上海市育才中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 上海市育才中学2025高一下数学期中卷，以扇形面积、复数纯虚数判断等基础题巩固知识，通过自然保护区设计（解答19）、余弦周期函数新定义（解答21）等题，体现数学思维的逻辑推理与数学语言的应用意识，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|扇形面积、复数运算、向量投影|基础题与中档题结合，如向量夹角钝角范围（8题）考查逻辑严谨性| |选择题|4题/18分|复数条件判断、三角形解的个数|第16题引入外积新定义，考查数学抽象能力| |解答题|5题/80分|向量平行、函数单调性、三角函数周期、实际应用|解答19以矩形保护区设计考几何直观，解答21新定义题考创新意识，梯度分明|

上海市育才中学2025学年高一下学期数学期中考试卷 一、填空题:本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分. 1、已知扇形半径为1，圆心角为，则面积为________. 2、计算：__________. 3、已知中，，若，，则用、表示_______. 4、复数，则 . 5、复数是纯虚数，则实数 . 6、 已知有实数根，则实数________. 7、 已知，，，则在方向上的投影向量为_________. 8、 已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为__________. 9、 函数，如右图， 则___________. 10、 在复平面内，复数、、对应的点分别为、、，若，，，则的取值范围为________. 11、 已知中，，，，，为外心，则_________. 12、 已知函数（）在内恰有2025个零点，则正整数____. 二、选择题：本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分. 13、已知复数，则“”是“为实数”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14、在中，，则三角形的形状一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 15、在中，,那么满足条件的三角形有（ ） A. 有一个解 B. 有两个解 C. 无解 D. 不能确定 16、定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积； 命题②. 则两个命题的真假为（ ） A. ①真，②真 B. ①真，②假 C. ①假，②真 D. ①假，②假 三、解答题本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（14分）已知，， （1）当时，求及 （2）若与平行，求实数的值 18、（14分）已知函数 （1）写出函数定义域，判断函数奇偶性并说明理由 （2）写出函数单调区间，并用定义证明其在单调区间上的单调性 19、（16分）某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其中AB为60米，AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留二位小数） （1） 3 3 学科网（北京）股份有限公司 （2） 若∠ADE=25°，求EF的长 （3） E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值 20、（18分）已知函数 （1）求函数的最小正周期、对称轴和零点； （2）若，，求的值； （3）若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值. 21、 （18分）对于定义域为R的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R，设为R上的严格增函数，，. （1） 证明时以为余弦周期的余弦周期函数； （2） 设，证明对任意，存在，使得； （3） 证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有 $