精品解析：河南鄢陵县第二高级中学等校2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若变量关于变量的线性回归方程为，则相关系数的值不可能是（ ） A. B. C. D. 2. 过点，的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象在处的切线在轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 若、，则方程表示的直线条数为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若、，且，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（ ） 参考数据：若，则，0.9973． A. 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B. 该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为 D. 该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两平行直线、的方向向量的坐标分别为、，则______． 13. 若随机变量，且，则______． 14. 若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被除所得余数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求与； （2）若，求的前项和． 16. 已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合． （1）求的方程； （2）若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积． 17. 某电动汽车制造企业为了提升电池性能，研发部门对一款新型号的电池进行了充放电循环测试，测试时分别收集了使用液冷技术与风冷技术的电池各250组，测试电池电容量衰减至初始容量的时所经历的充放电循环次数，若循环次数不低于2000次，则认定为A级电池，否则认定为B级电池，统计结果如下表： A级电池 B级电池 总计 液冷技术 200 50 250 风冷技术 150 100 250 总计 350 150 500 （1）根据小概率值的独立性检验，分析“是A级电池”与“电池冷却技术类型”是否有关； （2）现从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池，再从这10组电池中用无放回的方式随机抽取3组电池，记为抽到的A级电池的组数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1．已知第一个量子比特测量结果为0的概率为，测量结果为1的概率为．若第一个量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为；若第一个量子比特测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为． （1）在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率． （2）设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和． （i）求的分布列； （ii）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变，，且， ，， ，求的取值范围． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若方程有实根，求的取值范围； （3）若函数有个极值点、，证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若变量关于变量的线性回归方程为，则相关系数的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知变量与变量负相关，由此可得结果. 【详解】由题意可知变量与变量负相关，则相关系数，即. 2. 过点，的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆的面积最小即直径最小，即当直径为时最小，求出圆心及半径即可得标准方程. 【详解】根据题意，要使过点，的圆的面积最小，那么此时圆的直径为， 此时圆的圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为，故B正确. 3. 函数的图象在处的切线在轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，令可得轴上的截距. 【详解】，，又， 所以处的切线为， 令，可得， 故函数的图象在处的切线在轴上的截距为. 4. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由所给的随机变量的分布列，根据分布列的性质，得到关于的方程，求解即得的值. 【详解】, ，解得. 5. 为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】确定六旋翼无人机、四旋翼无人机所排的位置，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，两种无人机必须交错排列， 即架不同型号的六旋翼无人机分别排在第、、号位； 架不同型号的四旋翼无人机排在第、、、号位， 所以不同的飞行队形种数为种. 6. 若、，则方程表示的直线条数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知直线的条数等同于的取值个数，分、两种情况讨论，分析的取值个数，即可得解. 【详解】因为、，所以直线的斜率必存在，且其斜率为， 由得，由得， 故直线过定点， 故直线的条数等同于的取值个数， 当时，满足题设条件的直线只有一条； 当时，由于且，且，且， 此时的取值个数为. 综上所述，不同的直线的条数为条. 7. 甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出每轮游戏甲或乙胜的概率，再利用概率的加法公式、乘法公式求解. 【详解】每轮游戏甲胜或乙胜的概率均为，平局的概率为， 第3轮抛掷后游戏结束，若第3轮甲胜，则第2轮甲胜，第1轮乙胜或平局，概率为， 同理第3轮抛掷后游戏结束且第3轮乙胜的概率也为，所以所求概率为． 8. 若、，且，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，，，其中，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出，再结合函数的单调性判断可得出、的大小关系，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合零点存在定理得出的范围，再利用函数的单调性并结合零点存在定理可得出的范围，据此可判断D选项. 【详解】因为，则，， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数，即当时，，即， 因为，则，所以， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数， 由题意可知，，故， 因为，，故， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，且， 因为，则， 所以， 又因为，所以，故，D错. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（ ） 参考数据：若，则，0.9973． A. 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B. 该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为 D. 该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意知，， 所以该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2，方差为0.09. 所以A正确，B错误. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为， 所以C正确. 因为， 所以该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为，所以D错误. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由多项式乘法法则和二项展开式求解可判断A，利用赋值法可判断B和C，对二项展开式求导，结合赋值法可判断D. 【详解】在的展开式中，含的项为， 所以，故A错误； 令， 当时，， 当时，， 所以，故B正确； 当时，， 所以， ，故C正确； 对求导，可得， 当时，， 即，故D正确. 11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用空间向量解决立体几何中距离与夹角问题，A选项，求出即可；B选项，先求出平面法向量，设直线与平面所成角为，再求出；C选项，点到平面的距离可以利用法向量求出；D选项，求出平面法向量，再求出. 【详解】A选项， ，,正确； B选项，设平面的法向量为，则， 取，则为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，那么， 所以B错误； C选项，点到平面的距离为，正确； D选项，设平面法向量，而， 故， 取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， ，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两平行直线、的方向向量的坐标分别为、，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两直线平行与方向向量的关系可得出关于、的等式，解之即可得出的值. 【详解】因为，则，所以，解得，， 故. 13. 若随机变量，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式得到方程，求出，再由二项分布的概率公式计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 所以. 14. 若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被除所得余数为______． 【答案】 【解析】 【分析】推导出，利用累加法求出，再利用二项式定理可得出被除所得余数. 【详解】当为奇数时，设，则①， 当为偶数时，设，则②， 由①②可得，即， 由题意可得， 由题意可得，，，， 累加得， 所以， 因为， 则， 故被除所得余数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求与； （2）若，求的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于首项、公差的方程组，再利用等差数列通项公式及前项和公式求解. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 设的公差为，由，得，解得， 所以， . 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 所以 . 16. 已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合． （1）求的方程； （2）若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，结合椭圆离心率求出即可. （2）求出双曲线渐近线的斜率，进而求出直线的方程并与椭圆方程联立求出三角形面积. 【小问1详解】 双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为， 即有，由的离心率为，得，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设， 由对称性，不妨设直线的方程为，即， 由消去，得 ，则，， 因此， 所以的面积. 17. 某电动汽车制造企业为了提升电池性能，研发部门对一款新型号的电池进行了充放电循环测试，测试时分别收集了使用液冷技术与风冷技术的电池各250组，测试电池电容量衰减至初始容量的时所经历的充放电循环次数，若循环次数不低于2000次，则认定为A级电池，否则认定为B级电池，统计结果如下表： A级电池 B级电池 总计 液冷技术 200 50 250 风冷技术 150 100 250 总计 350 150 500 （1）根据小概率值的独立性检验，分析“是A级电池”与“电池冷却技术类型”是否有关； （2）现从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池，再从这10组电池中用无放回的方式随机抽取3组电池，记为抽到的A级电池的组数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）“是A级电池”与“电池冷却技术类型”有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题中数据求，并与临界值对比，结合独立性检验思想分析判断； （2）分析可知的所有可能取值为，，，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 零假设：“是A级电池”与“电池冷却技术类型”无关， 由题中数据得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断零假设不成立， 所以“是A级电池”与“电池冷却技术类型”有关． 【小问2详解】 从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池， 则A级电池抽取8组，B级电池抽取2组，则的所有可能取值为，，， ，，， 故的分布列为 1 2 3 所以． 18. 在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1．已知第一个量子比特测量结果为0的概率为，测量结果为1的概率为．若第一个量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为；若第一个量子比特测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为． （1）在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率． （2）设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和． （i）求的分布列； （ii）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变，，且， ，， ，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i） 0 1 2 （ii）．【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式求解. （2）（i）求出的可能值及各个值对应的概率列出分布列；（ii）由（i）求出的期望、方差即可. 【小问1详解】 记事件“第一个量子比特测量结果为0”，事件“第二个量子比特测量结果为0”， 事件“两个量子比特测量结果相同”，则， 则，， 所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为0的概率为 ． 【小问2详解】 （i）的所有可能取值为，，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 （ii）由（i）得， ， 所以 ， 所以的取值范围是. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若方程有实根，求的取值范围； （3）若函数有个极值点、，证明： ． 【答案】（1）当时，的增区间为，无减区间；当时，的减区间为，增区间为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）由结合参变量分离可得，令，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围； （3）利用极值点的定义可得出，，结合可得出，求得，，化简得出，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题知的定义域为，， 若，则，此时函数的增区间为，无减区间； 若，由可得，由可得. 此时函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 由得，参变量分离可得， 令，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为， 又当时，，所以的取值范围是． 【小问3详解】 由题可知， 则， 由题知、是方程的两根，即方程的两个根， 所以，由韦达定理可得，， 所以，，， 所以 ， 令，其中， 则， 令，其中， 则对任意的恒成立， 故函数在上为增函数，则， 所以在上单调递减，则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $