精品解析：广东汕头育能实验学校 2025—2026学年度第二学期 初二数学 随堂测试

汕头育能实验学校 2025—2026学年度第二学期 初二数学 随堂测试 测试时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10题，共30分） 1. 圆的周长公式中，变量是（ ） A. B. 和 C. 2 D. 仅 2. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各曲线中哪些表示y不是x的函数（    ） A. B. C. D. 4. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下列长度的三条线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对边相等的平行四边形是矩形 8. 如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 10. 菱形的边长为4，，点G为的中点，以为边作菱形，其中点E在的延长线上，连接，点M为的中点，连接，则线段的长为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 二、填空题（共5题，共15分） 11. 化简：=__________． 12. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别是 ，则正方形E的边长为_________． 13. 一个弹簧秤不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：cm）与所挂重物质量（单位：kg）的函数解析式是______． 14. 中，点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为______． 15. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是___________． 三、解答题（共3题，共21分） 16. 计算：． 17. 多边形的内角和与外角和的有关计算： （1）一个多边形的每一个内角都等于，求它的边数； （2）一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数． 18. 如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 四、解答题（共3题，共27分） 19. 某学校的校门是伸缩电动门（如图1），伸缩电动门中的每一行有20个菱形，每个菱形的边长为．当每个菱形的某一内角度数为（如图2）时，校门打开了，当每个菱形的内角度数为时，校门打开了多少米？（参考数据：） 20. 甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示． （1）从城到城，甲、乙两车各行驶了多少千米？ （2）哪辆车先出发？哪辆车先到城？ （3）甲、乙两车的平均速度分别为多少？ （4）你还能从图中得到哪些信息？ 21. 如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 22. 【问题情境】如图，在矩形中，． （1）【初步尝试】如图1，点P为边上一点，若点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，则___________； （2）【深入探究】如图2，点Q为边上一点，且，连接，若，； ①求n的值； ②将沿翻折，点C的对应点为点E，与交于点G，过点E作于H，求线段的长； （3）【拓展延伸】如图3，若，，点P、Q分别是边上的动点，点M是矩形内一动点，且，，N为上一点，，连接，求的最小值． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． （1）①直接写出点C的坐标； ②求证：； （2）如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； （3）如图，连接交于F，连接，求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕头育能实验学校 2025—2026学年度第二学期 初二数学 随堂测试 测试时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10题，共30分） 1. 圆的周长公式中，变量是（ ） A. B. 和 C. 2 D. 仅 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查变量与常量的定义，变量是问题中会发生变化的量，常量是固定不变的数值．在圆的周长公式中，变量是指可以取不同值的量，而常量是固定不变的数值．表示圆的周长，其值随半径的变化而变化，因此是因变量．表示圆的半径，可以取不同的值，是自变量．和是固定数值（），属于常量． 【详解】解：A、是常量，错误； B、和均为变量，正确； C、“2”是常量，错误； D、仅包含，但也是变量，不完整，错误． 综上，变量是和， 故选：B． 2. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：若二次根式在实数范围内有意义， 则，解得． 3. 下列各曲线中哪些表示y不是x的函数（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数． 【详解】解：根据题图可知，B、C、D三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； A、对于x的值，存在y有两个值与之相对应，则y不是x的函数． 4. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件即为最简二次根式。 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项错误； B、，原式分母含二次根式，不符合最简二次根式要求，不是最简二次根式，选项错误； C、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，选项正确； D，，被开方数含分母，不是最简二次根式，选项错误． 5. 以下列长度的三条线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题思路为对每个选项，找出最长边，计算两条较短边的平方和，验证其是否等于最长边的平方，若相等则为直角三角形，否则不是，即可得到答案． 【详解】解：选项A 最长边为，， 该三角形是直角三角形； 选项B 最长边为， ，，， 该三角形不是直角三角形； 选项C 最长边为， ， 该三角形是直角三角形； 选项D 最长边为， ， 该三角形是直角三角形． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，无法合并，A错误； B选项：，B正确； C选项：，C错误； D选项：，D错误． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A错误． B选项，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B错误． C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，故C正确． D选项，对边相等是所有平行四边形都具有的性质，无法判定该平行四边形是矩形，故D错误． 8. 如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 9. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 10. 菱形的边长为4，，点G为的中点，以为边作菱形，其中点E在的延长线上，连接，点M为的中点，连接，则线段的长为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可知，可证是等边三角形，，可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和都是菱形，， ∴，，，， ∴， ∴ ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵， ∴ 连接,交于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线是解题的关键． 二、填空题（共5题，共15分） 11. 化简：=__________． 【答案】0.3 【解析】 【详解】解： ． 12. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别是，则正方形E的边长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此： 正方形A面积 + 正方形B面积 = 中间第一个正方形的面积， 正方形C面积 + 正方形D面积 = 中间第二个正方形的面积， 正方形E的面积 = 两个中间正方形的面积和 = ．​ 【详解】解：∵， ∴正方形的边长为． 13. 一个弹簧秤不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：cm）与所挂重物质量（单位：kg）的函数解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系，从而可求解． 【详解】解：弹簧总长y（单位：）关于所挂重物x（单位：）的函数关系式为， 故答案为：． 【点睛】此题考查函数解析式问题，关键是根据弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系解答． 14. 中，点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作，过作，可求直线解析式为及直线解析式为，由，即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作， 设直线解析式为，则有 ， 解得：， 直线解析式为， 可设直线解析式为， 经过点， ， 解得：， 直线解析式为， ， ， 解得：， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，待定系数法求一次函数解析式，两直线平行时解析式中相等，掌握解法是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．连接，由矩形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，，由等边三角形的性质推出，，得到，推出，判定，推出，因此点F运动的路径是由，求出，得到的长，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点F运动的路径是， ∵， ∴， ∴， ∴点F运动的路径长是． 故答案为：． 三、解答题（共3题，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简为最简二次根式，去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 17. 多边形的内角和与外角和的有关计算： （1）一个多边形的每一个内角都等于，求它的边数； （2）一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数． 【答案】（1）它的边数是6 （2）它的边数是3 【解析】 【分析】（1）先求出每一个外角的度数，再根据外角和定理求解； （2）设它的边数为 n，根据内角和公式和外角和定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个多边形的每一个内角都等于， ∴每一个外角都等于． ∵， ∴这个多边形是六边形． 【小问2详解】 解：设它的边数为n，则有 ， 解得． ∴它的边数为3． 18. 如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】连结BD，易证，即BD=AE、AC=BC．又可证明出∠ADB=90∘，再结合勾股定理即可得到所要证明的等式是成立的． 【详解】证明：如图，连结BD ， ∵， ∴． ∴在△EAC和△DBC中，， ∴． ∴ ． 又∵， ∴ ． ∴ 在中，， ∴． ∵ 在中，， ∴ ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键． 四、解答题（共3题，共27分） 19. 某学校的校门是伸缩电动门（如图1），伸缩电动门中的每一行有20个菱形，每个菱形的边长为．当每个菱形的某一内角度数为（如图2）时，校门打开了，当每个菱形的内角度数为时，校门打开了多少米？（参考数据：） 【答案】校门打开了 【解析】 【分析】先得到是等边三角形，则，然后求出校门的总宽度为，当每个菱形的内角度数为时，，此时伸缩门的宽度为，则校门打开了． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴校门打开了时， 而伸缩门的宽度为， ∴校门的总宽度为． ∴当每个菱形的内角度数为时，， ∴此时伸缩门的宽度为， ∴校门打开了． 20. 甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示． （1）从城到城，甲、乙两车各行驶了多少千米？ （2）哪辆车先出发？哪辆车先到城？ （3）甲、乙两车的平均速度分别为多少？ （4）你还能从图中得到哪些信息？ 【答案】（1）甲、乙两车都行驶了300 km （2）甲车先出发，乙车先到达城 （3） （4）甲、乙两车于相遇 【解析】 【分析】（）由图像直接得出两车行驶路程均为； （）对比出发、到达时刻，得出甲车先出发、乙车先到达； （）算出两车行驶时间，用路程-时 间求出各自平均速度； （）对比到达时间差，找到两车路程相等的时刻． 【小问1详解】 解：由图像可知，城到城全程为，甲乙两车均从城到城， ∴甲、乙两车各行驶了千米； 【小问2详解】 解：由横坐标时刻可得：甲车 出发，乙车出发；甲车到达城，乙车到达城， ∴甲车先出发，乙车先到达城； 【小问3详解】 解：平均速度=总路程÷总行驶时间： 甲的总行驶时间： 小时， 平均速度： 乙的总行驶时间： 小时， 平均速度： 即甲的平均速度为，乙的平均速度为； 【小问4详解】 解：乙车比甲车早小时到达城； 时乙车追上甲车（两车行驶路程相等）． 21. 如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 22. 【问题情境】如图，在矩形中，． （1）【初步尝试】如图1，点P为边上一点，若点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，则___________； （2）【深入探究】如图2，点Q为边上一点，且，连接，若，； ①求n的值； ②将沿翻折，点C的对应点为点E，与交于点G，过点E作于H，求线段的长； （3）【拓展延伸】如图3，若，，点P、Q分别是边上的动点，点M是矩形内一动点，且，，N为上一点，，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据矩形的性质和对称性质可得，进而可得是等边三角形，则，利用三角形的内角和定理可求解； （2）①利用矩形的性质和勾股定理求解即可； ②根据矩形性质和折叠性质推导出，则，设，在中，由勾股定理可求得，，进而利用三角形的面积公式求解即可； （3）过M作于S，于K，连接，先证明四边形是正方形得到，，，点B与点D关于对称，再证明四边形是正方形得到M在上运动，连接，，由对称性质得到，当D、M、N共线时，取等号，的最小值为的长，在中，利用勾股定理求解即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点A关于直线的对称点正好是对角线的中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得； ②∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠性质得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，则，， ∵ ∴，即 ∴； 【小问3详解】 解：过M作于S，于K，连接，则， 当时，， 则四边形是正方形， ∴，，，点B与点D关于对称， ∴四边形是矩形， ∴，又， ∴，又，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴M在上运动， 连接，， ∵点B与点D关于对称， ∴， ∴，当D、M、N共线时，取等号， ∴的最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、对称性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、最短距离问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． （1）①直接写出点C的坐标； ②求证：； （2）如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； （3）如图，连接交于F，连接，求证：平分． 【答案】（1）①；②证明见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在上取点P，使得，证明即可； （2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可； （3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明． 【小问1详解】 解：①， ， 四边形是正方形， 轴， 点C的坐标是； ②证明：在上取点P，使得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接， 由（1）知， 又 四边形是正方形 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 点P的坐标为； 【小问3详解】 证明：如图，延长到点A，使得，连接， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点M作于点P， ， ， ， ， 由（1）知， 又， ， 即平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $