精品解析：2025年辽宁省鞍山市中考一模考试数学试卷

2025年全市初中九年级第一次质量调查 数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时长120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 某公司2024年四个季度的盈利情况如下表，则收益最低的季度是（ ） 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈利/万元 31.5 27.8 A. 第一季度 B. 第二季度 C. 第三季度 D. 第四季度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，有理数的大小比较．根据正数和负数的实际意义比较各数的大小即可． 【详解】解：， 则收益最低的季度是第二季度， 故选：B． 2. 是一个使用AI技术的平台，在应用中运算速度非常快，其实测每秒可进行1350000000000000次浮点运算，数1350000000000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可，正确的确定的值即可． 【详解】解：； 故选：C 3. 下图中三视图描述的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定义． 认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可． 【详解】解：结合三视图发现：该几何体为， 故选：C． 4. 一个不透明的盒子中装有5个红球，5个白球，现又加入5个黑球后，随机摸出1个球，是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出现 种可能，那么事件 的概率． 由概率公式直接求解即可． 【详解】解：红球的概率是， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选：A． 6. 如图，直线 ，一个含 角的直角三角板的直角顶点在直线 上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，先求出，由外角的性质求出，然后由对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 7. 如图， 与均为直角三角形，分别以边为边长作正方形，其面积分别为，则它们之间的关系正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，设，根据正方形的面积公式得，，，，再由勾股定理得，，进而得，则，据此即可得出答案， 熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：设， 根据正方形的面积公式得：，，，， 在 中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 即， 故选：D． 8. 在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．根据题意，盐酸溶液呈酸性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解． 【详解】解：∵盐酸溶液呈酸性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7， 故选：C． 9. 如图，矩形 中，， 是对角线，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线 与边交于点G，连接，则的长是（ ） A. B. C. 3.4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．利用基本作图得到 垂直平分 ，则，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程求得即可求解． 【详解】解：∵四边形 为矩形， ∴，， 由作法得 垂直平分 ， ∴， 设，则， 在中，， 解得，即的长为3.4， 故选：C． 10. 如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图， 的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，中心角的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，，根据求解即可． 【详解】解：如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，， 由正多边形的性质可知，， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 12. 如图， 中， ，点B，C是边上任意两点，若，则需要添加一个条件是__________． 【答案】或 或（其中一个，答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由 得，再结合全等三角形的判定方法，逐个添加具体条件进行证明，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴ 当添加一个条件时， 则； 当添加一个条件 时， ∴ ∴ 则； 当添加一个条件时 则， 故答案为：或 或（其中一个，答案不唯一） 13. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D都在格点上，且线段与 交于点P，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则它的根是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式与方程的解法，由条件可得或，再分两种情况解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴或， 当时， 原方程为：， ∴， 解得：， 当时， 原方程为：， ∴， 解得：， 故答案为：或 15. 如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过C作，过 作 轴平行线等，构造出矩形、全等三角形，以及相似三角形， 利用三角函数，设未知数，结合点 在上，求出点 的坐标及相关线段长度， 依据线段 旋转到的条件，证明三角形全等与相似，得出更多线段长度关系，进而得到点 的坐标，最后根据点 在上列方程求出参数，再根据点的坐标及在上，求出的值． 【详解】过 作于，过 作 轴的平行线于 ， 轴 轴 设交轴于 ，交 轴于 则四边形为矩形 ， 轴， 设， ， 点横坐标为． 又∵点 在上 ， ， ， ∵线段CB逆时针旋转到， ∴，， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 又 在上 ， ， 又 又在上 ． 【点睛】本题考查反比例函数性质、几何图形的旋转、全等三角形、相似三角形及三角函数等知识；解题关键是通过作辅助线，利用几何图形性质建立线段与点坐标关系，结合点在反比例函数图象上的性质列方程求解． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，实数的乘方，去绝对值，分式的通分，分式的乘法等，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）根据二次根式的化简，实数的乘方，去绝对值的运算法则进行计算，即可求解； （2）先进行括号内的分式通分，再计算乘法，即可求解． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 17. 在春季研学活动中，某校组织学生参加“走红色传承路，弘扬优秀革命传统”活动，需要租用旅游客车．租车公司有两种客车，若租用60座客车，则有一辆车只能坐一半人，若租用45座客车则需多租1辆，但正好坐满； （1）请求出该校共有多少名学生参加活动？ （2）若学校打算同时租用两种客车，已知60座客车的租金是4500元/辆，45座客车的租金是4000元/辆，在每位学生都有座位的条件下，请直接写出怎样租车最为合算？ 【答案】（1）该校共有270名学生参加活动 （2）租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）该校原计划租车x辆，根据两种租车方式的总人数相等列方程求解即可； （2）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据题意列出不等式，化简为，根据，分别取，，，，求出相应租车费用进行比较即可． 【小问1详解】 解：该校原计划租车x辆， 根据题意得：， 解得， （人）， 答：该校共有270名学生参加活动． 【小问2详解】 解：设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 所以， 化简得， 由（1）可知， 必须租2种车， ， 当时，，n最少为1，总租金为 ； 当时，，n最少为2，总租金为； 当时，，n最少为4，总租金为； 当时，，n最少为5，总租金为； 综上所述，租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算． 18. 在春节期间，大学生志愿者参加创业实践活动，拟在年货街通过租赁移动售货车获得一定资金捐赠希望工程．经调研，适合创业的商品的利润率和已有售货车数如下表： 商品 利润率 已有售货车数 饮品 2 炸串 4 春联福字 2 手工饰品 1 手机壳 1 为了更好的了解市场，首先通过问卷调查收集相关信息：年货街的消费人群为年轻人每次消费主要集中在元，上述产品的受欢迎程度如图所示： （1）试求出发放的调查问卷总数并补全条形图； （2）根据调研数据，大学生志愿者决定在饮品和炸串中选择一项进行创业实践，经过研讨确定商品利润率、售货车占比及受欢迎程度比例的权重分配为，请确定大学生们应该选择哪一种产品最好． 【答案】（1）炸串： （人），春联：（人）， 补全条形图如下： （2）大学生应选择炸串 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图综合，求加权平均数，解题的关键是正确分析数据． （1）首先根据饮品的人数和所占的百分比求出总人数，然后根据炸串和春联所占的百分比求出炸串和春联的人数，然后补全统计图即可； （2）首先计算饮品和炸串的加权平均数，然后比较求解即可． 【小问1详解】 解：（人） 发放调查问卷总数是200 ∴炸串：（人）， 春联：（人） 【小问2详解】 饮品 炸串 大学生应选择炸串． 19. 如图1，是鞍山市二一九公园“未来之匙”雕塑，它寓意着开启新的篇章，是对美好生活的希望和憧憬．如图2，数学兴趣小组利用测角仪对“未来之匙”开展实地测量，在公园广场上选定一点A，观察雕塑顶部，测得其顶部点M仰角为，沿雕塑底部点N与点A所在的直线后退10米到点B，测得点M的仰角为，求出该雕塑的高度．（结果精确到米；参考数据： ） 【答案】该雕塑的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，利用三角函数可得，，再结合，再建立方程求解即可． 【详解】解：由题意， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， （米）， 答：该雕塑的高度约为米． 20. 中， ， 经过点B，C分别交于点D，E，过点C作交 于点F，垂足为G，连接，且． （1）求证：； （2）若 的半径为4，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用圆周角定理求得，利用垂直的定义求得，推出，即可证明； （2）连接 ，利用圆周角定理求得 是 的直径，证明 是等腰直角三角形，求得，在 和中，利用勾股定理结合面积法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ， ， 是 的直径， 的半径为4， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在 中，， ， ， 在中，， ． 21. 某工厂加工一种产品，其销售价随产品成本的变化而变化，已知该产品的最低成本为40元/千克，且销售价p（元/千克）与产品成本x（元/千克）符合一次函数关系；在产品销售过程中，销售量y（千克）随着销售价p（元/千克）的变化而变化，其函数关系如图所示： （1）请求出y与的函数解析式； （2）请计算当销售价是多少时该工厂可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）当销售价为80元时，工厂可获最大利润 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由图形可知销量与价格有两段，所以分两段去讨论，然后比较求解即可． 【小问1详解】 解：设函数解析式为， 由题意可得， 解得：， 所求的函数解析式为； 【小问2详解】 设该工厂获得的利润为w， 由，可得， ， 对称轴，且抛物线开口向上，在对称轴左侧，y是随x增大而减小， ， ， ∴当时，可获得最大利润， 由图像可得，当时，， ， ， 随x增大而减小， 当时，可获得最大利润， ， 当销售价为80元时，工厂可获最大利润． 22. 如图1，菱形 中，， 是射线上的动点，以 为边在 上方作等边三角形，过点 作交延长线于点 ，连接， ． （1）试判断的形状并证明结论； （2）若， ①如图2，当点 在延长线上时，补全图形，并计算点 与点 的距离（用含 的式子表示）； ②连接交直线 于点 ，试求出的面积（用含 的式子表示）． 【答案】（1） 解：是等边三角形，理由如下： 四边形 是菱形，且 , 是等边三角形， 是等边三角形； （2） ①如图， ； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活应用． （1）根据等边三角形和菱形的性质证明，然后求得和即可得出结论； （2）①根据题意画出图形，根据等边三角形的性质得出， ，过点 作于点 ，然后利用勾股定理即可求解； ②利用得出，求得，当点M在BA延长线上时，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）得是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 过点 作于点 ， 在中，， ， ， 在中，， ； ②过点 ， 分别作于 ，于点， ， ， ， 即， ， ， ， ， 当点M在BA延长线上时，， ． 23. 已知抛物线上有两点，且满足； （1）求m的取值范围； （2）连接，求与x轴相交所形成的锐角的度数； （3）作点A关于y轴的对称点，以为顶点的抛物线p经过原点，当直线与y轴交于点时，试求出抛物线p与直线的交点坐标． 【答案】（1）或 （2） （3）交点坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线与x轴的交点，当以及时，求出m的范围即可； （2）把，分别代入抛物线，过点A、B分别作轴，轴，交于点D，求出，从而得出结果； （3）当时，点与不合题意，当时，点A坐标为，画出图形，连接并延长交y轴与点C，则，过点A作轴于点于点E，由，，点F的坐标为，设的解析式为，将点F代入，求出点A与的坐标，直线得解析式，设抛物线解析式为，求出a的值，从而得出结果． 【小问1详解】 解：当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴交点为， 当时，有， ， 即， 当时，有， ， ， ∴m的取值范围是或； 【小问2详解】 把，分别代入抛物线， ， ， 如图， 过点A、B分别作轴，轴，交于点D． ， ， ∵轴， ∴ 与轴平行， 与x轴相交所形成的锐角的度数等于； 【小问3详解】 当时，点与不合题意， 当时，点A坐标为， 如图， 连接并延长交y轴与点C，则， 过点A作轴于点于点E，由， ，点F的坐标为， 设的解析式为，将点F代入，得 ，解得， ∴点A坐标，点坐标为， 直线得解析式为， 设抛物线解析式为，将点代入， ，即，可化为 由题意，解得， 把代入，则， ∴交点坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年全市初中九年级第一次质量调查 数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时长120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 某公司2024年四个季度的盈利情况如下表，则收益最低的季度是（ ） 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈利/万元 31.5 27.8 A. 第一季度 B. 第二季度 C. 第三季度 D. 第四季度 2. 是一个使用AI技术的平台，在应用中运算速度非常快，其实测每秒可进行1350000000000000次浮点运算，数1350000000000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下图中三视图描述的几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的盒子中装有5个红球，5个白球，现又加入5个黑球后，随机摸出1个球，是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线 ，一个含 角的直角三角板的直角顶点在直线 上，有两条边与直线 相交，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 与均为直角三角形，分别以边为边长作正方形，其面积分别为，则它们之间的关系正确的是（） A. B. C. D. 8. 在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形 中，， 是对角线，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线 与 边交于点G，连接，则的长是（ ） A. B. C. 3.4 D. 4 10. 如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图， 的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______________________． 12. 如图， 中，，点B，C是 边上任意两点，若，则需要添加一个条件是__________． 13. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D都在格点上，且线段 与 交于点P，则的值是__________． 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则它的根是__________． 15. 如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）计算： 17. 在春季研学活动中，某校组织学生参加“走红色传承路，弘扬优秀革命传统”活动，需要租用旅游客车．租车公司有两种客车，若租用60座客车，则有一辆车只能坐一半人，若租用45座客车则需多租1辆，但正好坐满； （1）请求出该校共有多少名学生参加活动？ （2）若学校打算同时租用两种客车，已知60座客车的租金是4500元/辆，45座客车的租金是4000元/辆，在每位学生都有座位的条件下，请直接写出怎样租车最为合算？ 18. 在春节期间，大学生志愿者参加创业实践活动，拟在年货街通过租赁移动售货车获得一定资金捐赠希望工程．经调研，适合创业的商品的利润率和已有售货车数如下表： 商品 利润率 已有售货车数 饮品 2 炸串 4 春联福字 2 手工饰品 1 手机壳 1 为了更好的了解市场，首先通过问卷调查收集相关信息：年货街的消费人群为年轻人每次消费主要集中在元，上述产品的受欢迎程度如图所示： （1）试求出发放的调查问卷总数并补全条形图； （2）根据调研数据，大学生志愿者决定在饮品和炸串中选择一项进行创业实践，经过研讨确定商品利润率、售货车占比及受欢迎程度比例的权重分配为，请确定大学生们应该选择哪一种产品最好． 19. 如图1，是鞍山市二一九公园“未来之匙”雕塑，它寓意着开启新的篇章，是对美好生活的希望和憧憬．如图2，数学兴趣小组利用测角仪对“未来之匙”开展实地测量，在公园广场上选定一点A，观察雕塑顶部，测得其顶部点M仰角为，沿雕塑底部点N与点A所在的直线后退10米到点B，测得点M的仰角为，求出该雕塑的高度．（结果精确到米；参考数据： ） 20. 中， ， 经过点B，C分别交于点D，E，过点C作交 于点F，垂足为G，连接，且． （1）求证：； （2）若 的半径为4，，求 的长． 21. 某工厂加工一种产品，其销售价随产品成本的变化而变化，已知该产品的最低成本为40元/千克，且销售价p（元/千克）与产品成本x（元/千克）符合一次函数关系；在产品销售过程中，销售量y（千克）随着销售价p（元/千克）的变化而变化，其函数关系如图所示： （1）请求出y与的函数解析式； （2）请计算当销售价是多少时该工厂可获得最大利润？ 22. 如图1，菱形 中，， 是射线 上的动点，以 为边在 上方作等边三角形，过点作交 延长线于点 ，连接， ． （1）试判断的形状并证明结论； （2）若， ①如图2，当点 在 延长线上时，补全图形，并计算点 与点 的距离（用含 的式子表示）； ②连接交直线 于点 ，试求出的面积（用含 的式子表示）． 23. 已知抛物线上有两点，且满足； （1）求m的取值范围； （2）连接 ，求 与x轴相交所形成的锐角的度数； （3）作点A关于y轴的对称点，以为顶点的抛物线p经过原点，当直线 与y轴交于点时，试求出抛物线p与直线 的交点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $