上海市扬子中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

**基本信息** 高一数学期中卷以三角函数、解三角形为核心，融合赵爽弦图（文化传承）与货船观测（应用情境），通过基础题与探究题梯度设计，考查几何直观、运算能力及创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|弧度制、扇形面积、三角函数定义|基础题占比60%，如扇形面积题（几何直观）| |选择题|4/18|象限角判断、三角形形状、赵爽弦图|第16题结合数学文化，考查三角恒等变换（数学思维）| |解答题|5/78|三角化简、解三角形最值、货船运动应用题|20题以观测情境考方位角与速度计算（应用意识），21题探究倍角公式多项式表示（创新意识）|

2025学年第二学期期中考试试卷 高一 数学 一、填空题（满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．化为弧度是__________. 2．已知，若与的终边相同，且，则___________． 3．一个扇形的圆心角为2弧度，弧长为6cm，则该扇形的面积为__________cm2． 4．已知角的终边过点，则________． 5．已知，则_____________． 6．在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 7．已知，则的值为___________． 8．已知，是关于的一元二次方程的两根，则________． 9．若，则___________． 10．在直角中，，，，点是边上靠近的三等分点，则____________． 11．已知，，则______________． 12．如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别连接，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是________________个． 二、选择题（满分18分）本大题共有4题，第13，14题，每题4分；第15，16题，每题5分，每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知角，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 14．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 15．已知角的终边经过点A，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，若点B的坐标为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 16．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b.若，则（   ） A． B． C． D． 三、解答题（满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17．（满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 化简：（1）； （2）. 18．（满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 已知，，， 求：(1)的值； (2). 19．（满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若时，求△ABC面积的最大值． 20．（满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶20分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处. （1）求的值； （2）求该船的行驶速度（海里/小时）； （3）在离观测站的正南方15海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过10分钟.如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由. 21．（满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． (1)试用表示； (2) 利用第（1）问的结论求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，，，求证：． 参考答案 1． 2． 3．9 4． 5． 6． 7．4 8． 9． 10． 11． 12． 题号 13 14 15 16 答案 B A B C 17．（1）原式 (2)原式 18．（1）因为，，， 所以， 则； （2）由，，可得 则. 19．（1）在中，，而，即， ，由余弦定理得， 所以. （2）由（1）知，，，而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以当时，面积取得最大值. 20．解：（1）由题意：，，， 因为，， 所以， （2）由余弦定理得：， 即. 因为航行时间为20分钟，所以该船的行驶速度为海里/小时 （3）由（1）知，在中，根据余弦定理得，则. 设延长线交于点，则，. 在中，由正弦定理可得：. 解得：海里， 过点作垂直于点， 在中，，，所以. 显然，，故货船会进入警戒区. 则货船进入警戒区的时间为小时， 而，所以货船可以在规定时间之内离开警戒区域. 21．解：（1）因为， （2） 所以， 因为， 因为， ， 即 因为，解得（已舍）. （3）（3）因,故可令， 故由可得: 由（1）得:， 因，故， 故,或,或 即方程的三个根分别为， 又，故， 于是， 第4页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $