2026年河南周口市扶沟县练寺镇第二中学等校九年级中考测试模拟卷 数学

**基本信息** 以龙门石窟、爬梯车模型等真实情境为载体，覆盖代数（科学记数法、二次函数）、几何（三角形全等、圆切线证明）、统计（概率计算）核心知识，突出数学思维与应用能力考查，适配中考二模综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、三角形内角计算|结合文化遗产情境，考查抽象能力| |填空题|5/15|一元二次方程、古代结绳记数|融入传统文化，培养数学眼光| |解答题|8/75|跨学科爬梯车模型、几何构造全等、统计概率|项目式问题（爬梯车）体现应用意识，几何构造题考查推理能力，符合中考命题趋势|

2026年九年级中考测试模拟卷 数 学 注意事项： 1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。 一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 河南洛阳龙门石窟是世界文化遗产，其主佛卢舍那大佛身高约17.14米。将数据17.14用科学记数法表示为（　　） A. 1.714×10⁻¹  B. 1.714×10¹  C. 1.714×10²  D. 17.14×10⁰ 2. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAC=∠B+30°，∠DAC是△ABC的外角，则∠DAC的度数为（　　） A. 100°  B. 110°  C. 120°  D. 130° 3. 一个不透明的袋子里装有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外完全相同。从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是（　　） A. 1/6  B. 1/3  C. 1/2  D. 2/3 4. 下列计算正确的是（　　） A. a²·a³=a⁶  B. (a²)³=a⁵  C. a⁶÷a²=a⁴  D. (ab)²=ab² 5. 若的整数部分为a，小数部分为b，则a²－b的值为（　　） A. 4  B. 5  C. 6  D. 7 6. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC=35°，则∠BDC的度数（　　） A. 65°  B. 55°  C. 45°  D. 35° 7. 一架梯子AB的长为5m，梯子与地面的夹角∠ABC为60°，则梯脚之间的距离BC为（　　） A. 2.5m  B. 5m  C. 2.5m  D. 5m 8. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC=16，BD=8，则菱形ABCD的边长为（　　） A. 2  B.  C. 2  D. 4 9. 已知二次函数y=a(x+m)²+n（a≠0，m，n为实数），当x=1时，y=2；当x=4时，y=5。下列说法正确的是（　　） A. 若m=－1，则a>0  B. 若m=－2，则a<0  C. 若m=－4，则a>0  D. 若m=－5，则a<0 10. 如图，二次函数y=a(a十1)2+k的图象与x轴交于A(-3，0)，B两点，下列说法错误的是( ) A、a<0 B、当2<0时，y随x的增大而增大 C、点B的坐标为(1,0) D、图象的对称轴为直线2=一1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若x=－1是关于x的一元二次方程x²+mx－2=0的一个根，则m=______。 12. 若a－b=3，ab=2，则a²b－ab²=______。 13. 我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法。如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数。若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天。 14. 如图，在半圆中，C是直径AB上一点，AC=3，BC=1，点C关于弦AD的对称点C也在半圆上那么C的值为______。（结果保留根号） 15. 在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强P（kPa）与体积V（L）成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由40kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了______mL。 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （10分） （1）解方程：x²－4x－1=0（用配方法）； （2）化简：。 17. （9分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE=DF，AB=CD，CE∥BF。求证：△AEC≌△DFB。 18. （9分） 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECF =2∠BAD (1)求证:CF是O的切线; (2)如果AB=10,CD=6,求AE的长; 19. （9分）某校为调查九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个物理实验的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，每人仅选一个类别，调查结果绘制成如下不完整的统计图表。 类别 频数（人数） 频率 力学 24 0.3 热学 16 m 光学 n 0.25 电学 20 0.25 （1）求表中m、n的值，并补全扇形统计图（写出各圆心角度数）； （2）若九年级共有400名学生，估计参与“电学”实验的人数； （3）在“电学”实验中，电路图上有四个开关S₁、S₂、S₃、S₄和一个小灯泡，闭合开关S₄或同时闭合S₁、S₂、S₃可使小灯泡发光。现随机闭合两个开关，用树状图或列表法求小灯泡发光的概率。 20. （9分）某书店计划购进甲、乙两种书签，已知甲种书签的单价比乙种贵15元，用600元购进甲种书签的数量与用300元购进乙种书签的数量相同。 （1）求甲、乙两种书签的单价； （2）该书店一次性购进甲、乙两种书签共200个，总费用不超过3600元，求最多可购进甲种书签多少个？ 21. （9分）某数学小组开展项目式学习从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车的设计原理和优化设计.图片是该数学小组设计的一个爬梯车模型，有两个轮子水平放置在地面EF上，图中A，B和C分别代表3个轮子，3个轮子的半径均为5cm，点O为支点，OA=OB=OC=10cm, 且∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°,拉杆OD=80cm. (1)求BC的长; (2)在使用爬梯车时，拉杆OD倾斜，从条件1或条件2这两个条件中选择一个作为已知，求把手D到地面的距离DE的长 条件1:OD与DE的夹角∠ODE=45°;条件2:点O到DE的距离为56.8cm. 22. （10分）如图，已知抛物线y=a2十ba十c的图象与x轴的一个交点为B(5,0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C(0,5) (1)求直线BC与抛物线的解析式; (2)在(1)中的抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小?若存在，求出Q点的坐标;若不存在，请说明理由 (3)若点MI是抛物线在c轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值 23. （10分）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图 1，OP平分∠ MON。点A为OM上一点，过点A作AC⊥ OP，垂足为点C，延长AC交ON于点B，可证得△ AOC≅△ BOC，则AO = BO，AC = BC。 (1)如图 2，在△ ABC中，CD平分∠ ACB，AE⊥ CD于点E，若∠ EAC = 63°，∠ B = 37°，通过上述构造全等的办法，求∠ DAE的度数； (2)如图 3，在△ ABC中，AB = AC，∠ BAC = 90°，CD平分∠ ACB，BE⊥ CD，垂足点E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系； (3)如图 4 是一块肥沃的土地△ ABC，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地△ ADC进行水稻试验，他进行了如下操作：①作∠ ACB的平分线CD；②再过点A作AD⊥ CD交CD于点D。已知BC = 13米，AC = 10米，△ ABC面积为 20 平方米，求划出的△ ACD的面积。 参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C D B A A C B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. －1 12. 6 13. 38 14. 15.90mL 三、解答题（共75分） 16. （1）x²4x=1，x²4x+4=5，(x2)²=5，x2=±，x=2±。 （2）原式= ÷= x =（x≠±1） 17. 证明：由 AB = CD，等式两边同时加上 BC，得： AB + BC = CD + BC 即：AC = DB。 由 CE ∥ BF，根据 “两直线平行，同位角相等”，得： ∠ ACE = ∠ DBF 在 △ AEC 和 △ DFB 中： 根据 SAS（边角边）全等判定定理，可得： △ AEC ≅ △ DFB 18. （1）连接 OC。 ∵ AB 是 ⊙O 的直径，AB ⊥ CD， ∴ 由垂径定理，AB 平分弧 CD，即弧 BC = 弧 BD， ∴ ∠COB = 2∠BAD（圆心角等于同弧所对圆周角的 2 倍）。 又∵ ∠ECF = 2∠BAD（已知）， ∴ ∠ECF = ∠COB。 在 Rt△OCH 中，∠COB + ∠OCH = 90°， ∴ ∠ECF + ∠OCH = 90°，即 ∠OCF = 90°。 ∵ OC 是 ⊙O 的半径，且 OC ⊥ CF， ∴ CF 是 ⊙O 的切线。 （2）解：∵ AB = 10，∴ ⊙O 的半径 OC = OA = 5。 ∵ AB ⊥ CD，CD = 6， ∴ 由垂径定理，CH = CD = 3。 在 Rt△OCH 中，由勾股定理： OH = (OC² - CH²) = (5² - 3²) = 4 ∴ AH = OA + OH = 5 + 4 = 9。 ∵ ∠COE = ∠HCE，∠OHC = ∠CHE = 90°， ∴ △OCH ∽ △CEH（AA 相似）， = ，代入 OH = 4，CH = 3： = ⇒ EH = ∴ AE = AH + EH = 9 + = 。 19. （1）总人数=24÷0.3=80，m==0.2，n=80×0.25=20。圆心角：力学108°，热学72°，光学90°，电学90°。 （2）400×0.25=100人。 （3）画树状图略：总共有C(4,2)=6种等可能，发光的情况：闭合S4和另一个（3种）或同时闭合S1,S2,S3（一种：S1S2S3但只选两个，所以没有这种），实际只有S4与任一组合共3种，概率=3/6=1/2。 20. （1）设乙单价x元，则甲x+15元，=，解得x=15，则甲30元，乙15元。 （2）设甲买a个，乙200a个，30a+15(200a)≤3600，30a+300015a≤3600，15a≤600，a≤40。最多40个。 21. （1）已知 OB = OC = 10 cm，∠BOC = 120°。 过点 O 作 OH ⊥ BC 于点 H， 由等腰三角形 “三线合一”，得： BH = CH，∠BOH = 1/2 ∠BOC = 60°。 在 Rt△BOH 中： BH = OB・sin60° = 10 ×= 5 cm， 所以 BC = 2BH = 10 cm（约 17.32 cm）。 （2）选选择条件 1：∠ODE = 45° 过点 O 作 OG ⊥ DE 于点 G，则 GE = 5 cm。 在 Rt△DOG 中，∠ODG = 45°，OD = 80 cm， DG = OD・cos45° = 80 × = 40cm， 所以 DE = DG + GE = (40+ 5) cm（约 61.56 cm）。 22. （1）设直线 BC 的解析式为 y = kx + m。 已知点 B(5,0)、C(0,5)，代入得： 解得 k = -1，m = 5，所以直线 BC 的解析式为： 所以直线 BC 的解析式为： y = -x + 5抛物线 y = ax2 + bx + c 过点 B(5,0)、C(0,5)，且对称轴为 x = 3 设抛物线解析式为 y = a(x-1)(x-5)，代入 C(0,5)： 5 = a(0-1)(0-5) 5a = 5 a = 1 所以抛物线解析式为： y = (x-1)(x-5) = x2 - 6x + 5 点 A 坐标为 A(1,0) （2）抛物线对称轴为 x = 3。 △QAC 周长 = AC + QA + QC，其中 AC 为定值，只需 QA + QC 最小。 因为 A、B 关于对称轴对称，所以 QA = QB，则 QA + QC = QB + QC。 当 B、Q、C 三点共线时，QB + QC 最小，此时 Q 为直线 BC 与对称轴 x=3 的交点。将 x=3 代入直线 BC 解析式 y = -x + 5：y = -3 + 5 = 2 所以点 Q 坐标为：Q(3,2) （3）设点 M(x, x^2 - 6x + 5)，其中 1 < x < 5（抛物线在 x 轴下方）。 因为 MN \parallel y 轴，点 N 在直线 BC 上，所以 N(x, -x + 5)。 则 MN 的长度为： MN = (-x + 5) - (x2 - 6x + 5) = -x2 + 5x 这是开口向下的二次函数，顶点在 x = -\frac{5}{2(-1)} = \frac{5}{2} 处。 当 x = 时，MN 取最大值： MNmax = -2+ 5 × = 23. （1）延长 AE 交 BC 于点 F。 ∵ CD 平分∠ACB，AE⊥CD， ∴ △AEC ≅ △FEC（ASA）， ∴ ∠EAC = ∠EFC = 63°。 ∵ ∠EFC 是△ABF 的外角， ∴ ∠EFC = ∠B + ∠BAF， 代入∠EFC=63°，∠B=37°，得： ∠BAF = 63° - 37° = 26°。 又∵ ∠ADE = ∠CDB， 在△ADE 中，∠AED=90°， ∴ ∠DAE = 90° - ∠ADE， 而∠ADE = 180° - ∠B - ∠BCD， 结合∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB， 可得∠DAE = ∠BAF = 26°。 （2）延长 BE 交 CA 的延长线于点 F。 ∵ CD 平分∠ACB，BE⊥CD， ∴ △CBE ≅ △CFE（ASA）， ∴ BE = FE = 1/2 BF。 ∵ ∠BAC=90°，AB=AC， ∠ABE + ∠F = 90°，∠ACD + ∠F = 90°， ∴ ∠ABE = ∠ACD， ∴ △ABE ≅ △ACD（ASA）， ∴ BF = CD。 因此：BE = 1/2 CD。 （3）延长 AD 交 BC 于点 E。 ∵ CD 平分∠ACB，AD⊥CD， ∴ △ACD ≅ △ECD（ASA）， ∴ AC = EC = 10 米，AD = DE， ∴ S△ACD = S△ECD。 BC = 13 米，∴ BE = BC - EC = 13 - 10 = 3 米。 设点 A 到 BC 的距离为 h， 由 S△ABC = × BC × h = 20， 得 h = 米。 S△ABE = × BE × h = × 3 × = 平方米。 ∵ AD = DE， ∴ S△ABD = S△BDE， ∴ S△ABE = S△ABD + S△BDE = 2S△ABD， ∴ S△ABD = 平方米。 S△ACD = × (S△ABC - S△ABE) = × (20 - ) = × (- ) = × = 平方米。 学科网（北京）股份有限公司 $