上海市华东模范中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高一期中试卷聚焦函数、数列、三角函数核心内容，通过隧道测量（填空题7）、工厂生产（解答题20）等真实情境，考查数学抽象、运算推理与模型应用能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|等差中项、三角函数周期、扇形面积、数列递推|结合公路隧道测量考查解三角形，体现数学眼光| |选择题|4/18|象限判断、充要条件、等差数列求和、创新数列定义|以“T数列”定义辨析考查逻辑推理，落实数学思维| |解答题|5/78|三角函数化简、解三角形面积、数列证明、函数图像变换、实际应用|工厂产量与合格率问题构建数学模型，强化数学语言表达|

高一下期中答案 一、填空题 1、6 π； 3、 -8 4、 2; 24 5、 25 6、 偶； 7、 √2i； 8、 -4; 9、 「-V5,5g 10、 y=2sin(2x-) 11、 12、 1013 二、选择题 13、C: 14、A; 15、A: 16、D 三、解答题 3 4 17、(1)sina=-;c0sa= 5 4 (2）原式=sin2 sin a+cosa cos2a=cos(2a-a)=cosa= 18、由血45得m4,5。则simB= a 26 sin A 2sin B 2 ,又因锐角三角形，得B= 1 2)由SMcE7 acsin B=V5得ac=3 4 又由c0sB=g+c--可得a2+c2=12 2ac 2 ..a+c=va2+c2+2ac =3v2 19、(1){an}为等差数列，且a,=5,a。=14 易得{a,}的通项公式为an=3n-4; (2）bn=24=23m-4 么=24 b,12m-7=23=8 数列化，}为等比数列得证 前n项的和为5，=2×0-8)8”-1 1-8 14 20、(1)6月的产量：1340；不合格品的数量：107； (2)第13个月不合格品的数量：98；能控制在100个以内 【详解】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{a},{bn} 由题意，知a,=1050×1.05"-1, bn=1-[90%+0.4%(n-1]=0.104-0.004n,其中n=1,2,,24, 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是a,b,=1050×1.05"-×(0.104-0.004n) =1.05×(104-4n）. 由计算工具计算（精确到0.1），并列表， n 1 2 3 4 5 6 7 a,b 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 ab 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列{a,bn}先递增， 在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{a,bn}递 减，且a13b:<100即可 由0b=1.05x044+】<1, ab. 1.05"×(104-4n) 得n>5. 所以，当n≥6时，{ab}单调递减. 又a,b,≈98<100 所以，当13≤n≤24时，abn≤a3b:<100 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内 21、(1) k红+，k红+ 12 π，keZ 12 (3)m=1或m=-1 【详主题意4=1，厦小正周期7=2语)，则0-任-2 由/}=m2×得+p-1,可得0=警+2ae2 又s受所以=1,9-骨所以到=sn2x+引 (2)由题意得gx=sinx, -fa=+9mo得x+-om2 所以ax到的最小值为-+-}，当2x-3亚+2，ke乙，即x=5红+侃，keZ: 24 Γ4 62 6 (@F()=sinmsinxcosx+minx-2sinmn 令F(x)=0,可得2sin2x-msinx--1=0,令t=sinxe[-1,1,得2t2-mt-1=0, 主于A=+8>0，故方程必有两个不同的实数根6，+-== 由4=2<0知，异号，不妨设4>0,6<0. sinx=t2在(0,4π内有四个零点，不符题意： 若4=1，则=号m=1在0内有2个号点sm=在0，树内有4个零点行 合题意，此时1分号得=1 跨0<4<1山三4<-)sn*=4在0,4如有4个零京 故sir=4在(0,4到内应恰有2个零点，6=-l,此时=21+2 +)m,n=-1 综上所述，m=1或m=-1. 高一期中试卷 一、填空题。（1~6每题4分，7~12每题5分，总分54分） 1． 11与1的等差中项为 ． 2．函数的周期为 ． 3．等比数列中，则首项= ． 4．扇形的半径为2，圆心角等于1弧度，则该扇形的面积为___________． 5．若，则____________． 6．函数是____________函数（填“奇”或“偶”）． 7．在公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A、B两点到 C点的距离分别为,，且，则隧道AB长度为 . 8．已知数列，若，且（为正整数）， 则数列的第35项为 ． 9．函数的值域是 ． 10．函数的部分图像如图所示，则其解析式是_________________________． 11．已知等差数列的公差为，若集合， 则______________． 12．数列的前n项和为，若对任意恒成立，则=_____________． 二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，总分18分） 13．已知，，则角的终边所在的象限为第( )象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 14．“”是“”的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D. 既非充分又非必要 15．等差数列的前项和为，若，则的值是( 　　) A. 130 B. 75 C. 70 D. 65 16．若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（   ） A．若是“数列”，则 B．若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C．若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D．若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 三、解答题（总分78分） 17．（6+8）已知角终边上一点， （1）求、的值； （2）化简并求值. 18．（6+8）在锐角△中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足. （1）求B的大小； （2）若，△的面积，求的值. 19．（4+10）已知数列为等差数列，，数列满足. （1）求； （2）求证数列为等比数列，并求该数列前项的和. 20．（6+10）某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%. （1）求今年6月的产量以及不合格品的数量；（结果精确到1个） （2）那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 21．（6+6+8） 已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为．，将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. （1）求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； （2）求函数的最小值； （3）若函数 在内恰有6个零点，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $