精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁区第七中学2025-2026学年八年级（下）阶段学情自测数学试卷

2025-2026学年八年级（下）月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键． 2. 下列命题中，真命题是 （ ） A. 两对角线相等的四边形是矩形 B. 两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 两对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两对角线相等的四边形是等腰梯形 【答案】B 【解析】 【分析】根据四种特殊四边形的判定方法进行判断即可选出正确选项． 【详解】A．两对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意； B．两对角线互相平分的四边形是平行四边形，本选项正确，符合题意； C．两对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误，不符合题意； D．两对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 3. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据一次函数的性质可得m-3>0，解不等式即可确定答案． 【详解】解：∵一次函数y=(m−3)x+5中，y随着x的增大而增大， ∴m−3>0， 解得：m>3. 故选C. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，y随x的增大而增大是解答本题的关键. 4. 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有【 】 A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形，因此，对各选项逐一计算即可判断即可. 【详解】①∵22+32=13≠42，∴以2，3，4为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意； ②∵32+42=52，∴以3，4，5为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意； ③∵12+（）2=22，∴以1，，2为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意. 故构成直角三角形的有②③. 故选D. 5. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴不能判定四边形是平行四边形； B．不能判定四边形是平行四边形； C．∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； D．不能判定四边形是平行四边形； 故选C． 6. 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为(　　) A. 2.4cm B. 4.8cm C. 5cm D. 9.6cm 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD， ∴AB=， ∵菱形ABCD的面积=AB•DE=AC•BD=×8×6=24， ∴DE==4.8cm； 故选B． 7. 一次函数y=ax+b与y=abx在同一个平面直角坐标系中的图象不可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】当ab＞0，a，b同号，y=abx经过一、三象限， 同正时，y=ax+b过一、三、二象限； 同负时过二、四、三象限， 当ab＜0时，a，b异号，y=abx经过二、四象限 a＜0，b＞0时，y=ax+b过一、二、四象限； a＞0，b＜0时，y=ax+b过一、三、四象限． 故选D． 【点睛】此题考查一次函数的图象性质，解题关键在于要掌握它的性质才能灵活解题． 8. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④． 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， 四边形是正方形，， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，即结论①正确； ， ， ，即结论③正确； ， ， ， ，即，结论②正确； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时在中，， 又， 的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误； 综上，正确的结论为①②③，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，进一步求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴， 解得 ． 故答案为 ． 10. 若点都在函数的图象上，则与的大小关系_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握其基础知识是解题的关键．根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：由可得：， 一次函数的图象y随的增大而减小，且， ∴， 故答案为：． 11. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则的长为___________． 【答案】9． 【解析】 【分析】根据矩形性质AD=BC=12，AB=DC=5，∠ABC=90°，根据勾股定理可求，根据直角三角形斜边中线性质可求OB，再利用三角形中位线性质求出OM即可． 【详解】解：∵四边形为矩形 ∴AD=BC=12，AB=DC=5，∠ABC=90° ∴， ∵点O为AC中点， ∴BO=， ∵点M为AD中点， ∴OM为△ADC的中位线， ∴， ∴． 故答案为：9． 【点睛】本题考查矩形性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质，掌握这些知识是解题关键，本题难度不大，综合训练中线与中位线知识． 12. 如图，将直线沿轴向下平移后的直线恰好经过点，且与轴交于点，在x轴上存在一点P使得的值最小，则点P的坐标为 ． 【答案】（，0） 【解析】 【分析】如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求， 【详解】解：设直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y=﹣x+a， 把A（2，﹣4）代入可得，a=﹣2， ∴平移后的直线为y=﹣x﹣2， 令x=0，则y=﹣2，即B（0，﹣2） ∴B'（0，2）， 设直线AB'的解析式为y=kx+b， 把A（2，﹣4），B'（0，2）代入可得，，解得， ∴直线AB'的解析式为y=﹣3x+2， 令y=0，则x=，∴P（，0）. 三、解答题 13. 计算： （1） ； （2）先化简，再求值： ，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 将代入上式得， 原式． 14. 已知一次函数图象y＝kx+b经过点A（﹣3，1）和点B（0，﹣2）． （1）求这个一次函数的解析式． （2）已知点C的纵坐标为﹣3，且在这个一次函数图象上，求△AOC的面积． 【答案】（1）y＝﹣x﹣2；（2）4． 【解析】 【分析】（1）根据点和，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再根据三角形面积求法得出答案. 【详解】（1）因一次函数的图象经过点和点 则 解得： 故这个一次函数的解析式为； （2）∵点C的纵坐标为，且在这个一次函数图象上 ∴代入函数解析式得 解得： 则的面积为 故的面积为4. 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用，根据一次函数的解析式求出点C的坐标是解题关键. 15. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与点，的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）求的面积． （2）着火点能否受到洒水影响？为什么？ 【答案】（1） （2）受影响 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用面积公式计算即可； （2）过点作于，利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 【小问2详解】 如图，过点作于， ， ， ， 飞机中心周围以内可以受到洒水影响， 着火点受洒水影响． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 16. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出相等的角，利用平行线得出内错角相等，得出，根据等角对等边得出，根据菱形的定义即可得出结论； （2）根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线定理求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴为直角三角形，且点为斜边的中点， ∴． 17. 【理解概念】 定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形． （1）下列四边形是三等角四边形的是_________．（填序号） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形． 【巩固新知】 （2）如图 ，折叠平行四边形 DEBF，使得顶点 E、F 分别落在边 BE、BF上的点 A、C 处，折痕为DG、DH． 求证：四边形 ABCD 为三等角四边形． 【拓展提高】 （3）如图 ，在三等角四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C，若 AB＝5，，DC＝7，则BC的长度为_________． 【答案】（1）③④；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质判断即可求解； （2）由平行四边形的性质可得∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，根据折叠的性质可得∠E=∠DAE，∠F=∠DCF，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可得结论； （3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，可得四边形DEBF是平行四边形，根据及平行四边形的性质可得AD=DE=BF=，CD=DF=7，可求出AE的长，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，利用勾股定理可得DG的长，利用平行四边形的面积可求出DH的长，利用勾股定理可求出CH的长，进而求出CF的长，即可求出BC的长． 【详解】解：（1）①根据平行四边形的对角相等可得平行四边形不是三等角四边形； ②根据菱形四边相等、对角相等可知菱形不是三等角四边形； ③根据矩形四个角都相等可知矩形是三等角四边形； ④根据正方形四个角都相等可知正方形是三等角四边形． 故答案为：③④； （2）∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵折叠平行四边形，使得顶点分别落在边上的点处， ∴DE=DA，DF=DC， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是三等角四边形 （3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F， ∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°， ∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F， ∴AD=DE=BF=，CD=DF=7， ∴AE=BE-AB=CD-AB=2， ∵DG⊥BE，DH⊥BF， ∴AG=EG=AE=1，CH=HF=CF， ∴DG=， ∴S平行四边形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5=DH， 解得：DH=， ∴CH==， ∴CF=2CH=， ∴BC=BF-CF=． 故答案为： 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了三等角四边形的判定与性质，翻折变换-折叠问题，四边形的内角和定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键． 18. 已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O． （1）若BF⊥AE， ①求证：BF＝AE； ②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明； （2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长． 【答案】（1）①见解析；②OD＝AB．证明见解析；（2）①BO＝或BO＝ 【解析】 【分析】（1）①如图1①，要证BF＝AE，只需证△ABE≌△BCF，只需证到∠BAE＝∠CBF即可； ②延长AD，交射线BM于点G，如图1②，由△ABE≌△BCF可得BE＝CF，由此可得CF＝DF，从而可证到△DGF≌△CBF，则有DG＝BC，从而可得DG＝AD，然后运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题； （2）可分点F在CD上和点F在AD上两种情况进行讨论．当点F在CD上时，如图2①，易证Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），则有∠BAE＝∠CBF，由此可证到∠AOB＝90°，然后在Rt△ABE中，运用面积法就可求出BO的长；当点F在AD上时，如图2②，易证Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），则有∠BAE＝∠ABF，根据等角对等边可得OB＝OA，根据等角的余角相等可得∠AEB＝∠EBF，根据等角对等边可得OB＝OE，即可得到OA＝OB＝OE，只需求出AE的长就可解决问题． 【详解】（1）①如图1①， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵BF⊥AE， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BF＝AE； ②OD＝AB． 证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②， ∵△ABE≌△BCF， ∴BE＝CF． ∵E为BC的中点， ∴CF＝BE＝BC＝DC， ∴CF＝DF． ∵DG∥BC， ∴∠DGF＝∠CBF． 在△DGF和△CBF中， ， ∴△DGF≌△CBF， ∴DG＝BC， ∴DG＝AD． ∵BF⊥AE， ∴OD＝AG＝AD＝AB； （2）①若点F在CD上，如图2①， 在Rt△ABE和Rt△BCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∴∠AOB＝90°． ∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2， ∴AE＝＝2 ． ∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BO， ∴BO＝． ②若点F在AD上，如图2②， 在Rt△ABE和Rt△BAF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL）， ∴∠BAE＝∠ABF， ∴OB＝OA． ∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°， ∴∠AEB＝∠EBF， ∴OB＝OE， ∴OA＝OB＝OE． ∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2， ∴AE＝＝2， ∴OB＝AE＝． 综上所述：BO的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等角对等边、等角的余角相等、勾股定理等知识，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决第（1）②小题的关键，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级（下）月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列命题中，真命题是 （ ） A. 两对角线相等的四边形是矩形 B. 两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 两对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两对角线相等的四边形是等腰梯形 3. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有【 】 A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 5. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为(　　) A. 2.4cm B. 4.8cm C. 5cm D. 9.6cm 7. 一次函数y=ax+b与y=abx在同一个平面直角坐标系中的图象不可能是(　　) A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 10. 若点都在函数的图象上，则与的大小关系_______． 11. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则的长为___________． 12. 如图，将直线沿轴向下平移后的直线恰好经过点，且与轴交于点，在x轴上存在一点P使得的值最小，则点P的坐标为 ． 三、解答题 13. 计算： （1） ； （2）先化简，再求值： ，其中． 14. 已知一次函数图象y＝kx+b经过点A（﹣3，1）和点B（0，﹣2）． （1）求这个一次函数的解析式． （2）已知点C的纵坐标为﹣3，且在这个一次函数图象上，求△AOC的面积． 15. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与点，的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）求的面积． （2）着火点能否受到洒水影响？为什么？ 16. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 17. 【理解概念】 定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形． （1）下列四边形是三等角四边形的是_________．（填序号） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形． 【巩固新知】 （2）如图 ，折叠平行四边形 DEBF，使得顶点 E、F 分别落在边 BE、BF上的点 A、C 处，折痕为DG、DH． 求证：四边形 ABCD 为三等角四边形． 【拓展提高】 （3）如图 ，在三等角四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C，若 AB＝5，，DC＝7，则BC的长度为_________． 18. 已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O． （1）若BF⊥AE， ①求证：BF＝AE； ②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明； （2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $