江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 高二年级数学月考试卷，聚焦排列组合、概率统计、立体几何等核心知识，通过接力赛排列、产品检测等情境设计，融合数学思维与应用意识，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项式系数、概率分布、事件概率|基础概念辨析，如第3题二项式系数最大问题| |多选题|3/18|展开式项分析、分布列性质、立体几何判定|多选项区分度，如第11题四棱锥线面关系判断| |填空题|3/15|正态分布、排列计数、多项式系数|情境化应用，如第13题讲座安排排列| |解答题|5/77|二项式定理应用、排列组合综合、立体几何证明与计算、概率分布与期望、三棱柱外接球|分层设计，15题基础计算，19题综合空间观念与逻辑推理，18题产品检测概率培养数据观念|

高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸 上。 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择 题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则（） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B. 2. （） A. 36 B.48 C. 63 D. 72 【答案】A 3. 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 4．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【答案】B 5.已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 6. 设，则（） A. 242 B. 243 C. 31 D. 32 【答案】A 7. 已知事件，若，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 8. 设随机变量的分布列为，，则（） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式共有8项，则下列正确的是（ ） A. B. 无常数项 C. 含项的系数为92 D所有项的二项式系数之和为128 【答案】ABD 10. 若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论错误的是（） A. B. C. D. 【答案】C.D. 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（） A. 在棱上不存在点M，使平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 二面角的大小为 D. 与平面不垂直。 【答案】BCD. 【解析】 【分析】取中点E，连接，，由题意证明线面垂直，即平面，建立空间直角坐标系，对于A选项，假设平面，设，由，求解即可；对于B选项，求，，由即可求解；对于C选项，分别求解平面与平面法向量，由此求解即可；对于D选项，由即可求解. 【详解】取中点E，连接，，因为为等边三角形，则，因为平面平面， 平面平面，平面，平面，则平面， 因为底面为菱形，，所以， 因为平面，所以， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则令，则有，， 则有，，，，，， 对于A选项，令，若平面，则有， 则，，，则有， 即点为原点时，有平面，故A错误； 对于B选项，，，因为，则， 则异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C选项，平面的法向量为，则平面的法向量为， 则，，则有， 即，令，则有，，故， 故，故二面角的大小为，故C正确； 对于D选项，，，因为，故与平面不垂直，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则__________． 【答案】 13. 某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有 种. 【答案】12 14. 已知多项式，则=______． 【答案】25 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为. （1）求和的值； （2）求该二项式展开式中所有的有理项. 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【小问1详解】 因为的展开式的通项公式为， 由第项的二项式系数为，得，解得， （3分） 所以， 又展开式中含的项的系数为，令，解得， 所以，解得， 故和的值分别为. (6分) 【小问2详解】 由（1）知， 要求二项式展开式中的有理项，则为整数，所以， (9分) 当时，，当时，， 当时，， （11分） 所以该二项式展开式中所有的有理项为，，. （13分） 16. (本题满分15分)从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒. 【答案】（1）24（2）72（3）72 【小问1详解】 甲乙两人在中间两棒，则有种排法， 从剩下4人选出2人排列到两边，有种排法， 所以共有种排法. （5分） 【小问2详解】 将甲乙绑定到一起，内部有2种排法，从剩下4人选出2人，有种选法， 全排列3个元素有种排法，所以共有种排法. （10分） 【小问3详解】 先从剩下4人选出2人先排列，有种排法， 将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法， 所以共有种排法. （15分） 17. (本题满分15分) 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 设的中点为，连接，， 因为，是，的中点，所以在中，，， 因为为正方形，为中点，所以，， 所以，，即四边形是平行四边形， （3分） 所以，又因为平面，平面， 所以平面． （6分） 【小问2详解】 因为平面，，平面，所以，， 在正方形中，， 所以以为正交基底建立空间直角坐标系， （8分） 因为， 所以，，， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以即 解得，取，得，所以， （11分） 又平面的一个法向量为， （13分） 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （15分） 18. (本题满分17分)某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． （1）现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； （2）用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【小问1详解】 记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， (2分) 则． （6分） 【小问2详解】 由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 （8分） 所以，， ，， （12分） 所以随机变量的分布列如下： （15分） 数学期望． （17分） 19. (本题满分17分)如图，在直三棱柱中，，. （1）证明：三棱柱正三棱柱； （2）证明：； （3）设平面，平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积. 【小问1详解】 在直三棱柱中， 又因为， 所以， 所以， 所以三棱柱为正三棱柱. （5分） 【小问2详解】 取的中点，连结， 则. 因为平面， 所以平面. 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. （7分） 不妨设，则 ， ， 所以. 因为，所以， 所以，所以. 所以， 所以，即. （11分） 【小问3详解】 因为平面平面， 又因为， 所以不妨取平面法向量. 因为直线与平面的距离为， 所以点到平面距离为. 因为， 所以点到平面距离， 所以. （13分） 所以正三角形的外接圆半径， （15分） 所以正三棱柱的外接球的半径 ， 所以三棱柱外接球的表面积为. （17分 ） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上。 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2. （ ） A. 36 B.48 C. 63 D. 72 3. 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 5.已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. 242 B. 243 C. 31 D. 32 7. 已知事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设随机变量的分布列为，，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式共有8项，则下列正确的是（ ） A. B. 无常数项 C. 含项的系数为92 D所有项的二项式系数之和为128 10. 若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 在棱上不存在点M，使平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 二面角的大小为 D. 与平面不垂直。 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且， 则__________． 13. 某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有 种. 14. 已知多项式， 则=______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为. （1）求和的值； （2）求该二项式展开式中所有的有理项. 16. (本题满分15分) 从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒. 17. (本题满分15分) 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. (本题满分17分) 某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． （1）现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； （2）用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 19. (本题满分17分) 如图，在直三棱柱中，，. （1）证明：三棱柱正三棱柱； （2）证明：； （3）设平面，平面，若直线与平面的距离为， 求三棱柱外接球的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $高二年级数学答题卡 考场号 座位号 学校 班级 贴条码区域 姓名 1,答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚 注 2,客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 正确填涂 考生禁填 爸 3,主观题必须使用黑色签字笔书写。 (山监考老师餘)》 事 4,必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 错误填涂 缺考☐ 5,保持答卷清洁完整。 项 力XaO ]☑ww白 违规☐ 单选题（共8题，共40分） 1 [A][B]IC][D] 6【AIIB[CI[DJ 2【A1[BI[c】[D] 7[A】IB】[C】ID] 3 [A】[BI[CI [DI 8 [A][B]【CI【DI 4【A1[B】[C】[D1 5【AI IBI IC】IDI 多选题（共3题，共18分） 9【A】[B】【CI[DJ 10【A1[B】[C】[D] 11【A1IB1IC1[DI 填空题（共3题，共15分） 12 13 请勿在此区域作答 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 解答题（共5题，共77分） 15.(13分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第2页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第3页共6页 ■ 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) D C M B 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第4页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第5页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) C B 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页共6页