精品解析：2026年辽宁鞍山市九年级下学期第二次质量调查数学试卷

2026年全市初中九年级第二次质量调查 数学试卷 （本试卷共23道题 满分为120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 第一部分 选择题（30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款10元记作元，那么向商家付款20元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为（ ） 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点 3410 80.5 0 A. 钨 B. 萘 C. 冰 D. 固态氢 4. “神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，全系统合计约有计算核心，将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 中国传统工艺中蕴含着丰富的对称之美，下列四个具有传统韵味的装饰图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 祥云纹 B. 缠枝莲纹 C. 双环回纹 D. 缠枝牡丹纹 7. 如图，在中，，，若，则四边形的面积为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 8. 《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示电路中，随机闭合，，中的两个，能让其中一个灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 1 10. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D，A，E三点共线，是水管，垂直于台面．是开关，可整体绕点A上下旋转，且，，连接，，，．则的长度为（结果保留整数）（参考数据：，，）（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 13. 因式分解：________． 14. 如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 15. 在平面直角坐标系中，①以原点为圆心，适当长为半径作弧，交轴负半轴于点，交直线于点；②分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，得到四边形；若点的横坐标为，则点的坐标为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理证明） 16. 计算 （1） （2） 17. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，每辆B型汽车的售价比A型汽车售价高万元，本周A，B两种型号的新能源汽车的销售数量相同，销售额分别为万元和万元，求每辆A，B两种型号的新能源汽车的售价． 18. 为了宣传“绿色生活，环保先行”，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学生中各随机抽取名学生的测评成绩（成绩用表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级名学生的测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生测评成绩在B组的是：，，，，，． 八、九年级抽取的学生测评成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八 九 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若成绩不低于分为优秀，且该校八年级有名、九年级有名学生参加了此次知识普及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=的图象与反比例函数y=的图象交于A(2，﹣1)、B(﹣1，n)两点，与x轴交于点C． （1）求，n的值； （2）请直接写出不等式<的解集； （3）将反比例函数y=的图象x轴下方的部分沿y轴翻折，点A的对称点为，连结， ，求的面积． 20. 学习二次函数一章后，王老师组织一次项目式学习 项目主题 无人机喷洒农药研究 项目背景 无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性 驱动问题 如何使无人机喷洒农药更高效、经济 建立模型 如图1是无人机的示意图，其中点O为无人机的摄像头，A，B是喷药口，A，B，O在同一条水平直线上，，已知无人机工作时，与地面平行． 如图2，以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，所在直线为x轴，规定一个单位长度代表，建立平面直角坐标系．已知喷药口点A和点B到点O的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． 问题解决： （1）求出点A所在抛物线的函数解析式． （2）无人机在喷洒农药时，通常无人机摄像头距地面的高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度． 21. 如图，已知为的直径，，连接，过点作，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径长为2，求图中阴影部分的面积． 22. 图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． （1）【实践操作】 如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，，，且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①求证：； ②若，，请计算正方形的周长． （2）【迁移运用】 如图2，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，；，分别是线段，上的点，连接，，，且（点，，，均不与端点重合）．若，请猜想线段，，的数量关系，并说明理由． （3）【拓展研究】 如图3，是正方形的对角线，点为线段上的点，过点作于点，将 绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接，，猜想与的数量关系，并说明理由． 23. 已知是自变量的函数，若对于函数图象上任意一点，将点沿水平方向向右平移1个单位长度，沿竖直方向平移个单位长度（为常数，向上平移时，向下平移时）得到点，点始终在函数的图象上，则称是的步移关联函数，称为步移系数． 例如：函数，当步移系数时，对于图象上任意一点，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点；令，则，代入纵坐标得：，即是当步移系数时的“步移关联函数”． （1）对于函数图象上任意一点，若步移系数： ①写出点的纵坐标________（用含的代数式表示）； ②求的“步移关联函数”的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，当线段将四边形的面积分成的两部分时，求的值； （3）已知函数，步移系数（为常数），是的“步移关联函数”，设新函数：当时，；当时，． ①当时，求函数当时的最大值和最小值； ②当时，是否存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全市初中九年级第二次质量调查 数学试卷 （本试卷共23道题 满分为120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 第一部分 选择题（30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款10元记作元，那么向商家付款20元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】收款与付款是相反意义的量，收款记为正，则付款记为负，据此记数即可． 【详解】解：∵二维码收款10元记作元， ∴向商家付款应记作负数， 又∵向商家付款20元， ∴记作元． 2. 如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左视图的定义判断即可． 【详解】的左视图为: ． 故选D． 【点睛】本题考查左视图的判断,关键在于牢记定义． 3. 标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为（ ） 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点 3410 80.5 0 A. 钨 B. 萘 C. 冰 D. 固态氢 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴熔点最低的晶体为固态氢． 4. “神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，全系统合计约有计算核心，将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：科学记数法的表示绝对值大于的数的规则为：将数表示为，其中，为整数，等于原数的整数位数减， ∵的整数位数为， ∴，，满足， ∴． 5. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则与同类项合并规则，根据对应知识点逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：根据幂的乘方法则 ， ，故A选项错误； 选项B：根据同底数幂除法法则， ，故B选项错误； 选项C：与不是同类项，不能合并， ，故C选项错误； 选项D：根据同底数幂乘法法则， ，故D选项正确． 6. 中国传统工艺中蕴含着丰富的对称之美，下列四个具有传统韵味的装饰图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 祥云纹 B. 缠枝莲纹 C. 双环回纹 D. 缠枝牡丹纹 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 7. 如图，在中，，，若，则四边形的面积为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】先证，根据三角形面积比等于相似比的平方求出的面积，再减去的面积即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ． 8. 《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 根据题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 9. 如图所示电路中，随机闭合，，中的两个，能让其中一个灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及能让其中一个小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：由电路图可知，同时闭合开关和时，小灯泡发光，同时闭合开关和时，小灯泡发光． 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中能让其中一个小灯泡发光的结果有：，，，，共4种， ∴能让其中一个小灯泡发光的概率是． 故选：C． 10. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D，A，E三点共线，是水管，垂直于台面．是开关，可整体绕点A上下旋转，且，，连接，，，．则的长度为（结果保留整数）（参考数据：，，）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，解直角三角形求出，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得：，即， ∴是直角三角形； 又三点共线， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 14. 如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理推论可得，，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：连接， ∵点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，弦的长为8， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 15. 在平面直角坐标系中，①以原点为圆心，适当长为半径作弧，交轴负半轴于点，交直线于点；②分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，得到四边形；若点的横坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点的横坐标求出点的坐标与长度，根据作图过程得到四边形四边相等，可判定为菱形，再利用坐标平移的特征，即可得出点的坐标． 【详解】根据题目作图步骤作出示意图，连接、， 已知点在直线上，且横坐标为，将代入直线解析式得：， 故点的坐标为，由勾股定理得， 由作图步骤②可知， 四边形为菱形， ∴，即轴， 故点的坐标为，即点． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理证明） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据有理数的乘方、除法，二次根式的性质，零指数幂依次计算即可； （2）根据多项式乘法、完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，每辆B型汽车的售价比A型汽车售价高万元，本周A，B两种型号的新能源汽车的销售数量相同，销售额分别为万元和万元，求每辆A，B两种型号的新能源汽车的售价． 【答案】每辆A型车的售价是16万元，每辆B型车的售价是24万元 【解析】 【分析】设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是万元，根据“本周A，B两种型号的新能源汽车的销售数量相同，销售额分别为万元和万元”，列方程求解即可． 【详解】解：设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是万元． 根据题意，得， 解得：． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． ． 答：每辆A型车的售价是16万元，每辆B型车的售价是24万元． 18. 为了宣传“绿色生活，环保先行”，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学生中各随机抽取名学生的测评成绩（成绩用表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级名学生的测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生测评成绩在B组的是：，，，，，． 八、九年级抽取的学生测评成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八 九 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若成绩不低于分为优秀，且该校八年级有名、九年级有名学生参加了此次知识普及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数． 【答案】（1），， （2）八年级学生的测评成绩更好，理由见解析 （3）该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数分别为人、人 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义求出的值，利用扇形统计图求出A、C、D组的人数，根据中位数的定义求出的值，求出A组所占百分比，即可求出的值； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可得答案． 【小问1详解】 解：∵八年级名学生的测评成绩中，出现次，出现的次数最多， ∴八年级名学生的测评成绩的众数是，即， ∵九年级名学生的测评成绩C组的人数为，D组的人数为，B组的人数为人，成绩为：，，，，，， ∴九年级名学生的测评成绩的中位数为，即， ∵九年级A组的人数为（人）， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵平均值相同，八年级的中位数大于九年级的中位数， ∴八年级学生的测评成绩更好． 【小问3详解】 解：∵八年级名学生的测评成绩中，A组的人数为人， ∴， ∴（人）， ∵， ∴（人）， ∴（人）， 答：估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数为人． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=的图象与反比例函数y=的图象交于A(2，﹣1)、B(﹣1，n)两点，与x轴交于点C． （1）求，n的值； （2）请直接写出不等式<的解集； （3）将反比例函数y=的图象x轴下方的部分沿y轴翻折，点A的对称点为，连结， ，求的面积． 【答案】（1）-2，2；（2）或；（3）2 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入y=； （2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题； （3）先求出对称点坐标，即可求面积． 【详解】（1）将A（2，-1）代入y=， 得； 将（-1，n）代入y=， 得； 故，； （2）根据函数图象可知： 或； （3）将A(2，﹣1)、B(﹣1，2)代入一次函数y=， 得，b=1， ∴一次函数的关系式为， 与x轴交于点C（1，0）， ∴图象沿x轴翻折后，得(2，1)， ∴， ∴的面积为2． 【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题． 20. 学习二次函数一章后，王老师组织一次项目式学习 项目主题 无人机喷洒农药研究 项目背景 无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性 驱动问题 如何使无人机喷洒农药更高效、经济 建立模型 如图1是无人机的示意图，其中点O为无人机的摄像头，A，B是喷药口，A，B，O在同一条水平直线上，，已知无人机工作时，与地面平行． 如图2，以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，所在直线为x轴，规定一个单位长度代表，建立平面直角坐标系．已知喷药口点A和点B到点O的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． 问题解决： （1）求出点A所在抛物线的函数解析式． （2）无人机在喷洒农药时，通常无人机摄像头距地面的高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度． 【答案】（1） （2）无人机应该下降的高度为 【解析】 【分析】（1）由，，得；结合，得．设抛物线顶点式，将点坐标代入，解得，即可得到函数解析式； （2）由及抛物线对称性，得；将其代入解析式，求得，即此时摄像头距地面．原高度为，则进而即可得到无人机下降的高度． 【小问1详解】 解：， ∴由题意得，， ， ， 点的坐标为， 设点所在抛物线的函数解析式为， 将点代入得， 解得， 点所在抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数解析式始终不变， ，由题可知点和点关于轴对称， 设点的坐标为， 将点代入解析式， 得， 点的坐标为， 此时无人机摄像头距离地面的高度为， ， 答：无人机应该下降的高度为． 21. 如图，已知为的直径，，连接，过点作，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径长为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据为的直径，，得出，证出，则 ．根据，得出．即可证明是的切线． （2）连接，证出是等边三角形，则，，在直角三角形中，求出， ，即可求出，再求出， 根据求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，， 为的直径，， ∴， ． ． ． ， ． ，即． 为的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ∴在直角三角形中，． 边上的高为的长， ． 在直角三角形中， ， ， ． ． 22. 图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． （1）【实践操作】 如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，，，且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①求证：； ②若，，请计算正方形的周长． （2）【迁移运用】 如图2，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，；，分别是线段，上的点，连接，，，且（点，，，均不与端点重合）．若，请猜想线段，，的数量关系，并说明理由． （3）【拓展研究】 如图3，是正方形的对角线，点为线段上的点，过点作于点，将 绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接，，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析，60 （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①由题意易得，，，，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质及线段的和差关系可进行求证； ②由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）将绕点B逆时针旋转得，连接，由题意易得，，，，，然后可得，则有，进而可得，最后根据勾股定理可求解； （3）过C作于E，连接，设交于K，由题意易得，然后可得，，，则有，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 ①证明：∵将绕点B按逆时针方向旋转至， ，，，． ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②解：，，， ， ， ， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为． 【小问2详解】 解：，理由如下： 将绕点B逆时针旋转得，连接，如图所示： 由旋转性质可得：， ，，，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，即， ， ． 【小问3详解】 解：．理由如下： 过C作于E，连接，设交于K， ∵四边形是正方形，， 为中点，是等腰直角三角形， ， 为的中点， 是的中位线， ，， ，， 是等腰直角三角形， ∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于45°）至， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ，即． 23. 已知是自变量的函数，若对于函数图象上任意一点，将点沿水平方向向右平移1个单位长度，沿竖直方向平移个单位长度（为常数，向上平移时，向下平移时）得到点，点始终在函数的图象上，则称是的步移关联函数，称为步移系数． 例如：函数，当步移系数时，对于图象上任意一点，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点；令，则，代入纵坐标得：，即是当步移系数时的“步移关联函数”． （1）对于函数图象上任意一点，若步移系数： ①写出点的纵坐标________（用含的代数式表示）； ②求的“步移关联函数”的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，当线段将四边形的面积分成的两部分时，求的值； （3）已知函数，步移系数（为常数），是的“步移关联函数”，设新函数：当时，；当时，． ①当时，求函数当时的最大值和最小值； ②当时，是否存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）最大值为6，最小值为，存在， 【解析】 【分析】（1）①先求出，根据平移的规律解答即可；②由步移关联函数的定义解答即可； （2）由题意得，，，，且，根据将四边形面积分为两部分，得到 ，即可求解； （3）①当时，先求出 ，新函数的表达式为：，即可求解；②由步移关联函数的定义，得，利用二次函数的性质画出示意图，即可解答． 【小问1详解】 解：①由题意得，， 则点B纵坐标： ； ②对于函数上任意一点， 点向右平移1个单位再向下平移2个单位得到点， 令，则， 代入点的纵坐标得： ， 的“步移关联函数”的表达式为：； 【小问2详解】 解：轴于，轴于，，， ，，，，且， 将四边形面积分为两部分， ，即， 解得； 【小问3详解】 解：①当时，对于上任意一点， 平移后得到点． 令，则， ． 由题意得，新函数的表达式为：， 当时，，时，取得最小值； 时，； 时，． ∴此范围内的最大值为6，最小值为． 当时，， 时，取得最小值， 时，取得最大值． ∴此范围内的最大值为2，最小值为． 综上：在最大值为6，最小值为． ②由步移关联函数的定义，得， ， 在上， 时，取得最小值，时，取得最大值 ，时， ，即 ，且函数图象随的增大先减小再增大，如图： ∴当时，直线与的图象有2个交点；其他情况，直线与的图象1个交点， 在上， ， 在上，直线与的图象最多有1个交点，如图： 要使直线与的图象有且只有3个不同交点，需满足： 直线与有2个交点，且与有1个交点， 即与有公共部分，如图： ， 解得：． 综上：的取值范围是． 第1页/共1页 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