平行四边形的判定、利用平行四边形的判断与性质证明专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形判定与性质综合应用，通过分层例题与变式题构建“判定方法-性质应用-综合证明”的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形的判定|8题（4例+4变式）|边/对角线条件判定、多条件组合证明|从判定定理到多情境应用| |利用平行四边形的判断与性质证明|6题（3例+3变式）|判定与性质结合的角度/周长/面积计算证明|性质与判定融合的综合推理|

平行四边形的判定、利用平行四边形的判断与性质证明专项训练 平行四边形的判定、利用平行四边形的判断与性质证明专项训练 考点目录 平行四边形的判定 利用平行四边形的判断与性质证明 考点一 平行四边形的判定 例1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，点E、F分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵点E、F分别在上，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平行四边形中，点和点是对角线上的两点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质可得，，结合已知得出，即可得证． 【详解】证明：连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 例3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E，F分别在边上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得，再证明，得，进而证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 例4．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，分别在，上，且，，相交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和判定证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 变式1．（2026·湖北·二模）如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析； 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，通过选定组合②③，利用三角形全等，即可得到平行四边形判定的条件，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】证明如下：选择②③ ， ， 且满足，， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，，分别是的边，上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，可证，，再证，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可求证． 【详解】证明：， ，， ， ，即， ，即， 四边形是平行四边形． 变式3．（2026·辽宁锦州·二模）如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再由可推出，根据四边形的对边平行且相等即可得出结论； （2）根据平分，得，由得，则，，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 的周长． 变式4．（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先证明得到，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵，且， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 考点二 利用平行四边形的判断与性质证明 例1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知：中，，如图所示，现将沿所在直线平移至，使，点D为上一点，且，连接与交于点P，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平移的性质可得，且，同时，，再利用平行线的性质、角的和差以及“边角边”即可证明结论； （2）如图：设与相交于G，先根据全等三角形的性质、平行线的判定与性质可证明是等腰直角三角形可得，最后利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵将沿所在直线平移至， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴ ∵，， ∴． 又∵． ∴． （2）解：如图：设与相交于G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 例2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，已知平行四边形，点分别在上，连接． (1)请选择下面的条件或条件，求证：四边形是平行四边形． 条件：分别是的中点； 条件：． (2)若平分，且，求平行四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由平行四边形的判定与性质可得结论； （）由平行四边形的性质和角平分线的定义可求，然后通过周长公式即可求解． 【详解】（1）当选择时， 证明：四边形是平行四边形， ，， 分别是的中点， ，， ， 四边形是平行四边形； 当选择时， 证明：， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； （2）解：平分， ， ， ， ， ， ， ，， 平行四边形的周长． 例3．（2026·山东聊城·二模）已知四边形为平行四边形，，E为边的中点．作的平分线，交于点F，连接，，相交于点G． (1)求证：F为的中点； (2)求四边形与的面积比． 【答案】(1)见解析 (2)面积比为 【分析】（1）通过平行四边形的性质、角平分线的定义，推导出，再结合的条件，证明出，由此即可求解； （2）利用为中点及，证得四边形和四边形是平行四边形，从而得出分别为的中点，接着，通过平行四边形的性质可知由对角线分割出的八个小三角形面积均相等，由此即可求得四边形与的面积比． 【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ，E为AD中点， ， ，， ，即F为BC中点； （2）如图，连接，与交于点H， 分别是的中点，且，， ，，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 点G是和的中点，点H是和的中点， ， ，， ， 四边形与的面积比为． 变式1．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，直线经过点与，的延长线相交于点，． (1)求证：； (2)为了判定“以B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形”，嘉琪和珍珍分别给出了下面两个思路： 嘉琪：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 珍珍：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 请你任选一个人的思路进行解答． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）分别按照嘉琪、珍珍的思路，结合（1）的结论即可判断. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； （2）解：选择珍珍的思路： 由（1）可知， ， 又由（1）知， ， 四边形是平行四边形； 选择嘉琪的思路： 由（1）可知，， 四边形是平行四边形. 变式2．（2026·江苏泰州·二模）如图，在中，点E在边上，点F在边上，且． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若E为的中点，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，结合可得结论； （2）如图，过作于，求解，再进一步求解即可． （3）利用平行四边形的性质推导面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． （3）解：∵在中，点E在边上，点F在边上，且． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵为中点， ∴四边形面积为平行四边形面积的一半， ∴． 变式3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）此题根据平行四边形的性质得到，由此得到内错角相等：，再结合中点条件，可证, 由全等三角形的性质可得，又因为，再根据平行四边形的判定定理：可证是平行四边形． （2）此题根据角平分线的定义可知，又因为，所以，由等腰三角形的判定定理：是等腰三角形，所以，再根据平行四边形的性质：，进而计算出平行四边形的周长． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，即 ． 点E是的中点， ． 在和中 ， ． 又 四边形是平行四边形． （2）解：四边形和四边形都是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ，， ，， ， 的周长为24． 2 学科网（北京）股份有限公司 $平行四边形的判定、利用平行四边形的判断与性质证明专项训练 平行四边形的判定、利用平行四边形的判断与性质证明专项训练 考点目录 平行四边形的判定 利用平行四边形的判断与性质证明 考点一 平行四边形的判定 例1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，点E、F分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平行四边形中，点和点是对角线上的两点，，求证：四边形是平行四边形． 例3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E，F分别在边上，．求证：四边形是平行四边形． 例4．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，分别在，上，且，，相交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 变式1．（2026·湖北·二模）如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，，分别是的边，上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 变式3．（2026·辽宁锦州·二模）如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 变式4．（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 考点二 利用平行四边形的判断与性质证明 例1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知：中，，如图所示，现将沿所在直线平移至，使，点D为上一点，且，连接与交于点P，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 例2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，已知平行四边形，点分别在上，连接． (1)请选择下面的条件或条件，求证：四边形是平行四边形． 条件：分别是的中点； 条件：． (2)若平分，且，求平行四边形的周长． 例3．（2026·山东聊城·二模）已知四边形为平行四边形，，E为边的中点．作的平分线，交于点F，连接，，相交于点G． (1)求证：F为的中点； (2)求四边形与的面积比． 变式1．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，直线经过点与，的延长线相交于点，． (1)求证：； (2)为了判定“以B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形”，嘉琪和珍珍分别给出了下面两个思路： 嘉琪：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 珍珍：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 请你任选一个人的思路进行解答． 变式2．（2026·江苏泰州·二模）如图，在中，点E在边上，点F在边上，且． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若E为的中点，求四边形的面积． 变式3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $