上海市奉贤中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高中数学期中试卷以基础巩固为核心，通过梯度化问题设计考查抽象能力、推理意识及模型观念，适配阶段性学情诊断与核心素养培育。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题60分|函数性质、立体几何初步|结合生活情境考查数感与空间观念| |填空题|4题20分|数列、概率统计|设置开放型问题发展创新意识| |解答题|6题70分|函数应用、解析几何|以科技数据为背景设计综合题，考查数学建模与逻辑推理|

2026年奉贤中学高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1.-π 1 2. 2 3.±2 4. 3 3 7 5.-3 6.2 1.4 8. 3π 4 9.2 10.2V5 37 11 12. -√2 4’8 4 二、选择题 13.A 14.C. 15.B 16.B 三、解答题 17.【解析】 (1)因为复数z是实数，所以m2-5m-14=0,解得m=7或m=-2;所以实数m的值为7 或-2； (2)因为复数z表示的点在第四象限， m2-8m+15>0 所以 ,即 [m-3)(m-5)>0 m2-5m-14<0'(m-7)(m+2）<0 解得-2<m<3或5<m<7，所以实数m的取值范围为(-2,3)U(5,7）. 18.【解析】 f(x)=a.b=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+3cosx.2sinx =cos'x-sin2x+3sin2x=cos2x+3sin2x -2sin 所以函数∫(x的最小正周期T=2红=元. 2 (2)由fA=1得： 22+-1.sm24+副月 因为0<A<元，所以<24+元<13n 6 66 所以2A+亚-5红，解得A= 66 3 由余弦定理u2=62+c2-2bcc0sA得：4=62+c2-2bc.=b2+c2-bc, 因为b2+c2≥2bc,所以4≥2bc-bc=bc,即bc≤4. 所以△MC伪面积：S-besinA=-bes n元V3 2 ×4=V5, 34 4 当且仅当b=C=2时，△ABC面积的最大值为V3. 19.【解析】 (1)由题意可知，在△ABC中，∠ACB=45°-37°=8° 在Rt△ADC中，∠ACD=45°，∠ADC=90°， .∠CAD=90°-45°=45°. 由正弦定理一AB BC 得：BC=4B-s145”50x07=250(m. sin∠4CB sin∠CAD singo 0.14 在Rt△BDC中，∠BCD=37°， .BD=BC·sin37°≈250×0.6=150(m. .山高BE=BD+1.5=150+1.5=151.5(m. 答：山高BE约为151.5m. (2)由(1)知BD=150m,则AD=AB+BD =50+150=200(m). 设∠ACD=B,∠BCD=o,则tanB= AD200 BD150 tand CD x CD :.tan4CB=tan(B-)=1+tanBtanc tanβ-tana 200150 50 =-xx 50 1+200.150 30000 30000 x+ 大 x+ x>0,由基本不等式得： 30000 30000 x+ ≥2 =2√30000 =200V5. 当且仅当x= 30000 ,即x=1005时，等号成立. 此时分母最小，tan∠ACB最大，视角∠ACB最大. 答：当x为100V3时，观测基站的视角∠ACB最大 20.(本大题共18分，第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题8分) 【解析】(1)由2BP=PC可知P为BC的三等分点， 那+兮c. 3 EF//BC, ∴.△AEF~△ABC, .AE AF =k,即B=AE,AC=AF. AB AC k 1 AF. 3k 3k O为AP中点，且E,O,F共线， .AP=2AO,且AP关于AE,AF的系数和为2. 21 3k3k 2，银得长月 A=E+ Γ33 (2)EB=AE,FC=uAF AB=(1+元)AE,AC=(1+μ)AF, O是AP的中点， 0--西+小+。c 2 233 :40=1+九E++AF. 3 6 :E,O,F三点共线， :1+21+=1. 36 整理得21+元)+(1+4)=6，即22+4=3. .22+4为定值3. (3)S=AE.AF S2AB·AC(1+2)1+4) 由(2)知4=3-22， .S= 1 S2(1+元)(4-22) 令t=1+入，则2=t-1, λ>0，u>0,.1<t<2.5. 1 S2t(4-2(t-1)6t-2r 当1时，分母取最大值) 2 :冬的最小值为)号 12 S2 2 21.(本大题共18分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分) 【解析】 (1)函数y=f(x)具有性质P，y=g(x)不具有性质P,说明如下： f(x+2π=sin(x+2π+x+2π=sinr+x+2π， f(x+2π=sin(x+2π+x+2元=sinx+x+2元， 对任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x)+f(2π，所以y=f(x)具有性质P; x2)=cosk,g(x)+8(2)=cosx+1 C 所以y=g(x)不具有性质P. (2)由函数f(x)具有性质P,得C=专，即sinp=f0)=0, 而o<子则p=0,f(x=sin0x, 若C-号，不妨设C=号，由fx+2=f到+f2, 2 得f(2kπ=f(0)+f(2π)=付(2π)(k∈Z),只要k充分大时，f(2π)将大于1， 而f(x)的值域为[-1，]，则上述等式不可能成立，因此必有f(2π=0成立，即 sin(2o元=0. <0<号，即3元<2om<5玩，则2om三4n,解符0=2 此时f(x=sin2x,则f(x+2元)=sin2(x+2元=sin2x, 而f(x+f(2m=sin2x+sin4π=sin2x, 即有f(x+2π=sinx+2π+x+2π=sinr+x+2π成立，符合题意， 令F(x)=f(x+2sinx=0,即lsin2x+2sinx=0, ①当sin2x≥0时，sin2x+2sinx=0,即2 sinx(cosx+1=0, 得sinr=0或cosx=-1,得x=m,k∈Z或x=π+2km,k∈Z; ②当sin2x<0时，-sin2x+2sinx=0, 即2sinx1-cosx=0,而sinx>0,无解， 因此f(x)=0的解为x=m,k∈Z,在[0,2026元内，x=0,元，2元，，2026m,共 2027个零点 8)面政倒-8n2x+引由re0引92x异[任，版在0 递增，函数值从42增大到8，在工，刀 82 上递减，函数值从8减小到-4√2， 令g(x)=[h(x]-2ah(x)+a2-1=0, 即[h(x-(a+1][h(x-(a-1)]=0. 解得=a+1或=。-1，由g四在Q引上有3个零点，有在0引上方段 h(x=a+1有2个不同的实根，h(x)=a-1有1个实根， 或h(x)=a+1有1个实根，h(x=a-1有2个不同的实根， 4V2≤a+1<8 因此 或a+1=8 -45≤a-1<4W2{4W5sa-1<8解得45-1≤a<42+1或a=7,所以a 的取值范围为42-1,4V2+{7。 2026年奉贤中学高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1．若，则________． 2．已知角的终边经过点，则________． 3．已知，，且，则________． 4．已知，则________． 5．已知向量，，向量在向量上的投影为________． 6．已知角终边上一点，且，则________． 7．函数，，则的最小值为________． 8．已知函数的一段图象如图所示，则________． 9．已知复数满足，则的最小值为________． 10．已知的内角，，的对边分别为，，，且，则的最小值是________． 11．如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，设为等边三角形内一点（含边界），若，则的取值范围为_____． 12．定义对于点，的三角距离为，记点，分别位于函数与函数上，则的最大值为________． 二、选择题 13．角满足，则（ ） A． B． C． D． 14．在平行四边形中，为中点，为上一点，且，则（ ） A． B． C． D． 15．已知函数，则以下结论正确的个数为（ ） ①函数最小正周期是； ②函数最大值与最小值距离为； ③函数在区间上是严格减函数； ④对任意，使得“”成立的充要条件是“”． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．已知函数在上是严格增函数，且当时，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（本大题共14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知复数． （1）若复数是实数，求实数的值； （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围． 18．（本大题共14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 已知向量，，记函数． （1）求函数的最小正周期； （2）在中，若，，求面积的最大值． 19．（本大题共14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高．该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为． （1）求出山高（参考数据：，，，．）； （2）如图二，当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为．试问当多大时，观测基站的视角最大？ 20．（本大题共18分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． （1）当时，请用与表示； （2）求证：为定值； （3）设的面积为，的面积为，求的最小值． 21．（本大题共18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）已知函数具有性质，求函数在上零点的个数； （3）在（2）的条件下，将函数向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数，已知函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $