利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形性质的求解与证明，通过精选例题与变式题系统覆盖长度、周长、面积、线段相等、角平分线等核心考法，强化性质应用的几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用平行四边形的性质求解|6例+6变式|涉及长度、周长、面积、最值、坐标计算|以平行四边形边、角、对角线性质为基础，推导线段关系、面积公式及动态问题中的最值求解| |利用平行四边形的性质证明|4例+4变式|包含线段相等、角平分线、垂直关系证明|通过性质构建全等或等腰三角形，形成从性质到结论的逻辑推理链条|

利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明专项训练 利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明专项训练 考点目录 利用平行四边形的性质求解 利用平行四边形的性质证明 考点一 利用平行四边形的性质求解 例1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质；由平行四边形性质可得，又因为，可得是等腰三角形，即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 例2．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，连接，过点作交于点．若且，则(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和求得，进而求得，最后根据平行四边形对角相等，即可得出答案． 【详解】解：于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 例3．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】设与的交点为O，过点O作，由题意易得，，要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长，然后问题可求解． 【详解】解：设与的交点为O，过点O作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 例4．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，平行四边形中，，，点E是对角线上一动点，点F是边上一动点，连接、，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点B作，交于点，则的最小值为的长；在中，，，即可求解． 【详解】解：过点B作，交于点，如图所示： 根据垂线段最短可知：的最小值为的长； ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 例5．（2026·四川泸州·二模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，若，，则的周长为__________． 【答案】18 【分析】由平行四边形的性质得到，，，再由平行线的性质和角平分线的定义得到，则，求出，据此根据平行四边形周长计算公式可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴平行四边形的周长． 例6．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为________． 【答案】15 【分析】由平行四边形的性质得，平行线与角平分线相结合，根据等角对等边可证，，由此可解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ． 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）在中，连接，过点A作交于点E．若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据于点，可求出，再求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 变式2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，对角线，交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是平行四边形，得，，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 变式3．（25-26九年级下·山东临沂·期中）如图，平面直角坐标系中，点B，C两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点A的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，以及点的坐标平移方式，进行解答即可． 【详解】解：点B，C两点的坐标分别为，，且，， 将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可与点重合． 四边形是平行四边形， ，， 将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可与点重合， 点A的坐标为． 变式4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，相交于点， ，．过点作，垂足为，则的值等于__________ 【答案】1 【分析】作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，设长为，长为，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设长为，长为， ∴， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴． 变式5．（2026·广西钦州·二模）如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质与几何概率的综合应用，解题核心是利用平行四边形的性质，结合线段比例关系，求出与平行四边形的面积比，即为所求概率． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， 和同高， ， ， 点落在内的概率是． 变式6．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，，过点作于，作于，，，则平行四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的应用．先根据平行四边形邻角互补求出的度数，再判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而得到的长，最后利用平行四边形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得， ， ，， 平行四边形的面积是． 考点二 利用平行四边形的性质证明 例1．（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，可证明，则可证明； （2）根据（1）的结论可证明，即，由平行四边形的对角线互相平分得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，连接，，恰好是的平分线，点F在上，，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明，结合已知条件进一步可得结论； （2）证明，，可得，再进一步证明即可. 【详解】（1）证明：∵恰好是的平分线， ∴， ∵，， ∴. （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴. 例3．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点，，且． (1)求证：； (2)若，，猜想与的位置关系，并给予证明． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据平行四边形可得，，代入可得，根据勾股定理逆定理可得，即可求解； （2）根据可得，结合可得，，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，，， 代入可得，即， 由勾股定理的逆定理可得，，即； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 例4．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得,可得，再证明，然后根据“角角边”证明结论即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 , ． ， ，即． 在与中 ． 变式1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，的对角线与相交于点O． (1)尺规作图：过点O作的垂线，分别与交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)在（1）的条件下，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作直线分别与交于点E，F，即可； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    理由：如图，连接， 由作法得：， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴． 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在中，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，所以，，则有，然后通过等边对等角得，得，从而求证； （）连接，先证明，所以，，由（）知，通过等腰三角形“三线合一”得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由（）知， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴ ． 变式3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在中，是对角线与交点，，垂足分别为点和点． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，再由，可得，证明，可得结论； （2）先求出，再由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可得，最后求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 变式4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，对角线、交于点O，，经过点O且与，相交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)108 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，进而证明，即可推导出； （2）根据平行四边形的性质得，再用勾股定理计算出，最后根据平行四边形面积公式求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，对角线、交于点O， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：中，， ， ，， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明专项训练 利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明专项训练 考点目录 利用平行四边形的性质求解 利用平行四边形的性质证明 考点一 利用平行四边形的性质求解 例1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，连接，过点作交于点．若且，则(      ) A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 例4．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，平行四边形中，，，点E是对角线上一动点，点F是边上一动点，连接、，则的最小值是_____． 例5．（2026·四川泸州·二模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，若，，则的周长为__________． 例6．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为________． 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）在中，连接，过点A作交于点E．若且，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，对角线，交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级下·山东临沂·期中）如图，平面直角坐标系中，点B，C两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点A的坐标为（  ） A． B． C． D． 变式4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，相交于点， ，．过点作，垂足为，则的值等于__________ 变式5．（2026·广西钦州·二模）如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 变式6．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，，过点作于，作于，，，则平行四边形的面积是_________． 考点二 利用平行四边形的性质证明 例1．（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 例2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，连接，，恰好是的平分线，点F在上，，连接．求证： (1)； (2)． 例3．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点，，且． (1)求证：； (2)若，，猜想与的位置关系，并给予证明． 例4．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 变式1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，的对角线与相交于点O． (1)尺规作图：过点O作的垂线，分别与交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)在（1）的条件下，判断与的数量关系，并说明理由． 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在中，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的面积． 变式3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在中，是对角线与交点，，垂足分别为点和点． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 变式4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，对角线、交于点O，，经过点O且与，相交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 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