第9章 轴对称、平移与旋转（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材华东师大版七年级下册

**基本信息** 聚焦“轴对称、平移与旋转”单元核心，以《九章算术》勾股容圆等文化素材及动态几何问题为载体，覆盖基础识别到综合应用，适配初中数学单元复习，提升空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|轴对称与中心对称图形识别（题1）、平移性质（题2）|结合传统文化情境，基础概念辨析| |填空题|6/12|平移周长计算（题14）、折叠角度推理（题15）|突出空间观念，考查图形变换本质| |解答题|8/72|作图（题19）、综合证明（题22）、动态探究（题26）|强调推理能力，设计分层问题（如“美妙角”概念应用）|

第9章 轴对称、平移与旋转（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项图案不是轴对称图形也不是中心对称图形； B与C选项图案是轴对称图形不是中心对称图形； D选项图案既是轴对称图形又是中心对称图形． 2．《九章算术》的勾股章开创了勾股容圆的研究，下图为《九章算术》中记载的勾股容圆．下列图形中，可以由下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质即可解答； 【详解】解：选项A：图形形状和原图不同，排除； 选项B：图形方向发生改变，是旋转得到的，不是平移，排除； 选项C：图形的形状、大小、方向都和原图完全一致，可由原图平移得到，符合要求； 选项D：图形形状（三角形类型）和原图不同，排除． 3．如图，在中，，将沿向右平移，得到，点B的对应点E在线段上，点A、C的对应点分别为点D、F，若要使成立，则平移的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平移的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由平移的性质得：平移的距离是． 4．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据中心对称的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形即可解答． 【详解】解：如图，把①涂黑后得到图形，绕中心点旋转可与原图重合，为中心对称图形． 5．如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质可得，，，进而推出，求出的长，利用梯形面积公式计算即可． 【详解】解：根据平移的性质可得， 则有， ∵， ∴， ∵将直角三角形沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 6．如图所示，这是一条长方形纸带ABCD经过两次折叠后得到的图形，若，则和的度数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得，再由折叠的性质得，结合三角形内角和定理和平角的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 7．如图，将绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定，再根据旋转的性质可得，，进一步由三角形内角和定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 8．如图，把绕点按逆时针方向旋转得到．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ． 9．如图，将直角三角板绕点B顺时针旋转得，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转可知：， ∵，， ∴， ∴． 10．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点O，由旋转的性质可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：如图所示，设交于点O， 由旋转的性质可得， ∴，，故C结论错误，不符合题意； ∴，故D结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明，，故A、B结论错误，不符合题意； 11．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 12．如图，将一副直角三角板放置于水平桌面上，其中，角的顶点重合，与边重合，射线和分别平分和．将三角板绕点逆时针旋转，当与第一次重合时旋转停止，在旋转的过程中，的大小将会（    ） A．始终不变 B．先减小再增大 C．不断增大 D．先增大再减小 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，角的和差关系，根据题意表示出是解题关键．设旋转角为，即，根据，结合角平分线的性质，以及角的和差关系等量代换即可得解． 【详解】解：如图所示，设旋转角为，即， 则， 射线和分别平分和， ，， ，为恒定值， 在旋转的过程中，的大小将会始终不变． 故选：A． 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，将线段沿某一方向平移得到线段，若，四边形的周长为，则________． 【答案】7 【分析】根据平移的性质得到，进而求出，即可得到的值． 【详解】解：由平移的性质可知， ∵四边形的周长为， ∴， ， ， ． 14．如图，已知，将沿方向平移得到，则阴影部分的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知：， 则， ∴阴影部分的周长为：． 15．将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质、折叠的性质即可解决． 【详解】解：如图 ∴， 由折叠的性质可得： ∵ ∴ ． 16．如图，将长为，宽为的矩形向右平移，再向下平移，得到矩形，则阴影部分的周长为_________． 【答案】10 【分析】由平移的性质得，，阴影部分为矩形，求出长和宽即可求其周长． 【详解】解：如图， 由题意得，， 由平移得，阴影部分为矩形， ，， ，， 阴影部分的周长为：． 17．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案． 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理． ∵， ∴． 18．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 【答案】8105 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴ ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）如图所示，在边长为1的网格中作出向下平移3个单位后的图形．再作出绕点A按逆时针方向旋转之后的图形． 【答案】见解析 【分析】将三个顶点向下平移3个单位长度得到对应点，再首尾顺次连接即可得到； 将点B，C绕点A逆时针旋转得到对应点，再首尾顺次连接即可得到． 【详解】解：如图，，即为所求． 20．（6分）如图，P是内部一点，请根据下列语句画图并解答问题： (1)过点P画直线交射线于点M； (2)过点P画的垂线，垂足为点N； (3)点M到直线的距离是哪条线段的长度_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先过点P作，再过点P作，交于点M，则即为所求； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线进行作图即可； （3）根据点到直线的距离进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的平行线． （2）解：如图，即为所求； （3）解：点M到直线的距离是的长度． 21．（8分）已知点A，B，C，D在数轴上，其中A，B分别表示数和3，点C向右平移5个单位长度后与点B重合． (1)求线段的长； (2)求点C表示的数； (3)对于数轴上三点，点A，点B关于点D对称，求点D对应的实数． 【答案】(1)4 (2) (3)1 【分析】（1）直接根据数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）根据点的平移规律计算即可； （3）设点D对应的实数为x，根据点A，点B关于点D对称可知，进而求解即可. 【详解】（1）解：∵点A表示，点B表示3， ∴线段的长为； （2）解：由题意可得点C表示的数为； （3）解：设点D对应的实数为x， ∵点A，点B关于点D对称， ∴，即， 解得， 即点D对应的实数为1． 22．（8分）如图，在中，平分，交于点，经过平移得到，点，，分别移至点，，的位置．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：是由平移而来， ，， ．     平分， ， ． ， ． 23．（10分）如图，在每小格边长均为1的正方形网格图中完成下列各题（用直尺画图）： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)再将向下平移2个单位得，并计算扫过的面积是______（直接填答案）； (3)将绕点A顺时针旋转得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；4 (3)见解析 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可． （2）根据平移的性质找出点、、向下平移后的对应点、、，然后顺次连接即可，然后再根据平行四边形的性质求面积即可． （3）根据旋转的性质结合网格结构找出点B、C绕点A顺时针旋转后的对称点、，顺次连接可得； 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求．扫过的面积是． （3）解：如图，即为所求． 24．（10分）如图，在四边形中，、交于点，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】作的角平分线，交于点，根据角平分线的定义和对顶角的性质可得 ，故点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 25．（12分）我们曾经研究过三角形双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题，小明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若，则______． (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合．若，则为多少度？ (4)【拓展提升】如图4，在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点G，若，，试探究和，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出． （3）由角平分线的定义得出，，由三角形内角和定理得出，求出，再得出，由折叠的性质可得，， 进而可求出，由平角的定义得出，，进而可求出． （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 、的角平分线交于点P， ， ， ， ； （2）解：的角平分线与的外角的角平分线交于点P， ， ， ． （3）解：∵平分，平分， ∴，（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质可得，， ∴， ∵，， ∴． （4）解：①当点F在点E左侧时，如图所示， ∵，∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． ②当F在D、E之间时，如图所示： 同理可得，， ， ∴． ③当点F在D点右侧时，如图所示： 同理可得． 综上所述，F在E左侧；F在ED中间；F在D右侧． 26．（12分）若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 【答案】(1)或 (2)或；或或 【分析】（1）根据定义得出，从而求得结果； （2）①设，则，根据定义得出，进而求得结果； ②设，当在或内时，，进一步得出结果； 当在外部时，可得出方程，进一步得出结果． 【详解】（1）解：和互为“美妙角”， ， ， ， 或； （2）解：①设，则， 与互为“美妙角”， ， 或； ②设， 如图1﹣1和图1﹣2 当在或内时， ， ， 与互为“美妙角”， ， 或， 如图2， 当在外部时， ， ， ， ， 综上所述：或或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 轴对称、平移与旋转（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》的勾股章开创了勾股容圆的研究，下图为《九章算术》中记载的勾股容圆．下列图形中，可以由下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，将沿向右平移，得到，点B的对应点E在线段上，点A、C的对应点分别为点D、F，若要使成立，则平移的距离是（   ） A． B． C． D． 4．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 5．如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，这是一条长方形纸带ABCD经过两次折叠后得到的图形，若，则和的度数分别是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，把绕点按逆时针方向旋转得到．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，将直角三角板绕点B顺时针旋转得，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 12．如图，将一副直角三角板放置于水平桌面上，其中，角的顶点重合，与边重合，射线和分别平分和．将三角板绕点逆时针旋转，当与第一次重合时旋转停止，在旋转的过程中，的大小将会（    ） A．始终不变 B．先减小再增大 C．不断增大 D．先增大再减小 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，将线段沿某一方向平移得到线段，若，四边形的周长为，则________． 14．如图，已知，将沿方向平移得到，则阴影部分的周长为_____． 15．将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为______． 16．如图，将长为，宽为的矩形向右平移，再向下平移，得到矩形，则阴影部分的周长为_________． 17．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 18．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）如图所示，在边长为1的网格中作出向下平移3个单位后的图形．再作出绕点A按逆时针方向旋转之后的图形． 20．（6分）如图，P是内部一点，请根据下列语句画图并解答问题： (1)过点P画直线交射线于点M； (2)过点P画的垂线，垂足为点N； (3)点M到直线的距离是哪条线段的长度_____． 21．（8分）已知点A，B，C，D在数轴上，其中A，B分别表示数和3，点C向右平移5个单位长度后与点B重合． (1)求线段的长； (2)求点C表示的数； (3)对于数轴上三点，点A，点B关于点D对称，求点D对应的实数． 22．（8分）如图，在中，平分，交于点，经过平移得到，点，，分别移至点，，的位置．求证：． 23．（10分）如图，在每小格边长均为1的正方形网格图中完成下列各题（用直尺画图）： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)再将向下平移2个单位得，并计算扫过的面积是______（直接填答案）； (3)将绕点A顺时针旋转得． 24．（10分）如图，在四边形中，、交于点，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 25．（12分）我们曾经研究过三角形双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题，小明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若，则______． (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合．若，则为多少度？ (4)【拓展提升】如图4，在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点G，若，，试探究和，之间的数量关系． 26．（12分）若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $