考点04 以平行四边形为基础模型的综合探究（实践）问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 以平行四边形为基础模型，系统整合性质判定、思想方法与解题策略，通过图形变换、实践应用、函数方程三大题型，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本知识|核心性质/判定/衍生知识（3类）|性质判定+衍生知识（三角形全等、勾股等）整合|从核心性质到衍生知识，构建概念应用链条| |重要思想方法|7种方法（等量转化等）|等量转化、构造辅助图形等7类思想方法|方法与图形特征对应，形成问题转化路径| |解题策略|3步策略|拆题定位-条件转化-特殊推一般|策略指导解题步骤，提升问题解决系统性| |三大题型|3题型/多地区期末题|构造辅助线+方程思想+动态分析|典例覆盖中考高频考法（中点、最值），体现模型意识|

考点04 以平行四边形为基础模型的综合探究（实践）问题 考点一：基本知识 平行四边形核心性质 ①对边平行且相等、对角相等、邻角互补；②对角线互相平分；③中心对称，对称中心为对角线交点。 判定定理 边、角、对角线三类判定依据，可判定图形形状。 衍生基础知识点 ①三角形全等与相似、三角形三边关系、中位线定理； ②勾股定理、平行线性质；③图形旋转、折叠、平移变换性质； ④坐标系中点坐标、线段平移规律；面积公式与等积变形。 考点二：重要思想方法 等量转化法 利用平行四边形边角、线段等量关系，替换分散条件 构造辅助图形 作平行线、连线构造全等三角形、中位线简化问题 对称转化法 借助中心对称变换线段，求解和差最值 三边关系极值法 三点共线临界状态判定线段最值 方程思想 设未知线段，结合勾股、边长关系列方程计算 分类讨论法 动点、图形位置变化，分情况分析图形形态 数形结合 坐标系内利用坐标运算分析边长、位置关系 考点三：解题策略 ·拆解题干，定位模型：分清题干图形结构，识别基础平行四边形，梳理动点、变换、线段角度等已知条件。 ·条件集中转化：通过作辅助线、图形变换，将零散边角条件汇聚到同一三角形或四边形中。 ·由特殊推导一般：先分析特殊位置、特殊角度下的结论，类比推理通用规律，适配探究类设问逻辑。 题型一：图形变换与全等构造 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 已知和都是等腰直角三角形，，连接，M、N分别是、的中点． 【初步探究】 （1）如图1中，点D、E分别在、的边上，试判断线段与的位置关系和数量关系，并说明理由； 【拓展证明】 （2）将图1中的绕点C顺时针旋转至如图2所示的位置，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图，把重合中的向左平移成，顶点恰好是边的中点，连接，，求三角形的面积； 【深入探究】 （2）如图，把继续向左平移，当点与点重合时，连接交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连，，直接写出的长度． 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接，图1中与的数量关系是 ；图1中的角有 个． 【迁移探究】 （2）如图2，将等边绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求线段的长． 题型二：综合实践问题 1．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在△中，点，分别是，边的中点．求证：，且．    方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接，，．    方法二：证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接．    【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为_____米．    （3）如图5，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题提出】    （1）如图①，在中，D，E，F分别是，，的中点，，，则四边形的周长为______； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是，的中点，且，连接，若，，求的长． 【问题解决】 （3）如图③，是某公园的平面示意图，A，B，C，D分别是该公园的四个入口，两条立干道、交于点O，经侧量，，，为提升游客游览的体验感，准备修建三条鹅卵石小路，，，按照设计要求，点M在主干道上，点N在主干道上，且点M与点O，B不重合，若修建鹅卵石小路每千米费用为10万元，该会园修建这三条鹅卵石小路最少需要投入多少资金？ 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M，N分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线．请在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)填空： ______； (2)求线段长度的最小值； (3)方法应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，． 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米？ 题型三：借助函数与方程思想解决问题 1．问题探究： （1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　． （2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 2．（24-25八年级下·山西运城·期末）综合与实践 【问题呈现】如图1，是某数学兴趣小组的实践活动基地示意图，其中，垂足为O，三角形空地已用围墙围好，现计划用篱笆在空地中央围一个平行四边形区域（图2），使点分别在上，点F在上，经测量，采购员需要准备分割所用的篱笆和． 【数学建模】采购员以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，直接写出直线的函数表达式． (2)①当米时，求点E的坐标． ②在①的基础上直接写出所需购买篱笆的总长（结果精确到1米，参考数据：） 1．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的中点，连接、，是的中点，连接交于点．若，则的长为__________． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）已知：和均为等腰三角形，，连接，取的中点分别为，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当点在边上，点在边上时，则是_____三角形； 【类比探究】 （2）把绕点在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，当时． ①判断的形状，并说明理由； ②把绕点在平面内任意旋转，若，，直接写出面积的最大值与最小值． 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与探究 问题情境：四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，，点，． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图1，E为的中点，直线l经过点E，与坐标轴交于点，N． ①点E的坐标为 ． ②直接利用（2）①中的结论，求直线l的函数解析式和点N的坐标． （3）如图2，P为线段上的一动点，过点P作直线轴，交于点Q．设，，直接写出n与m之间的函数关系式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 以平行四边形为基础模型的综合探究（实践）问题 考点一：基本知识 平行四边形核心性质 ①对边平行且相等、对角相等、邻角互补；②对角线互相平分；③中心对称，对称中心为对角线交点。 判定定理 边、角、对角线三类判定依据，可判定图形形状。 衍生基础知识点 ①三角形全等与相似、三角形三边关系、中位线定理； ②勾股定理、平行线性质；③图形旋转、折叠、平移变换性质； ④坐标系中点坐标、线段平移规律；面积公式与等积变形。 考点二：重要思想方法 等量转化法 利用平行四边形边角、线段等量关系，替换分散条件 构造辅助图形 作平行线、连线构造全等三角形、中位线简化问题 对称转化法 借助中心对称变换线段，求解和差最值 三边关系极值法 三点共线临界状态判定线段最值 方程思想 设未知线段，结合勾股、边长关系列方程计算 分类讨论法 动点、图形位置变化，分情况分析图形形态 数形结合 坐标系内利用坐标运算分析边长、位置关系 考点三：解题策略 ·拆解题干，定位模型：分清题干图形结构，识别基础平行四边形，梳理动点、变换、线段角度等已知条件。 ·条件集中转化：通过作辅助线、图形变换，将零散边角条件汇聚到同一三角形或四边形中。 ·由特殊推导一般：先分析特殊位置、特殊角度下的结论，类比推理通用规律，适配探究类设问逻辑。 题型一：图形变换与全等构造 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 已知和都是等腰直角三角形，，连接，M、N分别是、的中点． 【初步探究】 （1）如图1中，点D、E分别在、的边上，试判断线段与的位置关系和数量关系，并说明理由； 【拓展证明】 （2）将图1中的绕点C顺时针旋转至如图2所示的位置，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1），，理由见详解（2）仍然成立，证明见详解 【难度】0.65 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质等；掌握等腰三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，由三角形中位线定理得，，即可得证； （2）连接，延长，交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，结合三角形中位线定理，即可得证． 【详解】（1）解：，， 理由如下： 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， M、N分别是、的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ； （2）仍然成立； 证明：连接，延长，交于， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， M、N分别是、的中点 是的中位线， ，， ，． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图，把重合中的向左平移成，顶点恰好是边的中点，连接，，求三角形的面积； 【深入探究】 （2）如图，把继续向左平移，当点与点重合时，连接交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连，，直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【难度】0.65 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，勾股定理，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到三角形的面积； （2）连接，根据平移的性质得到，，根据平行四边形的性质即可得到； （3）过作于，根据全等三角形的判定和性质定理和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：把重合中的向左平移成， ， 点恰好是边的中点， ， ， ， 三角形的面积； （2）证明：连接， 把重合中的向左平移成， ，， 四边形是平行四边形， ； （3）解：过作于，交于，如图， ， ， ， ， ， ， ≌， ， ， ， ，， ≌， ， ． 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接，图1中与的数量关系是 ；图1中的角有 个． 【迁移探究】 （2）如图2，将等边绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】（1）；4 （2），理由见解析 （3） 【难度】0.65 【分析】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，图形旋转的性质以及直角三角形的相关性质，解题的关键是利用旋转前后图形的全等性和特殊性，结合中点、角度关系推导线段关系． （1）由等边三角形旋转的性质，得，F是中点，故是的中位线，因此．通过角度计算，得出均为，共4个． （2）根据等边三角形旋转的性质，得，，则是等腰直角三角形．F是中点，故为等腰直角三角形，由勾股定理得，又因，所以． （3）在等腰直角中，由，得．结合 ，算出 ，因F是中点且，故． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到， ∴，且点在同一条直线上． ∵F是的中点，则是的中位线， ∴．且， ∵ 则， 又 ∴， ∴，， 由知，， ∴图1中的角有4个． 故答案为：；4． （2），理由如下： 如图所示： 等边绕点逆时针旋转，得到， ，，， ， ， 为中点，，则， 是等腰直角三角形， ， ； （3）如图所示： ∵则 ∵ ∴，则， ，， ；     的长为． 题型二：综合实践问题 1．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在△中，点，分别是，边的中点．求证：，且．    方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接，，．    方法二：证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接．    【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为_____米．    （3）如图5，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3）见解析． 【难度】0.65 【分析】（1）取的中点，连接并延长到点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质和线段中点的定义得到，，则四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得出结论； （2）利用三角形的中位线定理解答即可； （3）连接，取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理得到，，，，利用平行线的性质得到，，利用等量代换的性质和等腰三角形的判定定理与性质定理得到，则． 【详解】（1）证明：取的中点，连接并延长到点，使，连接，如图， 是边的中点， ． 在和中，， ∴， ，， ， 为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ∴，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，． 即三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：，分别是，的中点， 为的中位线， （米）． 故答案为：24 （3）证明：如图，连接，取的中点，连接，， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ． ， ， ， ． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题提出】    （1）如图①，在中，D，E，F分别是，，的中点，，，则四边形的周长为______； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是，的中点，且，连接，若，，求的长． 【问题解决】 （3）如图③，是某公园的平面示意图，A，B，C，D分别是该公园的四个入口，两条立干道、交于点O，经侧量，，，为提升游客游览的体验感，准备修建三条鹅卵石小路，，，按照设计要求，点M在主干道上，点N在主干道上，且点M与点O，B不重合，若修建鹅卵石小路每千米费用为10万元，该会园修建这三条鹅卵石小路最少需要投入多少资金？ 【答案】（1）18；（2） 2；（3）该公园修建这三条鹅卵石小路最少需要投入万元资金 【难度】0.4 【分析】（1）根据D，E，F分别是，，的中点，可得、是的中位线，进而根据中位线的性质即可求解； （2）根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论； （3）如图，过点N作，过点C作，，交于点E，连接，过点E作交的延长线于点H，过点D作于点，证明，求出的最小值可得结论． 【详解】解：（1），E，F分别是，，的中点，，， 由中位线的定义可知：、是的中位线， ，， 四边形DECF的周长； （2），F分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ； （3）如图，过点N作，过点C作，，交于点E，连接，过点E作交的延长线于点H，过点D作于点，   四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ，即， ， ∵，， 四边形是平行四边形，， ，， 又， ， ，， ， 在中，根据勾股定理，得， ， 的最小值为， 的最小值为， ， 该公园修建这三条鹅卵石小路最少需要投入万元资金． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会构造平行四边形解决问题． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M，N分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线．请在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)填空： ______； (2)求线段长度的最小值； (3)方法应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，． 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米？ 【答案】(1)； (2)； (3)米； 【难度】0.4 【分析】（1）先证四边形是平行四边形得到； （2）将转化成，时有最小值，即可求解； （3）参考上述思路构造平行四边形，将转化成，再求得，，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 又， ． （2）四边形是平行四边形， ， 当最小时，线段也有最小值， 此时， 线段最小值是； （3）如图，连接，过、作，的平行线，则四边形是平行四边形，过点作交延长线于点， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，最小，此时最小， ，， ， ， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 在中，， ， 在中，， 在中，． 题型三：借助函数与方程思想解决问题 1．问题探究： （1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　． （2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【答案】（1）；（2）存在，4+2；（3）不是，周长之和的最小值为15 【难度】0.4 【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解； （2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， ，， ，， 四边形的面积， ， ， ∴ 四边形的面积 ， 四边形的面积， 则当有最小值时，四边形的面积有最大值， ， ， ， ， ， 当时，四边形的面积， 故答案为； （2）存在， 设， ， ， ， 的周长， 当时，的周长的最小值为； （3）与的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的周长之和不是定值， 当时，与的周长之和的最小值为15． 2．（24-25八年级下·山西运城·期末）综合与实践 【问题呈现】如图1，是某数学兴趣小组的实践活动基地示意图，其中，垂足为O，三角形空地已用围墙围好，现计划用篱笆在空地中央围一个平行四边形区域（图2），使点分别在上，点F在上，经测量，采购员需要准备分割所用的篱笆和． 【数学建模】采购员以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，直接写出直线的函数表达式． (2)①当米时，求点E的坐标． ②在①的基础上直接写出所需购买篱笆的总长（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】(1)见解析，； (2)①；② 【难度】0.65 【分析】此题考查了一次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）根据题意画出坐标系，再用待定系数法求出直线解析式即可； （2）①设点D的坐标为，得到,由在直线上得到，解得，即可得到 ②求出，，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：画出直角坐标系如图， ∵， ∴， 设直线的表达式为，把代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为，把代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， （2）①设点D的坐标为， ∵轴，， ∴, ∵在直线上， ∴， 解得， ∴ ②∴由①知， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴所需购买篱笆的总长为． 1．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的中点，连接、，是的中点，连接交于点．若，则的长为__________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】取的中点F，连接，，延长，取，连接，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，，证明为的中位线，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：取的中点F，连接，，延长，取，连接，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵E为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴，， ∵、为的对角线，M为的中点， ∴为、的交点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）已知：和均为等腰三角形，，连接，取的中点分别为，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当点在边上，点在边上时，则是_____三角形； 【类比探究】 （2）把绕点在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，当时． ①判断的形状，并说明理由； ②把绕点在平面内任意旋转，若，，直接写出面积的最大值与最小值． 【答案】（1）等腰；（2）的形状不变，理由见解析；（3）①是等腰直角三角形，理由见解析；②最大值为，最小值为2． 【难度】0.65 【分析】（1）根据线段的和差关系得出，根据三角形中位线定理得出，即可得答案； （2）连接，，利用证明，得出，根据三角形中位线定理可得答案； （3）①连接，，延长，交于，交于，交于，由（2）知，，根据全等三角形的性质，结合三角形内角和定理得出，根据三角形中位线定理，结合平行线的性质得出即可得答案； ②根据勾股定理求出，，根据三角形三边关系得出，根据三角形中位线定理，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，即， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰 （2）的形状不改变，理由如下： 如图，连接，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． （3）①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接，，延长，交于，交于，交于， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②如图，连接， ∵，，，，， ∴，， 解得：（负值舍去），（负值舍去）， ∴，即， ∴的最小值为，最大值为， ∵， ∴的最小值为，最大值为， ∴面积的最大值为，最小值为． 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与探究 问题情境：四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，，点，． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图1，E为的中点，直线l经过点E，与坐标轴交于点，N． ①点E的坐标为 ． ②直接利用（2）①中的结论，求直线l的函数解析式和点N的坐标． （3）如图2，P为线段上的一动点，过点P作直线轴，交于点Q．设，，直接写出n与m之间的函数关系式． 【答案】（1）四边形为平行四边形，见解析；（2）①；②，；（3） 【难度】0.65 【分析】（1）由，，求出，由，，求出，故，得，从而可得四边形为平行四边形； （2）①由，，E为的中点，即得； ②用待定系数法得直线l的函数解析式为，令得，故； （3）由，，得，轴，又轴，故，，因，故，即得，而，可得，再根据勾股定理有，即可得． 【详解】解：（1）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）①∵，，E为的中点， ∴； 故答案为：； ②设直线l的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线l的函数解析式为， 在中，令得， ∴； （3）∵，， ∴，轴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $