江苏南京市第一中学2025-2026学年高二下学期数学3月基础题抢分赛

2024级高二数学基础题抢分赛 时间：100分钟 满分：150分 一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分． 1．已知函数的导函数为，且，则（ ） A． B． C．1 D．2 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设，则向量可用，，表示为（ ） A． B． C． D． 3．若平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，Aα，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ） A．1 B． C． D． 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A． B． C．9 D．4 5．不等式的解集为（ ） A．(5，10) B． C． D． 6．一条铁路原有个车站，为了适应客运需要新增加个车站，则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有（ ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 7.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容融”丙相邻的不同的排列方法总数为（ ） A．1440 B．1080 C．960 D．480 8．若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A． B．1 C．2 D．e 9．已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，98，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为（ ） A．450 B．438 C．254 D．278 10．用，，，，，这六个数字可以组成（ ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数” A． B． C． D． 11．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法 A．480 B．420 C．360 D．120 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12．下列说法正确的是（ ） A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法 B．4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有24种不同结果 C．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有36种报名方法 D．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有64种报名方法 13．数列是公比为的等比数列，为其前项和，为其前项积．已知，，则（ ） A． B．当或4时，取得最大值 C．当取得最小值时， D．当时，取得最小值 14．如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 15．已知空间三点，，，则点到直线的距离为______． 16．将本不同的书全部分给甲乙丙三人，一人得1本，另两个人各得2本，则不同的分法总数为． 17．的值为________． 18．若在R上单调递增，则实数的取值范围是________． 19．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝1，点P为侧面ABB1A1上的任意一点，则的取值范围是________． 20．已知数列满足，，，若存在正整数m使得恒成立，则________． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 21．（15分）已知数列满足：，，n∈N*． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求n的最大值． 22．（15分）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为． (1)证明：∥平面BCM； (2)已知，为上的点，且与平面所成角的正弦值为． ①求线段PQ的长； ②若，求二面角的正弦值． 23．（17分）已知函数，a∈R． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围． 2024级高二数学基础题抢分赛 时间：100分钟 满分：150分 一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分． 1．【答案】D 【解析】由题意得，令，则，得．故选D． 2．【答案】B 【解析】．故选B． 3．【答案】C 【解析】，故点A到平面α的距离为．故选C． 4．【答案】A 【解析】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立．故选A． 5．【答案】D 【解析】则，得， 得，又因为，则．故选D． 6．【答案】B 【解析】由题意得，即． 又n＞1，2m－1＋n＞n，所以，，则；原有14个车站，故选B． 7．【答案】C 【解析】现将4个不同造型的“冰墩墩”排好，有种排法，排好后包括左右两边有5个空， 再将“雪容融”甲和“雪容融”乙捆绑，有种方法，将捆绑后的“雪容融”与“雪容融”丙分别插入前面的5个空中，有种方法； 所以总的排列方法数为：；故选C． 8．【答案】C 【解析】设直线与曲线的切点为， 由，得，即． 切线方程为，代入、，得． 因该切线为，故，解得． 设直线与曲线的切点为， 由，得，即，切线方程为，化简得． 因该切线为，故，解得．故选C． 9．【答案】A 【解析】由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，…，98，是公差为12，项数为9的等差数列， 故新数列{an}的各项之和为×9＝450．故选A． 10．【答案】C 【解析】当千位小于时，有种， 当千位是，百位小于时，有种， 当千位是，百位是，十位小于时，有种， 由分类计数原理，可得小于的四位偶数共有，故选C． 11．【答案】B 【解析】分两类情况： ①2与4种同一种果树， 第一步种1区域，有5种方法；第二步种2与4区域，有4种方法； 第三步种3区域，有3种方法；最后一步种5区域，有3种方法， 由分步计数原理共有种方法； ②2与4种不同果树， 第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有种方法； 第二步种5号区域，有2种方法， 由分步计数原理共有种方法． 再由分类计数原理，共有种不同的方法．故选B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12．【答案】AC 【解析】4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每个同学都有3种情况，共有种，所以A正确； 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，每个冠军有4种情况，则这三个项目的冠军共有种，所以B错误； 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，可以1,1,2部分平均分组再分配，种，所以C正确； 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，跑步项目有4种，跳高由3种，跳远有2种，根据分步乘法原理，可得一共种，所以D错误． 故选AC． 13．【答案】BD 【解析】由题意知，则． 若，则，所以，即，，无实数解； 若，则，所以，即，又，所以，故A错误； ，， 则，，，，，，因此， 又当时，，所以当时，， 又，，，，，， 所以当或时，取得最大值，故B正确； 当或时，取得最小值，故C错误，D正确． 故选BD． 14．【答案】ACD 【解析】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，A正确； 因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，B错误； C到平面的距离为，C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 面，则，又，面， 所以面，易知：即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，D正确． 故选ACD． 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 15．【答案】 【详解】因为，，则，，， 所以，， 所以点到直线的距离． 16．【答案】90 【解析】一人得本，另两个人各得本，有种分法． 17．【答案】120 【解析】 ． 18．【答案】 【解析】由题可知，在R上恒成立，所以，解得． 19．【答案】 【解析】（方法一）如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，，， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为． （方法二）取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又， ， 所以的取值范围为． 20．【答案】5 【解析】因为，当时，， 当时，， 相减，得，所以（）， 又时也符合，所以，． 因为，， 所以，， 当时，，即， 当时，，即， 所以当时，最大， 即对任意，均有，所以． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 21．（15分）已知数列满足：，，n∈N*． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求n的最大值． 【解析】（1），， 可得， 又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）由（1）知，，， ． 由，得，即． 因为是递增数列， 且当时，；当时，， 所以． 22．【解析】（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以∥平面． 又因为平面，平面平面，所以，． 因为平面，平面，所以∥平面． （2）①以DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，，，，， 设，则有，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 则， 因为与平面所成角的正弦值为是， 所以，解得m＝2或． 所以PQ的长为2或． ②因为，由①知，m＝，，平面的一个法向量为． 又，，所以，， 设平面的法向量为，则，即 令，得，，所以． 所以， 所以二面角的正弦值为． 23．【解析】（1）的定义域为， 且． ①当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时恒成立，所以在上单调递增； ③当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ④当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减． （2）由，得， 因为，所以， 所以在上恒成立． 令，， 则． 令，，则， 所以在上单调递增， 所以，即． 令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $