山东淄博市2026届高三五月检测数学试题

参照秘密级管理★启用前 2026年数学科高考仿真模拟试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则（ ） A． B． C．1 D． 2．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知正四棱台上、下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为（ ） A． B．688 C． D．888 6．已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列时，五张牌的排法总数为（ ） A．8 B．10 C．13 D．16 8．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，分别过、作斜率为、-2的直线、，若和的交点在双曲线上，则C的离心率为（ ） A． B．2 C． D．3 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机事件A，B满足，，，则（ ） A． B．事件A，B相互独立 C． D． 10．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示． 售价x（元/件） 10 11 12 13 14 月销售量y（千件） 10 9 9 7 5 则（ ） A．y关于x的线性回归方程为： B．相关系数（小数点后保留两位） C．当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件 D．在线性回归方程的估计下，样本点的残差为-0.4 参考公式：① ②③ 参考数据： ，，， 11．对于一个函数和一个点，令，若有最小值，则称点是M在的“最近点”．则（ ） A．对于，点，则点是M在的“最近点” B．对于，点，则点是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直 C．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，．则对任意的，的中点同时是，在的“最近点” D．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，则单调递增 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则________． 13．设正项数列，，，则的前n项和为________． 14．已知在中，，，则向量在上的投影向量的模的最小值为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，． （1）求A，C； （2）若，求a，c． 16．已知函数． （1）当，时，求的极值； （2）若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围． 17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，与相交于点E，点F在上，，，，． （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为β，求． 18．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点． （1）若，求M点的横坐标； （2）证明：直线过定点； （3）设G为直线与直线的交点，求面积的最小值． 19．盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同．甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中．直至盒中红球已被全部取出，游戏结束．第一次摸球从甲开始，记为第n次摸球后游戏结束的概率． （1）求，； （2）求； （3）若摸球次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $参照秘密级管理★启用前 2026年数学科高考仿真模拟试题答案 选择题： 1.A2.B3.B4.C5.B6.A7.D8.C 9.ABD 10.ABD 11.ABC 8.答案：C 解折：由题意知：R(-60),R(e,0).则直线4方程yx+小：直线方 3c 4c 程：y=-2(x-c);联立1,1方程可得交点坐标： 55 因为交点在双曲线上，故满足双曲线方程，代入可得： 9c216c2 25a2 25z91; 由双曲线定义可知，满足：a2+b2=c2;代入b2=c2-a2; 9c2 16c2 可得：25d 25(c2-㎡) 两边同乘25a(c2-a2)去分母可得：9c2(c2-d）-16ac2=25a(c2-a2), 即：9c4-50ac2+25a4=0,两边同除a, 可得：9e4-50e2+25=0,即(9e2-5)e2-5)=0; 解得e=5或e=5:因为双曲线离心率e∈(L+0)片 故e=√5，因此双曲线的离心率为√5， 11.答案：ABC A.当M0,0)时，s(x)=(x-0+ 0y-2 1 当且仅当父=即x=1时取等号， 入 高三数学试题 第1页（共4页） 故对于点M(0,0),存在点P(1,1),使得该点是M(0,0)在f(x)的“最近点”. B.由题设可得s(x)=(x-1)2+(e-0)=(x-1)+e2x, 则s(x)=2(x-1)+2e2x,因为y=2(x-1),y=2e2x均为R上单调递增函数， 则s(x)=2(x-1)+2e"在R上为严格增函数， 而s(0)=0,故当x<0时，s(x)<0,当x>0时，s(x)>0, 故s(xn=s(0)=2,此时P(0,1), 而”(x)=e,k=∫'(0)=1，故f(x)在点P处的切线方程为y=x+1. 0-1 而kMP=1-0 =-1,故kn·k=-1,故直线MP与y=f(x)在点P处的切线垂直. C.因为x既是S（x)的最小值点，也是52（x)的最小值点， 则s（x)≤S(),5()≤5()， 即(x-t+1)°+(f()-f(t)+g)≤1+(g),® (x-1-1)+(f()f()g)≤1+(gt)》,④ ③+④得2(x-t+2+2[f(x）-f0]+2g(0≤2+2g(0 即(6-t)+(f(）-f()川≤0，因为(x-t)}≥0，(f()）ft)'≥0 -t=0 则f)f0)=0解得=t,符证 D.设，(x)=(x-t+1)2+(f(x)-f(t)+g(t》, s(x)=(x-t-1)2+(f(x)-f(t)-8(t)2, 而s(x)=2(x-t+1)+2(f(x)-f(t)+g(t)f'(x), (x)=2(x-t-1)+2(f(x)-f(t)-g(t)f'(x), 高三数学试题第2页（共4页) 若对任意的t∈R,存在点P同时是M1,M3在f(x)的“最近点”， 设P(x,),则既是5(x)的最小值点，也是5(x)的最小值点， 因为两函数的定义域均为R,则x,也是两函数的极小值点， 则存在x使得'()=（化）=0， 即s()=2(-t+1)+2f'(:)儿f()）f0+g]=0① s'()=2(-t-1)+2f'()儿[f(上f)-g0]=0② 由①②相减得4+4g()f'(x)=0,即1+f'()g()=0, 即f'(x)= g0'又因为函数()在定义域R上恒正， 1 则f'(x)=- <0恒成立， 8(0 接下来证明x=t, 因为既是心（x)的最小值点，也是5，(x)的最小值点， 则5(x)≤s(),53()≤s(), 即(x,-t+1)°+(f()厂f)+g)≤1+(g),® (x-t-1)+(f(x)-f)-gt)≤1+(g),④ ③+④得2(x-1)+2+2[f(）-f0]+2g(0≤2+2g0 即(-)+(f()）f()护≤0，因为(x-t)≥0，(f(x)-f()川≥0 x-t=0 则f(6)f0=0解得6=， 高三数学试题 第3页（共4页) 则f()=- 8(0 <0恒成立，因为t的任意性，则∫(x)严格单调递减. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.答案：-2 13.答案： n+1 14.答案： 2 解析： 8 AM·AB 向量AM在AB上的投影向量的模为 AB 8,即=时取到最小值 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15.解析： (1)a2+b2-c2 2ab cosC=4S 2ab sinC,tanC=1, 又CeQC=年m(8-A)=n(4+C)=in. .B-A=B或B-A+B=π， 当B-A=B时，不成立： 当B-A+B=元时，又C=正2-(-A0-4=3知-34=元 4 AE6:综E,A石，C= 4 C=T,由正弦定理， 7π。 2)由①0知，A=B d= 124 →c=V2a, sinA sinC 高三数学试题第4页（共4页） 8mw89.6458+,a-2c-a2w5 2 4 16.解析：(1)当a=4,b=3 闭-4+. 其定义域为(Q+),f(x)=是-4+3x=3x-(x-), 令f)>0,得0<x<兮或x>1,令f<0,得<x1, 1-3 (1,+0) "(x) 0 0 × f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当x写时，了)有极大值/)名-h，当s=1时，)有摄小值0-多 极大值为-名如，极小维为 5 (2)若=0，则f()=lnxx,定义减为(0+o),f)a 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(x)无最大值，不合题意， 所以a>0,令了>0，则0<x日了)在0日上单调道增： 令f<0,则x日)在口+回上单润递减， 则(xn=f日=-ha-1, 因为f(x)的最大值小于2a-3,所以-na-1<2a-3, 解2a+hna-2>0,设g(ad)=2a+hna-2, 易知g(ad)在a∈(0，+oo)上单调递增， 又g(I)=0,所以g(a)>0=g(1),所以a>1,故a的取值范围为(1，+o). 高三数学试题第5页（共4页） 17.解析： (1)法一，'底面ABCD是菱形，.AC⊥BD, ,PA⊥平面ABCD,且BDC平面ABCD,.PA⊥BD. 又.'AC∩PA=A,AC,PAC平面PAC,BD⊥平面PAC, PCC平面PAC,.BD⊥PC,又：EF⊥PC,且EF,BDC平面BDF,EF∩BD=E, .PC⊥平面BDF,DFC平面BDF,PC⊥DF, :EF=ED=EB=2,.∠DFB=90°，即DF⊥FB,又：PC,PBC平面PBC平面PBC, 且PCOFB=F,.DF⊥平面PBC. 法二：以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，过点E且平行PA的直线为二轴建立空间 直角坐标系，如图所示，则 A2W2,0,0),C(-2V2,0,0),D(0,-2,0),EF=2,AC=4√2，BD=4,BC=25,又 EF⊥PC,.在△FEC中由勾股定理得FC2=EC-EF2=(2√2)2-22=4， 即C=2∠FBC-年F(V2.0,V)D=(,2), P(2W2,0,4W2),B(0,2,0),C(-2V2,0,0) PB=(-2√5,2，-4V2),PC=(-4V2,0,-4V DF.PB=(←√2,2，V2)(-2√2,2，-42)=4+4-8=0 DF.PC=(-√2,2，V2)(-4V2,0,-4V2)=8+0-8=0 DF⊥PB,DF⊥PC,PCOPB=PPC,PBc平面PBC .DF⊥平面PBC, (2)法一：以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，过点E且平行PA的直线为二轴建 立空间直角坐标系，如图所示，则 A(2W2,0,0),C(-2W2,0,0),D(0,-2,0), :EF=2,AC=4V2,BD=4, 高三数学试题 第6页（共4可 、EC=2√5，又EF⊥PC, 在△FEC中由勾股定理得FC2=EC2-EF2=(2√2)2-22=4， 即FC=2∠Bc=年r(5.02)D丽=（5.2)4D=(25-20) EF⊥PC,EF=2,EC=25,∠ACP=45°， .PA=AC=4W2,∠APC=45°，PC⊥平面BDF, PA与平面BDF所成的角为a=90°-∠APC=45°，.·DF⊥平面PBC, .DF是平面PBC的一个法向量，，PA⊥平面ABCD,PAC平面PAD, ∴.平面PAD⊥平面ABCD,设=（(x,y,O),只需i⊥AD,则i⊥平面PAD, 则i.AD=(x,y,0)(-2W2,-2,0)=-2V2x-2y=0, n.DF 令i=（l,2,0),则cosB= 32√3 D丽V3.222 B=30°，.+B=45°+30°=75°」 法二：过P作AD和BC的平行线L,平面PBCO平面PAD=1 过A作AM⊥CB的延长线于M点， 连接AM,PM易证∠APM为二面角的平面角 4√6 利用等面积法求出AM=4y6,tam∠APM-44- 3 AP4√3 ∠APM=30°从而求出两角和。 法三： 作BM⊥AD于M,易证BM⊥平面PAD,作CN⊥AD于N,易证CN⊥平面配AD 高三数学试题第7页（共4页) MN-BC-23.S.mo-IMNPA=4/6 2 在△PBC中，PC-8,BC=2V5,PB=2N11, 利用余弦定理和三角形的面积公式，S.c=8V2 cosp=5.ma416 13 S.PBC 852B=301 18.解析： (1)由AB=xA+xg+卫=6得x4+xB=6-P=4, 所以M点的横坐标M-飞4十立=2 2 (2) 由C:y2=4x,故F(1,0),由直线AB与直线DE垂直，故两直线斜率都存在且不为 0, 设A(x,M)、B(x,)、E(x3y)、D(x4y4), 直线AB、DE分别为x=m+1,x=-1y+1, m 联立〈 =4→y产-4w-4=0→y+y=4m4=-4, x=y+1 故w=4当=2m,xx=7w+1=2n2+1, 2 高三数学试题第8页（共4页) 即(2+1.同莲可特N品1 m 由对称性，定点一定在x轴上，设为P(t,O),则MP∥PN,有 (t-xM)yn-(x-t)(-M)=0 4 2 故t=v-=m +2m+4m+ 2 2=3, yM-YN 2m+ m 故MN过定点，且该定点为(3,0)， (3) M 先证SAGNN=S四边形ADW, 事实上，取AD的中点H,连接HM,则HM为△ADB的中位线，即M∥BD, 从而SAMG=SAnD,同理可得SAvG=SAM, 故SAG+SAnG+SMWH=SAHMD+SAA+SMH,即S△GN=S四t边形ADaW, 又4+my-为=4m+.同国DE上分0， 高三数学试题 第9页（共4页) 。aaw专4waw-专82CD3e8, 当且仅当m2=1时等号成立 故S.gaw最小值为8. 19.解析：(1)解：(1)P=C-1 C615 P:-CCCICCI-6.118.4_6 C8C8C8C号1515151025 (2)若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球， 摸到0,1,2个红球的概率分别为C-2.C4C_8,C1 c85C号15'C号151 若盒中有4个黑球，1个红球，一次性摸出两个球， 摸到0,1个红球的概率分别为S=3.C4C_2 C号5C号5 则摸球n次，记第i次和第n次分别各摸到一个红球的概率为p, 则A=令8号=1,2-1D, 摸球n次，记第n次摸到两个红球的概率为，则一5 则A=4n-+n 的的宫守女 9-9 (3)法一： 设摸球2n次，在第i次和第2n次分别摸到一个红球的概率为 m=9871号=12…2n-0 高三数学试题 第10页（共4页） 记=ptp++pm,则M--令门， 3 .可能取值为1,2，且Pxx=1=M,PK=2)=1- P B0)1+0-2的2=2放80号 P 法二： 设摸球2n次，在第i次和第2n次分别摸到一个红球的概率为 n=-18=1,22-10 5 摸球2n次，第2n次摸到两个红球的概率为m:=白15 ①若心2， 此时当k为奇数且32一3时，子=p:当k=2n-1时，>pa: 则21十p3+.十p-)>p+p4十.十p 故写e+s++ps:>m+p+…+p 记M=p1十p3十..十p2n-1, 则Mn+p+tp>P四+p+十pL=3. P2mp1十p十..十P2m 3p1p3+.:+pm1)5 X可能取值为1,2，且PX=1)=M,PK=2)=1-M, )兴1+0-02=20故号 ②当n=1时，p函=)-8P=2)}4C)-81+。2-0< 9 95 结论也成立： 综上，2) 高三数学试题 第11页（共4页）