立方米＝( )立方分米 【答案】 1000 35420 【分析】单位换算的方法：低级单位换算成高级单位除以进率，高级单位换算成低级单位乘进率，1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，据此换算单位。 【详解】1×1000＝1000（立方厘米） 35.42×1000＝35420（立方分米） 1立方分米＝1000立方厘米；35.42立方米＝35420立方分米。 【变式2-3】700cm3＋0.03dm3＝( )dm3；10.02m3＝( )m3( )dm3。 【答案】 0.73 10 20 【分析】根据1dm3＝1000cm3，先统一单位，再进行计算；先拆分整数部分和小数部分，再根据1m3＝1000dm3进行单位换算。 【详解】对于700cm3＋0.03dm3，700cm3＝0.7dm3，所以700cm3＋0.03dm3＝0.73dm3； 对于10.02m3，10.02m3＝10m3＋0.02m3，0.02m3＝20dm3，所以10.02m3＝10m320dm3。 题型三、长方体与正方体的认识 知识积累 1.长方体的特征： (1)面：有 6 个面，相对的面完全 相同（面积相等）。特殊情况有两个相对的面是正方形。 (2)棱：有 12 条棱，相对的棱长度 相等。可以分为长、宽、高三组，每组 4 条。 (3)顶点：有 8 个顶点。 2.正方体的特征： (1)正方体是特殊的 长方体。 (2)面：6个面都是完全相同的 正方形。 (3)棱：12条棱的长度都 相等。 3.关系：长方体的长、宽、高相等时，就变成了 正方体。 例题讲解 【典例3】下列表述正确的是（    ）。 ①3个不同面值的硬币叠放或分散放；这两种放法不同，但所占的空间相同。 ②长方体中相邻两个面是完全相同的正方形，它一定是一个正方体。 ③正方形是特殊的长方形，所以有正方形的面的长方体一定是正方体。 ④有6个面、12条棱、8个顶点的立体图形一定是长方体。 A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①② 【答案】D 【分析】①体积是物体所占的空间大小，由此判断即可。 ②相邻的两个面包括了长方体长、宽、高，正方形各边都相等，所以长方体的长、宽、高都相等； ③特殊情况下长方体有两个相对的面是正方形，其它四个面都是形状相同的长方形； ④正方体有8个顶点，12条棱，6个面，正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体，据此解答。 【详解】①根据体积的含义，无论怎么放，原物体没有变，物体的体积都没有变，所以3个不同面值的硬币叠放或分散放；这两种放法不同，但所占的空间相同。①说法正确。 ②长方体每个顶点处有3条棱，分别叫作长方体的长、宽、高，长方体中相邻两个面是完全相同的正方形，也就是长、宽、高的长度都相等，也即是12条棱长度都相等，12条棱长度都相等的长方体是正方体；所以长方体中相邻两个面是完全相同的正方形，它一定是一个正方体。②说法正确。 ③当长方体的长和宽相等，长方体的上下底面都是正方形，如果长和宽与高不相等，这样，长方体就只有8条棱长相等，这样的长方体不是正方体。③说法错误。 ④长方体和正方体都是有6个面、12条棱、8个顶点的立体图形。④说法错误。 综上可知，正确的说法有①②。 举一反三 【变式3-1】如图，在长方体ABCD－EFGH中，下列各条棱中与棱AB异面的是（    ）。 A．棱CD B．棱HG C．棱AE D．棱CG 【答案】D 【分析】根据长方体的特征，除了与棱AB在同一平面内的棱都与棱AB是异面的棱，所以与棱AB异面的棱有：棱EH、棱FG、棱DH、棱CG，据此选择即可。 【详解】由分析可知： 因为棱AB在平面ABCD和平面ABFE中，所以与棱AB异面的棱有：棱EH、棱FG、棱DH、棱CG。 故答案为：D 【变式3-2】一个长方体的所有棱长总和是36厘米，它的长、宽、高之和是( )分米。 【答案】0.9 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，据此求解。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【详解】36厘米＝3.6分米 3.6÷4＝0.9（分米） 它的长、宽、高之和是0.9分米。 【变式3-3】一根铁丝可以做成长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体框架，如果将这根铁丝做成正方体的框架，正方体的棱长是( )厘米。 【答案】8 【分析】根据题意可知，正方体的棱长总和等于长方体的棱长总和，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体棱长总和＝正方体棱长总和，正方体的棱长总和＝棱长×12，由此解答即可。 【详解】 （厘米） （厘米） 题型四、长方体与正方体的体积 知识积累 1.体积公式推导： (1)长方体的体积 = 长 宽 高。 (2)用字母表示： 。 (3)正方体的体积 = 棱长 棱长 棱长。 (4)用字母表示： （读作：a的立方）。 2.统一公式： (1)长方体（或正方体）的体积 = 底面积 高。 (2)用字母表示： 。 (3)其中 表示底面积， 表示高。 例题讲解 【典例4】看图计算。 下图长方体的体积。（单位：厘米） 【答案】70立方厘米 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】7×2.5×4 ＝17.5×4 ＝70（立方厘米） 举一反三 【变式4-1】一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，它的体积是（    ）。 A．12cm3 B．60cm3 C．94cm3 D．120cm3 【答案】B 【分析】长方体体积＝长×宽×高。 【详解】5×4×3＝60（cm3） 它的体积是60cm3。 【变式4-2】求下面正方体的体积（单位：厘米）。 【答案】0.373立方厘米 【分析】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】0.7×0.7×0.7 ＝0.49×0.7 ＝0.343（立方厘米） 【变式4-3】一块长方体钢板，长2米，宽1.5米，它的重量是0.468吨，已知每立方米钢材重7.8吨。这块钢板的体积是多少立方米？这块钢板的厚度是多少分米？ 【答案】0.06立方米；0.2分米 【分析】钢板质量÷每立方米质量＝钢板体积，钢板的厚度相当于高，钢板体积÷长÷宽＝高，根据1米＝10分米，统一单位。 【详解】0.468÷7.8＝0.06（立方米） 0.06÷2÷1.5＝0.02（米） 0.02米＝0.2分米 答：这块钢板的体积是0.06立方米，这块钢板的厚度是0.2分米。 题型五、组合体的体积 知识积累 1.计算方法： (1)分割法：将组合体分割成几个基本的 长方体 或 正方体，分别计算体积后求 和。 (2)填补法：将组合体补成一个大的基本立体图形，计算出大图形的体积，再减去 补上部分 的体积。 2.注意事项： (1)分割或填补时，要准确找出各部分的 长、宽、高。 (2)确保单位 统一 后再进行计算。 例题讲解 【典例5】求组合体的体积。（单位：厘米） 【答案】360立方厘米 【分析】把组合体看作两个长方体，一个长方体长6厘米、宽10厘米、高2厘米，另一个长方体长4厘米、宽10厘米、高（4＋2）厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，分别求出两个长方体的体积，再相加，即可求出这个组合体的体积。 【详解】6×10×2＋4×10×（4＋2） ＝6×2×10＋4×10×6 ＝120＋240 ＝360（立方厘米） 这个组合体的体积是360立方厘米。 举一反三 【变式5-1】求组合体的体积。（单位：dm） 【答案】0.56dm3 【分析】观察图形可知，组合体的体积＝大长方体的体积＋小长方体的体积；根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】1×0.2×1.6＋1×0.6×0.4 ＝0.32＋0.24 ＝0.56（dm3） 组合体的体积是0.56dm3。 【变式5-2】看图计算。 求下边镂空组合体的体积。（单位：dm） 【答案】88dm3 【分析】组合体的体积＝长是6dm，宽是2dm，高是8dm的长方形体积－棱长是2dm的正方体体积，根据长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】6×2×8－2×2×2 ＝12×8－4×2 ＝96－8 ＝88（dm3） 这个组合体的体积是88dm3。 【变式5-3】求下面组合体的体积（单位：米） 【答案】216立方米 【分析】组合体的体积等于长为12米，宽为4米，高5米的长方体的体积减去长为2米，宽为4米，高为3米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这两个长方体的体积，再相减即可求出组合体的体积。 【详解】12×4×5－2×4×3 ＝48×5－8×3 ＝240－24 ＝216（立方米） 题型六、正方体、长方体的展开图 知识积累 1.展开图概念：将立体图形沿棱剪开，铺平后得到的平面图形叫做它的 展开图。 2.相对面判断： (1)在展开图中，相对的面通常 不相邻，且中间隔着一个面（“相间”原则）或呈“Z”字形两端。 (2)折叠还原时，要注意相邻面的 位置关系。 3.常见类型：正方体展开图共有 11 种基本形态，可分为“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型、“3-3”型。 例题讲解 【典例6】如下图，一个正方体的展开图，1号面相对的是( )号面；4号面相对的是( )号面。 【答案】 5 2 【分析】正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面。据此解答。 【详解】通过分析可得：1号面相对的是5号面；4号面相对的是2号面。 举一反三 【变式6-1】下列各图中（    ）不是正方体表面的展开图。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有一个基本规律：如果一条直线上有4个正方形，那么剩余2个正方形需要分别在这4个正方形的两侧，才能折成正方体；同时展开图不能出现“田字形”结构，也不能让两个额外的正方形都在4个正方形的同侧。 【详解】选项A是标准的“一四一”型展开图，两个面分别在4个横排面的上下两侧，可以折成正方体； 选项B是“一三二”型展开图，符合正方体展开图结构，可以折成正方体； 选项C中4个面排成横排，两个额外的面都在横排的上方同侧，折叠时会重叠，无法围成正方体，因此它不是正方体的表面展开图； 选项D是竖版的“一四一”型，两个面分别在竖排的两侧，也可以折成正方体。 【变式6-2】六艺是指我国古代教育的六种科目，即：礼、乐、射、御、书、数。下图是一个正方体的展开图，它的每个面上分别写着“六艺”中的一种，若将这个展开图围成一个正方体，分别相对的两个面是“礼”和“( )”、“射”和“( )”、“御”和“( )”。 【答案】 数 书 乐 【分析】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形；想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。 【详解】 若将这个展开图围成一个正方体，可以想象成：“射”是下面，“乐”是左面，“御”是右面，“礼”是后面，“数”是前面，“书”是上面。 所以，分别相对的两个面是“礼”和“（数）”、“射”和“（书）”、“御”和“（乐）”。 【变式6-3】如图是长方体的展开图（单位：厘米），它的体积是( )。 【答案】273立方厘米/273cm3 【分析】观察长方体的展开图可知，长方体的高3厘米，长＝16厘米－高，宽＝（20厘米－高×2）÷2，根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【详解】长：16－3＝13（厘米） 宽：（20－3×2）÷2 ＝（20－6）÷2 ＝14÷2 ＝7（厘米） 体积：13×7×3＝273（立方厘米） 它的体积是273立方厘米。 题型七、正方体、长方体的表面积 知识积累 1.定义：长方体或正方体 6个面 的总面积，叫做它的表面积。 2.长方体表面积公式： (1) (2)用字母表示： 3.正方体表面积公式： (1) (2)用字母表示： 4.实际应用： (1)计算粉刷墙壁、制作无盖盒子等实际问题时，要根据具体情况确定计算 几个面 的面积。 (2)例如：无盖鱼缸需要计算 5 个面的面积；通风管需要计算 4 个侧面的面积。 例题讲解 【典例7】一个游泳池长25米，宽15米，池深2米。在池的四壁和池底贴瓷砖。贴瓷砖的面积是多少平方米？如果贴边长是50厘米的正方形瓷砖，需要多少块？ 【答案】535平方米；2140块 【分析】求贴瓷砖的面积，就是求这个长方体游泳池5个面的面积和，根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出贴瓷砖的面积；再根据正方形面积＝边长×边长，据此求出正方形瓷砖的面积，再用游泳池的需要贴瓷砖的面积÷正方形瓷砖的面积，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】25×15＋（25×2＋15×2）×2 ＝25×15＋（50＋30）×2 ＝25×15＋80×2 ＝375＋160 ＝535（平方米） 50厘米＝0.5米 535÷（0.5×0.5） ＝535÷0.25 ＝2140（块） 答：贴瓷砖的面积是535平方米，需要2140块。 举一反三 【变式7-1】计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）     （1） （2） 【答案】（1）表面积392平方厘米；体积480立方厘米。 （2）表面积486平方厘米；体积729立方厘米。 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高；正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，根据公式计算即可。 【详解】（1）表面积：（12×8＋12×5＋8×5）×2 ＝（96＋60＋40）×2 ＝196×2 ＝392（平方厘米） 体积：12×8×5 ＝96×5 ＝480（立方厘米） （2）表面积：9×9×6 ＝81×6 ＝486（平方厘米） 体积：9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方厘米） 【变式7-2】一个长15米、宽10米、高4米的房间（平顶），门窗面积是11平方米。要粉刷它的四壁和顶面，粉刷的面积有多少平方米？如果每平方米需要涂料0.5千克，一共需要涂料多少千克？ 【答案】339平方米；169.5千克 【分析】根据题意，先求这个长方体房间5个面的面积，根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，再减去门窗的面积，求出粉刷的面积；再用粉刷的面积×0.5，即可求出需要涂料的重量。 【详解】15×10＋（15×4＋10×4）×2－11 ＝150＋（60＋40）×2－11 ＝150＋100×2－11 ＝150＋200－11 ＝350－11 ＝339（平方米） 339×0.5＝169.5（千克） 答：粉刷的面积有339平方米，一共需要涂料169.5千克。 【变式7-3】小亚是一个金鱼迷，六一节那天，爸爸送给小巧一件礼物： ①爸爸为她做了一个无盖的长方体玻璃金鱼缸（如下图），它的长0.8米、宽0.4米、高0.6米，做这样的鱼缸至少需要玻璃多少平方米？（接缝和损耗不计） ②小亚看中的一种小金鱼，每条在水里的生活空间需要12立方分米，如果鱼缸内注水的深度是0.5米，那么小亚最多买几条这样的小金鱼放在鱼缸内比较合适？（小金鱼的体积忽略不计） 【答案】①1.76平方米 ②13条 【分析】①无盖长方体玻璃金鱼缸只有前面、后面、左面、右面、下面，5个面，玻璃的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答； ②根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，1立方米＝1000立方分米，据此统一单位，水的体积÷每条鱼需要的空间体积＝鱼的数量，结果用去尾法保留近似数即可。 【详解】①0.8×0.4＋0.8×0.6×2＋0.4×0.6×2 ＝0.32＋0.96＋0.48 ＝1.76（平方米） 答：做这样的鱼缸至少需要玻璃1.76平方米。 ②0.8×0.4×0.5＝0.16（立方米）     0.16立方米＝160立方分米        160÷12≈13（条） 答：小亚最多买13条这样的小金鱼放在鱼缸内比较合适 题型八、立体图形的切拼 知识积累 1.切割规律： (1)把一个长方体或正方体切成两部分，表面积会 增加。 (2)每切一刀，增加 2 个切面的面积。 (3)增加的面积 = 切面面积 。 2.拼接规律： (1)把两个相同的长方体或正方体拼在一起，表面积会 减少。 (2)每拼接一次，减少 2 个重合面的面积。 (3)要使拼接后的表面积最小，应将 最大 的面重合；要使表面积最大，应将 最小 的面重合。 3.体积不变性：无论怎么切或拼，物体的总体积保持 不变。 例题讲解 【典例8】一块长方体木料，长8厘米、宽4厘米、高4厘米。如果将这块木料截成4段（如图所示），这些小木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（        ）平方厘米。如果像这样截成n段，表面积比原木料增加了（        ）平方厘米。 【答案】 96 32n－32 【分析】通过操作可知，截成2段增加2个横截面，截成3段增加4个横截面，截成4段增加6个横截面，以此类推，每多截1段就会多增加2个横截面，截成n段增加[2（n－1）]个横截面。根据长方形的面积公式，可知每个横截面是（4×4）平方厘米，据此求出截成4段增加的横截面积，进而求出截成n段增加的面积。 【详解】4×4×6＝96（平方厘米） 截成2段增加2个横截面，截成3段增加（2×2）个横截面，截成4段增加（2×3）个横截面，……，截成n段增加[2（n－1）]个横截面。 4×4×2×（n－1） ＝32×（n－1） ＝（32n－32）平方厘米 这些小木料的表面积之和比原木料的表面积增加了96平方厘米。如果像这样截成n段，表面积比原木料增加了（32n－32）平方厘米。 举一反三 【变式8-1】一个棱长为6厘米的正方体， 在它的一条棱的中间位置挖掉一块棱长为1厘米的正方体，下面叙述正确的是（       ）。 A．表面积不变，体积变大。 B．表面积变大，体积变小。 C．表面积变小，体积变小。 D．表面积不变，体积变小。 【答案】B 【分析】在正方体的一条棱的中间位置挖掉一个棱长为1厘米的小正方体后，会增加2个边长为1厘米的正方形的面；体积会减少棱长为1厘米的正方体的体积。 【详解】由分析可知：一个棱长为6厘米的正方体， 在它的一条棱的中间位置挖掉一块棱长为1厘米的正方体，表面积变大，体积变小。 故答案为：B 【变式8-2】如左图，在大正方体上挖去两个小正方体后，与原来的大正方体相比，体积和表面积都减少了。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意可知，大正方体挖去两个小正方体，体积减少了两个小正方体的体积；表面积：减少的面积是小正方体的6个面的面积，增加的面积是小正方体的4个面的面积，所以表面积减少了2个面的面积，据此判断。 【详解】如图，在大正方体上挖去两个小正方体后，与原来的大正方体相比，体积和表面积都减少了，原题干的说法是正确的。 故答案为：√ 【变式8-3】生活中有许多物体的包装都是长方体，如图是我们常见的香皂盒。要把3块这样的香皂盒包装在一起，怎样包装最节省包装纸？计算出至少需要包装纸的面积。 【答案】将3块香皂盒的上下面重叠在一起包装；812平方厘米 【分析】把3块这样的香皂盒包装在一起有3种不同的包装方法，如图所示，3个小长方体分别组成了1个大长方体。 方案1：将左右面重叠在一起包装组成一个大长方体，长方体的长是（13×3）厘米，宽是10厘米，高是4厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出大长方体的表面积； 方案2：将前后面重叠在一起包装组成一个大长方体，长方体的长是13厘米，宽是（10×3）厘米，高是4厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出大长方体的表面积； 方案3：将上下面重叠在一起包装组成一个大长方体，长方体的长是13厘米，宽是10厘米，高是（4×3）厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出大长方体的表面积； 分别求出3个大长方体的表面积，最后比较大小，选择表面积最小的方案需要包装纸的面积最少，据此解答。 【详解】方案1： 13×3＝39（厘米） （39×10＋39×4＋10×4）×2 ＝（390＋156＋40）×2 ＝586×2 ＝1172（平方厘米） 方案2： 10×3＝30（厘米） （13×30＋13×4＋30×4）×2 ＝（390＋52＋120）×2 ＝562×2 ＝1124（平方厘米） 方案3： 4×3＝12（厘米） （13×10＋13×12＋10×12）×2 ＝（130＋156＋120）×2 ＝406×2 ＝812（平方厘米） 因为812平方厘米＜1124平方厘米＜1172平方厘米，所以将3块香皂盒的上下面重叠在一起包装最节省包装纸。 答：将3块香皂盒的上下面重叠在一起包装最节省包装纸，至少需要812平方厘米包装纸。 题型九、容积及容积单位的认识 知识积累 1.定义：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的 体积，通常叫做它们的容积。 2.容积单位： (1)计量容积，一般就用 体积 单位。 (2)计量液体（如药水、汽油、饮料等）的体积，常用容积单位 升（L）和 毫升（mL）。 3.测量方法： (1)计算容积时，要从容器 里面 量长、宽、高。 (2)计算体积时，是从容器 外面 量长、宽、高。 (3)因此，对于同一个容器，体积通常 大于 容积（因为容器壁有厚度）。 例题讲解 【典例9】一个水箱能装2m3的水，说明这个水箱的（    ）是2m3。 A．质量 B．体积 C．容积 【答案】C 【分析】根据容积的意义，物体所能容纳物体的体积叫物体的容积。一个水箱能装2m3的水，说明这个水箱的容积是2m3。 【详解】一个水箱能装2m3的水，说明这个水箱的容积是2m3。 故答案为：C 【点睛】此题是考查容积的意义。根据容积的意义即可进行选择。 举一反三 【变式9-1】一个眼药水瓶的容积大约是10（    ）。 A．毫升 B．升 C．千克 D．克 【答案】A 【分析】根据生活经验和对容积单位的理解，选择即可。 【详解】一个眼药水瓶的容积大约是10毫升。 故答案为：A 【点睛】本题考查了容积单位，可以利用熟悉的事物建立标准。 【变式9-2】下列说法错误的是（    ）。 A．2000毫升比1升多 B．1升40毫升就是1040毫升 C．2升的杯子的容量比2000毫升的杯子的容量小得多 D．1升的水放在一个水壶中比较合适 【答案】C 【分析】1升＝1000毫升，再结合对容积单位的认识对每个选项进行分析并选择即可。 【详解】A．2000毫升＝2升，2升＞1升，因此2000毫升比1升多，此说法正确； B．1升＝1000毫升，1升40毫升＝1040毫升，此说法正确； C．2000毫升＝2升，即2升的杯子的容量和2000毫升的杯子的容量相等，此说法错误； D．1升的水放在一个水壶中比较合适，此说法正确； 故答案为：C 【点睛】此题考查的是升与毫升之间的单位换算、以及对升的认识，要熟记升与毫升之间的进率。 【变式9-3】一个油桶的体积( )它自身的容积。 【答案】大于 【分析】容积，是指容器所能容纳物体的体积；体积是指物体所占空间的大小；根据体积和容积的意义进行判断即可。 【详解】任何容器的容器壁都有一定的厚度，一个油桶的体积大于它自身的容积。 【点睛】此题考查物体的体积与容积的意义，体积和容积有所联系但有区别。 题型十、体积与容积单位间的进率及换算 知识积累 1.进率关系： (1)1 dm3 = 1000 cm3 (2)1 m3 = 1000 dm3 (3)1 L = 1000 mL 2.体积与容积的对应： (1)1 L = 1 dm3 (2)1 mL = 1 cm3 3.换算方法： (1)高级单位化成低级单位，乘 进率。 (2)低级单位化成高级单位，除以 进率。 例题讲解 【典例10】490mL＝( )L；7.8dm3＝( )L＝( )cm3。 【答案】 0.49 7.8 7800 【分析】知道换算单位间的进率，根据大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率，代入数据计算即可。 【详解】（1）1升＝1000毫升，490÷1000＝0.49，即490mL＝0.49L； （2）1升＝1立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，7.8×1000＝7800，即7.8dm3＝7.8L＝7800cm3。 【点睛】熟悉换算单位间的进率，并掌握单位间的换算方法，这是解决此题的关键。 举一反三 【变式10-1】单位换算。 50.6cm2＝( )m2        32.18L＝( )dm3( )cm3 【答案】 0.00506 32 180 【分析】根据1m2＝10000cm2，1L＝1dm3＝1000cm3；把高级单位换算成低级单位，用乘法乘它们之间的进率；把低级单位换算成高级单位，用除法除以它们之间的进率，据此解答。 【详解】50.6÷10000＝0.00506（m2） 32.18L＝32L＋0.18L 32L＝32dm3 0.18L＝0.18dm3 0.18×1000＝180（cm3） 因此50.6cm2＝0.00506m2；32.18L＝32dm3180cm3。 【变式10-2】填入合适的数或单位名称. 450毫升＝( )立方分米    4m38dm3＝( )m3    230( )＝0.23( ) 【答案】 0.45 4.008 立方分米 立方米 【分析】毫升与立方分米的换算：1立方分米＝1000毫升，低级单位转化为高级单位用除法； 复名数转换：将4m3和8dm3合并为单名数，1m3＝1000dm3。 单位关系推导：需找到两个单位间进率为1000的关系，如立方分米与立方米。 【详解】450÷1000＝0.45（立方分米），450毫升＝0.45立方分米 8÷1000＝0.008（m3），4＋0.008＝4.008（m3），4m38dm3＝4.008m3； 230÷1000＝0.23（立方米），230立方分米＝0.23立方米。（答案不唯一） 【变式10-3】3.4dm3＝( )m3       3小时45分＝( )小时 2升50毫升＝( )毫升    0.78L＝ ( )cm3   340cm2＝( )m2 【答案】 0.0034/ 3.75// 2050 780 0.034/ 【分析】1m3＝1000dm3；1小时＝60分；1升＝1000毫升；1L＝1000cm3；1m2＝10000cm2；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】3.4dm3＝（3.4÷1000）＝0.0034m3 45分＝（45÷60）时＝0.75小时 3小时45分＝3.75小时 2升＝（2×1000）毫升＝2000毫升 2升50毫升＝2050毫升 0.78L＝（0.78×1000）cm3＝780cm3 340cm2＝（340÷10000）m2＝0.034m2 题型十一、长方体、正方体的容积 知识积累 1.计算公式： (1)长方体容积 = 内部长 内部宽 内部高。 (2)正方体容积 = 。 2.注意： (1)如果题目给出的是外部尺寸和壁厚，必须先求出 内部 尺寸，再计算容积。 (2)结果通常用 升 或 毫升 作单位，也可用立方分米或立方厘米表示。 例题讲解 【典例11】一辆汽车的长方体油箱，从里面量长5.5分米，宽和高都是3分米，里面还剩半箱油，如果这辆车每升汽油可行12千米，这个油箱里剩下的汽油还可行多少千米？ 【答案】297千米 【分析】先根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出长方体油箱的容积，再除以2，即是半箱油的体积，然后根据进率“1立方分米＝1升”换算成以升作单位的数； 用每升汽油可行的路程乘半箱油的体积，求出半箱汽油可行的路程。 【详解】5.5×3×3÷2 ＝16.5×3÷2 ＝49.5÷2 ＝24.75（立方分米） 24.75立方分米＝24.75升 24.75×12＝297（千米） 答：这个油箱里剩下的汽油还可行297千米。 举一反三 【变式11-1】一个长方体蓄水池占地5平方米，池深1.6米，池内最多能蓄水( )升。 【答案】8000 【分析】长方体的容积＝底面积×高，据此用5乘1.6即可求出蓄水池的容积。再根据1立方米＝1000升，把结果换算成以升为单位的数。 【详解】5×1.6＝8（立方米）＝8000（升） 则池内最多能蓄水8000升。 【变式11-2】王叔叔新购入一个长方体无盖玻璃鱼缸打算养鱼，鱼缸内部尺寸如图所示。他查阅资料得知：为了给鱼类提供适宜的生存和活动空间，注入水后，一般建议水面与缸口的距离保持在5厘米至10厘米。如果王叔叔往这个鱼缸里注入24升水，水面高度是否在建议的范围内？写出思考过程。 【答案】不在建议的范围内；思考过程见详解 【分析】根据题意，往长40厘米、宽30厘米的长方体鱼缸里注入24升水，即24000立方厘米的水，根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），据此求出水的高度，再用长方体鱼缸的高度减去水面高度，即是水面与缸口的距离，与建议的水面与缸口的距离进行比较，得出水面高度是否在建议的范围内。 【详解】24升＝24立方分米＝24000立方厘米 24000÷（40×30） ＝24000÷1200 ＝20（厘米） 水面与缸口的距离：24－20＝4（厘米） 4厘米＜5厘米，不在5厘米至10厘米范围内。 答：水面高度不在建议的范围内。因为注入24升水，水面高度是20厘米，水面与缸口的距离是4厘米。 【变式11-3】工人师傅要制作一只长方体铁皮箱，这只铁皮箱的展开图如下图。 （单位：分米） （1）不计铁皮厚度，这个铁皮箱的容积是多少？ （2）如果做成无盖的铁皮箱，用料面积最少是多少？ 【答案】（1）30立方分米 （2）47平方分米 【分析】（1）观察长方体的展开图可知：这个长方体的长是5分米，宽是3分米，高是（7－5）分米，根据长方体的容积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 （2）如果做成无盖的铁皮箱，用料的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算。 【详解】（1）5×3×（7－5） ＝5×3×2 ＝30（立方分米）    答：这个铁皮箱的容积是30立方分米。 （2）7－5＝2（分米） 5×3＋（5×2＋3×2）×2 ＝15＋（10＋6）×2 ＝15＋16×2 ＝15＋32 ＝47（平方分米） 答：用料面积最少是47平方分米。 题型十二、不规则物体的体积算法 知识积累 1.排水法原理： (1)利用物体浸没在水中排开水的体积等于物体本身的 体积。 (2)公式： 。 (3)或者： （放入物体后的总体积减去原来水的体积）。 2.操作要点： (1)物体必须完全 浸没 在水中。 (2)水不能 溢出 容器。 (3)读数时视线要与液面 凹液面最低处 保持水平。 3.其他方法：对于吸水性物体或浮在水面的物体，可采用 沙测法 或 压入法（用细针压入水中）。 例题讲解 【典例12】爸爸拿出一块不规则的假山石，对小雪说：“你能求出这块假山石的体积吗？”小雪说：“当然能。”于是，小雪用家中一个长50cm、宽40cm、高60cm长方体无盖玻璃鱼缸装一部分水，量得水深50cm，然后把假山石完全浸没在水中，这时又量得水面高度是51.2cm。你知道这块假山石的体积是多少吗？ 【答案】2400立方厘米 【分析】“不规则物体的体积＝底面积×水面上升的高度”据此解答即可。 【详解】50×40×（51.2－50） ＝2000×1.2 ＝2400（cm3）； 答：这块假山石的体积是2400立方厘米。 【点睛】熟记不规则物体的体积的计算公式是解答本题的关键。 举一反三 【变式12-1】一个量杯中装了一些水，水面的刻度是300mL，放入一块石头后，水面的刻度上升为500mL。这块石头的体积是（    ）。 A．不能确定 B．200mL C．200cm3 D．2dm3 【答案】C 【分析】分析题目，石头的体积等于上升的水的体积，据此用500－300求出上升了多少毫升的水，再根据1mL＝1cm3把单位换算成以cm3即可求出石头的体积。 【详解】500－300＝200（mL） 200mL＝200cm3 这块石头的体积是200cm3。 故答案为：C 【变式12-2】如下图，将一个小球放入水缸，小球的一半浸没在水中，放入小球后水位上升0.5厘米，水缸规格如图，小球的体积是( )立方厘米。 【答案】96 【分析】根据题意，把小球的一半浸没在水中，放入小球后水位上升0.5厘米，那么水上升部分的体积等于小球浸没在水中的体积，也就是小球体积的一半； 水上升部分是一个长12厘米、宽8厘米、高0.5厘米的长方体，根据长方体的体积公式V＝abh，求出小球体积的一半，再乘2，就是小球的体积。 【详解】12×8×0.5×2 ＝96×0.5×2 ＝96（立方厘米） 小球的体积是96立方厘米。 【变式12-3】如图，一个封闭的长方体玻璃饰品，液面高1.6分米。 （1）若把这个饰品旋转（内饰仍全部浸没），将左侧面为底平放在桌面上，这时液面高多少？ （2）制作这个饰品至少需要多少平方分米的玻璃材料？（不计损耗） 【答案】（1）3.2分米 （2）52平方分米 【分析】（1）长方体玻璃饰品的体积＝长方体的长×长方体的宽×液面高度，将容器左侧面作为底面时，这时液面的高度＝长方体玻璃饰品体积÷左侧面的底面积，据此代入数据作答即可。 （2）求饰品的玻璃面积，根据长方体的表面积＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据解答即可。 【详解】（1）4×3×1.6 ＝12×1.6 ＝19.2（立方分米） 19.2÷（3×2） ＝19.2÷6 ＝3.2（分米） 答：这时液面高3.2分米。 （2）（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝（20＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方分米） 答：制作这个饰品至少需要52平方分米的玻璃材料。 题型十三、*体积与质量 知识积累 1.基本概念： (1)体积是指物体所占空间的大小。 (2)质量是指物体所含物质的多少，常用单位有 克（g）、千克（kg）、吨（t）。 2.密度关系： (1)同种材料制成的物体，体积越大，质量越 大。 (2)不同材料制成的物体，即使体积相同，质量也可能 不同（因为密度不同）。 (3)简单估算： 的水质量约为 1 克； 的水质量约为 1 千克。 例题讲解 【典例13】一个棱长5dm的正方体铁皮油箱可以装油（    ）kg（1dm3的油重0.8kg）。 A．150 B．125 C．120 D．100 【答案】D 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出油箱的体积，再乘1dm3油的质量，即是这个油箱装油的质量。 【详解】5×5×5 ＝25×5 ＝125（dm3） 0.8×125＝100（kg） 故答案为：D 【点睛】掌握正方体的体积计算公式是解题的关键。 举一反三 【变式13-1】求“一个水杯能装多少毫升水”就是求这个水杯的（    ）。 A．表面积 B．质量 C．体积 D．容积 【答案】D 【详解】所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积，所以一个水杯能装多少毫升水，就是求这个水杯的容积。 故答案为：D 【变式13-2】一个长方体的汽油桶，底面积是15平方分米，高是6分米，如果1升汽油重0.74千克，这个油桶可以装汽油（ ） A．66.6千克 B．63.6千克 C．6.6千克 D．6.66千克 【答案】A 【详解】15×6×0.74=90×0.74=66.6（千克） 故答案为A. 【变式13-3】如下图所示，有一块重987.5克的正方体铁块（每立方厘米重7.9克），把它浸没在长方体容器的水中，水面上升了0.5厘米，这个容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】250平方厘米 【分析】由题意可知，正方体铁块的体积＝正方体铁块的重量÷每立方厘米铁块的重量，上升部分水的体积等于放入铁块的体积，放入铁块后上升部分的水可以看作一个长方体，由“长方体的体积＝底面积×高”可知，容器的底面积＝铁块的体积÷水面上升的高度，据此解答。 【详解】铁块的体积：987.5÷7.9＝125（立方厘米） 容器的底面积：125÷0.5＝250（平方厘米） 答：这个容器的底面积是250平方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 几何小实践 目录概览 题型一、体积的认识 1 题型二、立方厘米、立方分米、立方米 2 题型三、长方体与正方体的认识 3 题型四、长方体与正方体的体积 4 题型五、组合体的体积 5 题型六、正方体、长方体的展开图 7 题型七、正方体、长方体的表面积 8 题型八、立体图形的切拼 10 题型九、容积及容积单位的认识 11 题型十、体积与容积单位间的进率及换算 12 题型十一、长方体、正方体的容积 12 题型十二、不规则物体的体积算法 14 题型十三、*体积与质量 16 题型演练 题型一、体积的认识 知识积累 1.定义：物体所占 的大小叫做物体的体积。 2.特性： (1)所有的物体都有体积，无论其形状如何。 (2)两个物体如果形状不同，但所占空间大小相同，则它们的体积 。 3.比较方法： (1)对于形状规则的物体，可以通过计算比较。 (2)对于形状不规则或难以直接计算的物体，可以通过 或切割拼补等方法间接比较。 例题讲解 【典例1】笑笑帮助老师整理讲桌上一摞歪了的练习本，把它们摆放整齐（如图）。在这个过程中，这摞练习本的体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 举一反三 【变式1-1】佳佳用同一块橡皮泥先捏成一个正方体，又捏成一个球，体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 【变式1-2】用相同数量的硬币分别垒成下面的形状，如图，它们的体积（    ）。 A．①最大 B．②最大 C．③最大 D．①和③一样大 【变式1-3】1千克的棉花和1千克的铁块，重量相等，体积也相等。( ) 题型二、立方厘米、立方分米、立方米 知识积累 1.常用体积单位： (1)棱长为 1厘米 的正方体，体积是 1 ，记作 。 (2)棱长为 1分米 的正方体，体积是 1 ，记作 。 (3)棱长为 1米 的正方体，体积是 1 ，记作 。 2.生活参照： (1)一个手指尖的体积大约是 1 。 (2)一个粉笔盒的体积大约是 1 。 (3)一个洗衣机包装箱的体积大约是 1 。 例题讲解 【典例2】3.2cm³＝( )dm³       0.8m³＝( )cm³      120dm³＝( )m³ 举一反三 【变式2-1】填入合适的体积单位。 一台冰箱的体积约是2( )；一部国产华为手机的体积约是92( )。 【变式2-2】1立方分米＝( )立方厘米       35.42立方米＝( )立方分米 【变式2-3】700cm3＋0.03dm3＝( )dm3；10.02m3＝( )m3( )dm3。 题型三、长方体与正方体的认识 知识积累 1.长方体的特征： (1)面：有 个面，相对的面完全 （面积相等）。特殊情况有两个相对的面是正方形。 (2)棱：有 条棱，相对的棱长度 。可以分为长、宽、高三组，每组 条。 (3)顶点：有 个顶点。 2.正方体的特征： (1)正方体是特殊的 。 (2)面：6个面都是完全相同的 。 (3)棱：12条棱的长度都 。 3.关系：长方体的长、宽、高相等时，就变成了 。 例题讲解 【典例3】下列表述正确的是（    ）。 ①3个不同面值的硬币叠放或分散放；这两种放法不同，但所占的空间相同。 ②长方体中相邻两个面是完全相同的正方形，它一定是一个正方体。 ③正方形是特殊的长方形，所以有正方形的面的长方体一定是正方体。 ④有6个面、12条棱、8个顶点的立体图形一定是长方体。 A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①② 举一反三 【变式3-1】如图，在长方体ABCD－EFGH中，下列各条棱中与棱AB异面的是（    ）。 A．棱CD B．棱HG C．棱AE D．棱CG 【变式3-2】一个长方体的所有棱长总和是36厘米，它的长、宽、高之和是( )分米。 【变式3-3】一根铁丝可以做成长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体框架，如果将这根铁丝做成正方体的框架，正方体的棱长是( )厘米。 题型四、长方体与正方体的体积 知识积累 1.体积公式推导： (1)长方体的体积 = 。 (2)用字母表示： 。 (3)正方体的体积 = 。 (4)用字母表示： （读作：a的立方）。 2.统一公式： (1)长方体（或正方体）的体积 = 。 (2)用字母表示： 。 (3)其中 表示底面积， 表示高。 例题讲解 【典例4】看图计算。 下图长方体的体积。（单位：厘米） 举一反三 【变式4-1】一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，它的体积是（    ）。 A．12cm3 B．60cm3 C．94cm3 D．120cm3 【变式4-2】求下面正方体的体积（单位：厘米）。 【变式4-3】一块长方体钢板，长2米，宽1.5米，它的重量是0.468吨，已知每立方米钢材重7.8吨。这块钢板的体积是多少立方米？这块钢板的厚度是多少分米？ 题型五、组合体的体积 知识积累 1.计算方法： (1)分割法：将组合体分割成几个基本的 或 ，分别计算体积后求 。 (2)填补法：将组合体补成一个大的基本立体图形，计算出大图形的体积，再减去 的体积。 2.注意事项： (1)分割或填补时，要准确找出各部分的 长、宽、高。 (2)确保单位 统一 后再进行计算。 例题讲解 【典例5】求组合体的体积。（单位：厘米） 举一反三 【变式5-1】求组合体的体积。（单位：dm） 【变式5-2】看图计算。 求下边镂空组合体的体积。（单位：dm） 【变式5-3】求下面组合体的体积（单位：米） 题型六、正方体、长方体的展开图 知识积累 1.展开图概念：将立体图形沿棱剪开，铺平后得到的平面图形叫做它的 。 2.相对面判断： (1)在展开图中，相对的面通常 ，且中间隔着一个面（“相间”原则）或呈“Z”字形两端。 (2)折叠还原时，要注意相邻面的 。 3.常见类型：正方体展开图共有 种基本形态，可分为“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型、“3-3”型。 例题讲解 【典例6】如下图，一个正方体的展开图，1号面相对的是( )号面；4号面相对的是( )号面。 举一反三 【变式6-1】下列各图中（    ）不是正方体表面的展开图。 A． B． C． D． 【变式6-2】六艺是指我国古代教育的六种科目，即：礼、乐、射、御、书、数。下图是一个正方体的展开图，它的每个面上分别写着“六艺”中的一种，若将这个展开图围成一个正方体，分别相对的两个面是“礼”和“( )”、“射”和“( )”、“御”和“( )”。 【变式6-3】如图是长方体的展开图（单位：厘米），它的体积是( )。 题型七、正方体、长方体的表面积 知识积累 1.定义：长方体或正方体 的总面积，叫做它的表面积。 2.长方体表面积公式： (1) (2)用字母表示： 3.正方体表面积公式： (1) (2)用字母表示： 4.实际应用： (1)计算粉刷墙壁、制作无盖盒子等实际问题时，要根据具体情况确定计算 的面积。 (2)例如：无盖鱼缸需要计算 个面的面积；通风管需要计算 个侧面的面积。 例题讲解 【典例7】一个游泳池长25米，宽15米，池深2米。在池的四壁和池底贴瓷砖。贴瓷砖的面积是多少平方米？如果贴边长是50厘米的正方形瓷砖，需要多少块？ 举一反三 【变式7-1】计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）     （1） （2） 【变式7-2】一个长15米、宽10米、高4米的房间（平顶），门窗面积是11平方米。要粉刷它的四壁和顶面，粉刷的面积有多少平方米？如果每平方米需要涂料0.5千克，一共需要涂料多少千克？ 【变式7-3】小亚是一个金鱼迷，六一节那天，爸爸送给小巧一件礼物： ①爸爸为她做了一个无盖的长方体玻璃金鱼缸（如下图），它的长0.8米、宽0.4米、高0.6米，做这样的鱼缸至少需要玻璃多少平方米？（接缝和损耗不计） ②小亚看中的一种小金鱼，每条在水里的生活空间需要12立方分米，如果鱼缸内注水的深度是0.5米，那么小亚最多买几条这样的小金鱼放在鱼缸内比较合适？（小金鱼的体积忽略不计） 题型八、立体图形的切拼 知识积累 1.切割规律： (1)把一个长方体或正方体切成两部分，表面积会 。 (2)每切一刀，增加 个切面的面积。 (3)增加的面积 = 。 2.拼接规律： (1)把两个相同的长方体或正方体拼在一起，表面积会 。 (2)每拼接一次，减少 个重合面的面积。 (3)要使拼接后的表面积最小，应将 的面重合；要使表面积最大，应将 的面重合。 3.体积不变性：无论怎么切或拼，物体的总体积保持 。 例题讲解 【典例8】一块长方体木料，长8厘米、宽4厘米、高4厘米。如果将这块木料截成4段（如图所示），这些小木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（        ）平方厘米。如果像这样截成n段，表面积比原木料增加了（        ）平方厘米。 举一反三 【变式8-1】一个棱长为6厘米的正方体， 在它的一条棱的中间位置挖掉一块棱长为1厘米的正方体，下面叙述正确的是（       ）。 A．表面积不变，体积变大。 B．表面积变大，体积变小。 C．表面积变小，体积变小。 D．表面积不变，体积变小。 【变式8-2】如左图，在大正方体上挖去两个小正方体后，与原来的大正方体相比，体积和表面积都减少了。( ) 【变式8-3】生活中有许多物体的包装都是长方体，如图是我们常见的香皂盒。要把3块这样的香皂盒包装在一起，怎样包装最节省包装纸？计算出至少需要包装纸的面积。 题型九、容积及容积单位的认识 知识积累 1.定义：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的 ，通常叫做它们的容积。 2.容积单位： (1)计量容积，一般就用 单位。 (2)计量液体（如药水、汽油、饮料等）的体积，常用容积单位 （L）和 （mL）。 3.测量方法： (1)计算容积时，要从容器 量长、宽、高。 (2)计算体积时，是从容器 量长、宽、高。 (3)因此，对于同一个容器，体积通常 容积（因为容器壁有厚度）。 例题讲解 【典例9】一个水箱能装2m3的水，说明这个水箱的（    ）是2m3。 A．质量 B．体积 C．容积 举一反三 【变式9-1】一个眼药水瓶的容积大约是10（    ）。 A．毫升 B．升 C．千克 D．克 【变式9-2】下列说法错误的是（    ）。 A．2000毫升比1升多 B．1升40毫升就是1040毫升 C．2升的杯子的容量比2000毫升的杯子的容量小得多 D．1升的水放在一个水壶中比较合适 【变式9-3】一个油桶的体积( )它自身的容积。 题型十、体积与容积单位间的进率及换算 知识积累 1.进率关系： (1)1 dm3 = cm3 (2)1 m3 = dm3 (3)1 L = mL 2.体积与容积的对应： (1)1 L = dm3 (2)1 mL = cm3 3.换算方法： (1)高级单位化成低级单位，乘 。 (2)低级单位化成高级单位，除以 。 例题讲解 【典例10】490mL＝( )L；7.8dm3＝( )L＝( )cm3。 举一反三 【变式10-1】单位换算。 50.6cm2＝( )m2        32.18L＝( )dm3( )cm3 【变式10-2】填入合适的数或单位名称. 450毫升＝( )立方分米    4m38dm3＝( )m3    230( )＝0.23( ) 【变式10-3】3.4dm3＝( )m3       3小时45分＝( )小时 2升50毫升＝( )毫升    0.78L＝ ( )cm3   340cm2＝( )m2 题型十一、长方体、正方体的容积 知识积累 1.计算公式： (1)长方体容积 = 。 (2)正方体容积 = 。 2.注意： (1)如果题目给出的是外部尺寸和壁厚，必须先求出 尺寸，再计算容积。 (2)结果通常用 或 作单位，也可用立方分米或立方厘米表示。 例题讲解 【典例11】一辆汽车的长方体油箱，从里面量长5.5分米，宽和高都是3分米，里面还剩半箱油，如果这辆车每升汽油可行12千米，这个油箱里剩下的汽油还可行多少千米？ 举一反三 【变式11-1】一个长方体蓄水池占地5平方米，池深1.6米，池内最多能蓄水( )升。 【变式11-2】王叔叔新购入一个长方体无盖玻璃鱼缸打算养鱼，鱼缸内部尺寸如图所示。他查阅资料得知：为了给鱼类提供适宜的生存和活动空间，注入水后，一般建议水面与缸口的距离保持在5厘米至10厘米。如果王叔叔往这个鱼缸里注入24升水，水面高度是否在建议的范围内？写出思考过程。 【变式11-3】工人师傅要制作一只长方体铁皮箱，这只铁皮箱的展开图如下图。 （单位：分米） （1）不计铁皮厚度，这个铁皮箱的容积是多少？ （2）如果做成无盖的铁皮箱，用料面积最少是多少？ 题型十二、不规则物体的体积算法 知识积累 1.排水法原理： (1)利用物体浸没在水中排开水的体积等于物体本身的 。 (2)公式： 。 (3)或者： （放入物体后的总体积减去原来水的体积）。 2.操作要点： (1)物体必须完全 在水中。 (2)水不能 容器。 (3)读数时视线要与液面 凹液面最低处 保持水平。 3.其他方法：对于吸水性物体或浮在水面的物体，可采用 沙测法 或 压入法（用细针压入水中）。 例题讲解 【典例12】爸爸拿出一块不规则的假山石，对小雪说：“你能求出这块假山石的体积吗？”小雪说：“当然能。”于是，小雪用家中一个长50cm、宽40cm、高60cm长方体无盖玻璃鱼缸装一部分水，量得水深50cm，然后把假山石完全浸没在水中，这时又量得水面高度是51.2cm。你知道这块假山石的体积是多少吗？ 举一反三 【变式12-1】一个量杯中装了一些水，水面的刻度是300mL，放入一块石头后，水面的刻度上升为500mL。这块石头的体积是（    ）。 A．不能确定 B．200mL C．200cm3 D．2dm3 【变式12-2】如下图，将一个小球放入水缸，小球的一半浸没在水中，放入小球后水位上升0.5厘米，水缸规格如图，小球的体积是( )立方厘米。 【变式12-3】如图，一个封闭的长方体玻璃饰品，液面高1.6分米。 （1）若把这个饰品旋转（内饰仍全部浸没），将左侧面为底平放在桌面上，这时液面高多少？ （2）制作这个饰品至少需要多少平方分米的玻璃材料？（不计损耗） 题型十三、*体积与质量 知识积累 1.基本概念： (1)体积是指物体所占空间的大小。 (2)质量是指物体所含物质的多少，常用单位有 （g）、 （kg）、 （t）。 2.密度关系： (1)同种材料制成的物体，体积越大，质量越 。 (2)不同材料制成的物体，即使体积相同，质量也可能 （因为密度不同）。 (3)简单估算： 的水质量约为 克； 的水质量约为 千克。 例题讲解 【典例13】一个棱长5dm的正方体铁皮油箱可以装油（    ）kg（1dm3的油重0.8kg）。 A．150 B．125 C．120 D．100 举一反三 【变式13-1】求“一个水杯能装多少毫升水”就是求这个水杯的（    ）。 A．表面积 B．质量 C．体积 D．容积 【变式13-2】一个长方体的汽油桶，底面积是15平方分米，高是6分米，如果1升汽油重0.74千克，这个油桶可以装汽油（ ） A．66.6千克 B．63.6千克 C．6.6千克 D．6.66千克 【变式13-3】如下图所示，有一块重987.5克的正方体铁块（每立方厘米重7.9克），把它浸没在长方体容器的水中，水面上升了0.5厘米，这个容器的底面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $