专题01 复习与提高（专项训练）五年级数学暑假专项提升（沪教版）

**基本信息** 聚焦小数运算、方程、面积估测、自然数四大核心题型，以“知识积累-例题讲解-举一反三”构建系统性方法体系，强化概念生成与应用逻辑，培养运算能力、推理意识及空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |小数四则混合运算|1典例+3变式|运算顺序（括号优先）、乘法分配律逆运算等简便方法|从运算规则到简便技巧，构建“规则-技巧-应用”递进逻辑| |方程|1典例+3变式|等式性质应用、去括号/移项步骤、检验方法|以定义为基础，通过解法步骤形成“概念-原理-验证”闭环| |面积估测|1典例+3变式|数方格法（满格/半格计算）、几何图形近似法|从具体方格计数到抽象图形转化，体现“直观-抽象”思维进阶| |自然数|1典例+3变式|连续自然数性质（相邻差1、平均数=中间数）|从定义出发，通过性质推导建立“概念-性质-应用”关联|

专题01 复习与提高 目录概览 题型一、小数的四则混合运算 1 题型二、方程 5 题型三、面积的估测（2） 9 题型四、自然数 12 题型演练 题型一、小数的四则混合运算 知识积累 1. 运算顺序 (1)在没有括号的算式里，如果既有乘除法又有加减法，要先算乘除法，后算加减法。 (2)如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 简便运算定律与应用 (1)乘法分配律逆运算： (2)减法的性质： (3)商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 例题讲解 【典例1】递等式计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 7.2×0.5－0.28÷0.1         5.7×3.6＋0.57×64 5.37－1.48＋4.63－2.52         30.8÷［22.7－（9.6＋2.9）×1.2］ 【答案】0.8；57 6；4 【分析】“7.2×0.5－0.28÷0.1”先计算乘除法，再计算减法； “5.7×3.6＋0.57×64”将0.57×64写成5.7×6.4，再根据乘法分配律的逆运算将5.7提出来再计算。乘法分配律的逆运算：a×b＋a×c＝a×（b＋c）； “5.37－1.48＋4.63－2.52”带符号交换1.48和4.63的位置，再根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），计算即可； “30.8÷［22.7－（9.6＋2.9）×1.2］”先计算小括号内的加法，再依次计算中括号内的乘法、减法，最后计算中括号外的除法。 【详解】7.2×0.5－0.28÷0.1 ＝3.6－2.8 ＝0.8 5.7×3.6＋0.57×64 ＝5.7×3.6＋5.7×6.4 ＝5.7×（3.6＋6.4） ＝5.7×10 ＝57 5.37－1.48＋4.63－2.52 ＝5.37＋4.63－1.48－2.52 ＝5.37＋4.63－（1.48＋2.52） ＝10－4 ＝6 30.8÷［22.7－（9.6＋2.9）×1.2］ ＝30.8÷［22.7－12.5×1.2］ ＝30.8÷［22.7－15］ ＝30.8÷7.7 ＝4 举一反三 【变式1-1】直接写出得数。 10.1－1.01＝           7.8＋2.2÷0.01＝          （1.25＋0.125）×8＝ 0.707÷0.07＝          2×0.25×4＝               2.5÷0.25＋0.75＝ 0.32＋0.23＝          4.5÷0.9×4.5÷0.9＝        3.087÷2.9≈（得数用“四舍五入法”精确到十分位） 【答案】9.09；227.8；11 10.1；2；10.75 0.32；25；1.1 【变式1-2】递等式计算（能简便就简便计算） 7.2÷12.5                26.4－26.4÷2.4×1.5 0.375×101－37.5        45.55－（6.82＋15.55）－3.18 （32.8＋67.2）÷2.5×4    [0.35＋（3.74－1.8）÷0.4]×1.2 【答案】 0.576 9.9 0.375 20 160 6.24 【分析】7.2÷12.5，根据商不变的规律：被除数与除数同时乘（或除以）同一个不为0的数，商不变，让被除数与除数同时乘8进行简便运算； 26.4－26.4÷2.4×1.5，先算除法，再算乘法，最后计算减法； 0.375×101－37.5 ，先将原式变形为0.375×101－0.375 ×100，再根据乘法分配律进行简便计算； 45.55－（6.82＋15.55）－3.18，先去掉小括号将原式变形为45.55－6.82－15.55－3.18，再根据减法的性质，以及带符号搬家进行简便计算；     （32.8＋67.2）÷2.5×4，先计算小括号里面的加法，再按照从左到右的顺序计算； [0.35＋（3.74－1.8）÷0.4]×1.2，先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的除法，接着计算中括号里面的加法，最后计算中括号外的乘法。 【详解】7.2÷12.5 ＝（7.2×8）÷（12.5×8） ＝57.6÷100 ＝0.576 26.4－26.4÷2.4×1.5 ＝26.4－11×1.5 ＝26.4－16.5 ＝9.9 0.375×101－37.5 ＝0.375×101－0.375×100 ＝0.375×（101－100） ＝0.375×1 ＝0.375 45.55－（6.82＋15.55）－3.18 ＝45.55－6.82－15.55－3.18 ＝45.55－15.55－（6.82＋3.18） ＝30－10 ＝20 （32.8＋67.2）÷2.5×4 ＝100÷2.5×4 ＝40×4 ＝160 [0.35＋（3.74－1.8）÷0.4]×1.2 ＝ [0.35＋1.94÷0.4]×1.2 ＝ [0.35＋4.85]×1.2 ＝5.2×1.2 ＝6.24 【变式1-3】一辆汽车给工厂运送原料，上午运4次，运了25.5吨，下午运5次，比上午多运7.5吨，平均每次运多少吨原料？ 【答案】6.5吨 【分析】已知下午比上午多运7.5吨，则下午运了（25.5＋7.5）吨，用上午运的吨数加上下午运的吨数，计算出一共运了多少吨；上午和下午一共运了（4＋5）次，用总吨数除以总次数，所得结果即为平均每次运多少吨原料。 【详解】（25.5＋7.5＋25.5）÷（4＋5） ＝58.5÷9 ＝6.5（吨） 答：平均每次运6.5吨原料。 题型二、方程 知识积累 1. 方程的定义与解法依据 (1)定义：含有未知数的等式叫做方程。 (2)解方程依据：等式的性质。 ①　性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 ②　性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 2. 复杂方程的解法步骤 (1)去括号与化简： ①　例题： ②　去括号（注意变号）： 2x ③　合并： ④　移项： 4.6 ⑤　求解： 0.7 (2)含未知数的项在两边： ①　例题： ②　去括号： ③　整理常数项： ④　移项（将含x项移到一边）： 2.1x ⑤　合并： 1.3 3. 方程的检验 (1)方法把求出的未知数的值代入原方程，分别计算方程左边和右边的值。 (2)判断标准：如果左边 等于 右边，则该值是方程的解。 例题讲解 【典例2】解方程。（打☆的要验算） 7x－2×（2.3－x）＝1.7             ☆11.7－0.3×（7x＋26）＝0.9x 【答案】x＝0.7；x＝1.3 【分析】7x－2×（2.3－x）＝1.7，根据乘法分配律以及减法性质，原式化为：7x－2×2.3＋2x＝1.7，计算出2×2.3的积以及化简方程左边含有x的算式，即求出7＋2的和，原式化为：9x－4.6＝1.7，再根据等式的性质1，方程两边同时加上4.6，再根据等式的性质2，方程两边同时除以9即可。 11.7－0.3×（7x＋26）＝0.9x，根据乘法分配律以及减法性质，原式化为：11.7－0.3×7x－0.3×26，计算出0.3×26的积，原式化为：11.7－2.1x－7.8＝0.9，再计算出11.7－7.8的差，原式化为：3.9－2.1x＝0.9x，再根据等式的性质1，方程两边同时加上2.1x，原式化为：0.9x＋2.1x＝3.9－2.1x＋2.1x，再化简方程左边含有x的算式，即求出0.9＋2.1的和，再根据等式的性质2，方程两边同事除以0.9＋2.1的和即可。 再把x的值代入方程的左边和右边，如果左边＝右边，则x的值是方程的解，据此解答。 【详解】7x－2（2.3－x）＝1.7 解：7x－4.6＋2x＝1.7 9x－4.6＝1.7 9x－4.6＋4.6＝1.7＋4.6 9x＝6.3 9x÷9＝6.3÷9 x＝0.7 11.7－0.3（7x＋26）＝0.9x 解：11.7－2.1x－7.8＝0.9x 3.9－2.1x＝0.9x 0.9x＋2.1x＝3.9－2.1x＋2.1x 3x＝3.9 3x÷3＝3.9÷3 x＝1.3     验算：把x＝1.3代入原方程 方程左边＝11.7－0.3×（7×1.3＋26） ＝11.7－0.3×（9.1＋26） ＝11.7－0.3×35.1 ＝11.7－10.53 ＝1.17 方程右边＝0.9×1.3＝1.17 左边＝右边 所以x＝1.3是原方程的解。 举一反三 【变式2-1】解方程。 144÷（200－196）＋x＝121                  9x－6x＝6.9 5＋（0.2x＋3）＝20                         x－5.67＝9 【答案】x＝85；x＝2.3； x＝60；x＝14.67 【分析】（1）先把方程左边化简为36＋x，根据等式的性质两边同时减去36求解； （2）先根据乘法分配律化简方程，再根据等式的性质方程两边同时除以3求解； （3）先把方程左边化简为8＋0.2x，根据等式的性质两边同时减去8，然后两边同时除以0.2即可求解； （4）根据等式的性质两边同时加上5.67即可求解； 【详解】（1）144÷（200－196）＋x＝121 解：144÷4＋x＝121 36＋x＝121 36＋x－36＝121－36 x＝121－36 x＝85 （2）9x－6x＝6.9 解：（9－6）x＝6.9 3x＝6.9 3x÷3＝6.9÷3 x＝2.3 （3）5＋（0.2x＋3）＝20 解：5＋0.2x＋3＝20 8＋0.2x＝20 8＋0.2x－8＝20－8 0.2x＝12 0.2x÷0.2＝12÷0.2 x＝60 （4）x－5.67＝9 解：x－5.67＋5.67＝9＋5.67 x＝9＋5.67 x＝14.67 【变式2-2】解方程。（带的写出检验过程） 20.4－5x＝3.6         4（x－1.6）÷2＝6.4      5.2x＝2（0.8x＋0.9） 【答案】x＝3.36；x＝4.8；x＝0.5 【分析】（1）减数＝被减数－差，据此可得：5x＝20.4－3.6，根据等式的性质2，方程两边同时除以5即可解答； （2）先把方程左边化简为2（x－1.6），根据等式的性质2，方程两边同时除以2，再根据等式的性质1，方程两边同时加上1.6即可解答； （3）运用乘法分配律把方程右边转化为1.6x＋1.8，根据一个加数＝和－另一个加数，可得：5.2x－1.6x＝1.8，化简为3.6x＝1.8，再根据等式的性质，方程两边同时除以3.6即可解答。 要将求出的未知数值代入原方程，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。 【详解】20.4－5x＝3.6 解：5x＝20.4－3.6 5x＝16.8 5x÷5＝16.8÷5 x＝3.36 4（x－1.6）÷2＝6.4 解：2（x－1.6）＝6.4 2（x－1.6）÷2＝6.4÷2 x－1.6＝3.2 x－1.6＋1.6＝3.2＋1.6 x＝4.8   5.2x＝2（0.8x＋0.9）    解：5.2x＝1.6x＋1.8 5.2x－1.6x＝1.8 3.6x＝1.8 3.6x÷3.6＝1.8÷3.6            x＝0.5    检验：把x＝0.5代入原方程，方程左边＝5.2×0.5＝2.6，方程右边＝2×（0.8×0.5＋0.9）＝2×1.3＝2.6，因为左边＝右边，所以x＝0.5是原方程的解。 【变式2-3】列综合算式计算或方程解答。 7.5减去某数所得差的4倍比12.5除以2.5的商多13，求某数是多少？ 【答案】3 【分析】设这个数是x，根据题中的数量关系列出方程解答。 【详解】解：设这个数是x。 4（7.5－x）－12.5÷2.5＝13 4（7.5－x）－5＝13 4（7.5－x）＝13＋5 4（7.5－x）＝18 7.5－x＝18÷4 7.5－x＝4.5 x＝7.5－4.5 x＝3 则某数是3。 题型三、面积的估测（2） 知识积累 1. 估测方法 (1)数方格法： ①　满格算 1 格。 ②　不满格通常按 半格 计算（或大于等于半格算1格，小于半格舍去）。 ③　总面积 (满格数 + 不满格数 2) 每格面积。 (2)几何图形近似法： ①　将不规则图形近似看作我们学过的基本图形（如三角形、梯形、平行四边形）。 ②　测量出近似图形的底、高、上底、下底等数据，利用公式计算。 例题讲解 【典例3】下图中，涂色部分的面积大约是( )平方分米。 【答案】84（答案不唯一） 【分析】方法一：如下图所示，阴影部分近似一个三角形。通过数方格（每个小方格边长为2分米）可得：三角形的底占7个小方格的边长，所以底为：7×2＝14（分米）；高占6个小方格的边长，所以高为：6×2＝12（分米）；根据三角形面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，即可求得涂色部分面积大约是多少。 方法二：每个小方格的边长为2分米，根据正方形的面积＝边长×边长，可知每个小方格的面积为2×2＝4（平方分米）；再通过用数方格的方法来估算涂色部分的面积（大于或等于半格的算1格，小于半格的可以舍去）。 【详解】方法一：7×2＝14（分米） 6×2＝12（分米） 14×12÷2 ＝168÷2 ＝84（平方分米） 方法二：通过数方格，涂色部分大约有21个小方格，涂色部分的面积大约为：21×4＝84（平方分米）。 因为数方格的过程中存在一定的误差，所以涂色部分的面积答案不唯一。 举一反三 【变式3-1】如图是一块不规则的地，如果每个小方格的边长表示1米，那么这块地的面积大约是（    ）平方米。 A．28 B．40 C．10 D．15 【答案】A 【分析】从图中可以看出，图中的图形近似于一个梯形，其上底为9米，下底为5米，高4米。根据梯形面积公式（上底＋下底）×高÷2计算。 【详解】（9＋5）×4÷2＝14×4÷2＝56÷2＝28（平方米） 因此，这块地的面积大约是28平方米。 【变式3-2】下面图形的面积大约是( )平方分米。 【答案】64 【分析】把这个图形近似看作梯形，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”来估测它的面积。 【详解】如图：梯形上底是2×2＝4（分米），下底是2×6＝12（分米），高是2×4＝8（分米）。 （4＋12）×8÷2 ＝16×8÷2 ＝128÷2 ＝64（平方分米） 【变式3-3】街心公园里有这样一块空地（图中实线围成的部分）。这块空地的面积大约是多少平方米？ 【答案】72.08平方米 【分析】将不规则的空地近似看作一个平行四边形，利用平行四边形的面积公式S＝底×高进行计算即可。 【详解】10.6×6.8＝72.08（平方米） 答：这块空地的面积大约是72.08平方米。 题型四、自然数 知识积累 1. 自然数的定义 (1)表示物体个数的1, 2, 3, 4, ... 都是自然数。 (2)一个物体也没有，用 0 表示，0也是自然数。 (3)最小的自然数是 0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。 2. 连续自然数的性质 (1)相邻关系：相邻两个自然数相差 1。 (2)平均数性质：三个连续自然数的平均数等于中间的那个数。 (3)求和公式逆推： ①　若三个连续自然数的和是 ，则中间的数是 3。 ②　最小的数 = 中间数 - 1 = 。 ③　最大的数 = 中间数 + 1 = 。 例题讲解 【典例4】三个连续自然数的和是n，那么其中最小的自然数是( )。 【答案】n÷3－1 【分析】三个连续自然数的平均数是中间的这个自然数。那么将n除以3，即可求出中间的自然数。相邻自然数的差是1，那么将中间自然数减去1即可求出最小的自然数。 【详解】三个连续自然数的和是n，那么其中最小的自然数是（n÷3－1）。 举一反三 【变式4-1】最小的自然数是（　　）。 A．没有最小的自然数 B．1 C．0 【答案】C 【分析】表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……都是自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。所有的自然数都是整数。最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。 【详解】最小的自然数是0。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查了自然数的定义，要熟练掌握。 【变式4-2】三个连续自然数的和是3y－6，其中最小的数是( )。 【答案】y－3 【分析】已知三个连续自然数之和是3y－6，则这三个连续自然数中，中间的数就是这三个数的平均数；再根据连续自然数的特点“两个相邻的自然数相差1”，用平均数减1即是最小的数，据此解答。 【详解】 三个连续自然数的和是3y－6，其中最小的数是y－3。 【变式4-3】三个连续自然数的平均数是75，其中最小的数是( )。 【答案】74 【分析】三个连续自然数的平均数是最中间的那个自然数，所以最中间的自然数是75。用75减去1，求出最小的数。 【详解】75－1＝74 三个连续自然数的平均数是75，其中最小的数是74。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 复习与提高 目录概览 题型一、小数的四则混合运算 1 题型二、方程 2 题型三、面积的估测（2） 4 题型四、自然数 6 题型演练 题型一、小数的四则混合运算 知识积累 1. 运算顺序 (1)在没有括号的算式里，如果既有乘除法又有加减法，要先算 法，后算 法。 (2)如果有括号，要先算 里面的，再算 里面的，最后算括号外面的。 2. 简便运算定律与应用 (1)乘法分配律逆运算： (2)减法的性质： (3)商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 例题讲解 【典例1】递等式计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 7.2×0.5－0.28÷0.1         5.7×3.6＋0.57×64 5.37－1.48＋4.63－2.52         30.8÷［22.7－（9.6＋2.9）×1.2］ 举一反三 【变式1-1】直接写出得数。 10.1－1.01＝           7.8＋2.2÷0.01＝          （1.25＋0.125）×8＝ 0.707÷0.07＝          2×0.25×4＝               2.5÷0.25＋0.75＝ 0.32＋0.23＝          4.5÷0.9×4.5÷0.9＝        3.087÷2.9≈（得数用“四舍五入法”精确到十分位） 【变式1-2】递等式计算（能简便就简便计算） 7.2÷12.5                 26.4－26.4÷2.4×1.5 0.375×101－37.5         45.55－（6.82＋15.55）－3.18 （32.8＋67.2）÷2.5×4     [0.35＋（3.74－1.8）÷0.4]×1.2 【变式1-3】一辆汽车给工厂运送原料，上午运4次，运了25.5吨，下午运5次，比上午多运7.5吨，平均每次运多少吨原料？ 题型二、方程 知识积累 1. 方程的定义与解法依据 (1)定义：含有 的等式叫做方程。 (2)解方程依据：等式的性质。 ①　性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 ②　性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 2. 复杂方程的解法步骤 (1)去括号与化简： ①　例题： ②　去括号（注意变号）： ③　合并： ④　移项： ⑤　求解： (2)含未知数的项在两边： ①　例题： ②　去括号： ③　整理常数项： ④　移项（将含x项移到一边）： ⑤　合并： 3. 方程的检验 (1)方法把求出的未知数的值代入原方程，分别计算方程左边和右边的值。 (2)判断标准：如果左边 右边，则该值是方程的解。 例题讲解 【典例2】解方程。（打☆的要验算） 7x－2×（2.3－x）＝1.7             ☆11.7－0.3×（7x＋26）＝0.9x 举一反三 【变式2-1】解方程。 144÷（200－196）＋x＝121                   9x－6x＝6.9 5＋（0.2x＋3）＝20                          x－5.67＝9 【变式2-2】解方程。（带的写出检验过程） 20.4－5x＝3.6         4（x－1.6）÷2＝6.4      5.2x＝2（0.8x＋0.9） 【变式2-3】列综合算式计算或方程解答。 7.5减去某数所得差的4倍比12.5除以2.5的商多13，求某数是多少？ 题型三、面积的估测（2） 知识积累 1. 估测方法 (1)数方格法： ①　满格算 格。 ②　不满格通常按 计算（或大于等于半格算1格，小于半格舍去）。 ③　总面积 (满格数 + 不满格数 2) 。 (2)几何图形近似法： ①　将不规则图形近似看作我们学过的基本图形（如三角形、梯形、平行四边形）。 ②　测量出近似图形的底、高、上底、下底等数据，利用公式计算。 例题讲解 【典例3】下图中，涂色部分的面积大约是( )平方分米。 举一反三 【变式3-1】如图是一块不规则的地，如果每个小方格的边长表示1米，那么这块地的面积大约是（    ）平方米。 A．28 B．40 C．10 D．15 【变式3-2】下面图形的面积大约是( )平方分米。 【变式3-3】街心公园里有这样一块空地（图中实线围成的部分）。这块空地的面积大约是多少平方米？ 题型四、自然数 知识积累 1. 自然数的定义 (1)表示物体个数的1, 2, 3, 4, ... 都是自然数。 (2)一个物体也没有，用 表示，0也是自然数。 (3)最小的自然数是 ，没有最大的自然数，自然数的个数是 的。 2. 连续自然数的性质 (1)相邻关系：相邻两个自然数相差 。 (2)平均数性质：三个连续自然数的平均数等于 的那个数。 (3)求和公式逆推： ①　若三个连续自然数的和是 ，则中间的数是 。 ②　最小的数 = 中间数 - = 。 ③　最大的数 = 中间数 + = 。 例题讲解 【典例4】三个连续自然数的和是n，那么其中最小的自然数是( )。 举一反三 【变式4-1】最小的自然数是（　　）。 A．没有最小的自然数 B．1 C．0 【变式4-2】三个连续自然数的和是3y－6，其中最小的数是( )。 【变式4-3】三个连续自然数的平均数是75，其中最小的数是( )。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $