河南省郑州市中牟县第一高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2024——2025学年高二下学期第三次月考 数学试题 命题人： 审题人： 1、 单项选择题（8小题，每题5分，共40分） 1.已知函数 ，则 （     ） A． B． C． D． 题目ID：997822292065001472 2. 的展开式中 的系数为（     ） A．30 B．60 C．90 D．120 题目ID：997822294128594944 3.县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（       ） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 题目ID：997822302114549760 4.已知函数 有两个不同的极值点 ， ，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 题目ID：997822308267593728 5.已知变量 与变量 的关系可以用模型 （ ， 为常数）拟合，设 ，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为 ，则 （       ） A．0.206 B． C．0.596 D． 题目ID：997822311224582144 6.如图所示，在杨辉三角中，斜线 上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….记这个数列的前 项和为 ，则 （       ）     A．442 B．441 C．364 D．298 题目ID：997822320384942080 7.已知函数 在 上可导且 ，其导函数 满足： ，则 的解集为（     ） A． B． C． D． 题目ID：997822322331099136 8.已知连续型随机变量 服从正态分布 ，记函数 ，则 的图象（     ） A．关于直线 对称 B．关于直线 对称 C．关于点 成中心对称 D．关于点 成中心对称 题目ID：909112522743746560 题目ID：909112565819252736 2、 多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 关于 的展开式，下列说法正确的是（     ） A．展开式共有8项 B．展开式的所有项系数之和为1 C．展开式的二项式系数之和为256 D．展开式中含有常数项 题目ID：997822355398991872 10. 由一组样本数据 得到的经验回归方程为 ，去除两个样本点 和 后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（       ） A．相关变量x，y具有正相关关系 B．新的经验回归方程为 C．随 值的增加， 值增加的速度变小 D．样本点 似残差为0.1 题目ID：997822359496826880 11. 定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数 的图象的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（       ） A． B． 的极大值与极小值之和为6 C． 有三个零点 D．对于任意实数 过 的切线有且只有一条 题目ID：909112628276629504 3、 填空题（3小题，每题5分，共15分） 12.            . 题目ID：997822372025208832 13. 若随机变量 ，且随机变量 ，则       ． 题目ID：997822374688591872 14. 曲线 与曲线 的公切线方程为      . 题目ID：909112641077645312 4、 解答题（4小题，77分） 15.已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为 . （1）求 的值； （2）设 ， ①求 的值； ②求奇次项的系数和. 题目ID：997822383047839744 16.已知函数 （ ）. （1）若 ，求 的极小值； （2）当 时，求 的单调递增区间； （3）当 时，设 的极大值为 ，求证： . 题目ID：997822385556033536 17.“停课不停学，停课不停教”，疫情防控静态管理期间，从高二年级随机抽取120名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这120人中随机抽取1人，抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是 ． 男生 女生 合计 喜欢钉钉直播上课 20 不喜欢钉钉直播上课 30 合计 120 （1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有 95% 的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关？ （2）校团委为进一步了解学生喜欢钉钉直播上课的原因，用分层抽样的方法从该类学生中抽取 5 人组成总结交流汇报小组，从该小组中随机抽取 3 人进行汇报，记 3 人中男生的人数为 X ，求 X 的分布列、数学期望． 附临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.63 7.879 参考公式： ，其中 ． 题目ID：997822392279506944 18.已知函数 ， ． （1）当 时，函数 的最小值为 ，求实数 a 的值； （2）当 时，试确定函数 的零点个数，并说明理由． . 2024——2025学年高二下学期第三次月考 数学参考答案 题目ID：909112522743746560 1.D 【分析】 根据求导公式和运算法则，结合导数的定义计算即可求解. 【解析】 1.由题意知， ，所以 ； . 故选：D 题目ID：997822292065001472 【答案】 2.B 【分析】 利用整体思想将三项视为二项，连续用两次通项公式即可求解. 【解析】 2.因为 ， 所以通项公式 ， 因为要求 的系数，所以令 ， 此时 ， 又 的通项公式 ， 令 ，解得 ， 则 的展开式中 的系数为 ， 因此， 的展开式中 的系数为 . 故选：B. 题目ID：997822294128594944 【答案】 3.B 【分析】 先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数，然后考虑虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村的派遣方案种数，结合间接法可求得结果. 【解析】 3.先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数， 则五个贫困村分派的村官人数分别为 、 、 、 、 ， 不同的派遣方案种数为 ； 接下来考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村，则不同的派遣方案种数为 种， 由间接法可知，甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有 种. 故选：B. 题目ID：997822302114549760 【答案】 4.C 【分析】 求出函数的导数，结合二次函数的性质求出 的范围即可. 【解析】 4.因为函数 ，所以 ， 令 ，由题意得 在 上2个解 ， ， 故 ，解得： ，经检验适合题意； 故选：C. 题目ID：997822308267593728 【答案】 5.D 【分析】 先根据线性回归方程必过样本中心点，可求 ，再推导出 ，可求 的值. 【解析】 5.由表格中数据得 ， ， 代入方程得， ，解得 ，因此 . 由 两边取对数，得 . 又 ，所以 ， ，即 . 故选：D 题目ID：997822311224582144 【答案】 6.A 【分析】 利用组合数表达出数列中的各项，并利用 求出答案. 【解析】 6.由图知，数列中的各项是 ， ， ， ， ， ， ， ，……， . 故选：A. 题目ID：997822320384942080 【答案】 7.D 【分析】 构造函数 ，对其求导并结合已知可得 ，所以 ，即可解不等式. 【解析】 7.令 ，则 ， 故 （c为常数）， ∵ ，∴ ， ， ∴ ， 令 ，解得 ． 故选：D 题目ID：997822322331099136 【答案】 8.C 【分析】 利用连续型随机变量 服从正态分布 ，结合正态密度曲线的性质计算可判断每个选项的正误. 【解析】 8.由连续型随机变量 服从正态分布 ， 可得 ，可得 ，所以正态密度曲线关于 对称， 即 ， 由 ，可得 在 时增加较快，在 时增加越来越慢， 所以 无对称轴，故AB错误； ， 所以 关于点 成中心对称，故C正确，D错误. 故选：C. 题目ID：997822352286814208 9.【答案】 BC 【分析】 利用二项式展开式的性质即可判断A；利用赋值法即可判断B；由二项式系数和的性质即可求解C；根据通项特征即可判断D． 9.【解析】 对于A， ，所以展开式共有9项，故A错误； 对于B，令 ，则 ，故B正确； 对于C，展开式的二项式系数之和为 ，故C正确； 对于D，展开式中的通项是 ， 令 ，解得 ，所以展开式中没有含常数项，故D错误； 故选：BC． 题目ID：997822355398991872 10.【答案】 ABD 【分析】 由回归系数 ，可判定A正确；根据题意，求得新的经验回归方程为 ，可判定B正确；根据回归系数的含义，可判定C错误；根据新的回归方程，求得 ，结合残差的计算，可得判定D正确. 10.【解析】 对于A中，由回归方程为 ，可得回归系数 ， 可得正数知变量 具有正相关关系，所以A正确； 对于B中，将 ，代入 ，可得 ， 所以去除点 和 后，得到新的样本平均数 ， 因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以 ， 所以新的经验回归方程为 ，所以B正确； 对于C中，经验回归直线的斜率为正数，变量 具有正相关关系， 又去除两点后，斜率增大，随x值的增加，y值增加的速度变大，所以C错误； 对于D中，由回归直线方程 ，当 时，可得 ， 所以样本点 似残差为 ，所以D正确. 故选：ABD. 题目ID：997822359496826880 11.【答案】 BD 【分析】 求得 ，由 ，求得 ，结合题意，可判定A不正确；利用导数求得函数 的单调区间，求得函数的极值，可判定B正确；根据函数的极值，以及函数取值的变化趋势，可得判定C不正确；利用导数的几何意义，求得切线方程，将 代入切线方程，得到 ，结合 的单调性，可判定D正确. 11.【解析】 对于A中，因为 ，可得 且 ， 令 ，即 ，可得 ， 由函数 的对称中心为 ，可得 ，解得 ， 又由 ，所以A不正确； 对于B中，由A知， ， 当 时， ；当 时， ；当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 的极大值为 ，极小值为 ， 所以极大值与极小值之和为 ，所以B正确； 对于C中，当 时， ；当 时， ， 所以函数 只有一个零点，所以C不正确； 对于D中，设切点坐标为 ，得到 ， 即切线的斜率为 ，则切线方程为 ， 将 代入切线方程 ，可得 ， 令 ，可得 ，所以函数 为单调递减函数， 所以 与 的图象有且仅有一个公共点， 即对于任意实数 过 的切线有且只有一条，所以D正确. 故选：BD. 题目ID：997822366497116160 12.【答案】 ## 【分析】 利用二项式系数和公式进行求解即可. 12.【解析】 由二项式系数和公式知： ， 故答案为： 题目ID：997822372025208832 13.【答案】 6 【分析】 先根据二项分布的方差公式求出 ，再利用方差的性质求出 . 13.【解析】 已知随机变量 ，即 ， ，将其代入方差公式可得： . 若 （ 、 为常数），则 . 已知 ，即 ， ，由步骤1可知 ， 将其代入上述公式可得： . 故答案为：6. 题目ID：997822374688591872 14.【答案】 【分析】 设两个函数的切点，求导，根据点斜式分别求解切线方程，进而得 ，构造函数 ，求导得函数单调性，进而求解方程的根得解. 14.【解析】 设公切线与曲线 切于点 ，与曲线 切于点 ， 易知公切线的斜率存在，对 求导得 ， 可得公切线的斜率 ， 所以公切线方程为 ，即 ①. 对 求导得 ， 所以公切线方程为 ， 即 ②. 由①②得 所以 ， 令 ， ，所以 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以 ，所以 ， 所以公切线方程为 ，即 . 故答案为： 题目ID：997822377259700224 15.【答案】 （1）8 （2）①255，② （ 也正确） 【分析】 （1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）①令 ， ，根据二项展开式的系数和即可求解； ②令 即可求解； 15.【解析】 （1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，则所有不同的排法种数有 ； （2）在 ， 令 ，得 ； 令 ，得 ①； . 令 ，得 ②； ②，得 .（ 也正确） 题目ID：997822383047839744 16.【答案】 （1） （2） 和 （3）证明见解析 【分析】 （1）利用导数求解函数的单调性求解出函数的极值即可 （2）当 时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间 （3）分 和 讨论求解即可. 16.【解析】 （1）由题意知 . 若 ，则 ，所以 . 令 ，得 . 当 时， 当 时， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 的极小值等于 . （2）因为 ，所以 ， 由 ，即 ，解得 或 ， 所以 在 和 单调递增， 由 ，即 ，解得 ， 所以 在 单调递减， 故 的单调增区间为 和 . （3）当 时，由（2）知， 的极大值等于 ； 当 时， ， 单调递增， 无极大值； 当 时，当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 所以 的极大值等于 ， 令 ，所以 ， 在 上 在 上， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以故 ， 综上所述， . 题目ID：997822385556033536 17.【答案】 （1）没有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关； （2）分布列见解析， ． 【分析】 （1）求出喜欢钉钉直播上课的学生的人数，补充列联表即可，代入 计算即可判断； （2）确定抽取的男生人数，确定X的可能取值，分别求出 ， ， 的值，求出分布列，从而求出数学期望． 17.【解析】 （1）由120人中随机抽取1人抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是 ， 故喜欢钉钉直播上课的学生共有50人，列联表补充如下： 男生 女生 合计 喜欢钉钉直播上课 20 30 50 不喜欢钉钉直播上课 40 30 70 合计 60 60 120 由已知数据可求得： ， 所以没有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关． （2）由（1）知喜欢钉钉直播上课的男女生比例为 ， 按照分层抽样的方法，从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，抽取男生2人， 则 的可能取值为0，1，2， 则 ， ， ， 所以 的分布列为： X 0 1 2 P 的数学期望为： ． 题目ID：997822392279506944 18.【答案】 （1） （2）1个零点，理由见解析 【分析】 （1）对函数求导，由 ，按照 的取值分类讨论函数在该区间上的单调性，从而得到最值，计算验证即得 的值； （2）由 ，得方程 ，显然 为此方程的一个实数解．当 时，方程可化简为 ．构造函数 ，利用导数得到 的最小值即可求解. 18.【解析】 （1）由 求导得： ，因 ， 当 ，即 时， ，则函数 在 上单调递减， 故 ，显然不符合题意； 当 ，即 时， ，则函数 在 上单调递增， 故 ，显然不符合题意； 当 ，即 时，由 可得 ， 当 时， ，则函数 在 上单调递减； 当 时， ，则函数 在 上单调递增， 故 ，由 ，可得 ，符合题意. 故实数a的值为 . （2）由 ，可得 ， 显然 是该方程的一个实数解，故 是函数 的一个零点； 当 时，方程可化简为 ，设函数 ，则 ， 由 可得 ，当 时， ，则函数 在 上单调递减； 当 时， ，函数 在 上单调递增， 故函数 的最小值为 ， 即对任意的 ， 恒成立，故方程 无实数解，即 时，函数 不存在零点. 综上，函数 有且只有1个零点. 第 页，共 页 学科网（北京）股份有限公司 $$