2026届高考数学二轮复习数列求和的方法（倒序相加、错位相减、裂项相消、分组并项）讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦数列求和四大核心方法，即倒序相加法、分组/并项求和、裂项相消法、错位相减法，按方法逻辑梳理定义、关键及注意事项，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建系统解题框架，突破求和难点。 讲义以方法应用为主线，如倒序相加法通过首尾项关系训练数学思维，裂项相消法总结消项规律培养推理能力，错位相减法分解步骤提升运算能力，配合分层例题与综合作业，确保复习高效，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

1. 倒序相加法 如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 2. 分组/并项求和 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如，可采用两项合并求解.注意：利用并项求和法有时要对项数是奇数还是偶数进行讨论. 3. 列项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和。 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 4. 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解。 注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 【一、倒序相加法】 1.（1）已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【解析】由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30. 又因为，所以n＝14，故选B （2）设，则 （ ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】由于，故原式. （3）已知），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 同时， 上述两式相加得 ， 所以， 所以. 故选：B. 【二、分组/并项求和】 2.（1）设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解】（1）设等差数列的公差为. 由题意可得，解得，， 则. （2）由（1）可知，则， 故 . （2）已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设公差和公比，根据条件列方程组求解，最后根据等差、等比数列的通项公式求出； （2）利用分组求和、等差数列和等比数列的求和公式计算. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 因为，，所以，， 又，所以，，得，， 所以，， 即数列的通项公式为，数列的通项公式为； （2）因为， 所以由（1）可得， . 3．已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)； (2)30 【分析】（1）设出公差，根据通项公式和求和公式基本量得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）分组求和，得到答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 【三、列项相消法】 4.（1）已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，证明：. 【解】（1）由题意得 解得 所以. （2）由， 所以 . （2）在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【解】（1）由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． （3）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）由，取，结合可求，结合关系当时，可得，变形为，结合，即可得出，结合等比数列证明结论； （2）由（1）可得，结合关系可得，所以，利用裂项相消法求数列的前项和； 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为，变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为. 【四、错位相减法】 5.（1）已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若为递增数列，，求数列的前项和． 【解】（1）因数列为等差数列，则，解得， 同理可得， 因，则，又，得， 因数列为等比数列，则，解得， 若，则，公比为，公差为； 若，则，公比为，公差为， 则或． （2）因为递增数列，则，，则， 则，， 两式相减得， ． （2）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解】（1）设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； （2），设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 【当堂总结】 【作业】 1．已知函数. (1)证明：为定值； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； (3)若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；7. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得； （2）由（1）推得，求得，再利用倒序相加法即可求得； （3）利用裂项相消法求出，由判断为递增数列，可得的最小值为，结合解不等式即得的最大值. 【详解】（1）由，得， 所以，即为定值1. （2）由（1）知，所以， 即， 依题意得，又， 所以，， 两式相加，得，所以. （3）因为， 所以， 所以 ， 因为，所以数列为递增数列，所以的最小值为， 因为恒成立，则，解得，所以正整数的最大值为7. 学科网（北京）股份有限公司 $